第2章 2.1 曲线的参数方程
阶段一
阶段二
学
业
分
层
测
评2.1 曲线的参数方程
2.1.1 抛射体的运动
2.1.2 曲线的参数方程
1.了解曲线参数方程的有关概念.
2.能进行参数方程和普通方程的互化.(重点)
[基础·初探]
1.参数方程的概念
定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t
的函数
x ＝f t
y ＝g t
，a ≤t ≤b .(*)
如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，(*)式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数.
简单地说，若t在a≤t≤b内变动时，由(*)式确定的点M(x，y)描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程.
2.参数方程与普通方程互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过
而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系
y ＝g (t )，那么
x ＝f t
y ＝g t
就是曲线的参数
方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.
消去参数
[思考·探究]
1.曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数?有什么实际意义？
【提示】联系x、y的参数t(?，?，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数?的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.
2.普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？
【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.
[自主·测评]
1.将参数方程
x ＝2＋sin 2?
y ＝sin 2
?
(?为参数)化为普通方程为(
)
A.y ＝x －2
B.y ＝x ＋2
C.y ＝x －2(2≤x ≤3)
D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)
【解析】 消去sin 2
?，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2
?≤1，∴2≤x ≤3.
【答案】 C
2.把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是(
)
A.
x ＝t 12y ＝t -12
B.
x ＝sin t y ＝1sin t C.
x ＝cos t y ＝1cos t D.
x ＝tan t y ＝1tan t 【答案】 D
3.曲线
x ＝1＋t
2y ＝t －1
与x 轴交点的直角坐标是(
)
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,0)
D.(±2,0)
【解析】 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2
，得x ＝2，
∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0).
【答案】 C
4.曲线
x ＝1－2t y ＝2＋3t
(t 为参数)与直线x ＋y ＝0的交点坐标是( )
【导学号：62790009】
A.(5，－5)
B.(7，－7)
C.(－5,5)
D.(－7,7)
【解析】 将x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 代入x ＋y ＝0得t ＝－3，代入参数方程得x ＝7，y ＝－7.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________
类型一 参数方程的概念
已知曲线C 的参数方程为
x ＝2cos ?y ＝3sin ?
(?为参数，0≤?<2 à).
判断点A (2,0)，B (－3，3
2)是否在曲线C 上？ 若在曲线上，求出点对应的参数的值.
【精彩点拨】 将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解.
【尝试解答】 把点A (2,0)的坐标代入
x ＝2cos ?y ＝3sin ?
得cos ?＝1且sin ?＝0，
由于0≤?<2 à，解之得?＝0，
因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数?＝0， 同理，把B (－3，3
2)代入参数方程，得
－3＝2cos ?，32
＝3sin ?.∴
cos ?＝－32，sin ?＝12.
又0≤?<2 à，∴?＝5
6à，
所以点B (－3，32)在曲线C 上，对应?＝56à.
对于曲线C
的参数方程
x ＝f t
y ＝g t
t 为参数 ，若点M x 1，y 1 在曲线上，则
x 1＝f t y 1＝g t
对应的参数t 有解，否则无解，即参数t 不存在.
[再练一题] 1.已知曲线C
的参数方程为
x ＝t ＋1
y ＝t 2
－4
(t 为参数)判断点A (3,0)，B (－2,2)是
否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.
【解】 将点
A (3,0)的坐标代入
x ＝t ＋1
y ＝t 2
－4
，
得
t ＋1＝3t 2
－4＝0
，解之得t ＝2.
所以点A (3,0)在曲线C 上，对应参数t ＝2. 将点
B (－2,2)的坐标代入
x ＝t ＋1
y ＝t 2
－4
，得
t ＋1＝－2
t 2
－4＝2
，
即
t ＝－3
t 2
＝6
，此方程组无解.
所以点B (－2,2)不在曲线C 上.
类型二求参数方程
在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进行投弹，投弹时，飞机离地面的距离h＝490 m，水平飞行的速度v＝100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程.(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2)
【精彩点拨】这是物理学中的平抛运动，选择时间t作参数，可将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程.
