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不定积分

不定积分
不定积分

一、不定积分的解题技巧

引例:不定积分∫(1-x)cos2xdx

∫(1-x)cos2xdx

=∫cos2xdx-∫xcos2xdx

=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x

=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x

=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x

=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C

∫(1-x)cos2xdx

求导行:1-x -1 0

积分行:cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x

所以:∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C

注:分步积分的时候,∫a*bdx

哪个放到d后面去(那个先反过来求导)?

这里遵循一个原则:对,反,幂,三,指。越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数,cosx是三角函数。

所以,要这样化∫x^2dsinx

而不是1/3∫cosxdx^3

引例2:∫1/(1 x^4)dx 原式=1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)

=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)

=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>

如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.

第二,对于有独特的因子你要留意.

定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元

再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现

方法与技巧

一、换元法

1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。

例1.求下列不定积分:

(1)∫arcsinxx(1-x)dx(2)∫x 1x(1 xex)dx

解:(1)分析:由于darcsinx=12x(1-x)dx,

故可如下凑微分∫arcsinxx(1-x)dx=2∫arcsinxd(arcsinx)=arcsin2x C

(2)由于d(xex)=ex(x 1)dx,

故可用如下解法:∫x 1x(1 xex)dx=∫ex(x 1)xex(1 xex)dx=∫dxexxex(1 xex)=∫1xex-11 xexd(xex)= lnxex1 xex C

2.拆(添)项将被积函数拆(添)项,把积分变为几个较简单的积分,是求不定积分常用的技巧之一。

例2.求下列不定积分:

(1)∫1sin3xcosxdx(2)∫dx(1 ex)2

解:(1)当分母是sinmxcosnx的形式时,常将分子1改写成 (sin2x cos2x),然后拆项进行积分。∫1sin3xcosxdx=∫sin2x cos2xsin3x cosxdx=∫1sinxcosxdx

∫cosxsin3xdx=∫d(2x)sin2x ∫d(sinx)sin3x=lncsc2x-cot2x-∫12sin2x C

(2)先给分子加一项减一项,再将积分拆项。∫dx(1 ex)2=∫1 ex-ex(1 ex)2dx=

∫dx(1 ex)-∫exdx(1 ex)2= ∫e-xe-x 1dx-∫d(ex 1)(1 ex)2=ln(e-x 1) 11 ex C

二、有理化将被积函数中的无理函数化为有理函数,是积分常用的手段之一。

有理化的方法常常是换元或利用三角恒等变换。

例3.求下列不定积分:(1)∫e2x4ex 1dx(2)∫1 sinxsinxdx

解:(1)∫e2x4ex 1dx=∫exd(ex 1)4ex 1?ex 1=u44∫(u6-u2)du= 4u77-u33 C=47(ex 1)74- 43(ex 1)34 C

(2)利用三角公式1 sinx=sinx2 cosx2可将被积函数有理化。

∫1 sinxsinxdx=∫sinx2 cosx22sinx2cosx2dx

= ∫dx2cosx2 ∫dx2sinx2

= lnsecx2tanx2 lncscx2-cotx2 C

三、方程法运用分部积分公式后,有时会出现如下的情况:

∫f(x)dx=g(x) K∫f(x)dx(K≠1)此时可把它看作关于∫f(x)dx的方程,解得:∫f(x)dx=11-Kg(x) C

例4.求∫sec3xdx

解:∫sec3xdx=se cxd(tanx)

= secxtanx-∫tan2xsecxdx

= secxtanx-∫(sec2x-1)secxdx

= secxtanx lnsecx tanx- ∫sec3dx

故:∫sec3xdx=12(secxtanx

lnsecx tanx) C

四、抵消法将原始积分拆项后,对其中一项用分部积分公式,以抵消另一项,或对拆开的两项各分部积分一次后,将未积出的部分抵消,这也是求不定积分时常用的技巧。

例5.求下列不定积分:(1)∫lnx-1(lnx)2dx(2)∫es inxxcos3x-sinxcos3xdx

解:(1)∫lnx-1(lnx)2dx=∫1lnx-∫dx(lnx)2=xlnx∫x?-1ln2x?1xdx-∫dx(lnx)2= xlnx ∫dx(lnx)2-∫dx(lnx)2=xlnx C

(2)∫esinxxcos3x-sinxcos2xdx= ∫esinx?x?cosxdx-∫esinxsinxcos2xdx=

∫xdesinx-∫esinx-∫esinxd1cosx=xesinx- ∫esinxdx-esinxcosx ∫1cosx? esinx?cosxdx=xesinx-esinxcosx C

