数学分析(4)复习提纲(全部版)

数学分析（4）复习提纲

第一部分 实数理论

§1 实数的完备性公理

一、实数的定义

在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理：

（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='?

3°x x A x A x '

则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。

评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理

实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：

有限覆盖定理：（Heine-Borel ）

聚点定理：(Weierstrass)

致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)

习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n

R ？如何叙述？

§2 闭区间上连续函数的性质

有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8

介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10

一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理

§3 数列的上(下)极限

三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（P173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。

第二部分 级数理论

§1 数项级数

前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无

穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。

一、Cauchy 收敛准则

++=∑∞

=211

u u u

n n

几个概念 部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件

∑∞

=1

n n

u

收敛?0→n u

评注 此结论由1--=n n n S S u 两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy 收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分?

+∞

a

dx x f )(即使0)(>x f 也不

能推出)(0)(+∞→→x x f （参见反常积分）

Cauchy 收敛准则

∑∞

=1

n n

u

收敛?,,,,0p N n N ?>??>?ε有

ε<+++=-++++p n n n n p n u u u S S 21

思考 正面叙述级数发散的Cauchy 准则。

加括号 对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。

评注 只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散。

二、正项级数

正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得： 基本结论 正项级数收敛?其部分和有上界。 比较判别法：

比较判别法的极限形式：

评注 对于比较判别法，主要考虑n 充分大以后（0n n >）n u 与n v 的大小关系，因此极限

形式更方便。如果)0(lim

+∞<<=l l v u n

n

，要认识到，当n 充分大时，n u 与n v 是“等价”的，即大小“差不多”，确切地说当0n n >时，存在正常数1c 和2c 使n n n v c u v c 21≤≤，由

此n n n u c v u c 21

'≤≤'。如果0=l 或∞+，它们的“大小”关系如何？ 根式判别法 设l u n

n =lim ，当1

u

收敛；当1>l 时，

∑n

u

发散。

比式判别法 1l i m

1

<=+q u u n

n ，则∑n u 收敛； 1lim

1

>=+q u u n

n ，则∑n u 发散。 习题1 证明上面根式判别法 习题2 证明n

n n n n n n n u u

u u u u 11lim lim lim lim

++≤≤≤（0>n u ） 推论：l u l u u n n n

n =?=+lim lim

1

评注 由习题2知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。也就是说根式判别法比比式判别法更有效。换言之，凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力。但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。 习题3 考虑级数

++++++33223

1

2131213121，说明根式法比比式法更有效。 评注 无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数∑n

cq

比较的，对于-p 级

数

∑p n 1

必然失效。

（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。如果与-p 级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。 积分判别法：

拉贝判别法的极限形式：

习题4 [P17，11（1）]用拉贝法判别级数∑

+?-1

21

!)!2(!)!12(n n n 的收敛性，并说明比式法与

根式法都无效。

三、一般项级数

评注 对一般项级数∑n

u

（有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对

收敛性（即∑n

u

是否收敛），如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式判

别法得到

∑n

u

发散，则

∑n

u

必发散（这在前面的评注中已经说过了）。

Leibniz 判别法：

Able 引理：k k v u ,，n k ,,2,1 =是两数组，k u 单调，k k v v ++= 1σ，则

)2(11

n n

k k

k u u A v

u +≤∑=，其中A k ≤σ

对于形如

∑n

n b

a 的级数，设{}n a 单调，把Able 引理用于

∑++=p

n n k k

k b

a 1

)2(21p n n a a M +++≤

其中M 满足：M S S b M b S b n b p n p

n n k k n

k k b n

2)

()(1

1

)

(≤-=?

≤=

+++==∑∑

再结合Cauchy 准则，附加适当的条件使)2(21p n n a a M +++能充分小，便可得到Able 和Dirichlet 判别法

D 判别法：（1）{}n a 单调；（2）0→n a ；（3）

∑n

b

有界，则

∑n

n b

a 收敛。 A 判别法：（1）{}n a 单调；（2）{}n a 有界；（3）

∑n

b

收敛，则

∑n

n b

a 收敛。

评注 记住A 和D 判别法的关键是记住Able 引理。这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现。

习题5 用D 判别法直接证明Leibniz 判别法和Able 判别法。 习题6 讨论级数 +-+-+-

ααα

61

5141312

11（R ∈α）的收敛性。 提示：分0≤α，10<α<，1=α，1>α情况讨论。 答案：1=α时，收敛，其它发散。 习题7 利用级数收敛性，证明数列n n

x n ln 1

211-+++= 的极限存在。（注：此极限称为Euler 常数 577216.0=）

提示：把n x 看成某数列的部分和。即11x a =，),3,2(1 =-=-n x x a n n n ，等价地要证明

∑n a 收敛，)1(21)]1(211[1)11ln(12222n

o n n o n n n n n a n +-=+--+=-+=

四、绝对收敛与条件收敛级数的性质

重排定理：设∑n

u

绝对收敛，其和为S ，则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和不

变。

Riemann 定理：设

∑n

u

条件收敛，又+∞≤≤≤∞-βα，则一定存在

∑n

u

的重排级数

∑'n

u ，使其部分和n

S '满足：α='n

S lim ，β='n

S lim 。

也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散。 柯西定理：设

∑n

u

和

∑n

v

都绝对收敛，

A u

n

=∑，B v n =∑，则对所有乘积项j i v u 按

任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于AB 。 评注 两个级数的乘积最常用的是对角线排列，即