【尝试解答】 如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O ，以垂线为y 轴，以O 为原点，建立平面直角坐标系.
设P (x ，y )为炸弹在t s 后的坐标， 则由题意可知
x ＝v t ，y ＝h －12gt 2.
因为h ＝490 m ，v ＝100 m/s ，g ＝10 m/s 2
，所以，
炸弹投出后，弹道的参数方程是
x ＝100t ，
y ＝490－5t
2
(0≤t ≤72).
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
2.2常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化
极坐标和参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的 函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31(,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在 圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是 转过的角度（称为旋转角）。 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为 其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但 当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程
曲线在点处的法平面方程为
B020005 一、1、曲线x y R y z R 222222+=+=???在点R R R 222,,?? ???处的法平面方程为 （A ）-+-=x y z R 2 （B ）x y z R -+=32 （C ）x y z R -+=2 （D ）x y z R ++=32 答：（ ） 三、1、 若u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调的奇函数，Ω是球体(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤R 2 (R >0),若，试问a ,b ,c ,d 应满足什么条件。 2、设f x ()是以3为周期的周期函数，又设f x ()在任意有限闭区间[,]a b 内可积。试写出f x ()的傅立叶系数的计算公式。 四、1、z xy =ln()2，求z z x y ,。 2、设z ax bxy cy dx ey f =+++++22222，求 ????z x z y ,。 3、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。 4、设曲线C 的方程为x 6+y 6=1.求曲线积分 5、求微分方程''-=y a y x 2sin 的一个特解，其中a 为非零实常数。 6、求微分方程tx x ''-'=0的通解。 7、求极限lim x y x xye xy →→-+00 416 。 8、 设Ω是由及z =1所围的有界闭区域，试计算. 五、1、设L 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明曲线积分 2、如果幂级数∑∞=0n n n x a 在2-=x 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之. 3、验证：y x y x 12==cos ,sin ωω都是微分方程''+=y y ω20的解，并写出该方程的通解。 4、求证函数系{}sin ,sin ,,sin ,x x nx 2??????是[]0,π上的正交函数系。 5、 试证对于空间任意一条简单闭曲线C ，恒有∮c (2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y －6z )d z =0. 六、1、 利用二重积分计算由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成区域的面积。 2、在空间找一点P x y z (,,)，使它到三个平面x y z x y z y z ++=-+=-=111,,的距离平方和为最小。 3、求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。 4、求曲线族y Cx =3的正交轨线族（即与曲线y Cx =3 互相正交的曲线族）所满足的微分方程。
参数方程题型大全
参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________
空间曲线的参数化
一、 空间曲线的参数化 若积分曲线Γ的参数方程 ],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x Γ，：,则曲线积分的计算公式为 ??'=++β α)())(),(),(({d d d t x t z t y t x P z R y Q x P Γ }d )())(),(),(()())(),(),((t z t z t y t x R t y t z t y t x Q '+'+ ],[d )()()())()()((d )(222βαβ α ∈'+'+'=?? t t t z t y t x t ,z t ,y t x f s x,y,z f Γ ， 曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。 1. 设积分曲线???==0 ),,(0),,(z y x G z y x F Γ：,从中消去某个自变量,例如z ，得到Γ在 xoy 平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(t y y t x x ==然后将它们代入0),,(0),,(==z y x G z y x F 或中，解出)(t z z =由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x ，。 例1将曲线???==++y x a z y x Γ2222：，(其中0>a )用参数方程表示。 解：从Γ的方程中消去y ，得到xoz 平面上的投影曲线2 222a z x =+,这是椭圆， 它的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2 π∈== t t a z t a x ，将其代入Γ的方程，得到第七讲 曲线积分与曲面积分
高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44
高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)
空间曲线方程不同形式间的转化技巧
空间曲线方程不同形式间的转化技巧 李晶晶 摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式， 它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主 要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性． 关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性 Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve Equation Li Jingjing (20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics) Abstract:Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution． Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution 1引言 空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1] 空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．
