高三数学-2018【数学】广东省惠州市惠城区2018届高三模拟试题2(理) 精品

O x

y

6

π3

2π1?P 图1

模拟考试数学2（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：锥体的体积公式Sh V 3

1

=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

⒈已知ABCD 是复平面内一个平行四边形，AB 对应的复数为i +1，AD 对应的复数为

i 23-，其中 i 为虚数单位．则AC 对应的复数为

A.i 32-

B.i 32+-

C.i -4

D.i +-4 ⒉已知集合{}

是菱形或矩形x x A |=，{}是矩形x x B |=，则=B C A

A.{}是菱形x x |

B.{}形是内角都不是直角的菱x x |

C.{}是正方形x x |

D.{}是邻边都不相等的矩形x x |

⒊已知)sin(?ω+=x A y 的最大值为1，在区间]3

2

, 6

[π

π

上， 函数值从1减小到1-，函数图象（如图1）与y 轴的交点P 坐标是

A.)21 , 0(

B.)22

, 0( C.)2

3

, 0( D.以上都不是 ⒋经过25)2()1(2

2

=++-y x 的圆心，且与向量)4 , 3( -=a 垂直的直线的方程是

A.

1143=--y x B.

1143=+-y x C.

0134=-+y x

D.0234=++y x

⒌已知0>a ，0>b ，12=+b a ，则

b

a 1

1+的取值范围是 A.)6 , (-∞ B.) , 4[∞+ C.) , 6[∞+ D.) , 223[∞++ ⒍从一个三棱柱111C B A ABC -的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是

A.

51 B.52 C.53 D.5

4 ⒎若)()21(2010201022102010

R x x a x a x a a x ∈++++=- ，

则

=++++2010

2010221002

222a a a a

A

C

D

E O

图2

B

A.1-

B.0

C.1

D.2010

⒏用{}c b a , , m ax 表示a 、b 、

c 三个数中的最大值，则{

}

2

43 , 12 , 3m ax )(x x x f x

-+=在区间]2 , 0[上的最大值M 和最小值m 分别是

A ．9=M ，13-=m

B ．5=M ，13-=m

C ．9=M ，2=m

D ．5=M ，1=m

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． ㈠必做题（9～13题）

⒐某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为1200、1200、1100，现要从中抽取140名学生参加周末公益活动，若用分层抽样的方法，则高三年级应抽取 人． ⒑下列命题中，真命题是 （将真命题前面的编号填写在横线上）． ①已知平面α、β和直线a 、b ，若a =βα ，α?b 且b a ⊥，则βα⊥． ②已知平面α、β和两异面直线a 、b ，若α?a ，β?b 且β//a ，α//b ，则βα//． ③已知平面α、β、γ和直线l ，若γα⊥，γβ⊥且l =βα ，则γ⊥l ． ④已知平面α、β和直线a ，若βα⊥且β⊥a ，则α?a 或α//a ． ⒒由直线x y =与曲线2

x y =所围图形的面积=S ． ⒓函数)

1(log 1

|2|)(2---=

x x x f 的定义域为 ．

⒔产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生

产同一种零件，它们在一小

时内生产出的次品数1

X 、

2X 的分布列分别如下：

两台机床中，较好的是 ，这台机床较好的理由是 ． ㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做两题）

⒕（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是

??

?+==m y x θθ

sin cos （m 是常数，] , (ππθ-∈是参数），若曲线C 与x 轴相切，则=m ． ⒖（几何证明选讲选选做题）如图2，ABC Rt ?中，0

90=C ，

030=A ，圆O 经过B 、C 且与AB 、AC 相交于D 、E ．

1X 0

1 2

3 2X 0

1 2

P 4.0 4.0 1.0 1.0 P 3.0 5.0 2.0

D

1

A 1

B 1

C 1

D E

F

G

开始

1 , 0==i S

1+=i i

是

否 输出S

结束

输入) , (11y x 、) , (22y x 、…、) , (n n y x

图3

是

否 S z >

z S =

① ② 若32==EC AE ，则=AD ，圆O 的半径=r ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知

C ab c b a 2sin 222=-+．

⑴求角C ；

⑵若1=-a c ，9 =?AC AB ，求c ．

⒘（本小题满分12分）旅行社为某旅行团预订单人房和双人房两种住房，每间单人房订金

150元、每间双人房订金200元，每种房至少预订两间（含两间）

，旅行团不超过13人． ⑴设旅行社为这个旅行团预订了单人房x 间、双人房y 间，一共需要交订金z 元．写出z 的解析式和x 、y 所满足的约束条件，并求它的所有可行解) , (i i y x ，1=i 、2、……n ； ⑵图3是根据⑴计算这个旅行团最多需交订金S （单位：元）的程序框图．则处理框①和判断框②中的语句分别是什么？输出的S 是多少？

