浙江省绍兴市2010年高三教学质量调测数学试题(理科)[1]

浙江省绍兴市2010年高三教学质量调测数学试题（理科）2010.4

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填

写学校、班级、学号、姓名；

2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间

120分钟。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式

)()()(B P A P B A P +=+

Sh V =

如果事件A 、B 相互独立，那么

其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ?=?

棱锥的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是 Sh V 31=

P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高

次的概率 棱台的体积公式

k

n k

k

n n P P C k P --=)

1()(),,2,1,0(n k = )(3

12211S S S S h V ++=

球的表面积公式

其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 2

4R S π=

表示棱台的高

球的体积公式

3

3

4R V π=

球

其中R 表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1．复数3()i i i

-为虚数单位等于

（ ）

A ．13i --

B ．13i -+

C ．13i -

D ．13i + 2．若2

3{,2},a a a a ∈-则实数的值等于

（ ）

A ．3

B ．1

C ．12

-

D ．—1 3．已知,,"""lg lg "a b a b a b ∈>>R 是的

（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

4．设等差数列8119{},26,n n a n S a a S =+的前项和为若则的值等于 （ ）

A ．54

B ．45

C ．36

D ．27

5．设4,a b a b ?=

若在方向上的投影为2，且b a 在方向上的投影为1，则a b 与的夹角等于

（ ）

A ．

6

π

B ．

3

π

C ．

23

π

D ．

233

π

π或

6．下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是

（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．①③

7．函数sin(2)(0)2

y x π

??=+<<

图象的一条对称轴在(

,)63

ππ

内，则满足此条件的一个?值为

（ ）

A ．

12

π

B ．

6

π

C ．

3

π

D ．

56

π

8．已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面,αβ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//,,//m n m n αα?则 B ．若,,m m n n αβα?=⊥⊥则

C ．若//,//,//m n m n αα则

D ．若//,,,//m m n m n αβαβ?= 则

9．已知A 、B 是椭圆222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两

点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，且12120.||||k k k k ≠+若的最小值为1，则椭圆的离心率（ ）

A ．12

B ．

2

C ．

2

D ．

3

10．不等式组222210,02,

12,0,x y x y x y x y ?+--+≥?

≤≤??≤≤??-≤?

表示的平面区域为D ，区域D 关于直线330x y --=的

对称区域为E ，则区域D 和E 中距离最近的两点间距离为

（ ）

A

5

B

5

C

5

D

5

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．计算：(cos15sin 15)(cos15sin 15)+-

= 。 12．现对某校师生关于上海世博会知晓情况进行分层抽样调查。

已知该校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人。 现抽取了一个容量为n 的样本，其中妇学生有80人，则 n 的值等于 。 13．在二项式5

1()x x

-

的展开式中，含3

x 的项系数等于 。

14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 值为 。 15．已知数列{}n a 共六项，其中有三项都等于2

有一项等于5，

则满足此条件的不同数列{}n a 共有 个。

16．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随

时间x （小时）变化的规律近似满足表达式25,01,()31(), 1.53

x x

x f x x -?≤≤?

=??>??《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升。此驾驶员至少要过 小时后才能开车。（精确到1小时） 17．在区间3

[,1]|31|1

t t x x +-+≥上满足不等式的解有且只有一个，则实数t 的取值范围为 。

三、解答题:本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．

18．（本题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin 1.

B B a

+==（I）求角B的大小；

（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积。

19．（本小题满分14分）

在一个盒子中有*

2(2,)

n n n

+≥∈N个球，其中2个球的标号是不同的偶数，其余n个球的标号是不同的奇数。甲乙两人同时从盒子中各取出2个球，若这4个球的标号之和为奇数，则甲胜；若这4个球的标号之和为偶数，则乙胜。规定：胜者得2分，负者得0分。

（I）当3

n=时，求甲的得分ξ的分布列和期望；

（II）当乙胜概率为3

,

7

n

时求的值。

20．（本小题满分14分）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F。现将△ACD沿CD折起，折成二面角A—CD—B，连接AF。

（I）求证：平面AEF⊥平面CBD；

（II）当AC⊥BD时，求二面角A—CD—B大小的余弦值。

21．（本小题满分15分）

过点M （4，2）作x 轴的平行线被抛物线2:2(0)C x py p =>截得的弦长为。 （I ）求p 的值；

（II ）过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线C 的切线12,.l l

（i ）若12,l l 交于点M ，求直线AB 的方程；

（ii ）若直线AB 经过点M ，记12,l l 的交点为N ，当ABN S ?=N 的坐标。

22．（本小题满分15分）

已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,)x

f x a x x

g x xe a e -=---=∈R 为自然对数的底数

（I ）当1,()a f x =时求的单调区间；

（II ）若函数1

()(0,),2f x a 在上无零点求的最小值；

（III ）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得 0()(),i f x g x a =成立求的取值范围。

