19勾股定理逆定理

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专题19 勾股定理逆定理证明垂直

1. 如图，在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，AB=5，AC=13，AD=6，求BC 的长。

2.已知ABC ?中，CA=CB ，ACB α∠=，点P 为ABC ?内一点，将CP 绕点C 顺时针旋转α得到CD ，连AD 。

（1） 如图1，当60α=?，PA=10，PB=6，PC=8时，求BPC ∠的度数。

（2） 如图2，当90α=?，PA=3，PB=1，PC=2时，求BPC ∠的度数。

专题20 勾股定理（逆定理）与网格画图

1.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：（1）画一条线段MN ，使

（2）画ABC ?，三边长分别为3

、

2. 如图，在55?的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB 的端点在格点上。

（1）图1中以AB 为腰的等腰三角形有 个，画出其中一个，并直接写在其底边上。

（2）图2，以AB 为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高。

图2B P A D C 图1B P A D C C D

B A （2）

（1）B A A A 图2图1

2 专题21

a =问题的证明

1.如图，OA=OB ，OC=OD ，90AOB COD ∠=∠=?，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，连MN 、ON 。

求证：MN =.

3. 已知ABC ?中，AB=AC ，90BAC ∠=?，D 为BC 的中点，AE=CF ，连DE 、EF 。

（1） 如图1，若E 、F 分别在AB 、AC

上，求证：EF =;

（2） 如图2，若E 、F 分别在BA 、AC 的延长线上，则（1）中的结论是否仍成立？请说明理由。 D O N B M A C 图2图1F

C

D B A

E

D F E

C B A

勾股定理及其逆定理(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：勾股定理的内容是什么？ 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：勾股定理的内容是什么？ 答：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c分别来表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 答：如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 答：使用勾股定理的前提是已知三角形是直角三角形；勾股定理逆定理使用前提是在知道三角形三边关系后，证明三角形是直角三角形． 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 答：0.3，0.4，0.5不是一组勾股数． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数． 0.3，0.4，0.5满足，但不是正整数，所以不是一组勾股数．

勾股定理及其逆定理（人教版） 一、单选题(共9道，每道10分) 1.三角形的三边，，满足，则三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 2.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形为( ) A.可能为锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 3.下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④； ⑤（为正整数，且），其中可以构成直角三角形的有

勾股定理及其逆定理 (习题及答案)-精选学习文档

勾股定理及其逆定理（习题） 例题示范 例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面 3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部 4m 处，这棵树折断之前有多高？ 解：如图，由题意，得 AC=3，BC=4，∠ACB=90° A 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， 由勾股定理，得 AC2+BC2=AB2 ∴32+42=AB2 ∴AB=5 C B ∴AB+AC=5+3=8 答：这棵树折断之前高 8m． 例 2：如图，在△ABC 中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°． A C B 证明：如图 在△ABC 中，AB=13，AC=5，BC=12 ∵52+122=132 ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C=90°．

巩固练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC 的长为． B C A 2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了 12km，乙往南 走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为． 3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的 面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3 之间的关系是（） A．S l+S2>S3 B．S l+S2

5.如图 1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的 长分别为a 和b，斜边长为c．图 2 是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理； （2）假设图 1 中的直角三角形有若干个，你能运用图 1 中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理． b b a a 图1 图2 6.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是 A．1.5，2，2.5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，1，2

《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)精讲

第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理 填空题 1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长． （第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm． 3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米． （第4题）（第5题）（第6题） 5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）

（第7题）（第8题）（第9题） 8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3） 9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是． 10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米． （第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸． 13．观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ． 解答题 14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

(完整word版)勾股定理及逆定理习题及答案

勾股定理及逆定理习题及答案 1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( ) （1）9，12，15; （2）15，36，39; （3）12，35，36 ; （4）12，18，22. 4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 . (A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）. (A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形 6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( ) A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对 7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 m的木梯，准备把梯子架到 2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( ) A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m 8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航

行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（ ）海里． 9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝ 12 b ， 则△ABC 是什么特殊三角形？ 1ｘ 2.ｘ ３．（1）(2) (4) B (5)D 6.A 7.A (8)50海里 9. 解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ， 所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b. 所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形．

勾股定理及其逆定理专题练习

勾股定理及其逆定理专题练习 （一）几何法证明勾股定理. 1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理. （二）勾股定理的应用. 一、勾股定理的简单计算： 1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________. 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米. 2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ． 3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ． b c c a a b D C A E B

4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米. 5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________． 三、勾股定理与图形变换： 1、如图，已知ABC ?中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长. 2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ?的面积.