⒙（本小题满分14分）如图4，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，

ABCD AA 底面⊥1，1=AD ，2=AB ，060=∠BAD ，E 、F 分别是侧棱1BB 、1

CC 上一点，1=BE ，2=CF ，平面AEF 与侧棱1DD 相交于G ．

⑴证明：C C BB AEFG 11平面平面⊥；

⑵求线段CG 与平面AEFG 所成角的正弦值； ⑶求以C 为顶点，四边形AEFG 在对角面

D D BB 11内的正投影为底面边界的棱锥的体积．

⒚（本小题满分14分）已知圆C ：01662

2

=--+y y x 与x 轴相交于1F 、2F ，与y 轴正半轴相交于B ，以1F 、2F 为焦点，且经过点B 的椭圆记为G ． ⑴求椭圆G 的方程；

⑵根据椭圆的对称性，任意椭圆都有一个四边都与椭圆相切的正方形，这个正方形称为椭圆的外切正方形，试求椭圆G 外切正方形四边所在直线的方程．

⒛（本小题满分14分）已知函数||)(a x x x f -=，R a ∈是常数．

⑴若1=a ，求)(x f y =在点))1( , 1(--f P 处的切线；

⑵是否存在常数a ，使12)(+

21.(本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：λ=1a ，23

2

1-+=

+n a a n n ，其中R ∈λ是常数，*

∈N n ．

⑴若3-=λ，求2a 、3a ；

⑵对R ∈?λ，求数列{}n a 的前n 项和n S ； ⑶若012>+λ，讨论{}n S 的最小项．

理科数学评分参考

一、选择题 CBAA DDBC

二、填空题 ⒐44 ；⒑ ②③④（若学生没有填①，则填②③④中任何一个给2分，二个

给4分，三个给5分；若学生填了①，则在上面评分的基础上扣3分，扣完为止）；⒒6

1

；⒓) , 3[∞+；⒔ Ⅱ(2分)，因为21EX EX =(1分)，21DX DX >(2分)；⒕1 ±（正确填1个给3分）；⒖3 （3分），7 （2

分）．

三、解答题

⒗⑴根据余弦定理和倍角公式，

C C ab C ab C ab c b a cos sin 22sin cos 2222===-+……3分，所以1s i n =C 或

0cos =C ……5分，2

π

=

C ……6分．

⑵由9 =?AC AB 得9cos cos | || |2==??=??b A b c A AC AB ……8分，

即92

2

=-a c ……9分，解???=-=-1

9

22a c a c ……10分，得5=c ……12分．

⒘⑴依题意，y x z 200150+=……1分，其中2≥x 、2≥y ，132≤+y x ……2分，即x 、

y 所满足的约束条件为????

??

?∈≥≥≤+. , , 2, 2,

132N y x y x y x ……3分，它的所有可行解为)2 , 2(、)3 , 2(、)4 , 2(、)5 , 2(、)2 , 3(、)3 , 3(、)4 , 3(、)5 , 3(、)2 , 4(、)3 , 4(、)4 , 4(、)2 , 5(、)3 , 5(、)4 , 5(、)2 , 6(、)3 , 6(、)2 , 7(、)3 , 7(、)2 , 8(、)2 , 9(……6分．

⑵处理框①中的语句是i i y x z 200150+=……8分，判断框②中的语句是n i <或20

12分．

⒙⑴连接BD ，在ABD ?中，由余弦定理得3=

BD ……1分，由勾股定理逆定理得

090=∠ADB ，BD AD ⊥，又因为ABCD AA 底面⊥1，BD AA ⊥1，A AD AA = 1，

所以D D AA BD 11平面⊥……2分，因为C C BB D D AA 1111//平面平面，所以FG AE //，同理EF AG //，所以AEFG 是平行四边形……3分，所以EF AG =，

2222)(BE CF BC DG AD -+=+，所以BE BE CF DG ==-=1……4分，连接

EG ，因为BE DG //，所以B D G E 是平行四边形，BD GE //，因为

D D AA BD 11平面⊥……5分，所以C C BB G

E 11平面⊥，AEFG GE 平面?，所以C C BB AEFG 11平面平面⊥……6分．

⑵连接CE ，因为2=CF 、EF BE BC CE ==+=

222，222EF CE CF +=，所

以EF CE ⊥……7分，因为C C BB AEFG 11⊥平面，EF C C BB AEFG =11 平面，

C C BB CE 11平面?，所以AEFG CE 平面⊥……8分，连接EG ，则EG CE ⊥，CGE

∠是CG 与平面AEFG 所成的角……9分，因为522=+=DG CD CG ，所以

5

2

s in =

=

∠CG CE CGE ……10分． ⑶四边形AEFG 在对角面B D BB 11内的正投影为平行四边形，且点A 的正投影为点D ……11分，所以底面积3=?=GE DG S ……12分，高1==BC h ……14分，所以棱

