小学奥数六年级举一反三21-25

第二十一周 抓“不变量”解题

专题简析：

一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

例1．

将4361 的分子与分母同时加上某数后得7

9

，求所加的这个数。 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子

是分母的7

9 ，由此可求出新分数的分子和分母。”

分母：（61-43）÷（1－7

9 ）＝81

分子：81×7

9 ＝63

81-61＝20或63-43＝20

解法二：4361 的分母比分子多18，7

9

的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所

以将7

9 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

① 7

9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）

② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝63

81

③ 所加的数是81-61＝20

答：所加的数是20。 练习1：

1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2

5 ，那么减去的数是多少？

2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得3

5 ，那么同加的这个数是多少？

3、

319 的分子、分母加上同一个数并约分后得5

7

，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2

3

，那么减去的数是

多少？

例2：

将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得2

3 ，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2

得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的3

2 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12

分母：12×3

2

-1＝17

解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。23 ＝46 ＝1218 ，45 ＝12

15

② 原分数的分母是：

18-1＝17或15+2＝17

答：这个分数为12

17 。

练习2：

1、 将一个分数的分母加上2得79 ，分母加上3得3

4 。原来的分数是多少？

2、 将一个分数的分母加上2得34 ，分母加上2得4

5 。原来的分数是多少？

3、 将一个分数的分母加上5得37 ，分母加上4得4

9 。原来的分数是多少？

4、 将一个分数的分母减去9得58 ，分母减去6得7

4 。原来的分数是多少？

例3：

在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于5

7 。如果在它的分子上减去同一个

数，这个分数就等于1

2

，求原来的最简分数是多少。

解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即57 =10

14

，

12 =714 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想1014 和7

14 的分子和分母再乘以2。所以

57 ＝1014 ＝2028 ，12 ＝714 ＝14

28

故原来的最简分数是17

28

。

解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以

（57 +12 ）÷2＝17

28

答：原来的最简分数是17

28 。

练习3：

1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于5

8

。如果在它的分子上减去

同一个数，这个分数就等于1

2

，求这个分数。

2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于6

7

。如果在它的分子上减去

同一个数，这个分数就等于1

3

，求这个分数。

3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于7

9

。如果在它的分子上减去同一

个数，这个分数就等于3

5 ，求这个分数。

例4：

将一个分数的分母加3得79 ，分母加5得3

4

。原分数是多少？

解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即79 ＝21

27

，

34 ＝2128 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将2127 和

2128 的分子和分母再同乘以2。则79 ＝2127 ＝4254 ，34 ＝2128 ＝42

56

。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是4251

。

解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的9

7

，分母加5

后是分子的43 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（43 －9

7 ）＝42。原分数的分母

是42÷7×9-3=51，原分数是42

51

。

练习4：

1、 一个分数，将它的分母加5得56 ，加8得4

5 ，原来的分数是多少？（用两种方法）

2、 将一个分数的分母减去3，约分后得67 ；若将它的分母减去5，则得7

8

。原来的分数是

多少？（用两种方法做）

3、 把一个分数的分母减去2，约分后等于34 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于5

7

。

求原分数。

例5：

有一个分数，如果分子加1，这个分数等于12 ；如果分母加1，这个分数就等于1

3 ，这个

分数是多少？

根据“分子加1，这个分数等于1

2 ”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这

个分数就等于1

3 ”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷

（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是3

8 。

练习5：

1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于12 ，如果分母加上1，这个分数等于1

3

，这

个分数是多少？

2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于12 ，如果分母减3，这个分数等于1

3

，这个 分

数是多少？

3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于12 ；如果分母加11，这个分数等于1

3 ，这个

分数是多少？

答案： 练1

1、 41

2、17

3、 37

4、 16 练2 1、 2125 2、1213 3、1223 4、 2041

练3

1、916

2、2542

3、31

45 练4

1、6067

2、84101

3、165222 练5

1、720

2、724

3、916

第二十二周 特殊工程问题

专题简析：

有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。

例1：

修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？

把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则

1÷[15×8 +110×6 ]÷6=4（天）

或1÷[（

15×8 +110×6

）×6]=4（天） 答：4天可以完成。 练习1：

1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现

在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？

2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7

人合作，多少天可以完成？

3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20

辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？

例2：

有两个同样的仓库A 和B ，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A 仓库，乙在B 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？