0110v u v u v u c n n n n +++=-

∑n

c

也称

∑n

u

和

∑n

v

的柯西乘积。

§2 函数项级数

前言 函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛。数列的极限（或

数项级数的和）定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数。我们关心的是极限函数（或和函数）的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问题。 一、函数列（函数项级数）的一致收敛

几个概念 对于函数列：逐点收敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？

对于函数项级数如何叙述以上概念？

评注 逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题。而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点。

思考 正面叙述不一致收敛。 用范数定义一致收敛 记)(sup x f f D

x ∈∞

=（称为f 的一致范数或无穷大范数）

， 如果)0(0)()(sup →→-=-∈∞

n x f x f f

f n D

x n ，则称)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f 。

评注 ∞

-g

f 就是两个函数的距离。定义的等价性是显然的（见P29，Th13.2）。这个定

义往往使用起来更方便（参见P30，例3）。

二、函数项级数一致收敛的判别法

Cauchy 准则： 必要条件：

∑)(x u

n

一致收敛?0)(→x u n （一致）

M 判别法（控制收敛判别法）： Able 与Dirichlet 判别法：

习题8 设),2,1(],,[)( =∈n b a C x u n ，∑)(x u

n

在),(b a 上一致收敛，证明：

（1）∑∑)(),(b u a u n n

收敛 （2）

∑)(x u

n

在],[b a 上一致收敛。

提示：用Cauchy 准则。

评注 第一结论的逆否命题是判别不一致收敛的一个常用结论。即设],[)(b a C x u n ∈，而

∑)(a u

n

发散，则∑)(x u n 在),(δ+a a 必不一致收敛。

习题9 判别下面级数的一致收敛性 （1）

∑∞

=+

22

)ln 1ln(n n

n x

，a x < （2）

∑

∞

=+1

sin sin n x

n nx x ，+∞<≤x 0

（3）∑∞

=++1

2)(n n

n

n n x x ，]1,0[∈x 提示：（1）考虑用M 判别法（2）考虑用D 判别法（3）考虑用A 判别法 习题10 （参见P34，例7）若数列{}n a 单调趋于零，证明级数

∑nx a

n

cos 在)2,0(π内

闭一致收敛，举列说明在)2,0(π不一致收敛。 提示：前半部分即书上例题，后半部分例如取n a n 1=

，对∑nx n

cos 1

应用习题8的结论。 三、一致收敛函数列（函数项级数）的性质

连续性（逐项求极限）： 可积性（逐项求积）： 可微性（逐项求导）：

评注 容易举例说明没有一致收敛的保证，上述三个性质都不能保证。同时，又可举例说明，上述所附加的条件只是充分条件而非必要条件。要记清楚每个定理的条件尤其是可微性的条件。

习题11 证明∑∞

=+=

1

)1()(n n

n x x f 在)1,1(-连续。 提示：该级数在)1,1(-并不是一致收敛（为什么？），不能直接用连续性定理。但可以证明在)1,1(-上是内闭一致收敛的，这对连续性就够了。

评注 连续性与可微性都是对点而言的，在应用这两个定理时，不必要求在整个区间上一致收敛，只要内闭一致收敛就够了。 习题12 设函数项级数

),0(,1

+∞∈∑∞

=-x ne

n nx

（1）证明此级数在),0(+∞收敛但不一致收敛。 （2）求此级数的和函数

提示：（1）对于不一致可用习题8的结论，也可证明通项不一致趋于零。建议两种方法都试一试。（2）证明内闭一致收敛，再用逐项微分法。 习题13 求证 （1）

)10(d 1πsin d πsin 0

00

<≤-=?

∑?

∞

=x t t

t

t t t x

n x

n （2）

∑?∞=0

d πsin n x

n

t t t

在]1,0[∈x 上一致收敛

（3）

t t

t

t t t n n d πsin d πsin 1

00

1

?

∑?

=∞

=

提示：上述3条结论后者要借用前者，每上步的依据一定要说清楚。

评注 该题启示我们：如果在闭区间能直接用逐项积分当然更好，否则先缩小区间在小区间上用，然后再利用连续性把结论扩大到整个区间上。

§3 幂级数

前言 幂级数是最简单同时又有很大应用性的级数，不仅在《数学分析》而且在《复变函数论》中有重要应用。学习的重点是求收敛半径和收敛域；求和函数；幂级数展开。

一、收敛半径

考虑

∑n

n

x

a

Cauchy-Hadamard 定理 n

n

a R lim 1=

（R 可以是0和∞+）

则上面幂级数在R x <绝对收敛，在R x >发散。

几个概念 收敛半径？收敛区间？收敛域？ 习题14 证明Cauchy-Hadamard 定理。

二、幂级数的性质

内闭一致敛性 幂级数在其收敛域上内闭一致收敛。也就是说在收敛区间上内闭一致收敛，如果级数在端点的收敛，则内闭区间可扩大到端点。

与分析运算可交换性 和函数在收域内连续；在收敛区间可逐项积分与逐项求导，而且逐项积分与逐项求导后的级数其收敛半径不变。 习题15 （P51，3）证明：设∑=

n n x a x f )(在R x <内收敛，若∑

++1

1

n n R n a 也收敛，则

=

?

