月球软着陆的一种燃耗次优制导方法_王大轶
第21卷第4期宇航学报Vol121No14 2000年10月JOURNAL OF ASTRONAUTICS Oct12000月球软着陆的一种燃耗次优
制导方法*
王大轶李铁寿严辉
(北京控制工程研究所#北京#100080)
马兴瑞
(中国航天科技集团公司#北京#100830)
摘要文中的软着陆过程从一条环月停泊轨道开始。一旦选定着陆点,则通过$V变轨转入一条椭圆轨道。当到达近月点时,着陆制动发动机点火,开始动力下降阶段。参考运载火箭制导过程的分析方法,假设月球为一均匀引力场,以燃耗最优性为出发点,提出了一种用于软着陆动力下降过程的显式制导律。其显式表达式是剩余时间的函数。它不必进行迭代计算,是一种易于实现的次优闭环制导方法。
主题词月球软着陆燃耗最优性制导
A SUB-OPTIMAL FUEL GUIDANCE LAW
FOR LUNAR SOFT LANDING
Wang Dayi Li Tieshou Yan Hui
(Beijing Insti tute of Control Engineering#Beijing#100080)
M a Xingrui
(China Aerospace Science Corporation#Beijing#100830)
Abstract T he lunar soft landing in this paper begins from a circular lunar par king orbit.Once t he landing area has been selected,and it is time to de-or bit for landing,a$V burn is performed to establish an elliptical orbit.At perilune t he landing thruster is ignited,and a propulsive landing i s per-formed.Similar to the guidance of launch vehicles,a uniform gravit y field on lunar surface is as-sumed.An explicit guidance law for pow er ed descending phase is proposed to minimize the fuel con-sumption.T he law is a function of the time-to-go.Iterative calculation is not needed.I t is an ex plicit easily mechanized sub-optimal guidance law.
Key words Lunar soft landing F uel opt imality Guidance
收稿日期:1999年12月1日,修回日期:2000年8月15日
*国家自然科学基金资助项目(19782004)
1 引言在月球表面实施软着陆是一项关键性的技术[1][2]。月球软着陆的制导方法可包括标称轨道法和显式制导法。Apollo 11在月面着陆时用的是前一种制导方法[3]
。而显式制导法是根据着陆器的现时可测运动参数,按控制泛函的显式表达式进行实时计算的制导方法。在大干扰情况下标称轨道法应用起来会很困难,此外在软着陆时一般需要实时测定着陆器的速度和位置。在这些情况下,显式制导具有较大的优越性。
近来有一些关于显式制导问题的研究[4][5][6][7],但是这些研究大都限于理论分析,并不适合用来解决实际问题。本文提出的燃耗次优制导方法以推力方向角为控制量,它是应用最优控制理论,通过解燃耗最优问题得出的。其显式表达式是剩余时间的函数,而给出的剩余时间表达式只与着陆器运动参数和终端约束有关。它不必进行迭代计算,是一种易于实现的次优闭环实时制导方法。
2 任务概貌
软着陆过程的任务概貌如图1所示。图中软着陆任务由轨道器和着陆器共同完成,着陆器由轨道器送入一条高度为100km 的环月圆轨道,在此轨道上,着陆器与轨道器分离。然后,着陆器调整姿态准备开始软着陆。
按经环月轨道的着陆方式,软着陆可分为如下三个阶段[6](如图2):霍曼转移段,根据预先选定的着陆位置,着陆器在环月轨道上进行变轨,转入一条椭圆轨道;动力下降段,在近月点,制动火箭点火工作用以抵消着陆器的初始速度,所带燃料的大部分将用于此阶段;垂直下降段,在着陆器水平速度降为零后,调整姿态使其保持垂直向下软着陆到月面。本文中所指的软着陆就是假定按这种方式进行从霍曼变轨近月点开始的过程,研究
用于动力下降段的制导控制方法。图1 软着陆任务剖面图
图2 软着陆阶段示意图
3 软着陆动力学方程
设O I x I y I z I 为原点在月心的惯性坐标系(图3),O I x I 轴指向动力下降起始点,O I y I 轴指向着陆点方向,O I z I 轴按右手系确定。着陆器在空间中的位置可由直角坐标(x I ,y I ,z I )来表示,或者由(r ,A ,B )表示成球坐标的形式,r 为从月心到着陆器的距离。56
宇航学报第21卷
O N G F 为原点在着陆器的轨道坐标系,O N 轴与从月心到着陆器的矢径方向重合,O G 轴垂直于O N 轴指向运动方向,O F 轴按右手系确定。制动推力F 的方向与着陆器本体轴重合,W 、<为在轨道坐标系中表示的推力方向角。文中的制动发动机采用常推力液体发动机。忽略月球的自转。下面列写软着陆质心动力学方程:
&r -(?A sin B )2r -?B 2r =F cos W /m -L /r 2
2?B ?r +&B r -?A 2r cos B sin B =F sin W cos
2?A ?r sin B +&A r sin B +2?A ?B r cos B =F sin W sin
m (1)
式中,L 为月球引力常数,m 为着陆器质量。用u ,v ,w ,分别代表轨道坐标系中的速度分量,化简方程(1)得:
?