设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2” ① 三人同时搬运了

2÷（110 +112 +1

15 ）=8（小时）

② 丙帮甲搬了

（1-110 ×8）÷1

15

=3（小时）

③ 丙帮乙搬了

8-3=5（小时）

答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。 练习2：

1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的1

10

，徒弟每小时加工自

己任务的1

15

。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任

务，师傅帮徒弟加工了几小时？

2、 有两个同样的仓库A 和B ，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，

丙需要9小时。甲、乙在A 仓库，丙在B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？ 3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的5

8

，乙每小时加工12

个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？

例3：

一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？ 解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。

解：设甲做了x 天，则乙做了（14-x ）天。

120 x+1

12

×（14-x ）=1 X=5

解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是112 ×14，比总工作量多了1

12

×

14-1=16 ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了112 -120 =130 ，因此甲做了1

6 ÷

1

30

=5（天） 练习3：

1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下

的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？

2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，

由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？

3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，

这样共用40天完成。求乙休息的天数。

例4：

甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？

解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。

① 甲、乙同时做的工作量为18 ×（10-3）＝7

8

② 乙单独做的工作量为1－78 ＝1

8

③ 乙的工作效率为18 ÷3=1

24

④ 甲的工作效率为18 －124 ＝1

12

⑤ 甲单独做需要的天数为1÷1

12

＝12（天）

解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，

甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4 3÷[（10-8）÷8]=12（天）或 3×[8÷（10-8）]=12（天）

答：甲单独做需要12天完成。

练习4：

1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才

完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？

2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少

条裤子？

3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，

经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？

4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、

乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？

例5：

放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？

从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②

④⑤号阀门各出现2次。如果115 +110 +112 +18 再加一个1

8 ，则是五个阀门各放3小时的

总水量。

1÷[（115 +110 +112 +18 +18 ）÷3]=1÷[1

2

÷3]=6（小时）

练习5：

1、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作需

10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？

2、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成12 ，甲干5天、乙干3天可完成1

3 。甲、

乙合干需几天完成？

3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两

人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？

4、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完

成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？

答案： 练1

1、 1÷（14×6 +1

8×5 ）÷2＝7.5小时

2、 1÷（13×8 ×2+1

4×7 ×7）＝3天

3、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的

1－（13×4 ×2+14×5 ×5+120×6 ×7）×2＝1

4

（2）后两天需要小板车：14 ÷（1

20×6 ×2）＝15辆

练2

1、 2÷（110 +1

15 ）－10＝2小时

2、 2÷（118 +112 +1

9

）＝8小时

甲帮乙：（1－112 ×8）÷1

18 ＝6小时

甲帮丙：（1－19 ×8）÷1

18

＝2小时

3、 解法一：12×（58 ÷112 ）÷（1－5

8 ）＝240个

解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个

练3

1、 （14 ×6－1）÷（14 －1

12 ）＝3天

2、 甲：（1－140 ×35）÷（130 －1

40

）＝15天

乙：35－15＝20天

3、 40－（1－150 ×40）÷1

75 ＝25天

练4

1、 5×【12÷（15－12）】＝20天

2、 48－48÷30×20＝16条

3、 2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时 练5

1、 1÷【（115 +112 +1

10 ）÷2】＝8小时

2、 1÷【（12 +1

3 ）÷（3+5）】＝9.6天

3、 1÷（120 +130 －1

28

）＝21小时

4、 1÷【（118 +115 +112 +120 ）÷3－1

15 】＝54天

第二十三周周期工程问题

专题简析：

周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。

例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？

把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。

①需循环的次数为：1÷（

1

12

+

1

18

）=

36

5

＞7（次）

②7个循环后剩下的工作量是：1-（

1

12

+

1

18

）×7=

1

36

③余下的工作两还需甲做的时间为：

1

36

÷

1

12

=

1

3

（小时）

④完成任务共用的时间为：2×7+1

3

=14

1

3

（小时）

答：完成任务时需共用141

3

小时。

练习1：

1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；

甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？

2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1

小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？

3、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；

甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？