R

x x f 0

d )(∑++11n n R n a

评注 这是一个很有用的结论，幂级数通过逐项积分后其收敛域可能扩大到端点。注意这里

不要求

∑n n x a 在R x =收敛。例如 +-+-=+=

32111

)(x x x x

x f ，1

2x x x 在1=x 是收敛的，由该结论 =+)1ln(x ++-

3

23

2x x x ，]1,1(-∈x ，从而 ++-=312112ln 习题16 求幂级数的收敛域。

（1）∑n n

x 2

2

（P51，1（8））

（2）n n n

n x n )1(])1(3[1

--+∑∞

=（P51，7（1）有所改动）

答案：（1）]1,1[-；（2）)4

5

,43(

三、幂级数展开

常用的幂数展开

=-x

11

？=+)1ln(x ？=x arctan ？=x e ？=x sin ？=x cos ？=+α)1(x ？ 欧拉公式 x i x e ix

sin cos += 习题17 求2

12arctan )(x

x

x f -=在0=x 的幂级数展开 提示：2

12

)(x x f +=

' 习题18 （1）求)1(ln 2

x +在0=x 的幂级数展开

（2）求∑∞

=-++++-11)1

211(1

)1(n n n n 的和

提示：（1）考虑级数的柯西乘积。（2）利用（1）的结论。

答案：（1）1,)1211(1

)1(211

12<++++-∑∞

=--x x n n x n n n ；

（2）22ln 2

第三部分 反常积分

§1 (不含参量的)反常积分

前言：Riemann 积分的定义要求积分区间有限，被积函数有界，如果这两有一条不满足，则称为反常积分。不含参量的反常积分大部分内容已经学过，这里再复习一下，它也是含参量反常积分的基础。

一、无穷积分

定义 )(x f 在),[+∞a 有定义，对a u ≥?，f 在],[u a 可积

def

a

x x f =?

+∞

d )(

类似地，def

b

x x f =?

∞

-d )(

def

x x f =?

+∞

∞

-d )(

评注

??

-+∞→+∞

∞

-≠u

u

u x x f x x f d )(lim d )(。例如?

+∞

∞-+x x x

d 12

按两种定义结果如何？

绝对收敛与条件收敛 如果对a u ≥?，f 在],[u a 可积，且?

+∞

a

x x f d )(收敛，称为绝对

收敛；如果

?

+∞

a

x x f d )(收敛，而?

+∞

a

x x f d )(不收敛，称为条件收敛。

评注 积分绝对收敛的定义与级数绝对收敛的定义有点不同。对于级数，

∑n

u

收敛就称

绝对收敛，而对于积分一定要有“对a u ≥?，f 在],[u a 可积”这个条件。否则绝对收敛

自身不一定收敛，例如：????-∈=Q

x x Q

x x x f ,/1,/1)(22，?+∞1d x f 收敛，但?u x f 1

d 不存在。 以后“对a u ≥?，f 在],[u a 可积”这个条件作为默认，不再明确指出。 审敛法

1．柯西准则

2．绝对收敛与条件的关系 3．比较判别法及其极限形式 4．柯西判别法及其极限形式 5．Able 与Dirichlet 判别法

评注 比较判别法只适于判别正值函数或绝对收敛，而柯西判别法是与-p 积分比较而得到的比较判别法。D A ,判别法是借助于积分第二中值定理证明的，而积分第二中值定理我们作为已知结论。对于D A ,判别法要理解其证明的思想以例把它平移到含参量的一致收性判别，再与级数的这两个方法比较，它们的本质是差不多的。 常用结论（它们收敛情况如何？）

1．-p 积分 ?

+∞

>a

p

x x a d )

0(，?+∞>a p x x x

a )(ln d )1( 2．?

+∞

1

d cos x x ax

p

，?+∞1d sin x x ax p 3．

?

+∞

1

2

d sin x x ，?+∞

1

2

d cos x x ，?+∞

1

4d sin x x x

二、瑕积分

请对照无穷积分写出有关定义的结论 评注 瑕积分都可转化为无穷积分

习题1 举例说明：在),[+∞a 上的连续函数0)(≥x f 或0)(>x f ， ?

+∞

a

x x f d )(收敛，

但0)(lim =/+∞

→x f x

习题2 （上册P276，9）f 在),[+∞a 上一致连续， ?

+∞

a

x x f d )(收敛，则0)(lim =+∞

→x f x

习题3 （上册P274，例3）讨论?

+∞

1

d cos x x ax

p ，?+∞1d sin x x ax p

（0>p ）的收敛性

习题4 讨论

)0(d arctan sin 1

>??

+∞

p x x

x

x p

的收敛性 提示 利用上题结论。答案 1>p 时绝对收敛；10≤

?

+∞

--0

1d ln x x e x t

x s 的收敛性

答案 1,0->>t s 时收敛，其它发散 习题6 讨论?---=

B 1

11

d )1(),(x x x

q p q p 的收敛性

§2 含参量反常积分

说明 主要以无穷积分为主进行讨论

一、一致收敛

定义 Cauchy 准则 M-判别法

Able 与Dirichlet 判别法 习题7 （P189，1（3）） 习题8 （P180，例1） 习题9 （P183，例3） 习题10 （P183，例4）

二、含参量反常积分的性质

连续性 可积性 可微性

习题11 （P189，2） 习题12 （P189，3）

习题13 （P189，4（1）（2）（3））

三、欧拉积分

习题14 证明欧拉积分（两个）在其定义域上内闭一致收敛 习题15 计算下面各题 （1）

?