r =u ?
B =v /r ?
A =w /(r sin
B )?u =F cos W /m -L /r 2+(v 2+w 2)/r
?v =F sin W cos
?w =F sin W cos
?m =-F /
C
(2)
其中,C =I sp g E ,I sp 为发动机的比推力,g E
为地球重力加速度常数。图3 软着陆坐标系
57第4期王大轶等:月球软着陆的一种燃耗次优制导方法
4显式制导控制方法
本文提出的制导律中,制动发动机工作于全推力状态,所要求的制导控制量为两个推力方向角W、<的显式表达式。此时,燃耗最优问题就是时间最优问题。
411最优控制问题的描述
由公式(2)所示的软着陆动力学方程可以看出,软着陆制导控制系统是一个非线性系统。为求得显式制导律,有必要在一些合理的假设基础上对其进行简化处理。首先假定在软着陆过程中月球为一均匀引力场,引力加速度为常值。经简化的软着陆动力学方程用直角坐标表示为
&x I
&y I &z I =F
m
cos W
sin W cos<
sin W sin<
-
g x
(3)
其中,g x表示假设为常值的月球引力加速度。引进状态矢量X=[x1x2x3x4x5x6]T= [x I?x I y I?y I z I?z I]T,为讨论状态反馈控制,以着陆过程任一瞬时点状态为初值X0,着陆目标点状态为终值X f,将方程(3)用定义于时间间隔[0,t go]上的状态方程表示
?x=f(x,u^,t)(4)
其中,t go表示剩余时间,u^=[W<]T表示控制量,
F m =
C
S-t,S=
m0C
F
(5)
表示在剩余着陆段中(t I[0,t go]),制动推力产生的加速度估算值。m0为t=0时的质量,它是时变参数,可根据着陆初始质量通过估值得出。将剩余段引力加速度的平均值表示为当前引力加速度
g x=1
2
[g x0+g xf](6)
式中g x0表示着陆瞬时点引力加速度,g x f表示着陆目标点引力加速度。定义如下性能指标
J=Q t go0dt(7)这样,由公式(4)、(7)、初值X0、终值X f组成了一个定义在时间间隔[0,t go]上的最优控制问题,求解这个最优控制问题,就是寻找一组容许控制(W,<)能在最短时间t go内将着陆器由初值转移到终值,与之相应的状态方程的解X就是着陆器由瞬时点至目标点的最优着陆轨迹。
根据最优控制理论中的极大值原理,首先引入哈密顿函数
H=K T f(x,u^,t)+1(8) 58宇航学报第21卷
K =[K 1K 2K 3K 4K 5K 6]
T 是拉格朗日乘子。伴随方程及横截条件?K =-5H /5X
(9)D x i (t go )K i =0 i =1,,,6
(10)极值条件为
[5H 5W 5H 5<
]T =0(11)根据系统初始和终端条件,通过解如上的微分方程和代数方程,式(4),
(8),(9),
(10),(11),可求得最优控制量(W ,<)。412 最优控制问题的解
将着陆器的空间运动分解为纵向运动和横向运动的组合[8],软着陆方程(3)可改写为&x I &y I &z I =F m (F/m )cos W (F /m )W cos <(F /m )W sin <
-g x
0(12)式中,(F /m )W =(F /m )sin W 。由极值条件(11)可得控制变量(W ,<)的表达式
tan
(W )=K 4cos <+K 6sin <
K 2
tan (<)=
K 6
K 4(13)由伴随方程(9)得
K 2
=K 20-K 10t
K 4=K 40-K 30t
K 6=K 60-K 50t
式中K i 0(i =1,,,6)为积分常数。可见推力方向角的表达式(13)依赖于积分常值K i 0的确定,这是关于拉格朗日乘子的隐式表达式,一般需要解一个两点边值问题通过迭代计算求得。下面对着陆终端值X f 进行分类讨论,以获得控制角(W ,<)的显式表达式。
(1)无位置约束。此时,状态变量x 1,x 3,x 5的终端值为不确定,由横截条件
(10)可得K 10=K 30=K 50=0,则式(13)成为
59
第4期王大轶等:月球软着陆的一种燃耗次优制导方法
W =tan -1(