锥的体积3

331==

Sh V ……14分． 方法二：⑴连接BD ，在ABD ?中，由余弦定理得3=

BD ……1分，由勾股定理逆定理

得0

90=∠ADB ，BD AD ⊥，又因为ABCD AA 底面⊥1，所以以D 为坐标原点，DA 、

DB 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系xyz D -……2分，则

)0 , 0 , 1(A 、)1 , 3 , 0(E 、)2 , 3 , 1(-F ……3分，设平面AEFG 的一个法向量为

) , , (1c b a n =，则?????=?=?0011EF n AE n ，???=+-=++-0

03c a c b a …4分，取1=a 得)1 , 0 , 1(1=n …5分，平面C C BB 11的一个法向量为)0 , 1 , 0(2=n ，因为0 21=?n n ，所以

C C BB AEFG 11⊥平面……6分．

⑵设) , 0 , 0(d G ，因为C C BB D D AA 1111//平面平面，所以FG AE //，同理EF AG //，

所以AEFG 是平行四边形……7分，所以 EF AG =，即)1 , 0 , 1() , 0 , 1(-=-d ，解得

1=d ……8分，又)0 , 3 , 1(-C ，所以)1 , 3 , 1( --=GC ……9分，设CG 与平面AEFG 所成角为θ，则5

2|

|||| || , cos |sin 111=

??=

><=GC n GC n GC n θ……10分．

⒚⑴解???==--+0

016622y y y x 得)0 , 4(1-F 、)0 , 4(2F ……2分，

解???==--+0

016622x y y x 得)8 , 0(B ……4分，所以4=c ，8=b ，

542

2

=+=b a a ……6分，所以椭圆G 的方程是164

802

2=+

y x ……7分． ⑵根据椭圆的对称性，设外切正方形一边的方程为：b x y +=……9分，由??

???+==+

b x y y x 164

802

2得032051092

2=-++b bx x ……10分，由0)3205(94)10(2

2

=-??-=?b b (11)

分，解得12±=b ……12分，正方形四边所在直线为12±=x y ，12±-=x y ……14分．

⒛⑴1=a 时，?????<-≥-=-=.

1,,

1,|1|)(2

2

x x x x x x x x x f ……1分，在点))1( , 1(--f P 附近，

2)(x x x f -=，x x f 21)(/-=……2分，所以)2 , 1(--P ，3)1(/=-=f k ……3分，

所求切线方程为)1(32+=+x y ，即013=+-y x ……4分． ⑵12)(+

0=x 时，(＊)等价于10<，对任意R a ∈恒成立……5分． 20<

<-，即x

x a x x 1

212++<<--……6分，412≥+

+x x ，等号当且仅当1=x 时成立…7分，01

1)12(2/>+=--x

x x ，x x y 12-

-=在20<

1

<≤-a …9分． 0

>-，即x x a 12++>或x

x a 1

2--<……10分，022)]1

()[(212=-≤-+--=+

+x

x x x ，等号当且仅当1=-x 即1-=x 时成立 (11)

分，所以0>a ……12分，x x y 12--=在0

x a 1

2--<恒成立的a 的解集为空集φ……13分．

所以，常数a 的取值范围为{}{}40|0|421|<<=>?

??

???<≤-a a a a a a R …14分．

21．⑴31-=a ，3)21(3212-=-+=

a a ……1分，2)22(3

2

23-=-+=a a ……2分． ⑵设βα++=n a b n n ，α、R ∈β是常数……3分，代入得

2)(32)1(1-+--=-+-+n n b n b n n βαβα，解???

???

?

--=--+-=-2

3213

2ββααα……4分， 得??

?=-=15

3βα，即153+-=n a b n n ，n n b b 32

1=+……5分．

若12-≠λ，则{}n b 是首项为0121≠+=λb 、公比为3

2

=

q 的等比数列……6分，所以{}n b 的前n 项和])3

2

(1)[12(31)1(1n n n q q b T -+=--=

λ……7分，数列{}153-n 的前n 项和为

2

)

273(2)153()153(-=

?-+-n n n n ， 所以2

)

273(])3

2

(1)[12(3-+

-+=n n S n

n λ……8分． 若12-=λ，则0=n b ，153-=n a n ，2)

273(-=

n n S n ……5.9分． 综上所述，R ∈?λ，2

)

273(])3

2(1)[12(3-+-+=n n S n

n λ……10分．

⑶)]153()2

3

()12[()32(153)

3

2)(12(111

-++=-++=---n n a n n n n λλ……11分，

λ=1a ，)23(322-=

λa ，)23(943-=λa ，)8

15

(2784+=λa ……12分， 当5≥n 时0>n a ……13分， 所以，当23>

λ时，*

∈?N n 有0>n a ，{}n S 的最小项是1S ；当2

3=λ时，{}n S 的

最小项是1S 、2S 和3S ；当23815<<-

λ时，{}n S 的最小项是3S ；当8

15

-=λ时，{}n S 的最小项是3S 和4S ；当8

15

12-

<<-λ时，{}n S 的最小项是4S ……14分．

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