-1

4

/11x dx ；（2）

2

/0

tan πdx x ；

（3）?+∞

-0

22

dx e x x

n

第四部分 向量函数

§1 欧氏空间n R

一、欧氏空间n

R

线性空间：n

R 首先作为线性空间（向量空间）有如下概念：线性表示（组合），线性相关（线性无关），子空间，基，维数等概念。

欧氏空间：n

R 作为欧氏空间有如下概念：内积，正交，范数，距离等概念。注意我们都是使用约定的内积，范数，距离。当然还要了解公理化定义的这三个概念。比如，

Ax x x x T A =),(（A 是对称正定矩阵）也是一种内积，而Ax x x

T A

=

就这个内积导出

的范数。

二、点集拓扑

有了距离的概念可导出n

R 上的拓扑。搞清下列概念： 邻域：

内点、外点、边界点：（内部，边界） 聚点、孤立点、外点：

开集、闭集：S 开?C

S 闭（P93，9） 区域：

有界集、无界集：（直径） 习题1 （P92，3） 习题2 （P313，2）

三、完备性

点列的极限：n T

k n k k k R x x x x ∈=),,,()()(2)(1)( ，如果)()(∞→→k x x i k i ，n i ,,2,1 =，

则称)

(k x

的极限是T n x x x x ),,,(21 =，

0lim lim )()(=-?=∞

→∞

→x x x x k k k k

Cauchy 准则：{}

)(k x 收敛?p K k K ?>??>?,,,0ε，有

ερ<-=++)()()()(),(k p k k p k x x x x

聚点定理： 有限覆盖定理：

§2 向量函数

一、线性映射（函数）

映射：单射，满射，一一对应，逆映射，复合映射等。它们是如何定义的？ 线性映射：（定义是什么？）

m n R R →的线性映射全体记为),(m n R R L ，而n n R R →的线性映射又称线性变换，其全

体记为)(n R L 。在),(m n R R L 中，可定义线性映射的加法、数乘（如何定义的？），使得),(m n R R L 又成为一个线性空间，还可定义乘法即复合线性映射（如何定义的？）。 线性映射的表示矩阵：在选定n

R 与m

R 的基之后，),(m n R R L 就与n

m R

?建立了一一对应关

系。设A ),(m n R R L ∈与之对应的矩阵A 就称为线性映射A 的表示矩阵。当都选定自然基时，Ax x =)(A 。在这种约定下，线性映射也说成一个矩阵，以后不再写粗体，要注意区分。

算子范数：线性映射也称为算子，在),(m n R R L 中定义算子范数如下：

Ax x

Ax A x x 1

max max

=≠==

可以证明这样定义的算子范数满足： （1）0≥A 且00=?=A A （2）R k A k kA ∈?=,

（3）B A B A +≤+，),(,m

n

R R L B A ∈

（4）A B BA ≤，),(),,(r m m n R R L B R R L A ∈∈

上面算子范数也可看成矩阵范数。有了范数，),(m n R R L 就成为线性赋范空间。

二、连续函数（映射）

连续和一致连续的定义：

有界闭集上连续函数的性质：P312，Th23.4.5.6 习题3 设)(x f 是n

R 上的实值连续函数，并满足： （1）0)(,0>≠x f x ；（2）)()(,0,x cf cx f c x =>??， 证明0,21>?c c 使x c x f x c 21)(≤≤

提示：单位球面{}

1|=∈=x R x D n 是有界闭集（为什么？），f 在D 取到最大值与最小值，记为2c 和1c 。

评注 由该题知，n

R 中所有范数（满足三条范数公理）都是等价的。即设αx 与β

x

是两

种范数，则0,21>?c c 使β

α

β

x

c x

x

c 21≤≤。例如对Ax x x

T A

=

与x x x T =（这

一结论在讨论极值时要用到）。这一结论可推广到有限维线性空间中的范数都是等价的。 习题4 证明m

n

R R f →:是连续函数的充要条件是开集的原象是开集。 评注 在一般拓扑空间中（不需要距离）用后者来定义连续映射。 习题5 证明不动点定理（P340，1）

三、向量函数的微分

可微（可导）的定义：f ：开m n R R D →?，D x ∈0，f 在0x 的导数是一个m

R D →的线性变换A ，它只与0x 有关。在可导的前提下，线性变换A 在都取自然基时的表示矩阵为

n m ?的Jacobi 矩阵仍记为A 。我们也可以说导数就是这个矩阵。

复合函数的导数（链式法则）：))(())(()(x f g x f g x h == ，则

)(),()()(x f y x f y g x h =''='

微分中值不等式：

评注 对于向量函数微分中值定理已不再成立，但有几乎等效的微分中值不等式。

式中)(ξf '是算子范数（也是矩阵范数） 二阶导数（Hesse 矩阵）： 极值的必要条件与充分条件：

习题6 设T u u u u u u u f w ),()(22313221--==，

T x

e x x x x x x g u ),sin ,cos ()(2211221== 求T g

f D )0,1()(

答案：??