五、其他方法1.递推法运用分部积分法,可建立In关于下标的递推公式。由此递推公式,就把计算In归结为计算In-1,依此类推,最后归结为计算I1,I0。

例6.求∫dx(x2 1)3

解:令In=∫dx(x2 1)n因为In-1=∫dx(x2 1)n-1=x(x2 1)n-1- ∫x?(1-n)?2x(x2 1)ndx=x(x2 1)n-1 2(n-1)∫(x2 1)-1(x2 1)ndx= x(x2 1)n-1 2(n-1)?

In-1-2(n-1)?In

所以In=x2(n-1)?(x2 1)n-1 2n-32(n-1)In-1 (n=2,3,…)

又I1=∫dx1 x2=arctanx C 从而∫dx(x2 1)3=I3=x4(x2 1)2 34I2=x4(x2 1)2 34x2(x2 1) 12I1=x4(x2 1)2 3x8(x2 1) 38arctanx C

2.待定系数法这里所说的待定系数法,是指在求不定积分时,若预知结果的形式, 只是其中含有待定的常数时,可用求导的方法确定这些常数,进而求出积分。例7.计算下列

积分(1)∫sinx 8cosx2sinx 3cosxdx(2)∫x3e2xdx解:由于(2sinx

3cosx)′=2cosx-3sinx

故可假设sinx 8cosx=A(2sinx 3cosx) B(2cosx-3sinx)

这里A,B为待定系数,比较两端sinx及cosx项的系数,

得:2A-3B=13A-2B=8,

故A=2,B=1则∫sinx 8cosx2sinx 3cosxdx=∫2 (2sinx 3cosx)′2sinx 3cosxdx=

2x ln2sinx 3cosx C

(2)对于型如∫ekx?Pn(x)dx的积分(其中Pn(x)为n次多项式),它的原函数也形如

ekx?Qn(x),这里的Qn(x)为某个n次待定多项式。

即有:∫ekx?Pn(x)dx=ekx?Qn(x) C

两端求导得:ekx?Pn(x)=kekx?Qn(x) ekx?Q′n(x)

即:Pn(x)=k?Qn(x) Q′n(x)

再比较多项式的系数,求出待定的系数,进而求出积分。

设∫x3e2xdx=(B0x3 B1x2 B2x B3)e2x C

则有:x3=2(B0x3 B1x2 B2x B3) (3B0x2 2B1x B2)

比较系数可得: 2B0=12B1 3B0=02B2 2B1=02B3 B2=0,

解得B0=12B1=-34B2=34B3=-38故∫x3e2xdx=12x3-34x2 34x-38e2x C

类似地,对于∫[Pn(x)coskx Qn(x)sinx]dx的类型(这里Pn(x),Qn(x)为n次多项式),

它的原函数类型也是很有规律的,即有∫[Pn(x)coskx Qn(x)sinx]dx=Sn(x)coskx

Tn(x)sinkx C

(这里Sn(x),Tn(x)是两个n次待定多项式);同样对于∫Pn(x)ax2 bx cdx型的积分,它的原函数类型也是已知的,即有:∫Pn(x)ax2 bx cdx=Qn-1(x)ax2 bx c

a?∫dxax2 bx c(这里Qn-1(x)是n-1次待定多项式,α为待定系数)。

它们均不需积分,只要经过一些求导及代数运算即可求出积分来。

3.伴侣法有些不定积分,单独考虑时较难积出,倘若构造出另一个不定积分作为伴侣,两个积分同时考虑,则可利用两积分相互之间的良好关联性质,简单地求出不定积分。这种利用“伴侣”求解的方法即所谓“伴侣法”。

例8.求下列不定积分(1)∫sinxdxasinx bcosx(2)∫dx1 x4

解:(1)本题可用待定系数法求解,这里介绍用“伴侣法”求解。令T1=∫sinxdxasinx bcosx,构造伴侣T2=∫cosxdxasinx bcosx,于是aT1 bT2=x C1aT2-bT1=lnasinx bcosx C2故得:T1=1a2 b2(ax-bln|asinx bcosx|) C(2)本题可用有理函数积分法求解,但计算繁琐。