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 1—5 ADBAB 6—10 CADCC

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11

．

2

12．192 13．—5 14．31 15．60 16．4 17

．1)

三、解答题:本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 18．（本题满分14分）

解：（I

）由sin B B +

=

得sin()3

2

B π

+=，

…………4分

42(0,)(,),,3

33

3

3B B B π

π

ππ

ππ∈+

∈+=

由得故

得.3

B π

=

…………7分 （II ）由b 是a 和c 的等比中项得2

b a

c =

…………8分

又由余弦定理得2

2

2

2

2

22

2cos 2cos ,3

b a

c ac B a c ac a c ac π

=+-?=+-?=+- ……11分

故2

2

2

,()0,1,ac a c ac a c a c =+--===得得 故△ABC 为正三角形 …………13分

故4A B C S ?=

…………14分

19．（本小题满分14分）

解：（I ）当3n =时，甲胜的概率为

3

1

32

45

23,.5

5

C C P C ?=

=

从而甲负的概率为

…………5分

故甲的得分ξ的分布列为

…………6分

故4.5

E ξ=

…………7分

（II ）当2n =时,乙胜的概率为P=1，不合题意；

当n =3时，乙胜的概率为35

P =

，不合题意 ；

…………8分

当2

4

4

42

2

(2)(3)124,(2)(1)

n

n

n n C C n n n C C n n ++--+≥+

=

++时乙胜的概率P=

…………11分

故

2

(2)(3)123,11300(2)(1)

7

n n n n n n --+=-+=++化简得， …………12分

解得5 6.n n ==或 …………14分

20．（本小题满分14分）

（I ）证明：在,,Rt ABC D AB AD CD DB ?==中为的中点得，

30,,B ACD ∠=?

又得是正三角形

又E 是CD 的中点，得AF ⊥CD 。 …………3分

折起后，AE ⊥CD ，EF ⊥CD ，

又AE ∩EF=E ，AE ?平面AED ，EF ?平面AEF ， 故CD ⊥平面AEF ， …………6分 又CD ?平面CDB ，

故平面AEF ⊥平面CBD 。 …………7分 （II ）方法一：

解：过点A 作AH ⊥EF ，垂足H 落在FE 的延长线上。 因为CD ⊥平面AEF ，所以CD ⊥AH ， 所以AH ⊥平面CBD 。 …………8分 以E 为原点，EF 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，

过E 与AH 平行的直线为z 轴建立如图空间直角坐标系数。…………9分 由（I ）可知∠AEF 即为所求二面角的平面角，

设为θ，并设AC=a ，可得

(0,,0),(0,

,0),(

,,0),(

cos ,0,

sin ).2

22

2

2

a a C D B a A θθ-

…………11分

2

2

(cos ,,sin ),

22

2

(,,0),

22

,0,3cos 0,

4

4

a A C a B D A C B D A C B D a a

θθθ=---

=-

-

⊥∴?=+

=

故即

得1

cos .3

θ=- …………13分

故二项角A —CD —B 大小的余弦值为1

.3

-

…………14分

方法二：

解：过点A 作AH ⊥EF ，垂足H 落在FE 的延长线， 因为CD ⊥平面AEF ，所以CD ⊥AH ， 所以AH ⊥平面CBD 。 …………9分 连接CH 并延长交BD 的延长线于G ， 由已知AC ⊥BD ，得CH ⊥BD ， 即∠CGB=90°，

因此△CEH ∽△CGD ， 则

,E H C E D G

C G

=

,

360,,,,

22

2

,

6

2

A C a a a a G D C D G C E C G E H E A =∠====

==

设易得代入上式得又

故1cos .3EH H EA EA

∠==

…………12分

又∵AE ⊥CD ，EF ⊥CD ，

∴∠AEF 即为所求二面角的平面角， …………13分 故二项角A —CD —B 大小的余弦值为1

.3-

…………14分

21．（本小题满分15分）

解：（I ）由已知得点2)在抛物线2

2x py =上， …………2分

代入得8=4p ，故p=2. …………4分

（II ）设2

2

1212(,

),(,

),4

4

x x A x B x 直线AB 方程为.y kx b =+

22,440,4,

y kx b x kx b x y =+?--=?=?由得 则12124,4.x x k x x b +=?=-

…………6分

2

1,4

2

x y x y '=

=

又求导得

故抛物线在A ，B 两点处的切线斜率分别为

12

,,22

x x 故在A ，B 点处的切线方程分别为2

2

112212::,2

4

2

4

x x x x l y x l y x =-

=

-

和

于是12

12

12(

,),(2,).2

4

x x x x l l k b +?-与的交点坐标为即为 …………8分

（i ）由题意得M （4，2）是12l l 与的交点，

故24,

2,220.2,2,

k k AB x y b b ==??--=?