【原创教案】二、《曲线的参数方程》教案
二、《曲线的参数方程》教案 时间：2 授课班级：高二（8）班 一、教学目标: 理解参数方程的概念；掌握参数方程化为普通方程的几种常见 的方法；会选取适当的参数化普通方程为参数方程。 二、重点、难点：能选择适当的参数写出曲线的参数方程，参数方程与普通方程 的互化和互化的等价性。 三、课时安排：1课时 四、教学过程 （一）创设情境 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻 力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物 资？ （二）探索研究导出新概念 1、参数方程的定义： 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的 函数② ???==) ()(t g y t f x ， 并且对于t 的每一个允许值，由方程组②所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么方程②就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 例1 已知曲线C 的参数方程是???+==1 232t y t x （t 为参数）. (1)判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系； (2)已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值； (3)将参数方程化为普通方程，并判断曲线C 表示什么图形。 2、参数方程和普通方程的互化： （1）参数方程通过消元法消去参数化为普通方程 例2 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程(精)
1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程 （1）通过点)1,1,3(1M 和)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面； （3）已知四点A （5，1，3），B （1，6，2），C （5，0，4），D （4，0，6），求通过直线AB 且平行直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与△ABC 所在平面垂直的平面 2、求下列平面的一般方程 （1）过点M （3，2，-4）且在X 轴和Y 轴上截距分另为-2和-3的平面 （2）已知两点M 1（3，-1，2），M 2（4，-2，-1），通过M 1且垂直于M 1M 2的平面 （3）过点M 1（3，-5，1）和M 2（4，1，2）且垂直于平面x-8y+3z-1=0的平面 3、将下列平面的一般方程化为法式方程 (1)x-2y+5z-3=0 (2) x+2=0 4、求自坐标原点向平面2x+3y+6z-35=0所引垂线的长和批向平面的单位法矢量的方向余弦 5、已知三角形顶点为A(0,-7,0),B(2,-1,1),C(2,2,2),求平面于△ABC 所在的平面且与它相距为 2个单位的平面方程 6、求在X 轴上且到平面12x-16y+15z+1=0和2x+2y-z-1=0距离相等的点 7、已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(1,-1,4),计算从顶点S 向底面ABC 所引的高 8、求中心在C3，-5，-2）且与平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。 9、求与9x-y+2z-14=0和9x-y+2z+6=0平面距离相等的点的轨迹 10、判别点M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是分别在 相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？ （1）0323:1=-+-z y x π与042:2=+--z y x π （2）0152:1=-+-z y x π与01623:2=-+-z y x π 11、分别在下列条件下确定l,m,n 的值使lx+y-3z+1=0与7x-2y-z=0表示二平行平面 12、求下列两平行平面19x-4y+8z+21=0和19x-4y+8z+42=0间的距离 13、求两平面2x-3y+6z-12=0和x+2y+2z-7=0所成的角 14、求过Z 轴且与平面0752=--+z y x 成 60角的平面 15、 求下列各直线的方程 （1）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面0:1=+++i i i i D z C y B x A π)2,1(=i 的 直线 （2）通过点M （1,0,-2）且与两直线 11111-+==-z y x 和0 1111+=--=z y x 垂直的直线 16、求下列各平面的方程： （1） （1） 通过点P （2，0，1），且又通过直线 3 2121-=-=+z y x 的平面 （2） （2） 通过直线113312-+=-+=-z y x 且与直线???=--+=-+-052032z y x z y x 平行的平面 （3） （3） 通过直线 2 23221-=-+=-z y x 且与平面3x+2y-z-5=0垂直的平面 （4） （4） 通过直线???=-+-=+-+014209385z y x z y x 向三坐标面引的三个射影平面 17、化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦 （1）???=---=+-+0 323012z y x z y x
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①． 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周
空间曲线参数方程(第五讲)
第五讲 空间曲线参数方程 一、求空间曲线(,,)0(,)0 F x y z G x y =ìG í=?：的参数方程 方法1；若把(,)0G x y =看做xoy 平面上的曲线方程，其参数方程已知，再将他们代入方程(,,)0F x y z =中，解出z ，就可以得到空间曲线G 的参数方程． 例1．设空间曲线2222 222x y z a x y b ì++=G í+=?：，()0a b 3>，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2222x y z a ++=与圆柱222x y b +=的交线，由圆周222x y b +=的参数方程得到 cos sin x b t y b t =ìí=?，(02)t p ￡￡ 将222x y b +=代入球面方程得到222z a b =-， 于是交线方程为 cos sin x b t y b t z =ì?=í?=?． 方法2：把变量x ，y 之一看作参数，如另x t =，由(,)0G x y =解出y ，再将它们代入方程(,,)0F x y z =，解出z 即可得到空间曲线G 的参数方程． 例2．设空间曲线2222259 x y z x y ì++=G í+=?：，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2225x y z ++=与平面429x y +=的交线，它是空间平面429x y +=上的一个圆周． 以t 为参数，令x t =，则由平面方程得到 922y t =-， 将x ，y 代入球面方程得 22229615(2)18524 z t t t t =---=--， 即 z =U n R e i s t e r e d