K 40cos <+K 60sin <)K 20<=tan -1(K 60K 40
)上式表明,如果只要求着陆器满足终端速度约束,那么最优控制角是一组瞬时常值。记为
[W<]T =[^W ^<]T
在时间间隔[0,t go ]上,根据初值X 0、终值x if (i =2,4,6)对式(12)进行一次积分,可得最优控制角
^
W =cos -1(x 2f -x 20+g x t go CD )^<=tan -1(
x 6f -x 60x 4f -x 40
)(14)式中,D =ln (S /(S -t go ))。
(2)有位置约束。软着陆过程中,制动推力主要用于抵消着陆器的初始速度。用来满足终端速度要求的控制角(^W ,^<)是控制角(W ,<)的主要部分,而为满足终端位置要求所形成的控制角仅是其中的小量。假设,将此时的控制角表示为[8]
W =^W -k 1+k 2t
<=^<-l 1+l 2
t
(15)把(k 2t -k 1)和(l 2t -l 1)视作小量,对cos W ,sin <,cos <进行一阶泰勒展开,得
cos W =cos ^W +k 1sin ^W -k 2t sin ^W
sin <=sin ^<-l 1cos ^<+l 2t cos ^<
cos <=cos ^<+l 1sin ^<-l 2t sin ^<
(16)将式(16)代入(12)式,在时间间隔[0,t go ]上,根据初值X 0、终值X f ,对其进行一次、二次积分,可得k 1,k 2,l 1,l 2的计算公式
k 2=CD(C (Dt go +E )cos ^W -(x 1f -x 10)+x 20t go -g x t 2go /2)C 2t go (E +t go D /2)sin ^W
k 1=
-k 2E D (17)
=
-C W D(C W (Dt go +E )sin ^<-(x 5f -x 50)+x 60t go )C 2W t go (E +t go D/2)cos ^<=-l 2E
D (18)
60宇航学报第21卷
式中,E =t go -S D,C W =C sin W 。
在燃耗最优的条件下,制动推力主要用来抵消着陆器的水平初始速度,由此,剩余时间的表达式为
t go =(x 4f -x 40)2+(x 6f -x 60)2/a FH (19)
其中,a FH 表示制动推力加速度在水平面上的分量,它可由惯性测量单元(IMU )实时测得。
413 几点说明
这样,由公式(14),(15),(17),(18),(19)组成了月球软着陆显式制导控制律,对此制导律作如下几点说明:
(1)这种显式制导律的推导是建立在月球均匀引力场的假设基础上,这个假设条件带来的制导误差会随着着陆器接近终端位置而逐渐减小。
(2)在图1所示的软着陆任务中,着陆器是由轨道器送入停泊轨道,着陆器和轨道器均配有独立的推进系统,因此软着陆初始质量等于着陆器原始质量减去100@15km 霍曼变轨消耗的燃料质量。
(3)由剩余时间的计算公式(19)可以看出,它要求着陆器在水平方向作匀减速运动,这符合燃耗最优控制的实际情况。公式(19)其实是剩余时间的估算公式,当着陆器到达终端位置时,由公式(19)估算出的剩余时间收敛为零。
(4)由公式(17),(18)可见,我们没有给出指定着陆目标点纵向位置的l 1和l 2公式。这是由于如果指定着陆的纵向位置,会出现为引导着陆器在最短时间内到达目标而指向月面飞行,这不符和软着陆的实际情况。另外,在燃耗最优着陆的情况下,如只控制推力方向而不改变推力大小,是不能同时满足三个终端位置约束的。
(5)这种显式制导律需要当前时刻位置、速度、推力加速度的信息,这些量都可由惯性测量单元、雷达高度表和多普勒雷达等实时测得。
5 仿真结果
软着陆初始条件由霍曼转移轨道100@15km 的近月点给出。假设月球为一规则球体,其半径R m =1738km ,引力常数L =4902175km 3/s 2。给出如下软着陆边值条件:r 0=1753km,r f =1740km;u 0=0,u f =-115m/s;B 0=0;v 0=11692km /s,v f =0;A 0=0,(r f sin B f )A f =1200m;w 0=0,w f =0。制动发动机推力F =1500N,比冲I sp =