?-==-??即故直线的方程为 …………9分

（ii ）由题意得(4,2)M 在直线AB 上,故4k+b=2，

12124,168,x x k x x k +=?=-且

故12(2,42).l l N k k -与的交点坐标为

…………11分

122

||||AB x x N AB d =

-==

又点到直线的距离

3

1||.2

N A B S A B d ?=

?=故

…………13分

故3=

15k =

=-得或，

…………14分 故点N 的坐标为（—2，—6）或（10，18）. …………15分

22．（本小题满分15分）

解：（I ）当21,()12ln ,()1,a f x x x f x x

'==--=-时则 …………1分

由()0,2;f x x '>>得由()0,0 2.f x x '<<<得

…………3分

故(][)()0,2,2,.f x +∞的单调减区间为单调增区间为 …………4分

（II ）因为1

()0(0,)2

f x <在区间上恒成立不可能，

故要使函数1

()(0,)2

f x 在上无零点，

只要对任意的1

(0,),()02

x f x ∈>恒成立，

即对12ln (0,),22

1

x

x a x ∈>-

-恒成立。 …………6分

令2ln 1

()2,(0,),12

x l x x x =-∈-

则2

2

2

2

(1)2ln 2ln 2

(),(1)

(1)

x x x x

x

l x x x --+-=-

=

--

…………7分

2

2

2

1

()2ln 2,(0,),2222(1)

()0,

m x x x x x m x x

x

x

=+-∈--'=-

+

=<再令则

11

()(0,),()()22ln 20,

221

()0,()(0,)2m x m x m l x l x >=->>故在上为减函数于是从而,于是在上为增函数,

[)1

()()24ln 2,

22ln 2,24ln 2,,1

l x l x a a x <=->-

∈-+∞-所以故要使恒成立只要

综上，若函数1

()(0,),2

f x 在上无零点 24ln 2.a -则的最小值为…………9分

（III ）111()(1),x

x

x

g x e

xe

x e

---'=-=-

(]1(0,1),()0,();1,,()0,0,

e

x g x g x x e g x -'∈>'∈当时函数单调递增当时函数g(x)单调递减.又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e e

所以，函数(](]()0,0,1.g x e 在上的值域为 …………11分

2,a =当时不合题意;

(]

(]2(2)()

2(2)2

22,()2,0,2,()0.

2,()0,,

a x a x a

a f x a x e x

x

x

x f x a

f x e -----'≠=--=

=

∈'=

=-当时当时由题意得在上不单调

故220,22e a a

e

<

<<-

-即 ① …………12分

此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：

(](]00,0,(),22(

)2ln

,()(2)(1)2,

220,,0,(1,2),()(),:i i x f x f a f e a e a

a

e e x i

f x

g x a →→+∞=-=-----∈==又因为当时所以,对任意给定的x 在上总存在两个不同的使得成立当且仅当满足下列条件

22(

)0,2ln 0,22()1,(2)(1)2 1.f a a a f e a e ??

≤-≤??--??

??≥---≥??即 22()2ln

,(,2),22()12[ln 2ln(2)]1,()0,

22

02,

(,0),()0,();2(0,2),()0,().

2,(,2),()(0)0,

h a a a a

e a h a a h a a

a a a a h a h a a h a h a e

a h a h e

=-∈-∞-

-'''=---=-=

=--=='∈-∞>'∈-

<∈-∞-

≤=令则令得或故当时函数单调递增当时函数单调递减所以对任意有

即②对任意2(,2)a e

∈-∞-恒成立。 …………13分 由③式解得：3

2.1

a e ≤-

- ④

…………14分

②

③

综合①④可知，当(]03,2,0,,1a x e e ?

?

∈-∞-

∈ ?-?

?

时对任意给定的 在(]0,(1,2),i e x i =上总存在两个不同的 使0()()i f x g x =成立。

…………15分

www.zx https://www.wendangku.net/doc/af17160091.html,