6.2数理统计中的三个重要分布

χ2分布临界值表

2χ分布临界值表 ()(){}2P n n αχχα=2 1-> n 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 38 40 41 42 43 44 45 __ 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 14.458 15.134 15.815 16.501 17.192 17.887 18.586 19.289 19.996 20.707 21.421 22.138 22.859 23.584 24.311 __ 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.879 13.565 14.257 14.954 15.655 16.362 17.074 17.789 18.509 19.233 19.960 20.691 21.426 22.164 22.906 23.650 24.398 25.148 25.901 0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 17.539 18.291 19.047 19.806 20.569 21.336 22.106 22.878 23.654 24.433 25.215 25.999 26.785 27.575 28.366 0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 19.281 20.072 20.867 21.664 22.465 23.269 24.075 24.884 25.695 26.509 27.326 28.144 28.965 29.987 30.612 0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.042 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 21.434 22.271 23..100 23.952 24.797 25.643 26.492 27.343 28.196 29.051 29.907 30.765 31.625 32.487 33.350 0.102 0.575 1.213 1.923 2.675 3.455 4.255 5.071 5.899 6.737 7.584 8.438 9.299 10.165 11.037 11.912 12.792 13.675 14.562 15.452 16.344 17.240 18.137 19.037 19.939 20.843 21.749 22.657 23.567 24.478 25.390 26.304 27.219 28.136 29.054 29.973 30.893 31.815 32.737 33.660 34.585 35.510 36.436 37.363 38.291 1.323 2.773 4.108 5.385 6.626 7.841 9.037 10.219 11.389 12.549 1 3.701 1 4.845 1 5.984 17.117 18.245 19.369 20.489 21.605 22.718 23.828 24.935 2 6.039 2 7.141 2 8.241 2 9.339 30.435 31.528 32.620 33.711 34.800 35.887 36.973 38.058 39.141 40.223 41.304 42.383 43.462 44.539 45.616 46.692 47.766 48.840 49.913 50.985 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 1 3.362 1 4.684 1 5.987 17275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 3 6.741 3 7.916 39.087 40.256 41.422 42.585 43.745 44.903 46.059 47.212 4 8.363 4 9.513 50.660 51.805 52.949 54.090 55.230 56.369 57.505 3.841 5.991 7.815 9.488 11.071 12.592 1 4.067 1 5.507 1 6.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.966 26.296 2 7.587 2 8.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 44.985 46.194 47.400 48.602 4 9.802 50.998 52.192 53.384 54.572 55.758 56.942 58.124 59.304 60.481 61.656 5.024 7.378 9.348 11.143 12.833 14.449 1 6.013 1 7.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 16.119 27.488 2 8.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 3 9.364 40.646 41.923 43.194 44.461 45.722 46.979 48.232 49.480 50.725 51.966 53.203 54.437 55.668 56.896 58.120 59.342 60.561 61.777 62.990 64.201 65.410 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 2 7.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 3 8.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 4 9.588 50.892 52.191 53.486 54.776 56.061 57.342 58.619 59.892 61.162 62.428 63.691 64.950 66.206 67.459 68.710 69.957 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.299 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 55.003 56.328 57.648 58.964 60.275 61.581 62.883 64.181 65.476 66.766 68.053 69.336 70.616 71.893 73.166

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1几种常见的具有可加性的分布 (1) 二项分布 (2) 泊松分布（Possion分布） (3) 正态分布 (4) 伽玛分布 (6) 柯西分布 (7) 卡方分布 (7) 2具有可加性的概率分布间的关系 (8) 二项分布的泊松近似 (8) 二项分布的正态近似 (9) 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数 SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdd itive 'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion. KeyWords probabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction 引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是 n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示为 ②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是 )(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζ?+=的密度函数如下 其证明如下： ξζ?+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z y x )()()()(ξζ?ξζ??≤+= ≤+= 其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζ?+=的密度函数：

大学概率论与数理统计复习资料

第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0 )()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,()()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==

应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B - 与A 的关系是（ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。 看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系[1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之. 1. 三大分布函数[2] 1.12χ分布 2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅 (Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，） ，则称统计量2222 12n =+X X χ++…X 为 服从自由度为n 的2χ分布，记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为 122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --?≥??=Γ???? ，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值 的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质： 性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==； 性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++； 性质3：2 n χ→∞→时，（ n ）正态分布； 性质4：设)(~2 2n αχχ，对给定的实数 ),10(<<αα称满足条件: αχχαχα==>? +∞ ) (222 )()}({n dx x f n P 的点)(2 n α χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查用. 2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布 t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student”的笔名首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置. 定义：设2 ~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量 T = 服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n . t 分布的密度函数为

