圆锥曲线综合测试题(含答案)

第二章测试

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )

A ．x 2＝－28y

B ．y 2＝28x

C ．y 2＝－28x

D ．x 2＝28y

解析 由条件可知p

2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x .

答案 B

2．设P 是椭圆x 225＋y 2

16＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

解析 由题可知a ＝5，P 为椭圆上一点， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案 D

3．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－10

20

D.102

解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2

－3m

＝1，

∴a 2

＝－3m ，b 2

＝－1m .

∴c 2

＝－3m －1

m ＝4，

解得m ＝－1. 答案 A

4．椭圆x 225＋y 2

9＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )

A ．(5,0)或(－5,0)

B ．(52，332)或(52，－332)

C ．(0,3)或(0，－3)

D ．(532，32)或(－532，32) 解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2

)2

＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C

5．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )

A.x 236－y 2

108＝1 B.x 29－y 2

27＝1 C.x 2108－y 2

36＝1

D.x 227－y 2

9＝1

解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．

依题意知???

b

a ＝3，

c ＝6，

c 2

＝a 2

＋b 2

，

?a 2＝9，b 2＝27，

所以双曲线的方程为x 29－y 2

27＝1. 答案 B

6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )

A ．(－2,1)

B ．(1,2)

C ．(2,1)

D ．(－1,2)

解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，

由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， ∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号，

∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D 项，故选B. 答案 B

7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )

A ．4或－4

B ．－2

C ．4

D ．2或－2

解析 由题可知，p

2－(－2)＝4，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为x 2＝－8y . 将(m ，－2)代入可得m 2＝16， ∴m ＝±4.故选A. 答案 A

8．设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2＝12x 的准线上，则此双曲线的方程为( )

A.x 25－y 2

6＝1 B.x 27－y 2

5＝1 C.x 23－y 2

6＝1

D.x 24－y 2

3＝1

解析 抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，

由题意，得???

c ＝3，

c

a ＝3，

c 2

＝a 2

＋b 2

.

解得a 2＝3，b 2＝6，

故所求双曲线的方程为x 23－y 2

6＝1. 答案 C

9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )

A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0，－2)

解析 直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．

答案 B

10．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2

c ，若

d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )

A.1

2 B.22 C.32

D.34

解析 由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ， 又由d 1,2c ，d 2成等差数列， ∴4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝1

2. 答案 A

11．已知F 是抛物线y ＝1

4x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )

A ．x 2＝y －12

B ．x 2＝2y －1

16 C ．x 2＝2y －1 D ．x 2＝2y －2

解析 由y ＝1

4x 2?x 2＝4y ，焦点F (0,1)， 设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，

则????

?

2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，

4y 0＝x 20，∴x 2＝2y －1.

答案 C

12．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2

|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的

取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(1,2)

C ．(1,3]

D ．(1,2]

解析 |PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2

|PF 1|

＝|PF 1|＋4a 2

|PF 1

|＋4a ≥8a ，

当|PF 1|＝4a 2

|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号．

又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a . ∴c ≤3a ，即e ≤3.

∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3] 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．(2010·福建)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±1

2x ，则b 等于________．

解析 由题意知b 2＝1

2，解得b ＝1. 答案 1

14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为3

2，则椭圆的标准方程为________．

解析 若焦点在x 轴上，则a ＝4， 由e ＝3

2，可得c ＝23， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4， 椭圆方程为x 216＋y 2

4＝1， 若焦点在y 轴上，则b ＝4， 由e ＝32，可得c a ＝32，∴c 2＝3

4a 2. 又a 2－c 2＝b 2，∴1

4a 2＝16，a 2＝64. ∴椭圆方程为x 216＋y 2

64＝1. 答案 x 216＋y 264＝1，或x 216＋y 2

4＝1

15．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2

＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________．

解析 由题设知?????

||PF 1|－|PF 2||＝4，

①|PF 1|2

＋|PF 2|2

＝20，

②

)

②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2.

∴△F 1PF 2的面积S ＝1

2|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案 1

16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．

解析 如图，设双曲线一个焦点为F ， 则△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°. ∴c ＝2a ，∴e ＝c

a ＝2. 答案 2

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)求与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为5

5的椭圆的标准方程．

解 把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y

2

4＝1，

则其焦距2c ＝25，∴c ＝ 5. 又e ＝c a ＝5

5，∴a ＝5.

b 2＝a 2－

c 2＝52－5＝20，

故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 2

20＝1.

18．(12分)已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.

解 设直线上任意一点坐标为(x ，y )， 弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．

∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 2

1＝6x 1，y 22＝6x 2.

两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2

＝3.

∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.

由?

????

y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝

1＋1922－4×(－22)＝2230

3.

19、（本小题满分12分）

设1F ,2F 分别是椭圆E ：2

x +2

2y b

=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与

E 相交于A 、B 两点，且2A

F ，AB ，2BF 成等差数列。 （Ⅰ）求AB

（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值 解：

（1）由椭圆定义知22F +F |A ||AB |+|B |=4 又2AB =AF F AB 224||||+|B |,||=

3

得

（2）

即

214

3

x x =-| . 则2242

12122222

84(1)4(12)8()49(1)11b b b x x x x b b b

--=+-=-=+++

解得 2

b =

20、(本小题满分12分)

已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1 （I ） 求椭圆C 的方程‘

（II ）

若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，

OP e OM

=

（e 为椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （20）解：

（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得

{

1,7.

a c a c -=+= 解得a=4,c=3,

所以椭圆C 的方程为

22

1.167

x y +=

（Ⅱ）设M （x,y ）,P(x,1y ),其中[]4,4.x ∈-由已知得

22

2122

.x y e x y

+=+ 而34

e =

，故2222

116()9().x y x y +=+ ① 由点P 在椭圆C 上得 2

21

1127,

16

x y -=

代入①式并化简得2

9112,y =

所以点M 的轨迹方程为44),y x =-≤≤轨迹是两条平行于x 轴的线段. 21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .

(1)若直线l 的倾斜角为π

3，且恰好经过椭圆C 的右顶点，求e 的大小；

(2)在(1)的条件下，设椭圆C 的上顶点为A ，左焦点为F ，过点A 与AF 垂直的直线交x 轴的正半轴于B 点，且过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．

解

(1)如图，设直线l 与圆O 相切于E 点，椭圆C 的右顶点为D ， 则由题意易知，△OED 为直角三角形，

且|OE |＝b ，|OD |＝a ，∠ODE ＝π

3，

∴|ED |＝|OD |2－|OE |2＝c (c 为椭圆C 的半焦距)． ∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝cos π3＝1

2. (2)由(1)知，c a ＝1

2，

∴可设a ＝2m (m >0)，则c ＝m ，b ＝3m ， ∴椭圆C 的方程为x 24m 2＋y 2

3m 2＝1. ∴A (0，3m )，∴|AF |＝2m .

直线AF 的斜率k AF ＝3，∴∠AFB ＝60°. 在Rt △AFB 中，|FB |＝|AF |cos ∠AFB ＝4m ，

∴B (3m,0)，设斜边FB 的中点为Q ，则Q (m,0)， ∵△AFB 为直角三角形，

∴过A ，B ，F 三点的圆的圆心为斜边FB 的中点Q ，且半径为2m ，

∵圆Q 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切， ∴

|m ＋3|

1＋3

＝2m . ∵m 是大于0的常数，∴m ＝1. 故所求的椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

21．(12分)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.

(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；

(2)设A (0，b )，Q (33，5

4b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B (0，3

4b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．

解 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上， 可得c 2＝b 2，由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2， 有c 2a 2＝12?e ＝22.

(2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称， 设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)(x 1>0)， 由△AMN 的垂心为B ，

有BM →·AN →＝0?－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0.

由点N (x 1，y 1)在抛物线上，x 21＋by 1＝b 2，

解得y 1＝－b

4，或y 1＝b (舍去)，

故x 1＝52b ，M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b

4)， 得△QMN 重心坐标(3，b

4)．

由重心在抛物线上得3＋b 24＝b 2

， ∴b ＝2，M (－5，12)，N (5，－1

2)， 又∵M ，N 在椭圆上，得a 2＝16

3， 椭圆方程为x 2163＋y 2

4＝1，

抛物线方程为x 2＋2y ＝4.

22．(12分)(2010·北京)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是6

3，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P .

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；

(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值． 解 (1)∵c a ＝6

3，且c ＝2， ∴a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2

＝1. (2)由题意知P (0，t )(－1

由???

y ＝t ，x 23＋y 2

＝1，

得x ＝±3(1－t 2)，

∴圆P 的半径为3(1－t 2). ∴3(1－t 2)＝|t |，解得t ＝±3

2.

∴点P的坐标是(0，±

3 2)．

(3)由(2)知，圆P的方程为

x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．

∵点Q(x，y)在圆P上，

∴y＝t±3(1－t2)－x2≤t＋3(1－t2). 设t＝cosθ，θ∈(0，π)，

则t＋3(1－t2)＝cosθ＋3sinθ＝2sin(θ＋π6)，

当θ＝π

3，即t＝

1

2，且x＝0，y取最大值2.