由26118504t t --3，得到 18181010 t +￡￡， 因此空间曲线参数方程为922x t y t z ì?=??=-í??=?? ． 例3．设空间曲线2229x y z y z ì++=G í=? ：，求其参数方程． 解：将y z =代入方程222 9x y z ++=中，得 2229x z += 该椭圆参数方程为 x t =，3sin z t =，(02)t p ￡￡ 于是空间曲线的参数方程为 3sin x t y t z t ì=???=í??=??， (02)t p ￡￡． 例4． 设空间曲线222(1)(1)40x y z z ì+++-=G í=?：，求其参数方程． 解：因为0z =，则22(1)3x y ++=， 令1x t =- ，y t =，于是得参数方程为 10x t y t z ì=-+??=í?=?? (02)t p ￡￡， 例5．设空间曲线22290 x y z x y z ì++=G í++=?：，求其参数方程． U n R e g i s t e r e d
2知识讲解 曲线的参数方程
曲线的参数方程 【学习目标】 1. 了解参数方程，了解参数的意义。 2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。 3. 掌握参数方程与普通方程的互化。 4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】 要点一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x,都是某个变数t的函数， 即 () ........... () x f t y g t = ? ? = ? ①， 并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,) M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y x,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0 F x y=，叫做曲线的普通方程。 要点诠释： （1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定． （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。 要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来； 例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． 有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 要点诠释： 普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与
求曲线方程的基本方法--坐标法
求曲线方程的基本方法——坐标法 借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科． 平面解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质． 例1 设A 、B 两点的坐标是(10)(10)-，，，，若1MA MB k k =- ，求动点M 的轨迹方程． 解：设M 的坐标为()x y ，，M 属于集合{}|1MA MB P M k k ==- ． 由斜率公式，点M 所适合的条件可表示为 1(1)11 y y x x x =-≠±-+ ，整理后得 221(1)x y x +=≠±． 下面证明221(1)x y x +=≠±是点M 的轨迹方程． （1）由求方程的过程可知，M 的坐标都是方程221(1)x y x +=≠±的解； （2）设点1M 的坐标11()x y ，是方程221(1)x y x +=≠±的解， 即221111(1)x y x +=≠±，221111(1)y x x =-≠±，11 11111 y y x x =--+ ， ∴111M A M B k k =- ． 由上述证明可知，方程221(1)x y x +=≠±是点M 的轨迹方程． 点评：所求的方程221x y +=后面应加上条件1x ≠±． 例2 点M 到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M 的轨迹方程． 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图1所示． 设点M 的坐标为()x y ，，点M 的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合{}|P M MR MQ ==，其中Q R ，分别是x 轴、y 轴上的过点M 的垂线的垂足． 因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件MR MQ =可写成x y =， 即0x y ±=．①
曲线的参数方程知识讲解
曲线的参数方程 编稿：赵雷审稿：李霞 【学习目标】 1. 了解参数方程，了解参数的意义。 2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。 3. 掌握参数方程与普通方程的互化。 4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】 要点一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x,都是某个变数t的函数， 即 () ........... () x f t y g t = ? ? = ? ①， 并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,) M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y x,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0 F x y=，叫做曲线的普通方程。 要点诠释： （1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定． （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。 要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来； 例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． 有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 要点诠释： 普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与
求平面曲线方程的基本步骤
●教学目标 （一）教学知识点 根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤. （二）能力训练要求 1.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程. 2.会判断曲线和方程的关系. （三）德育渗透目标 1.提高学生的分析问题能力. 2.提高学生的解决问题能力. 3.培养学生的数学修养. 4.增强学生的数学素质. ●教学重点 求曲线方程的步骤： （1）依据题目特点，恰当选择坐标系； （2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标； （3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0； （4）化方程F(x,y)=0为最简形式； （5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. ●教学难点 依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性. ●教学方法 启发引导法 启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：记作§7.6.2 A 第二张：记作§7.6.2 B ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.
