函数与零点
函数与方程（1）
【学习目标】
1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．
【学习重点】函数零点存在性的判断．
【学习难点】数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．
例1 函数y ＝f (x )(x ∈[－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x )的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0的解集．
例2 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？
231x x x ++3例：求证：函数f()=在区间(-2,-1)上存在零点。
五．课堂巩固：
（1）函数f (x )＝2x 2－5x ＋2的零点是_______ ．
（2）若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是___________； （3）二次函数y ＝2x 2＋px ＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ；
函数与方程（2）
【学习目标】
1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识． 【学习重点】函数零点与方程根的关系及零点存在的判定． 【学习难点】函数零点存在性的判定． 【学习过程】 一．复习回顾： 1.函数的零点
(1)函数y ＝f(x)的__________与________________称为这个函数的零点． (2)函数y ＝f(x)的零点，就是方程__________的解． 思考：
1.函数y ＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？
提示：“零点”并不是“点”，而是一个“实数”，是f(x)图像与x 轴交点的横坐标 练习：
1.函数y ＝x 的零点是
2．函数2
(x)x 2f x =-的零点个数是 2．函数零点的判定
如果函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号________，即______________，则(a ，b)内，函数y ＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a ，b)内至少有一个实数解．
思考：若函数y ＝f(x)在[a ，b]上有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
练习：已知函数3
(x)x 1f x =--仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( ) A ．(3,4)
B ．(2,3)
C ．(1,2)
D ．(0,1)
二．例题精讲： 题型一 求函数的零点
例1：下列函数是否存在零点？若存在，求出其零点；若不存在，说明理由． (1)y ＝ax ＋2(a ≠0)；
(2) 2y 441(x 0)x x =++>； (3)y ＝ln x －1.
例2： 观察下表，分析函数5()361f x x x =+-在定义域内是否存在零点？
－1
题型二 零点个数的判断
例3：函数223,0
()2ln ,0x x x f x x x ?+-≤=?-+>?
的零点个数为
例4：已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有
4个零点，则实数a 的取值范围是 ．
备用题：已知函数|ln |)(x x f =，???>--≤<=1
,2|4|1
0,0)(2
x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数 为 ．
【方法小结】 判断函数零点个数的方法主要有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断． (2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点 三．课堂巩固：
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在,请求出．
(1)2
(x)8x 71f x =-++； (2)3
(x)1log f x =+； (3)f(x)＝4x －16. 2．已知函数f(x)＝x ＋1
x －3，则f(x)＝0在区间(1,3)内( )
A ．恰有一个解
B ．恰有两个解
C ．至少有一个解
D ．无解
一元二次方程根的分布（一）
【学习目标】
1.使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理；
2.加强求解二次不等式及不等式组，初步训练学 生的数形结合能力． 【课前预习】
1. 方程2
20x x a +-=在R 上有解，则实数a 的取值范围是 ．
2. 方程20x ax a ++=有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是 ．
3. 函数2()(1)2f x ax a x =+-+有零点，则实数a 的取值范围是 ． 归纳：一元二次方程实根的分布问题：已知含参二次方程实根所在区间，求参数的取值范围。 1、若二次方程的实根所在区间仅以零为界点，通常用根与系数的关系求解。
【例题精讲】
例1.（1）关于x 的方程2
0x ax a ++=的一根为正，一根为负，求实数a 的
取值范围；
(2) 关于x 的方程2
0x ax a ++=有两正根，求实数a 的取值范围是；
(3) 关于x 的方程2
0x ax a ++=有两负根，求实数a 的取值范围是．
变题：
（1）关于x 的方程2
10ax ax ++=的一根为正，一根为负，则实数a 的取值范围是 ．
（2）关于x 的方程2
0x ax a ++=有两个非负根，则实数a 的取值范围是 ． 例2．关于x 的方程2
2210()x mx m m R +++=∈ （1）若方程有两根，一根在（-1,0），另一根在（1,2），求实数m 的取值
范围；
（2）若方程有两根，一根大于1，一根小于1，
求实数m 的取值范围．
变题：若关于x 的方程
2(32)220()mx m x m m R +-+-=∈有一个不小于
2-的负根，一个不大于3的正根，求实数m 的取值范围．
例3 . 关于x 的方程2
2210()x mx m m R +++=∈ 在区间(1,2)-有两根，求实数m 的取值范围．
变题：方程2
340ax x a ++=的根都小于1，
求实数a 的范围．
【课堂巩固】
1．方程2240x ax -+=的两根一个大于2，另一个小于1，求实数a 的范围．
2．方程2210x ax -+=的一根大于1，一根小于1，求实数a 的取值范围．
3．方程2
340ax x a ++=的根都小于1，求实数a 的范围． 4．已知方程2240x ax -+=的两根均大于1，求实数a 的范围．
一元二次方程根的分布（二）
【学习目标】
1.学会解决方程在给定区间上有解的问题；
2.体会数形结合思想在数学解题中的运用． 【学习重、难点】
方程在给定区间上有解的问题 【学习过程】 一．复习回顾：
1.方程2
(1)20x m x m +++=的两根都在区间()1,1-内，求实数m 的取值范围．
2. 方程2
(1)30x a x a -++-=的两根满足，一根小于0，另一根大于2，求实数a 的取值范围．
二．例题精讲：
例1.已知函数f （x ）=mx 2+（m －3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.