????-131sin 2

习题7 设m n R R g f →:,可微，用复合函数的求导法则证明向量内积的求导公式

)()()()())()((x Df x g x Dg x f x g x f D T T T +=

提示：设 R R

F m

→2:，∑=++==m

i i m i m m m u u u u u u F u F 1

211),,,,()(

m n R R G 2:→，T m m x g x g x f x f x G u ))(,),(),(,),(()(11 ==

则 ))(()()(x G F x g x f T

=

??

????==+)()(),,,,,()()())()((121x Dg x Df u u u u x DG u DF x g x f D m m m T

)(),,()(),,(121x Dg u u x Df u u m m m +=+)()()()(x Dg x f x Df x g T T +=

习题8 设A 是对称正定矩阵，x b Ax x x f T T

-=

2

1)( 证明：)(min )(*

*x f x f b Ax n

R

x ∈=?= 习题9 证明极值充分条件（P321，Th32.16，加上)(0x f ''不定时，f 在0x 不取极值）

数学分析(2)期末试题

数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数 在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函 数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<<

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 65

数学分析复习提纲(全部版)

数学分析（4）复习提纲 第一部分 实数理论 §1 实数的完备性公理 一、实数的定义 在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理： （3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='? 3°x x A x A x '

聚点定理：(Weierstrass) 致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy) 习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。 评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？ §2 闭区间上连续函数的性质 有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8 介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10 一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 §3 数列的上(下)极限 三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（P173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。 第二部分 级数理论 §1 数项级数 前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无

数学分析考试大纲

《数学分析》考试大纲 一、考试的性质 数学分析是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。为帮助考生明确考试范围和有关要求，特制订出本考试大纲。 本考试大纲主要根据北京林业大学数学与应用数学本科《数学分析》教学大纲编制而成，适用于报考北京林业大学数学学科各专业（基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学）硕士学位研究生的考生。 二、考试内容和基本要求 1．实数集与函数 （1）确界概念，确界原理 （2）函数概念与运算，初等函数 要求：理解确界概念与确界原理，并能运用于有关命题的运算与证明。深刻理解函数的意义，掌握函数的四则运算。 2．数列极限 （1）数列极限的ε一N定义 （2）收敛数列的性质 （3）数列的单调有界法则，柯西收敛准则，重要极限 要求：深刻理解数列极限的ε一N定义，并会运用它验证给定数列的极限；掌握数列极限的性质，并会运用它证明或计算给定数列的极限；掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件证明或判断数列极限的存在性；掌握重要极限并能运用它计算某些数列极限。 3．函数极限 (1) 函数极限的ε一M定义和ε一δ定义，单侧极限 (2) 函数极限的性质 (3) 海涅定理（归结原则），柯西收敛准则，两个重要极限 (4) 无穷小量与无穷大量的定义、性质，无穷小（大）量阶的比较 要求:理解各类函数极限的定义，并能按定义验证给定的函数极限；掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限。掌握函数极限的归结原则，并能用它来判断函数极限的存在性和计算某些数列极限。掌握函数极限的柯西准则，了解单侧极限的单调有界定理；熟练掌握两个重要极限，并运用它们进行有关函数极限的计算；掌握各类无穷小量与无穷大量的定义与性质，理解无穷小（大）量的阶的概念。 4．函数的连续性 (1) 函数在一点连续，单侧连续和在区间上连续的定义，间断点的类型 (2) 连续函数的局部性质。复合函数的连续性，反函数的连续性。闭区间上连续函数的性质。 (3) 一致连续的定义，初等函数的连续性 要求:深刻理解函数连续性概念，掌握间断点的概念及分类；掌握连续函数的局部性质以及复合函数和反函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质；理解函数在区间上一致连续概念，并能用定义验证给定函数在某区间上为一致连续或非一致连续。

清华大学2006数学分析真题参考答案

清华大学2006数学分析真题参考答案 1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤g g g 则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-g g g （n=2,3,….） 那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界， {}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε?>?>，使当n m N >>时，有 n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-，考虑1()f x 和 3()f x 。 (i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在 412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。 (ii) ()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得 51()()f x f x =，也得到矛盾。 (2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。由介值定理，存在 412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。 ∴f(x)在I 必严格单调。 3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。 由罗尔定理，存在12(,)c x x ∈，使()0f c '= （1） 因为()0f x ≥，从而为()f x 极小值点，由费马定理 12()()0f x f x ''∴== （2） 由（1），（2）对()f x '在1[,]x c 和2[,]c x 用罗尔定理，则存在3144(,),(,),x x c x c x ∈∈ 使34()()0f x f x ''''==。再一次对()f x ''在34[,]x x 上应用罗尔定理， 34[,](,)x x a b ξ?∈?，使(3)()0f ξ=。 4．证：令t=a+b-x,则 ()()()b b b a a a f x dx f a b t dt f a b x dx =+-=+-? ??。对6 a π = ，

