线性代数习题 [第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义

1． 计算三阶行列式123

456789

。

2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。

3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0

004

0030

02001000

4 D

⑵0

000

0000052514241323125

2423222115

141312115a a a a a a a a a a a a a a a a D =

⑶0

001

0000

2000

010 n n D n -=

4． 利用行列式的定义计算2101

11()0

211

11x

x x f x x x -=中34,x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质

1． 计算下列各行列式的值：

⑴2141

0121

12025062

-

⑵ef

cf bf de cd bd ae

ac ab ---

⑶22

2222

2222

2222

22)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D

21

222

2111211

=中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=， 证明：当n 是奇数时，D=0.

3． 计算下列n 阶行列式的值：

⑴x

a a a

x a a

a x D n =

⑵n n a a a D +++=1

1111111121

()120n a a a ≠

习题1—3 行列式按行（列）展开

1． 已知ij A 是行列式1

22305403

--的元素ij a （3,2,1,=j i ）的代数余子式，求323127A A +的

值。

2． 按第三列展开下列行列式，并计算其值：0

11

111

110

101

d c b a ------

3． 计算下列n 阶行列式的值 ⑴a

a a a D n 0010

000

001

00 =

⑵x

y y

x y x y x

D n 000000000

000 =

4． 试用数学归纳法证明：

n n n n n n n n a x a x a x a x a a a a x x x D ++++=+---=----111122

110

00001

0000

1

习题1—4 克拉默法则

1． 用克拉默法则解下列方程组：

⑴?????=+-=+--=-+4

452227253

2z y x z y x z y x

⑵?????

??-=++-=+-+=---=-++8

23242238

3226232t z y x t z y x t z y x t z y x

2． 判断齐次线性方程组??

???=-+=+-=-+028*******z y x z y x z y x 是否仅有零解？

3． 问λ取何值时，齐次线性方程组??

???=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(z y x z y x z y x λλλ有非零解？

4． λ取何值时，齐次线性方程组??

???=+-=-+=-+0200z y x z y x z y x λλ仅有零解？