300s 。着陆器初始质量m 0=600kg 。
实现最小燃耗软着陆是对制导控制系统的一个基本要求。将本文给出的显式制导着陆曲线与文献[2]中给出的燃耗最优着陆曲线作一比较,它需要解两点边值问题,通过迭代计算求得。仿真结果如图4所示。图4-a,b 为空间中软着陆过程曲线,图4-c,d,e 为径向、纵向和横向速度曲线。从高度-纵向位置曲线图4-a 和径向速度曲线图4-c 可以看出,采用显式制导的着陆曲线比较/平滑0,而燃耗最优曲线/起伏0比较大,如果着陆过程的/起伏0较大,则势必会增加着陆器的加速度负载,而且也会增大姿控系统的工作难度,因此采用这种显式制导方法可改善着陆过程的动态特性。从纵向速度曲线图4-d 可以61第4期王大轶等:月球软着陆的一种燃耗次优制导方法
62宇航学报第21卷
看出,两种曲线基本重合,说明文中提出的剩余时间估算式(19)符合燃耗最优软着陆的实际情况。图4-f的推力方向角W曲线表明着陆器的最终姿态并不理想,因此在垂直下降段开始后要尽快将其姿态调整为垂直向下。图4-h为着陆时间曲线,由式(19)估算的着陆时间随着着陆器到达终端位置而收敛到最优着陆时间。图中最优着陆时间是53814s,而显式制导的着陆时间比它大约多113s,因此,应用显式制导控制律可得到一条次最优着陆轨迹。
6结论
本文提出了一种用于月球软着陆动力下降过程的燃耗次优制导方法。这种制导方法是基于燃耗最优控制得出的显式制导律,可实现燃耗次最优着陆。从仿真结果可以看到,应用该制导律的软着陆过程,动态特性要优于软着陆问题的燃耗最优解,特别这是一个实时闭环制导过程。它无须迭代计算且测量简单,是一种具有一定应用价值的软着陆制导方法。
(实线表示显式制导曲线,虚线为最优着陆曲线)
图4 显式制导方法软着陆曲线
参
考文献1 Ni shio Y,Nam ura E,Itagaki H,et al.Outline of the Experimental Lunar Lander in SELENE Project.Advances i n the As -
tronautical S ciences,1997,96:307-3132 W ang DY,Li TS,M a XR,et al.Neuro -optimal guidance control for Lunar Soft Landing.Journal of Systems Engineeri ng
and Electronics,1999,10(3):22-31
3 Bennett FV.Lunar Descent and Ascent Trajectories.Proc.of AIAA 8th Aerospace Sciences M eeting,USA,1970,AIAA -
70-25
4 T uckness DG.Future Lunar Landi ng Navigation S chemes,w ith Emphasis on Precision Landi ngs.Navigation,1994,41
(2):215-228
5 D .Souza CN.An Optimal Guidance Law for Planetary Landing.Proc.of AIAA GNC Conference,USA,1997,AIAA -
97-3709
6 U eno S,Yamaguchi Y.Near -M inimum Fuel Guidance Law of a Lunar Landi ng M odule.Proc.of 14th IFAC Symposium
on Automatic Control in Aerospace,Seoul,1998:377-382
7 Finzi AE.Automatic Opti mum M oon -Landi ng.Proc.of 48th Int.Astronautical Congress,Italy,1997,IAF -97-A.7.058 韩祝斋.用于大型运载火箭的迭代制导方法.宇航学报,1983,(1):9-2063
第4期王大轶等:月球软着陆的一种燃耗次优制导方法