［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. Ⅱ.讲授新课 不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x ,y )所满足的方程f (x ,y )=0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质. 而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 它主要研究的是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. ［师］下面我们首先讨论求曲线的方程. ［例2］设A 、B 两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 分析：线段AB 的垂直平分线上的任一点M 应满足条件：｜MA ｜=｜MB ｜ （打出投影片§7.6.2 A) 解：（1）设M （x ,y ）是线段AB 的垂直平分线上任意一点，则｜MA ｜=｜MB ｜ 即2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x 整理得，x +2y -7=0 ① 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解； （2）设点M 1的坐标(x 1,y )是方程①的解， 即x 1+2y 1-7=0, x 1=7-2y 1 点M 1到A 、B 的距离分别是 ｜M 1A ｜=2121)1()1(+++y x . )136(5)7()24()7()3(; )136(5)1()28(12121212 12111212121+-=-+-=-+-=+-=++-=y y y y y x B M y y y y ∴｜M 1A ｜=｜M 1B ｜ 即点M 1在线段AB 的垂直平分线上. 由（1）、（2）可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程. ［例3］点M 与互相垂直的直线的距离的积是常数k (k ＞0)，求点M 的轨迹. 分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴. 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系. （打出投影片§7.6.2 B) 设点M 的坐标为(x ,y )，点M 的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k 的点的集合： P ={M ｜｜MR ｜·｜MQ ｜=k }, (其中Q 、R 分别是点M 到x 轴、y 轴的垂线的垂足） 因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，
高中数学参数方程大题(带答案)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，
高中数学学案：常见曲线的参数方程
高中数学学案：常见曲线的参数方程 基础诊断 1. 方程 ???x ＝ t ，y ＝ 3t 3 (t 为 参 数 ) 表 示 的 曲 线 是 ________________________________________________________________________． 2. 直线???x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线???x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________． 3. 参数方程???x ＝3t 2＋2， y ＝t 2 －1 (t 为参数),且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号)
①线段；②双曲线；③圆弧；④射线． 4. 直线?????x ＝1＋1 2t ，y ＝－33＋3 2t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点,则AB 的中点坐标为 ________． 范例导航 考向 例1 (1) 将参数方程??? ??x ＝2? ?? ??t ＋1t ，y ＝4? ?? ??t －1t (t 为参数)化为普通方程； (2) 将参数方程???x ＝2sin θ， y ＝1＋2cos 2 θ(θ为参数)化为普通方程． 在曲线C 1：???x ＝1＋cos θ， y ＝sin θ (θ为参数)上求一点,使它到直线C 2：?????x ＝－22＋1 2t ，y ＝1－12t (t 为参数)
的距离最小,并求出该点的坐标和最小距离． 考向 例2已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α＝6. (1) 写出直线l的参数方程； (2) 设直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点,求点P到A、B两点的距离之积． 点P(x,y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点,求x＋2y的最大值．