大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或

卡方分布表

WORD格式 x 2 分布临界值表（卡方分布） P n＇ 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1 ????0.0 2 0.1 0.45 1.32 2.71 3.84 5.02 6.6 3 7.88 2 0.01 0.02 0.02 0.1 0.21 0.58 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6 3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.3 4 12.84 4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 0.68 0.8 7 1.24 1.64 2.2 3.45 5.35 7.84 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.4 5.07 7.34 10.22 13.36 15.51 17.53 20.09 21.96 9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 5.9 8.34 11.39 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.55 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.34 13.7 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 8.44 11.34 14.85 18.55 21.03 23.34 26.22 28.3 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.3 12.34 15.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.17 13.34 17.12 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 15 4.6 5.23 6.27 7.26 8.55 11.04 14.34 18.25 22.31 25 27.49 30.58 32.8 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.91 15.34 19.37 23.54 26.3 28.85 32 34.27 17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 12.79 16.34 20.49 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 13.68 17.34 21.6 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 14.56 18.34 22.72 27.2 30.14 32.85 36.19 38.58 20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 15.45 19.34 23.83 28.41 31.41 34.17 37.57 40 21 8.03 8.9 10.28 11.59 13.24 16.34 20.34 24.93 29.62 32.67 35.48 38.93 41.4 22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 17.24 21.34 26.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.8 23 9.26 10.2 11.69 13.09 14.85 18.14 22.34 27.14 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 24 9.89 10.86 12.4 13.85 15.66 19.04 23.34 28.24 33.2 36.42 39.36 42.98 45.56 25 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 19.94 24.34 29.34 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 26 11.16 12.2 13.84 15.38 17.29 20.84 25.34 30.43 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 27 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 21.75 26.34 31.53 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 22.66 27.34 32.62 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 29 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 23.57 28.34 33.71 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.6 24.48 29.34 34.8 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 40 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 33.66 39.34 45.62 51.8 55.76 59.34 63.69 66.77 50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 42.94 49.33 56.33 63.17 67.5 71.42 76.15 79.49 60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 52.29 59.33 66.98 74.4 79.08 83.3 88.38 91.95 70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 61.7 69.33 77.58 85.53 90.53 95.02 100.42 104.22 80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 71.14 79.33 88.13 96.58 101.88 106.63 112.33 116.32 90 59.2 61.75 65.65 69.13 73.29 80.62 89.33 98.64 107.56 113.14 118.14 124.12 128.3 100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 90.13 99.33 109.14 118.5 124.34 129.56 135.81 140.17 专业资料

三大抽样分布

三大抽样分布 众所周知，在概率论中有二项分布、正态分布、泊松分布着三大分布，而统计学中也有三大抽样分布，分别是x2 分布、t布和F分布。这三大抽样分布的发现正好是现代统计学的形成时期，对于以参数统计推断为主要内容的现代统计学理论的形成有着重要意义。X2分布的发现来源于Kad Pears0n创立X2拟合优度理论的过程，而t分布的发现来源于Gosset小样本理论的创立过程，F分布则是来源于Fisher创立方差分析理论的过程。 三大抽样分布的研究意义 c．R．Rao曾经说过“在终极的分析中，一切知识都是历史，在抽象的意义下，一切科学都是数学，在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”这句话一语道破统计学的重要性。三大抽样分布在统计学理论中占据着重要地位，由此可见，研究三大抽样分布对于科学研究有着重要意义。在实际工作中，统计工作者对于三大抽样分布的研究必不可少，通过研究三大抽样分布的产生、发展和完善，能够充分了解三大抽样分布理论的重要性。具体到统计学三大分布，对于三大分布理论的研究，能够在充分吸收前人研究成果的基础上不断进行理论创新，从而推动科学技术的进步。纵观所有的科技进步，无一不是在充分研究前人成果的基础上发展而来的研究统计学三大抽样分布，对于我国社会经济发展有着重要的推动作用。三大抽样分布产生于19世纪末20世纪初，在统计学的发展过程中，每一次新的分析统计数据概率模型的发现，统计学理论都会发生一次重大飞跃。为此，要想研究三大抽样分布，就应该对其发展过程进行研究。统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布。 X2分布 x2的早期发展 由于受到中心极限定理和正态误差理论的影响，正态分布一直在统计学中占据重要地位。在很多数学家和哲学家心目中，正态分布是唯一可用的分析和解释统计数据的方法。但是随着时代的发展，一些学者开始对正态性提出了质疑，随后，在多位科学家的试验验证下，正态分布与实际数据拟合不好的情况日渐凸显出来，科学家纷纷开始研究比正态分布范围更广的分布类型，波那个人产生了偏态分布，其中，x2就是最早的偏态分布最早引入偏态分布的是JamesClerk Maxwel，他在研究气体分子运动的过程中引入了X2分布。1891年，X2分布首次被作为统计量的分布导出。Pizzetti在求线性 模型最小二乘估计残差平方和的分布时，通过富氏分析法得出了X2的分布。随着时代的发展，正态分布理论的局限更加明显，更加推动了偏态分布的发展。KarlPearson是对偏态分布贡献最大的人，成为了一代统计学巨人。按照他的观点，统计学应该把在模型基础上对观测数据进行有效预测作为基本任务，所以他开创了一族曲线对观测数据进行拟合，使得分布拟台数据的应用范围进一步扩大。 X2模型