17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计

《17.2勾股定理的逆定理》教学设计 Y qzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根

勾股定理及其逆定理 一

勾股定理及其逆定理 一、知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 22c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 二、典型题型 1、求线段的长度题型 2、判断直角三角形题型 3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法． 例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长． (2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积． (3)分类讨论思想．（易错题） 例3在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 ． 例4. 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。 例5、在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ． 练习： 1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。

(5)方程思想． 例6如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度． 例题7、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 例9. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。 练习： 1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。 C ' F E O D C B A 图4 C A

《勾股定理的逆定理》教案

勾股定理的逆定理 (1)教案

图18.2-2 [活动2] 建立模型 1．你能证明以2.5cm 、6cm 、6.5cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？ 2．如图18.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，试证明△是直角三角形，请简要地写出证明过程． [活动3]理论释意 任意三角形的三边长a 、b 、c ，只要满足222c b a =+，一定可以得到此三角形为直角三角形。 1．教材75页练习第1题． 学生结合活动1的体验，独立思考问题1，通过小组交流、讨论，完成问题2．在此基础上，说出问题2的证明思路． 教师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题2的证明．之后，归纳得出勾股定理的逆定理．在此基础上，类比定理与逆定理的关系，介绍逆命题（定理）的概念，并与学生一起完成问题． 在活动2中教师应关注： （1）学生能否联想到了“‘全等’，进而设法构造全等三角形”这一问题获解的关键； （2）学生在问题2中，所表现出来的构造直角三角形的意识； （3）是否真正地理解了AB =A /B / （如图18.2-2）；数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法； 在活动3中 （1）利用几何画板，从理论上改变三角形三边的大小，度量∠BAC 是否为直角.从实践上去检验命题的正确性,加深学生对勾股逆定理的理解; 变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦． 利用几何画板去验证勾股定理的逆定理,让理论上释意形象生动,可强化学生的记忆,使学生对定理的理解更深刻. [活动4] 拓展应用 1．例1：判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a ． 小试牛刀 1.教材76页习题18.2第1题（1）、（3）． 2. 在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）． A.a =5,b =12,c =13 B ．25,5===c b a C.a =9,b =40,c =41 D ．15,12,11===c b a 在活动4中 学生说出问题（1）的判断思路，部分学生演板问题2，剩下的学生在课堂作业本上完成． 教师板书问题1的详细解答过程，并纠正学生在练习中出现的问题，最后向学生介绍勾股数的概念． 在活动4中教师应重点关注： （1）学生的解题过程是否规范； （2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较； （3）活动4中的练习可视课堂情形而定，如果时间不允许，可处理部分. 进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重 点．

勾股定理及其逆定理+(习题及答案)

勾股定理及其逆定理 例题示范 例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m 处，这棵树折断之前有多高？ 解：如图，由题意，得 AC =3，BC =4，∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， 由勾股定理，得 AC 2+BC 2=AB 2 ∴32+42=AB 2 ∴AB =5 ∴AB +AC =5+3=8 答：这棵树折断之前高8m ． 例2：如图，在△ABC 中，AB =13cm ，AC =5cm ，BC =12cm ． 求证：∠C =90°． C B A 证明：如图 在△ABC 中，AB =13，AC =5，BC =12 ∵52+122=132 ∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C =90°． 巩固练习 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长为________． C B A 2. 已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人之间的 距离为___________． C B A

3. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小 到大依次记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ） A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2