减数分裂知识点归纳

减数分裂和有性生殖知识点归纳 一、减数分裂的概念 1、范围：凡是进行有性生殖的生物； 2、时期：在从原始的生殖细胞发展到成熟的生殖细胞的过程中； 3、特点：细胞连续分裂两次，而染色体只复制一次； 4、结果：新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞中的数目减少了一半。 （注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂，又可进行减数分裂） 二、减数分裂的一般过程（动物） 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉、互换）减数第一次分裂（Ⅰ）中期Ⅰ：四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ：同源染色体分离（非同源染色体自由组合） 数末期Ⅰ：染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ：（对二倍体生物而言，已无同源染色体）减数第二次分裂（Ⅱ）中期Ⅱ：非同源染色体排在赤道板上 后期Ⅱ：着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ：DNA数目再减半 三、精子的形成过程 四、卵细胞的形成过程 五、精子、卵细胞产生过程的异同： 1、相同点：①都是性细胞（配子）②都经减数分裂产生 2、不同点：①卵原细胞两次分裂为不均质分裂（极体均质），精原细胞的分裂为均质分裂； ②1个卵原细胞产生1个卵细胞，1个精原细胞产生4个精子；

③精子的形成需变形，卵细胞的形成不变形。 六、配子种类（只考虑非同源染色体的自由组合，不考虑交换） （1）可能产生精子的种类：2n种 1个精原细胞（2）实际产生精子的种类：2种 （含n对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生的两个精子是相同的） 1个雄性个体（含n对同源染色体）产生精子的种类：2n种 （1）可能产生卵细胞的种类：2n种 1个卵原细胞（2）实际产生卵细胞的种类：1种 （含n对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） 1个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞的种类：2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 有丝分裂与减数分裂曲线的区别： 有丝分裂：起点与终点（染色体或DNA）数目相同； 减数分裂：起点（染色体或DNA数目）是终点的两倍。 DNA与染色体曲线的区别： DNA曲线有斜线（间期复制），染色体曲线没有斜线。 如图，BC段和JK段为斜线，则该图为DNA变化曲线； 曲线起点为A和I，终点为G和P， 则A→G为减数分裂，I→P为有丝分裂，G→I为受精作用。 如图，图中没有斜线，因此为染色体变化曲线； 起点为A和E，终点为E和K， 则A→E为有丝分裂，E→K为减数分裂， 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三看识别法（二倍体生物） 一看同源→有同源染色体：有丝分裂和减数第一次分裂，无同源染色体：减数第二次分裂 二看特殊行为→有联会或同源染色体分离等特殊行为的是减数第一次分裂， 没有特殊行为的是有丝分裂 三看是否均等分裂→均等：初（次）级精母细胞或第一极体 不均等：初（次）级卵母细胞 九、同源染色体的特点 ①来源：一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对（即联会）

数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分） 1、 证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微； 2、 设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、 设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、 计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点 的光滑曲线； 5、 计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分； 三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

小学数学分数知识点总结

小学数学（分数）知识点总结 1、分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里，中间的横线叫做分数线;分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 3、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 4、比较分数的大小: ⑴分母相同的分数，分子大的那个分数就大。 ⑵分子相同的分数，分母小的那个分数就大。 ⑶分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。 ⑷如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大;如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。

5、分数的分类 按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数 ⑴真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 ⑵假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 ⑶带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 6、分数和除法的关系及分数的基本性质 ⑴除法是一种运算，有运算符号;分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。 ⑵由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。 ⑶分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。 7、约分和通分 ⑴分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。 ⑵把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的

清华大学数值分析A第一次作业

7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？ 答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？ 答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。 答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613

12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字 答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。 答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。

八年级数学数据分析知识点归纳与例题

八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题 1．解统计学的几个基本概念 总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。 2.平均数 当给出的一组数据，都在某一常数a 上下波动时，一般选用简化平均数公式' x x a =+，其中a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;?当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。 3.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。 4.极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。 5.方差与标准差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是 s 2 = 1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]； 方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。 【能力训练】 一、填空题：

1．甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示： 2.甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm ， 它们的方差依次为S 2甲=，S 2乙=，S 2 丙=.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床。 3.一组数据：2，-2，0，4的方差是 。 4．在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比。初三(3)班将本班50篇学生调查报告得分进行整理(成绩均为整数)，列出了频率分布表，并画出了频率分组 频率 ～ ～ ～ ～ ～ 合计 1 根据以上信息回答下列问题: (1)该班90分以上(含90分)的调查报告共有________篇； (2)该班被评为优秀等级(80分及80分以上)的调查报告占_________%； (3)补全频率分布直方图。 5．据资料记载，位于意大利的比萨斜塔1918～1958这41年间，平均每年倾斜1.1mm ；1959～1969这11年间，平均每年倾斜1.26mm ，那么1918～1969这52年间，平均每年倾斜约_________(mm)(保留两位小数)。 6.为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业，在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表: 区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量(mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14 则该县这10个区域降雨量的众数为________(mm)；平均降雨量为________(mm)。 7.一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为________。 8．下图显示的是今年2月25日《太原日报》刊登的太原市2002年至2004年财政总收入完成情况，图中数据精确到1亿元，根据图中数据完成下列各题： (1)2003年比2002年财政总收入增加了_______亿元； (2)2004年财政总收入的年增长率是_______；(精确 到1％) (3)假如2005年财政总收入的年增长率不低于2004年 甲包装机 乙包装机 丙包装机 方差 （克2 ） 31．96 7．96 16．32 根据表中数据，可以认为三台包装机 中， 包装机包装的茶叶质量最稳 定。

数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()((0)f x dx A f A f A f -≈++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+= 产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

数学分析知识点总结

数学分析知识点总结 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。下面是小编整理的数学分析知识点总结，欢迎来参考！ 从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法

设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课： （1）矩阵理论 （2）随机过程 （3）信息论与编码 （4）现代数字信号处理 （5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。 （6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。 大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！ 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习