令J1=∫dx1 x4,J2=∫x2dx1 x4则J1 J2=∫1 x21 x4dx=∫1 1x2x2

1x2dx=∫dx-1xx-1x2 2= 12arctan12x-1x C1J1-J2=∫1-x21 x4dx= -∫dx 1xx 1x2-2= -122lnx2-2x 1x2 2x 1 C2

所以J1=∫dx1 x4=122arctan12x-1x-142lnx2-2x 1x2 2x 1 C

求解一个数学问题,要用到若干有关的数学概念、定理、公式,但是怎样运用这些概念、定理和公式来解题,却有许多方法和技巧,尤其是有些高等数学问题要用很巧妙的方法或技巧才能解决,因此要学好高等数学就必须掌握一定的解题方法和技巧。

二、导数

引例:(x^2)*sinx的一百阶导数是多少

用“二项式”展开法,x^2的3阶以及3阶以上导数等于0. 所以(x^2)*sinx甭管是100阶还是10000阶求导。只有前几项不为0.

即得-x*x*cosx-200sinx*x 9900cosx

例1:f(x)在(-∞, ∞)上除X=0外有定义,且f(xy)=f(x) f(y),f'(1)=1,求f'(x).

用定义去做

附一些解题技巧与经验

单选题的基本解题方法

1.推演法:从题设条件出发,按惯常思维运用有关的概念、性质、定理等,经过直接的推理、演算,得出正确结论。适用对象:对于围绕基本概念设置的,或备选项为数值形式结果的或某种运算律形式或条件为某种运算形式的,常用推演法。个人观点:这种方法应该是最常用的,并且所有的题都能通过这种方法解出来,大家应该注重对基本概念和定理的记忆和运用。

2.图示法:是指根据条件作出所研究问题的几何图形,然后借助几何图形的直观性,“看”出正确选项。适用对象:对于条件有明显的几何意义:如五性:对称性,奇偶性,周期性,凹凸性,单调性或平面图形面积,空间立体体积等,常用图示法。

个人观点:相信大家一定很喜欢这种解题方法吧,画图直观,简便,但一定要注意图形的准确性,一点细微的概念差错也许会导致图形的错误。

3.赋值法:是指用满足条件的“特殊值”,包括数值、矩阵、函数以及几何图形,通过推理演算,得出正确选项。适用对象:对于条件中有……对任意……,必……特征的题目,或选项为抽象的函数形式结果的,可用赋值法。

个人观点:赋值法应该说是一种特殊的,而且最快速的方法,可惜适用范围比较狭窄,所以大家在用这种方法时,一定要注意使用条件,不要遇到什么题都赋特殊值。4.排除法:从题设条件出发,或利用推演法排错,或利用赋值法排错,从而得出正确结论。适用对象:理论性较强,选项较抽象,且不易证明的题目。

个人观点:根据我的观察有些选择题,尤其是理论性的选择题,有些答案是相互矛盾的,也就是说二者之中必有一对,所以建议大家遇到这种题时“聪明”一下。

5.逆推法:将备选项依次代入题设条件的方法。适用对象:备选项为具体数值结果,且题干中含有合适的验证条件。

个人观点:这种方法对于有些题还是比较好用的,缺点就是如果正确选项放在A还好,如果放在D,可能要浪费些时间了。

解题经验

1.只要遇到无穷小比较或∞.0型未定式极限问题;或通项中含有“反对三指”函数关系的数项级数的敛散性问题,就要想到利用等价无穷小代换或皮亚诺型余项的泰勒公式求解。注:“反对三指”:反三角函数,对数函数,三角函数,指数函数。

常见的三个重要展开式:arcsinx=x x^3/3! o(x^3) 注:此公式后项无此规律!tanx=x x^3

o(x^3) 注:此公式后项无此规律!arctanx=x-x^3 o(x^3)

2.只要遇到由积分上限函数确定的无穷小的阶的问题,则想到:

1积分上限变量与被积函数的无穷小因子可用等价无穷小代换之。

2两个由积分上限函数确定的无穷小量,若其积分上限无穷小同阶,则其阶取决于被积函数无穷小的阶;若被积函数无穷小同阶或都不是无穷小,则其阶取决于积分上限无穷小的阶。

3.只要遇到积分区间关于原点对称的定积分问题,就要想到先考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性。

4.只要遇到对积分上限函数求导问题,就要想到被积函数中是否混杂着求导变量(显含或隐含)

若显含时,即被积函数为求导变量函数与积分变量函数乘积(或代数和)

