数学系常微分方程期末试卷A及答案

（A ）

试卷份数 考试 本科 考试科目 常微分方程 第 1 页（共 5页）

年月日

12-13-2学期期末考试

《常微分方程》A 参考答案及评分标准

（数学与计算机科学学院）

制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin

3．xoy 平面

4．充分必要 5．开

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．D 7．C 8．A 9．D 10．D

三、简答题（每小题6分，本题共30分）

11．解 分离变量得

x y x y d e d e = （3分）

等式两端积分得通积分

C x

y

+=e e （6分）

12．解 方程化为

x y

x y 21d d += (2分) 令xu y =，则x

u x u x y d d d d +=，代入上式，得 u x

u

x +=1d d (4分) 分量变量，积分，通解为

1-=Cx u (5分)

原方程通解为

x Cx y -=2

(6分)

13．解 对应齐次方程

dy y dx x

=的通解为

Cx y = （2分） 令非齐次方程的特解为

x x C y )(= （3分）

代入原方程，确定出

/1

()c x x

=

（4分） 再求初等积分得

C x x C +=ln )( （5分）

因此原方程的通解为

Cx y =+x x ln （6分）

14．解： 由于

x

N

y M y ??=

=??e ，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

C y y x y

x

y

=+?

?0

d 2d

e （4分）

即 C y x y =+2e （6分）

15．解： 令dx

y dt =，则：32dy y x dt =-- 2分

因为01023≠--，又由1

023

λλ-=+得

2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负 4分

故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 6分

四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．解：对应的齐次方程的特征方程为：

012

=-λ （1分） 特征根为：

1,121-==λλ （2分）

故齐次方程的通解为： x

x

C C y -+=e

e 21 （4分）

因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

x

Ax x y e )(1= （6分）

代入原方程，有

x

x x x Ax Ax A e 2

1e e e 2=

-+， （7分） 可解出

4

1

=

A ． （8分） 故原方程的通解为

x

x x x C C y e 4

1e e 21+

+=- （10分）

17．解： 特征方程为 0121

=--=

-λ

λλE A

即 022

=--λλ 特征根为 21=λ，12-=λ （2分）

21=λ对应特征向量应满足

??

????=???????

?????--0021212

11b a 可确定出 ??

?

???=????

??2111b a （5分） 同样可算出12-=λ对应的特征向量为 ??

?

???-=????

??1122b a （8分） 所以，原方程组的通解为

??

????-+??????=???

???--t t t t C C y x e e 2e e 2221 （10分）

五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）

18．证明 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式 ?=-

x

0d )(0e

)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）

)(e

)()(x

0d )(0x p x W x W x s

s p ?='-

由于0)(≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有

0)(>'x W 或 0)(<'x W

故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分） 19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，

且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分）

显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）

假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01

01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ， (8分)

这是因为零解也满足初值条件)()(01

01x y x y '== 0， 于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．

这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

最新常微分方程期末考试题大全(东北师大)

证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

常微分方程期末试题答案

2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（A ） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y ' 连续是保证方程 ),(d d y x f x y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2 1y y x y '+ '=的通解是221 C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 ()() x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e --

二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）? =x x p d )(e μ （B ）? =x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-= 'x y y （ D ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=,12 15．求方程 0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 解：取()()x y y x N x y y x M ln ,,,3 +== 则()()x y x N y x M x y 1 ,,==，于是原方程为全微分方程 所以原方程的通解为 ??=+y x C dy y dx x y 1 3 1

常微分方程期中考试试卷(2015)

13级常微分方程期中考试试卷 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、填空题（102?'） 1、微分方程0)( 22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是________________________。 2、微分方程x dx dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。 3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。 4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。 5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数 )0(>N N 使_________________， 则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。 6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ?=可以向左右延拓，直到__________________________________________。 7、方程3 1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。 8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx dy =存在唯一解。 9、微分方程dy dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。 10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。

《常微分方程》期末模拟试题教学提纲

《常微分方程》期末 模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的 解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程 过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的 特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35 323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 21d d y x y -=)1,2 (π x x y x y +-=d d y x y =d d