数值分析总复习提纲教材

数值分析总复习提纲 数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。 一、误差分析与算法分析 误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算 截断误差根据泰勒余项进行计算。 基本的问题是 (1)1 ()(01)(1)! n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。 例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。 解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知 211(01)2!!(1)! n x x n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+ 当x=1时，1 111(01)2! !(1)! e e n n θθ=+++ ++ <<+ 故3 (1)(1)!(1)! n e R n n θ=<++。 当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。 2、绝对误差、相对误差及误差限计算 绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是： ①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx ② *()()()ln r e x e x dx e x d x x x x ==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,)) ((,))(,) f x x f x x f x x εδ=

数学分析下册期末考试卷及参考答案

第 1 页 共 5 页 数学分析下册期末模拟试卷及参考答案 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已 知u =则 u x ?=? ，u y ?=? ，du = 。 2、设22L y a +=2：x ，则L xdy ydx -=? 。 3、设L ?? ?x=3cost ， ：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ?22L （x +y ）= 。 4、改变累次积分3 2 dy f dx ??3 y （ x ，y ）的次序为 。 5、设1D x y +≤： ，则1)D dxdy ??= 。 二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分， 共15分） 1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ） 点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。 ( ) 2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ） 在点p 00（x ，y ）连续。 ( ) 3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。 ( ) 4、 (,) (,) (,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx = ? ? 。 ( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ） 在D 上可积。( )

第 2 页 共 5 页 三、计算题 （ 每小题9分，共45分） 1、用格林公式计算曲线积分 (sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =-+-? ， 其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。 、计算三重积分 2 2()V x y dxdydz +???， 是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。

数学分析读书心得

数学分析读书心得 王俊艳 2011212106 摘要：通过这几个月对数学分析这门课程的学习，对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。 关键词：数学分析读书心得极限总结进步 尚在高中时，就不断听到有人告诉我说：好好学习吧，等到上大学时就轻松了。然而悲剧的是，当我们进入大学时，才发现在大学里我们仍需要好好学习，甚至说即使在课堂上好好听了，有时也不一定听得懂。 就拿数学分析来说，不同于高中的思维方式，它着重培养我们的逻辑思维能力，不单单是机械的使用公式，而是让我们理解并掌握这些公式成立的原因。这对于刚开始接触这门新课程的我们来讲，很难，对我来说，那些公式的证明是难上加难。 说起来，接触数分已经好几个月了，回过头来看，刚开始，第一章中上下确界很难懂，不过，当这一章实数集与函数学完后，觉得也不是那么难了。那么，就现在来说，我人仍然觉得很难的是极限，尤其是关于极限的证明。极限涉及两个章节，数列极限和函数极限，暂且不说在这两个章节中定义与性质非常多，难以记忆，即便勉强记忆，又很难熟练掌握，题的形式变化多样，不易观察出使用哪种方法来得出结果，再加上自从进入大学后，资料相对较少，没有高中的练习习题多，因此做题相对较少，没有从做题中总结出解这类题的一般规律，光学不练等于没学。普通的计算还好，一旦遇上证明题，思路很狭窄，不能很灵活的运用自己所学的知识点，思考过程比较混乱，还有就是在课堂上没有听懂的地方，在课下没有主动地去解决，在证明的过程中每一步骤为什么要这样写没有弄得的很明白。总之，我认为极限很难。 但是，作为一个数应并且师范专业的学生，学好自己主专业是最基本的要求，更何况，四年过后，我就会站上讲台，担负起培养下一代的重任，因此在这四年期间，培养成为老师的素养固然重要，同时，优异的学习成绩也必不可少，因此，及时再难学，我认为我们也不应该放弃，我们应该慢慢的解决每一个困惑，逐渐的进步。 首先，要保持对学习的热情。对自己有信心，不会因为那一版块难学，就不学了，俗话说：兴趣是最好的老师。毕竟，只有我们对数分感兴趣了，愿意学了，数分才又可能听懂，并且学好。再有就是好好做笔记，本来我们就缺乏相关资料辅助学习，老师上课所讲的东西就显的弥足珍贵了，把握好老师课堂上所讲的知识点，认真做好笔记，及时表明不理解的地方，等到有时间时，主动解决这些不懂的。另外就是，在课下做好预习和复习，好好地把书和笔记看一遍，这两步是必不可少的，无论是在大学还是高中。再有就是尽可能的抽出时间做点练习题，不仅可以巩固我们在课堂上所学的，还可以拓展我们的思维面，使我们的头脑更加的灵活。最后要说的是，我们要尽可能的多与我们老师沟通交流，遇到不明白的地方要及时的解决。

数学分析下册期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已 知u =则u x ?=? ，u y ?=? ，du = 。 2、设22L y a +=2：x ，则L xdy ydx -=? 。 3、设L ???x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ?22L （x +y ）= 。 4、改变累次积分32dy f dx ??3 y （x ，y ）的次序为 。 5、设1D x y +≤： ，则1)D dxdy ??= 。 二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一 阶偏导数。 ( ) 2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。 ( ) 3、若函数f （x ，y ） 在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则

必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。 ( ) 4、 (,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =??。 ( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ） 在D 上可积。( ) 三、计算题 （ 每小题9分，共45分） 1、 用格林公式计算曲线积分 (sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy = -+-? ， 其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