若隐含时,则必须作第二类换元法,把求导变量从被积函数中“挖”出来,其出路只有两条:一是显含在被积函数中,二是跑到积分限上。

5.幂指函数,在求极限,求导数,求积分之前,一定要用对数恒等式处理一下

6.两项的和差的积分,如果积得出来就积,积不出来就通分,各项的极限求不出来就通分

7.如果被积函数中所含的对数函数,反三角函数的次数大于等于2,一定要做变量替换

8.把对数函数,反三角函数拿来求导,看它是不是另一部分的常数倍,若是,凑微分做;若不是,分部积分,对数函数,反三角函数一定作为求导对象;如果分部积分做,积分部分还要做变量替换,与其如此,不如直接令对数函数,反三角函数等于一个变量t

9.有理函数的积分,如果分母次数高于分子,在用待定系数法太繁的时候,一定要想到倒代换,令分母的倒数为t,然后就是多项式的积分,结果显然10.积分等式,凡是含有变限积分,被积函数又不是复合函数,直接两边对积分变量求导

11.除了幂级数运算外,任何我们所接触到的运算,绝对不能将两种运算交换位置

12.被积函数含绝对值符号的,一定要令绝对值的式子=0,得到若干个零点,然后按段积分,再sigma

13.在积分等式中,定积分,重积分都是定值,可令先其为A

14.重积分定限口诀:后积先定限,限内画条线,先交下限写,后交上限见。注意:先积的要简单。看到先积函数非初等可积的,先交换积分次序再做。

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+

()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x s e c = ()22x a x f +=;设:t a x t a n = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数 的积分,应分为与 . 当 时, , 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当 时,有 . 当 时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故 ( , )式右边的 是在分 母,不在分子,应记清. 当 时,有 . 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版

常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=,()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?, 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?,d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?, cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

基本积分公式

§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) ( 5.6 ) (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有.

是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数)

不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上,我们进一步来讨论不定积分的计算问题,不定积分的计算方法主要有三种:直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算,所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下:

以上十五个公式是求不定积分的基础,必须熟记,不仅要记右端的结果,还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.(1)dx x ?2 1 (2) dx x x ? 解:(1) dx x ? 21 =2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? (2)dx x x ? =C x dx x +=? 25 235 2 此例表明,对某些分式或根式函数求不定积分时,可先把它们化为x α 的形式,然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即 dx x f k dx x kf ??=)()( (0≠k ) 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数,但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数,因为任意常数之和还是任意常数,所以这里只把它的和C 写在末尾,以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确,只把结果求导,看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-,所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中,可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时,被积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结果,这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. (1) 1)(x dx ? (2)dx x x ?+-1 122 解:(1)首先把被积函数 1)()x 化为和式,然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?. 例2 2 20 2x x dx -? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故220 2x x dx -? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=,

不定积分公式

Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1:若)()(x f x F =',则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数; ② 若)(x F 为)(x f 的原函数,则C x F +)(也为)(x f 的原函数; 事实上,())()()(''x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上,由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ,得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数,其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2:)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分,记为?dx x f )(,?-积分号,-)(x f 被积函数,-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 11 μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表(共24个基本积分公式) 3、 不定积分的性质 ①[]???±= ±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=) 0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ? +- =++-= = +--C x C x dx x x dx 11 )2(11 )2(2 2

②? ? +=++-= = +--C x C x dx x x dx 21 )21(11 )21(2 1 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ④() ()() C x e e x dx dx e dx x e x x x x +- = - = ?? ? ?? -?? ?ln 2 1ln 2 121ππππ ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥? ??? ++-=+ = +=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 2 2 ⑧? ??++-=? ? ? ??++-= ++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 311111111322 2 4 2 4 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法(凑微分法) 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f += ++= +?? 1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +- === ???)5cos(5 1sin 5 1555sin 5 15sin ②()()()()?? +-- =+-+?-=---=-+C x C x x d x dx x 8 1 77 7 2116 1211 71 21)21(212 121 ③() () )20(arctan 1 11 2 2 2 C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??= += +?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-= -? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??1 1 ,1 即 例2、求不定积分 ①()( )() () C x C x x d x dx x x +-- =+-+? - =--- =-+??2 32 12 12 2 1 2 12 2 13 111 1 2 1112 1 1