12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方 程组 45?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设1342A ??=????，则线性微分方程组dX AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--?? =??-?? t t t t e e t e e 。 二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、 答案：方程化为 令，则，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 ∴ 原方程通解为 2、 答案：特征方程为 即。 特征根为 ， 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 ∴ 原方程组的通解为 。 0d d )2(=-+y x x y x x y x y 21d d +=xu y =x u x u x y d d d d +=u x u x +=1d d 1-=Cx u x Cx y -=2 ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 014 11=--= -λ λλE A 0322=--λλ31=λ12-=λ? ?? ???=????????????--0031413111b a ??????=??????2111b a 12-=λ??? ???-=??????2122b a ?? ????-+??????=??? ???--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331

福建师范大学2020年8月《常微分方程》期末试卷A附标准答案

《常微分方程》期末考试A 卷 姓名： 专业：标准答案在后面 学号： 学习中心： 一、 填空题（每个空格4分，共40分） 1、 2 230dy dy x y dx dx ?? +-= ??? 是 阶微分方程， 是 方程（填“线性”或“非线性” ）。 2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。 3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是 。 4、方程 ''2 1=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。 5、微分方程22250+=d y y dx 的通解为 。 6、微分方程22680-+=d y dy y dx dx 的通解为 ， 该方程可化为一阶线性微分方程组 。 二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。 1、 -=x y dy e dx ； 2、24+=dy xy x dx ； 3、22265t d x dx x e dt dt ++=； 4、2453dx x y dt dy x y dt ?=-????=-+?? . 三、（8分）考虑方程 2(9)(,),=-dy y f x y dx 假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试卷及答案

2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业 填空题（每题4分，共20分） 1. 形如)()('x Q y x P y += （)(),(x Q x P 连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为?? ? ???+?-? =c dx dx x P e x Q dx x P e y )()()( . 2. 形如0y y '''-=的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=. 3. 形如1 111110n n n n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++=L L 的方程为 欧拉 方程, 可通过变换t x e =把它转化成常系数方程. 4. 2 (1)0,y dx x dy ++= 满足初始条件：x =0, y =1的特解1 1ln 1y x = ++ 5．5.微分方程0000(,),(),:,dy f x y y x y R x x a y y b dx ==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件 一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1． dx dy =2) (1y x + 解：令x+y=u ,则 dx dy =dx du -1 (3) dx du -1=21 u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. (5) 2．()()053243 =+++xdy ydx y xdy ydx x

解：两边同乘以y x 2得： ()() 0532******* =+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3) ()() 05324=+y x d y x d 故方程的通解为：c y x y x =+5324 (5) 3．2 ? ? ? ??-=dx dy y x 解：令 p dx dy =，则2p x y +=， 两边对x 求导，得 dx dp p p 21+= p p dx dp 21-=， (3) 解之得 ()c p p x +-+=2 1ln 2， 所以()c p p p y +-++=2 21ln 2， (4) 且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. (5) 4. 04)5(='''-x x 解：特征方程0435=-λλ 有三重根0=λ，42λ=，52λ=- ............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=- . (5) 5. 4523x x x t ''''''--=+ 解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-= 齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3) 又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2x At Bt =+%代入原方程解得A=14 25 ，

(完整版)常微分方程期末考试试卷

常微分方程期末考试试卷 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （30分） 1．)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ? -dx x P e )( ，其通解为 _________ 。 2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4．方程22y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x - 为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是 )()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组 Ax x ='的一个基解矩阵。 9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。 二． 计算题 （60分） 10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷 一、填空题。 1.方程23 210d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程. 3. 微分方程3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α=， β=，γ=. 5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为. 7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t =. 8. 方程组20'05?? =???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程251y y y y ''''''+++=和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是 二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3.求解方程22 2()0d x dx x dt dt +=。 4．用比较系数法解方程. .

5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程22 (cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解. 7．设3124A -??=??-?? ， ??????-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX =满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程 2213dy x y dx =-- 通过点(1,0) 的第二次近似解. 9.求的通解 试求方程组x Ax '=的解(),t ?12(0),η?ηη??==???? 并求expAt 10.若 三、证明题 1.若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ. 2. 设),()(0βα?≤≤x x x 是积分方程 ] ,[,, ])([)(0200 βαξξξξ∈++=?x x d y y x y x x 的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ?ψ≡. 3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程 的一个基本解组. 试证明: (i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和没有共同的零点; (iii) 和 没有共同的零点. 4.试证：如果)(t ?是 AX dt dX =满足初始条件η?=)(0t 的解，那么η?)(ex p )(0t t A t -= . 2114A ??=??-??32()480dy dy xy y dx dx -+=