概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

(完整word版)统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系 [1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍 2分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后 用理论说明2分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件 MATLAB 来验证之. 1.三大分布函数[2] 1.1 2分布 2（n ）分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅 （Benayme ）赫尔默特（Helmert ）、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发 现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量X 1,X 2,…X n 相互独立，且都来自正态总体 N （0,，）,则称 统计量 2 =x ； X ；…+X ；为服从自由度为n 的2分布，记为 2 2 ~ （n ）. 2 分布的概率密度函数为 1 x e 2 x 0 J x 0 其中伽玛函数（X ） e t t x 1dt,x 0， 2 分布的密度函数图形是一个只取非负值 的偏态分布，如下图? x 2 n 2° f(x; n)

2(n2) ,X!,X2相互独立，则X! X2~ 2g n2); 性质3: n 时，2(n) 正态分布; 性质4:设2~ 2(n),对给定的实数 (0 1),称满足条件： P{ 2 2(n)} 2(、f(x)dx (n) 的点2(n)为2(n)分布的水平的上侧分位数. 简称为上侧分位数.对不同的与n,分位 数的值已经编制成表供查 分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student的'笔名 布在数理统计中也占有重要的位置. 1), Y?2(n), X,Y相互独立，，则称统计量T —X VY/ n 分布，记为T~t( n). 为 性质1: E( 2(n)) n,D( 2(n)) 2n ; 性质2:若X! 2(nJ,X2

统计学三大分布及正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系 [1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之. 1.三大分布函数[2] 1.12χ分布 2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，） ，则称统计量222 212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布， 记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为 122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --?≥??=Γ???? ，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质： 性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==； 性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++； 性质3：2 n χ→∞→时，（ n ）正态分布； 性质4：设)(~2 2n α χχ，对给定的实数),10(<<αα称满足条 件:αχχα χα ==>?+∞ ) (2 22)()}({n dx x f n P 的点)(2 n α χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查 用. 2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布 t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student ”的笔名 首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置. 定义：设2 ~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量/T Y n = 服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n .

考研数学概率论重要知识点梳理

2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质

(4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计

概率论与数理统计中的三种重要分布

概率论与数理统计中的三种重要分布 摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。 关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质 一、二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生 这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 （一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布 定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数， 则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(<

统计学三大分布与正态分布的差异

申请大学学士学位论文 大学 学士学位论文 统计学三大分布与正态分布的差异年级专业： 学生： 指导教师：

统计学三大分布与正态分布的差异 中文摘要 统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策者提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。而对数据的分析过程中就需要利用到数据的分布来研究分类。 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布。而由正态分布构造的三大分布在实际中有广泛的应用，因为这三大分布不仅有明确的背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，研究三大分布与正态分布有助于研究实际事例，比如经济安全与金融保险领域、人口统计等。 本文讨论了三大分布与正态分布，并将它们之间的密度函数进行比较说明. 第二章介绍了正态分布的定义、性质，三大分布的定义、性质。 第三章介绍了正态分布与三大分布的密度函数，并将它们之间的密度函数进行比较关键词：正态分布；三大分布；密度函数 The Difference between the Three Statistical Distributions and the Normal Distribution Abstract Statistics is a branch of applied mathematics, the mathematical models are mainly established by the probability and statistics theory based on the collecting

概率论知识点的总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为 随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全 体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。 运算律： 设A，B，C为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）德摩根律：B A = A B = A B A B