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分: (1) ( ) 1 3 31x x dx -+? (2) 4 1dx ? (3) ? --2 2 24x 分析:根据求导数与求原函数互为逆运算,找到被积函数得一个原函数,利用微积分基本公式代入求值。 评注:利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找,则可以尝试找出画出函数的图像, 图像为圆或者三角形则直接求 其面积。 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例2 如图 ,求直线y=2x+3与抛物线y=x 2 所围成的图形面积。 分析:从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限,我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。 评注:求平面图形的面积的一般步骤:⑴画图,并将图形分割成若干曲边梯形;⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分上、下限;⑶确定被积函数;⑷求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值之和。 关键环节:①认定曲边梯形,选定积分变量;②确定被积函数和积分上下限。 知识小结:几种典型的曲边梯形面积的计算方法: (1)由三条直线x=a 、x=b (a <b )、x 轴,一条曲线y=()x f (()x f ≥0)围成的曲边梯形的面积: S = ()?b a dx x f ,如图1。 (2)由三条直线x=a 、x=b (a <b )、x 轴,一条曲线y=()x f (()x f ≤0)围成的曲边梯形的面积: S = ()()??-=b a b a dx x f dx x f ,如图2。 (3)由两条直线x=a 、x=b (a <b )、两条曲线y=()x f 、y=()x g (()()x g x f ≥)围成的平面图形的面积:S = ()()?-b a dx x g x f ][,如图3。

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=,()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?, 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?,d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?, cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

不定积分最全公式

常见不定积分公式 1)∫0dx=c 2)∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3)∫1/xdx=ln|x|+c 4))∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5)∫e^xdx=e^x+c 6)∫sinxdx=-cosx+c 7)∫cosxdx=sinx+c 8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c 11)∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13)∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14)∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15)∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx d x=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C

5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)co s(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x

一个不定积分问题(用分部积分得递推公式)

求?xdx x 4sin 设?=xdx x I n n sin , 则?-=dx x x x I n n )sin (sin 1 ?-= -)cos (sin sin 1 x x x xd n ??----=--xdx x x x x n x x x x n n cos ))(sin cos (sin )1()cos (sin sin 2 1 ??--?-=--xdx x n x x x x n n n cos sin )1(sin cos sin 1 1 ??-+-xdx x x n n 2 2 cos sin )1( ?----?-=)(sin sin )1(sin cos sin 11x xd n x x x x n n n ?-?-+-dx x x x n n )sin 1(sin )1(2 2 x n n x x x x n n n sin 1sin cos sin 1 -- ?-=-?--+xdx x n n 2 sin )1(?--xdx x n n sin )1( x n n x x x x n n n sin 1sin cos sin 1 --?-=-2)1(--+n I n n I n )1(-- 所以x n n n x x x x I n n n n sin 1sin cos sin 2 1 -- ?-= -21--+ n I n n 上述公式作为递推公式,由C x xdx I += = ?22 0得 x x x x x I 2 2 2sin 4 12 sin cos sin - ?-= 4 2 x + 所以 x x x x x I 4 3 4 4sin 16 34 sin cos sin - ?-= 4 3+x x x x x 2 2 sin 4 12 sin cos sin ( - ?-C x ++ )4 2 即x x x x I 3 4 4sin cos 4(sin 16 1?-=x x x x sin cos 6sin 32 ?-+C x ++)32

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师:封新学 摘要介绍不定积分的性质,分析常见不定积分的各种求解方法:直接积分法、第一类换元法(凑微法)、第二类换元法、分部积分法,并结合实际例题加以讨论,以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法(凑微法)第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容,它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础, 要解决以上问题,不定积分的问题必须解决,而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则,它要根据不同题型的特点采用不同的解法,积分运算比起微分运 算来,不仅技巧性更强,而且也已证明,有许多初等函数是“积不出 来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如 ?-x k dx 22sin 1(其中10<