勾股定理逆定理八种证明方法

勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，

人教版八年级下册数学勾股定理及逆定理

勾股定理及逆定理 一、学习导航 1.有一个角是900的三角形是直角三角形； 2.两锐角互余的三角形是直角三角形； 3.两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形； 4.一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。 5.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设三边长分别为a、b、c(c 为斜边)，则 6.勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足：两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 二、知识梳理与例题精讲 知识点一勾股定理 例1.在Rt△ABC中，∠C=900 如果a=10, b=24,那么c= . 如果a=15, c=25,那么b= . 如果c=10, b=8,那么a= . 例2.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

例3.一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上，若梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑2米，那么它的底端是否也滑动2米？ 知识点二勾股定理的逆定理 例4.有六根木棒，它们的长度分别为2,4,6,8,10,12,（单位：cm）,从中取出三根，首尾顺次连接成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（） A.2,4,8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12 例5.已知：△ABC的三条边长分别为a、b,、c,且a=n2-1,b=2n,c= n2+1(n＞1). △ABC是直角三角形吗？为什么？ 例6. 在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一 点,且BC=4EC.小明经过测量发现∠EA=900,你认为对 吗？

勾股定理和勾股定理逆定理例题

勾股定理和勾股定理逆 定理例题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

勾股定理和勾股定理逆定理经典例题 题型一：直接考查勾股定理 例1 在△ABC 中，∠C=90° （1）已知AC=6，BC=8，求AB 的长； （2）已知AB=17，AC=15，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度 1、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 2、如图，水池中离岸边D 点米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是米，把芦苇拉倒岸边，它的顶端B 恰好落在D 点，求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用 1、如图，正方形ABCD 中，E 是 BC 边的中点，F 是AB 上一点，且FB=4 1 AB ，那么△DEF 是直角三角形吗如果是，请说明理由. 题型四：勾股定理在折叠问题中的应用 1、如图，已知在长方形 ABCD 中，CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 拓展延伸：求折痕的长及重叠部分的面积. 经典例题训练： A B C D B C D E D E

1、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米； 212cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，问吸管要做 cm ； 3、已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且 BC=8cm ，CA=6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm ； 20米D 米； 5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 ； 1、如图，△ABC 中，∠BAC=45的面积. 2、 如图，△ABC 中，AD 是BC 第3题 A B 第4题 第5 C

人教版-数学-八年级下册-《勾股定理的逆定理》教学设计(第1课时)

《17．2勾股定理的逆定理》教学设计（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内容 勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系． 2．内容解析 把勾股定理的题设和结论交换，可以得到它的逆命题．本节内容证明了这个逆命题是个真命题．勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断．学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，体会利用计算证明几何结论的数学方法有很大的意义． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是探究证明勾股定理的逆定理． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）理解勾股定理的逆定理． （2）了解互逆命题、互逆定理． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是学生经历“实验测量－猜想－论证”的定理探究过程后，能应用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形； 目标（2）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为真命题时，逆命题不一定为真命题． 三、教学问题诊断分析 勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以理解，在教学时应该注意启发引导．本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理． 四、教学过程设计 1．创设问题情境 问题1 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论． 师生活动：学生独立回忆勾股定理，师生共同分析得出其题设和结论，教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系．

追问1：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？ 师生活动：师生共同得出新的命题, 教师指出其为勾股定理的逆命题． 追问2：“如果三角形三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．”能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题．【设计意图】通过对前面所学知识的归纳总结，自然合理地引出勾股定理的逆定理．问题2 实验观察：用一根打上13个等距离结的细绳子，让学生操作，以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用钉子钉成一个三角形，请学生用角尺量出最大角的度数（900）． 师生活动：学生动手操作，教师适时指导，并介绍这是古埃及人画直角的方法． 追问：你能计算出三边长的关系吗？ 师生活动：师生共同得出． 【设计意图】介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活． 实验操作：（1）画一画，下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画三角形： ①2．5，6，6．5；②4，7．5，8．5． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． （3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想． 师生活动：教师引导学生画三角形，并计算三边的数量关系：，．接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为900，并猜想：如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．把勾股定理记着命题1，猜想的结论作为命题2． 【设计意图】让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程．问题3 命题1和命题2的题设和结论分别是什么？

