浙江省温州市高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(1)导学案(无答案)新人教a版必修5
3.2 一元二次不等式及其解法(1) 【学习目标】
1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；
2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式. 【重点难点】
1．重点：一元二次不等式的解法。
2．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系学习过程： 【学习过程】 一、自主学习： 任务1:
①形如 或 不等式叫一元二次不等式其中
②抛物线 y = ax 2 + bx + c 的与x 轴交点 是相应方程ax 2 + bx + c=0的 ③一元二次不等式解法及步骤：
完成下列表格 设2()(0),f x ax bx c a =++>
△>0△=0△<0
f(x)>0f(x)<0
判别式函数y=f(x)的简图
不等式的解集
方程f(x)=0的解
任务2:
1、判断下列不等式中哪些是一元二次不等式.
22
221(1)13(2)3
(3)lg(2)4
(4)1x x x x x x x x +>-+<-->≤
2、解下列不等式
222(1)2310(2)440
(3)2650x x x x x x -+>++>-+<
二、合作探究归纳展示
探究1探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A 每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B 的收费原则为:在第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算). 如何选择?
归纳：这是一个关于x 的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式. 新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.
探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？
归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.
0?> 0?= 0?<
二次函数
2y ax bx c =++
（0a >）的图象
三、讨论交
流点拨提升
例1 求不等式2230x x -+->的解集.
变式：求下列不等式的解集.
（1）2230x x +->； （2）2230x x -+-≤. 例2 求不等式24410x x -+>的解集.
小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断?的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集. 四、学能展示课堂闯关 知识拓展
（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为0
0a >???
a
一元二次方程
()20
0ax bx c a ++=>的根
20(0)ax bx c a ++>>的解集
20(0)ax bx c a ++<>的解集
二元二次方程组-解法-例题
二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。
程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
§2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 导学目标： 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~ P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 【知识点一】一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<()0a ≠ 自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．22 20a x x +≥ B ． 2 1 3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32 410x x x +-+> 【知识点二】一元二次不等式的解法 下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y < 当x 取 时，0y > 由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为 有何发现：
第二章 一元二次函数、方程和不等式 - 2 - （3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式()2 00ax bx c a ++>≠ 与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ． （3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 自我检测3：不等式2 50ax x c ++>的解集为1 13 2x x ??<≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ． （2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ．
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.
如何解一元二次不等式
如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。
2015高考数学一轮题组训练：7-2一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表： 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。 2010-2011学年度 第一学期初三数学电子备课 第 四 章 导 学 案 （总计13教时） 备课人： 一元二次方程（1） 一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 二 、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三 、学习内容 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。 设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 一元二次不等式及其解法导学案 【使用说明及学法指导】 1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点； 2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时在做； 3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑. 【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解 法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用. 【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用 【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话） 情景：一名跳水运动员进行10米跳台跳水，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。那么他最多有多长时间完成规定动作？假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：2()5 6.510h t t t =-++ 1. 当x = 或 时，0y =，即2 230x x --=； 2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x --<的解集是 ； 3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x -->的解集是 ； 总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<(0)a > 的解集； 问题3：完成下表格，并回答思考问题： 小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： . 小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 例1：解下列不等式： （1）2340 x x -+>（3）2230 -+-> 4410 x x --≥（2）2 x x 解：解：解： 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学 生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页 一元二次不等式的解法（一） 学习目标： 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： . 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 （ （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ，计算判别式?; ①0>?时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0=?时，求根a b x x 221-==； ③0--x x ； （3）0652 >--x x （4）0442 >+-x x ； （5）0542 >-+-x x ； （6）23262x x x -++<- 举一反三： 【变式1】解下列不等式 （1）02322 >--x x ； （2）02232 >+--x x （3）01442 ≤+-x x ； （4）0322 >-+-x x . （5）()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342 <-≤x x 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三： 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ，则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围. §2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程．2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半，此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 下图是一元二次函数的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y =当x 取时，0y <当x 取时，0 y >由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为有何发现： 第二章一元二次函数、方程和不等式 -2-（3）一元二次方程2760x x --=的解集为有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是【知识点三】三个二次之间的关系请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式() 2 00ax bx c a ++>≠与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ．（3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 【知识点四】一元二次不等式恒成立问题 （1）2 0(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ．（2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ． 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ① 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ① 一元二次不等式解法一、知识梳理 1．“三个二次”的关系 2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 口诀：大于取两边，小于取中间． 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3 2 ， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)． 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1， ①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |12019-2020年高中数学 一元二次不等式组解法教案 新人教A版必修1
一元二次方程导学案教案
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
一元二次不等式及其解法导学案
完整版一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式的解法
二次函数与一元二次方程、不等式导学案
一元二次不等式及其解法例题分类
高一数学二元二次方程组解法
一元二次不等式解法