《不定积分与定积分》重难点分析

《不定积分与定积分》重难点分析 【重点与难点】 重点:不定积分与定积分的直接积分法 难点:边际概念、原函数和定积分等概念 【重难点分析】 1. 要对边际成本、边际收入、边际利润、不定积分、定积分及增量等概念有所了解,重点理解原函数的概念。 边际概念:边际经济函数就是相对应经济函数的导数。 原函数与不定积分概念:如果)()(x f x F =',则称F (x ) 是f (x ) 的原函数,此时,F (x )+c 是f (x ) 的全体原函数,称为f (x ) 的不定积分,记为c x F x x f +=?)(d )(。 2. 要记熟不定积分的基本公式,掌握好不定积分和定积分的直接积分法,对不定积分和定积分的运算性质要有所了解。 积分基本公式: (1) c x x +=?d ,推广为:c kx x k +=?d (k 为任意常数) (2) c x x x ++α=+αα?11 1d (≠-1) 注意:①该公式中 ≠-1(=-1有下面另一个公式);②原函数中的幂函数指数是 被积函数指数+1,且该指数的倒数就是原函数中幂函数的系数;③被积函数是几个幂函数的乘、除、乘方、开方时,利用幂函数的性质,先化为单个幂函数后再代公式;④被积函数是幂函数的倒数时,先化为负指数的幂函数后再代公式。 (3) c x x x +=? ||ln d 1 注意:因为被积函数中变量x 无大于0的要求,故原函数中不能少了绝对值。 (4) c a a x a x x +=? ln 1d (a >0,a ≠1) (5) c x x x +=?e d e ,可推广成c a x ax ax +=? e 1d e (a ≠0)来使用。 积分公式在使用时,通常会改变积分变量的符号,例如 c u u u ++α=+αα?11 1d (≠-1)

不定积分例题及问题详解

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

常用微积分公式大全

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常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.

计算不定积分应该注意的几个问题..

目 录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1 基本概念、定理及公式 (2) 2 直接积分法易犯错误举例剖析 (3) 2.1 运算中漏掉“C ”、“?” (3) 2.2 自创运算法则致误 (3) 2.3 对公式1ln dx x C x =+? ()0x ≠的错误运用 (4) 2.4 对公式1 1a a x x dx C a +=++? ()1a ≠-的错误运用 (4) 3 第一换元积分法应注意问题 (5) 3.1 牢记凑微分公式 (5) 3.2 注意解的不同表示方法 (6) 4 第二换元积分法中易犯错误剖析 (6) 5 分部积分法应注意事项 (8) 6 计算某类特殊积分注意事项 (9) 6.1 有理函数的不定积分 (9) 6.2 分段函数的不定积分 (10) 参考文献 (12) 致谢 (13)

本科生毕业论文 1 计算不定积分应该注意的几个问题 摘要 不定积分是一个非常基本且又十分重要的概念,我们应当灵活地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来计算不定积分,由此积分法成为数学教学中富有探索性的一个领域.文章归纳整理了我们在使用各种方法计算不定积分时容易出现的问题,并对这些问题进行了分析和探讨.例如:直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法以及特殊积分法. 关键词 不定积分 直接积分法 换元积分法 分部积分法 特殊积分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in exploration.This paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution Division integral method Special integral method 引言 不定积分是求导的逆运算,对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习,而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习,我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误,下面我们将对这些错误进行剖析,以便更好的掌握这部分知识. 1 基本概念、定理及公式 定义1[1] 设函数f 与F 在区间I 上有定义.若()(),,F x f x x I '=∈ 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数. 定义2[1] 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作 (),f x dx ? 其中称?为积分号,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分变量. 注意 函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视.

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法(Basic Formula of Undefined Integral and Direct Integral ) 课 题:1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型:讲授 教学目的:熟练掌握不定积分的基本公式,对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点:不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具:多媒体课件 教学方法: 教学内容: 一、不定积分的基本公式 由于不定积分是求导的逆运算,所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 ( )1222()01 ()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1 (arctan )1(arccos )1 (cot )1x x x x C x x x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'= '= +'='=- +21 (log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 ( ) 1 22 2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x x x dx C dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx x C x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x αα α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++????????????? ?2arccos arc cot 11 log ln a x C dx x C x dx x C x a =-+=-++=+???

不定积分公式大全 基本公式有哪些

不定积分公式大全基本公式有哪些 inx + C ∫ sinx dx = - cosx + C ∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C ∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C ∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C ∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C ∫ sec (x) dx = tanx + C ∫ csc (x) dx = - cotx + C ∫ secxtanx dx = secx + C ∫ cscxcotx dx = - cscx + C ∫ dx/(a + x ) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫dx/√(a- x ) = arcsin(x/a) + C ∫dx/√(x+ a ) = ln|x + √(x+ a )| + C ∫dx/√(x- a ) = ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x- a ) dx = (x/2)√(x- a ) - (a /2)ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x+ a ) dx = (x/2)√(x+ a ) + (a /2)ln|x + √(x+ a )| + C ∫√(a- x ) dx = (x/2)√(a- x ) + (a /2)arcsin(x/a) + C 不定积分的基本公式有哪些

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