变题：关于x 的方程4210x x
a a +?++=有实根，求实数a 的取值范围．
例 2. 关于x 的方程2
(1)20x m x m +++=的在区间()1,1-内至少有一个根，求实数m 的取值范围．
变题：方程2
(1)20x m x m +++=的在区间()1,1-内恰有一个根，求实数m 的取值范围．
三．课堂巩固：
1．已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．
2．已知方程2
4(1)0x a x a +-+=有小于2-的根，求实数a 的取值范围．
一元二次方程根的分布（三）
【学习目标】
1、熟练掌握一元二次方程根的分布问题；
2、一元二次方程根的分布问题的运用。
【学习过程】
一．复习回顾：
1. 关于x 的方程2240x ax -+=的两根一个在(0,1)内，一个在（6,8）内，
求实数a 的范围．
2. 关于x 的方程022
=++ax x 在(),1-∞-上有解，求实数a 的范围．
3. 关于x 的方程2
20x ax ++=的两根均不大于-1，求实数a 的范围． 二．例题精讲：
例1.设{}{}22|20,|40P x x x Q x x x a =-->=++<
（1）若P Q R = ,求实数a 的范围; （2）若P Q =? ,求实数a 的范围。 变题：若P Q Q = ,求实数a 的范围。
例2.若函数2
()2f x x mx =++的图像与函数[]()10,2g x x x =+∈的图像有公
共点，
求实数m 的取值范围． 变题：设{}2(,)|2A x y y x mx ==++，
[]{}(,)|1,0,2B x y y x x ==+∈，
若A B ≠? ,求实数m 的取值范围．
例3.设函数2
()3f x x mx m =++，若()0f x <对任意(1,3)x ∈-恒成立，求实数
m 的取值范围．
变题：若()0f x >对任意(1,3)m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围． 三．课堂巩固：
1.设
[]{}2
1,4|220x x ax a ?-++≤，求实数a 的取值范围。 2.已知集合{}
{}2
220,,A x x ax a B s t =-++==,若A B =,且(),1,4s t ∈，求实数a
的取值范围。
3.设{}2
|4260A x x mx m =-++=，
[]{}2|,1,2B x x t t ==∈-，若A B ≠? ,
求实数m 的取值范围．
第三课时用二分法求方程近似解
一、教学目标
1．知识与技能
（1）理解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用
二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备．2．过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识．
3．情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使
学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质．
二、教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤．
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)? 三、学法与教学用具
1．想－想．
2．教学用具：计算器．
四、教学设想
一、问题情景
1. 在
2.
3.1节中,我们利用对数求方程0.84x=0.5的近似解
问题1.能否用图象求出0.84x=0.5的近似解?这样做是否精确？
问题2.利用什么方法可求出方程lgx=3-x的近似解?
2. 从简单问题开始:
求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解.
问题3. 方程根的判别式是什么数?能否画一个图象,由图象估计这个解?
(1) 让学生估计解的范围,看看 能否缩小范围；
(2) 计算f(
23
2+) 的结果； (3) 计算f(2
2
5.2+) 的结果；
……
这样可以一直做下去,但若给一个精确度 (1) 精确度为0.1,近似解为多少? (2)精确度为0.01,近似解为多少? …… 三、建构数学
1.求方程近似解的方法----二分法.
运用二分法的前提是-------要判断某根所在的区间 缩小零点所在的范围的方法是----取中点
2.求方程近似解的步骤: （1）确定区间[a,b],验正f(a)f(b)<0,
（2）求区间（a ，b ）的中点x 1 ；（3）计算f （x 1）；①若f （x 1）=0，则x 1②若f （a ）f （x 1）<0,③若f （x 1）f(b)<0,（4）判断是否达到精确度ε，即区间端点近似值相等， 则得到零点的近似值；否则重复（2）~（4）．
四、数学应用 1． 例题
例1 利用计算器，求方程lgx=3-x 的近似解（精确到0.1）.
【解】分别画函数lg y x =和3y x =-的图象， 在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此， 这个点的横坐标就是方程x x -=3lg 的解． 由函数lg y x =与3y x =-的图象可以发现， 方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个 解在区间(2,3)内. 设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得
1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>?∈ 1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>?∈
1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>?∈ 1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>?∈
听课随笔
(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ?∈(2.5625,2.625) 因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6， 所以此方程的近似解为：1 2.6x ≈.
五、课堂练习
（1）试判断方程x 3+3x-1=0在区间（0，1）内是否有解． （2）作出函数y=x 3与y=3x-1的图象，并写出方程 x 3=3x-1的近似解（精确到0.1）.
(3)求方程2x +x=4的近似解（精确到0.1）.
(4)分别就a=2,a=4
5和a=2
1画出函数y=a x ,y=log a x 的图象,并求方程a x =log a x 的解的个数.
六、回顾反思
(1) 用二分法求方程近似解的方法与步骤
(2)思考题:当01a <<时,方程x a a x log =的解只有一个吗? 六、作业
P 81 2、4、5、6
七、教学反思：本节学生基本理解解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；能体会程序化解决问题的思想，这为算法的学习作了准备．