数学分析学习方法与心得体会

数学分析学习方法 数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。 1.提高学习数学的兴趣 首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。 2.知难而进，迂回式学习 首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。 中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。

数学分析考研大纲

数学分析考研大纲 第一部分 集合与函数 1、集合 实数集、有理数与无理数的调密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套 定理、聚点定理、有限复盖定理。2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广。 2、函数 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定 理。初等函数以及与之相关的性质。 第二部分 极限与连续 1、 数列极限 数列极限的N ε-定义，收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式 性质） 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关 系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用。 2、 函数极限 各种类型的一元函数极限的定义（εδ-、M ε-语言 ），函数极限的基本性质（唯一 性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限：sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号о与O 的意义。多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二 元函数的二重极限与累次极限的关系。 3、 函数的连续性 函数连续与间断的概念，一致连续性概念。连续函数的局部性质（局部有界性、保号性）， 有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值可达性、介值性、一致连续性）。 第三部分 微分学 1、一元函数微分学 （i ）导数与微分 导数概念及其几何意义，可导与连续的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义、 可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。 （ii ）微分学基本定理及其应用 Feimat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理， Taylor 公式(Peano 余项与 Lagrange 余项)及应用，函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。

《数学分析下册》期末考试卷

数学分析下册期末考试卷 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知xy u e =，则u x ?=? ，u y ?=? ，du = 。 2、设:L 224x y +=，则L xdy ydx -=?? 。 3、设 :L 229x y +=，则曲线积分ds ?22L （x +y ）= 。 4、改变累次积分b a dy f dx ??b y （x ，y ）的次序为 。 5、设2D y ax +≤2：x ，则 D dxdy ??= 。 二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、若函数f （x ，y ） 在区域D 上连续，则函数f （x ，y ）在D 上的二重积分必存 在。 ( ) 2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。 ( ) 3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。 ( ) 4、第二型曲线积分与所沿的曲线L （A ，B ）的方向有关。 ( ) 5、若函数f （x ，y ）在点00(,)x y 连续，则函数f （x ，y ） 在点00(,)x y 必存在一阶偏导数 。 ( )

三、计算题 （ 每小题9分，共45分） 1、用格林公式计算曲线积分 22()L I x y dx xy dy =-+?? ， 其中 L 是圆周222x y a += 2、计算三重积分 222()V x y z dxdydz ++???， 其中2222:V x y z a ++≤。

广州中考数学分析报告知识点汇总

近几年来广州市中考数学科试卷特点通过对近几年来广州市中考数学科试卷分析，我认为具有如下特点： 1、试题覆盖面广，涵盖了主要知识点，对初中必考的基础知识一般以选择题、填空题的形式进行考查，对初中知识的核心、主干内容以解答题的形式加以考查，以重点知识为主线组织全卷内容。 2、注重基础知识、基本技能的考查，难易安排有序，层次合理，有助于考生较好地发挥思维水平。 3、重视思想方法、数学能力的考查，包括对数形结合、归纳概括、转化思想、分类思想、函数与方程思想等内容的考查，很好地突出了试题的选拔功能。 4、重视从题目中获取信息能力的考查，通过阅读图表或从文字信息中识别出数学问题的背景，把各种数学语言有机地融合，恰当地转换，从而解决问题。 5、强化应用意识、创新思维的考查，体现在试题内容着力加强与社会实际和学生生活的联系，注重考查学生在具体情境中运用所学知识分析和解决问题的能力。突出对应用问题的考查，从学生熟悉的生活背景和广州市当年发生的重大事件入手，让学生深切地感受到“数学就在身边”。 根据以上分析，我们在复习备考中要做到下面几个要求： 1、重视基本知识和基本技能的训练，重视概念问题的教学，把各个概念的各种“变式题”训练到位，多收集新题型，与现在的教育改革接轨。

2、坚持教学方法的改进，课堂上多运用“启发式”、“探究式”、“讨论式”等教学方法，多设计和提出适合学生发展水平的具有一定探究性的问题，创设问题情境，进行“一题多解”、“一题多变”的训练，培养学生的发散思维和创新意识。 3、以学生为主体着眼于能力的提高，多让学生动手操作，积极引导和鼓励学生大胆思维，勇于发表自己观点，让学生拥有更多的参与思考、讨论交流的机会。教学中尽量避免包办代替式的单纯模仿式的教学，重视学生个性发展，培养学生创造能力。 4、注重数学思想方法的教学，要求学生不要用单一的思维方式去思考问题，应多方位、多角度、多层次地进行思考，形成一定的数学思维。 5、强化过程意识，避免让学生死记硬背公式、定理，重视数学概念、公式、定理的提出、形成、发展过程，让学生真正理解所学知识。 6、重视实际应用性问题的教学，联系社会生活实际和学生的生活实际，选取有时代性的地方特色的复习教材、资料，让学生在“做数学”的过程中，领悟数学的实际意义，最终提高学生的数学应用意识和学习的自学性。 7、培养学生独立思考能力，多把适当的问题抛给学生，多听学生的见解，使学生通过自己的的独立思考，创造性地解决问题。 8、重视数学语言的教学，要求应用数学语言准确，规范书写，熟练运用符号、文字、图表语言，逐步形成数学演绎推理能力。 2012-3-18 附《初中数学定义、定理、公理、公式汇编》