勾股定理及逆定理 课件

勾股定理 【知识点介绍】 1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222c b a =+。 2、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 【考点解析】 考点一：勾股定理的直接应用 例1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A 、第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 例2．如图，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm 例3. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家， 若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家， 小红和小颖家的直线距离为（ ）。 A 、600米 B 、800米 C 、1000米 D 、不能确定 考点二：求第三条边的长 例1．若Rt ABC 中，90C ?∠=且c=37,a=12，则b=（ ） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26 例2．若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ） A 、169 B 、119 C 、169或119 D 、13或25

考点三：与高、面积有关 例1．一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．3 10 C.25 D ． 5 12 例2．等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是2_____cm 【变式练习】 1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 5、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。 A ．122 cm B ．62 cm C ．8 2 cm D ．92 cm 6．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32 7．Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121 B 、120 C 、90 D 、不能确定 8．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里

17.2勾股定理的逆定理优秀教学设计

《勾股定理的逆定理》教学设计 Yqzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根

勾股定理及其逆定理的应用常见题型

勾股定理及其逆定理的应用常见题型 利用勾股定理求线段长 1 ?如图，在等腰直角三角形ABC中，/ ABC = 90° D为AC边的中点，过D点作DE丄DF, 交AB于E,交BC于F,若AE = 4, FC = 3,求EF的长. （注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 利用勾股定理求面积 2?如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D'处，BC交AD'于点E,AB = 6 cm, BC = 8 cm,求阴影部分的面积. 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 3. 在△ ABC中，D为BC的中点，AB = 5, AD = 6, AC = 13,判断△ ABD的形状. 利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题 4. （中考青岛）如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm,底面周长为18 cm在杯内离杯底4 cm的点C处有一 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短

距离为 _________ .

利用勾股定理解决实际问题 65如图，某港口位于东西方向的海岸线上， A , B 两军舰同时离开港口 0,各自沿一固定方向航 行，A 舰每小时航行32 n mile, B 舰每小时航行24 n mile ，它们离开港口一个小时后，相距40 nmile ， 几种常见的热门考点 勾股定理及其应用 1 .直角二角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ） A . 3 B . 4 C . 5 D . 10 2.如图，长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C'处，BC'交AD 于点 E ，AD = 8, AB = 4,贝U DE 的长为 _________ . 3.如图，已知/ C = 90° BC = 3 cm ，BD = 12 cm ，AD = 13 cm.A ABC 的面积是 6 cm 2 求: (1)AB 的长度； ⑵△ ABD 的面积. （第3题） 勾股定理的验证 已知A 舰沿东北方向航行，则 B 舰沿哪个方向航行 ?

勾股定理的逆定理教学设计

勾股定理的逆定理(一) 教学目标 一、知识与技能1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法． 二、过程与方法1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神． 三、情感态度与价值观1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神． 教学重点探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．教学难点归纳、猜想出命题2的结论． 教具准备多媒体课件． 教学过程 一、创设问属情境，引入新课 活动1 (1)总结直角三角形有哪些性质．(2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形? 设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力． 师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆． 本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”． 生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半． 师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢? 生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形． 生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做? 二、讲授新课 活动2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形． 画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那

《勾股定理的逆定理》word版 公开课一等奖教案 (7)

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 《18.2勾股定理的逆定理》 教学目标 1．掌握直角三角形的判别条件. 2．熟记一些勾股数. 3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法. 教学方法 1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想. 2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神. 教学重点难点： 教学重点：探究勾股定理的逆定理. 教学难点：勾股定理的逆定理的应用. 教学过程： 一、创设问属情境，引入新课 活动1：（1）总结直角三角形有哪些性质.（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力. 师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆. 这一活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”. 生：直角三角形有如下性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.