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2 =+y x C （C 为任意常 数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21 =-y x ， 与直线y=2x+3相切的解是 24 =+y x ，满足条件30 3 ydx =? 的解为 2 2 =-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可 分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程 过点 共有 无数 个解。 6、方程'' 2 1=-y x 的通解为 42 12 122 =-++x x y C x C ，满足初始条件1 3|2,|5 ====x x y y 的特解为 421912264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程 2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 21d d y x y -=)1,2 (π x x y x y +-=d d

9、方程的奇解是 y=0 。 10、 35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程 可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解1 2 (),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设 1342A ??=?? ?? ，则线性微分方程组dX AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--?? =??-?? t t t t e e t e e 。 二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、 答案：方程化为 令 ，则 ，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 ∴ 原方程通解为 y x y =d d 0d d )2(=-+y x x y x x y x y 21d d +=xu y =x u x u x y d d d d +=u x u x +=1d d 1-=Cx u x Cx y -=2

常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（3０％） 1、方程 (,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。 有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。 ２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。 ３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。 ４、若12(),(),,() n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件 是____＿______＿＿＿__＿____＿____。 5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。 6、若()t φ和()t ψ都是 ' ()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。 二、计算题（6０%） 1、 3 ()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求exp Ａt ４、32( )480dy dy xy y dx dx -+= 5、求方程2 dy x y dx =+经过（０，０)的第三次近 似解

6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（1０%） 1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 常微分方程期终试卷(２) 一、填空题 30％ 1、 形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ?分别为x ．y 的连续函数。 2、 形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函 数.n ，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0? 3、 如果存在常数 使得不等式 ,0 L _____________对于所有 称为利普希兹常数。都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在Ｒ上关于y 满足利普希兹条件。 4、 形如＿__＿___＿＿_＿__－的方程,称为欧拉方程,这里是常数。,,21a a 5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解,则它的任一 解可表为)(t γ___________＿＿-。 一、计算题40% １.求方程的通解。26xy x y dx dy -= 2.求程xy e x y dx dy =+的通解。

常微分方程期末考试试卷

常微分方程期末考试试卷 一． 填空题 （30分） 1． )()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ? -dx x P e )( ，其通解为 _________ 。 2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4．方程 2 2y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上， 则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x - 为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是 )()(' t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____ 是)()(' t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为 n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x =' 的一个基解 矩阵。 9．满足 _______ 的点),(* * y x ，称为驻定方程组。 二． 计算题 （60分） 10．求方程0)1(2432 2 =-+dy y x dx y x 的通解。 11．求方程0=-+x e dx dy dx dy 的通解。

常微分方程期末试题答案汇编

一、填空题(每空2分，共16分)。 1、方程dy = x2y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平面 . dx d Y 2?方程组 F (x, Y),x R, Y R n的任何一个解的图象是n+1 _________ 维dx 空间中的一条积分曲线. 3.f y (x, y)连续是保证方程dy = f (x, y)初值唯一的充分条件. dx dx —=—y 4.方程组2dt的奇点(o,o)的类型是中心 dy --------------------------- —=x 1 21 2 5.方程y=xy (y)的通解是y=Cx C 」」」」1 6.变量可分离方程M x N ydx，pxqydy=O的积分因子是— N(y 尸(x) 7.二阶线性齐次微分方程的两个解y =巒1&), y h￥、2(x)成为其基本解组的充要条 件是__________ &方程y ；4y '4y=0的基本解组是e^x, xe^x 二、选择题(每小题3分，共15分)。 9.一阶线性微分方程dy p(x)y二q(x)的积分因子是( A ). dx |P(x)dx . |q(x)dx ..p(x)dx - - q(x)dx (A)」(B)」二e (C)」=e ?(D)」二e - 10.微分方程y In ydx (x - In y)dy = 0 是(B ) (A )可分离变量方程(B)线性方程 (C)全微分方程(D)贝努利方程 2 2 -1)dy=0的所有常数解是( C ) 11 .方程x(y —1)dx+y(x -

(A) X=：1(B) y = ：1 (C) y =：1, x = ： 1(D) y =1 , x =1 12. n阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).

2019年常微分方程期末考试试卷.doc

常微分方程期末考试试卷 学院_______ 班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 一.填空题 (30分) 1. dy =P(x)y Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子

(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 ()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．