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数值积分计算

几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid

1. 引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法

Python科学计算与数据处理—绘制精美的图表.doc

Python科学计算与数据处理—绘制精美的图表 Matplotlib是python中最著名的绘图库。matlab提供了一套类似于MATLAB的命令API，非常适合交互式绘图。而且可以作为绘图控件方便地嵌入到图形用户界面应用程序中。它的文档非常完整，在图库页面中有数百个缩略图。打开后，有源程序。因此，如果你需要画一个特定类型的地图，你基本上可以通过浏览、复制和粘贴来完成。显示页面地址:快速绘图快速绘图matlab plot库的pyplot子库提供了一个类似MATLAB的绘图API，方便用户快速绘制三维图表。 (matplotlibsimpleplotpy)pylab模块matplotlib还提供了一个名为pylab的模块，该模块包含了numpy和pyplot中常用的许多功能，以方便用户快速计算和绘制，并可用于IPython中的快速交互使用。快速绘图库中的快速绘图函数库可以通过以下语句加载:下一步调用图形创建一个绘图对象并使其成为当前绘图对象。 figsize参数允许您指定绘图对象的宽度和高度单位。英寸dpi参数指定绘图对象的分辨率，即每英寸多少像素。默认值为。因此，本例中创建的图表窗口的宽度为* =像素。 IMPORTMATplotLIBPYPLOTASPTLTPLTFIGURE(Figure Size =(，))也可以在不创建绘图对象的情况下进行快速绘图。直接调

用下面的PLOT函数直接绘制一个绘图matplotlib将自动创建一个绘图对象。如果需要同时绘制多个图表，可以通过传递一个整数参数来指定图形图标的序列号。如果具有指定序列号的图形对象已经存在，它不会创建新对象，而只会使其成为当前图形对象。以下两行程序通过调用绘图函数在当前绘图对象中绘制:绘图绘图绘图(x，y，label = $ sin (x) $，color = red，linewidth =)绘图绘图绘图(x，z，b，label = $ cos (x) $)调用绘图函数的方法很灵活。在第一句传递x，y数组进行绘图后，使用关键参数指定各种属性:bulllabel:为绘制的曲线命名。这个名字显示在图例中。只要在字符串前后添加# # $ # # #符号matplotlib，就将使用其嵌入式latex引擎绘制的数学公式。 Bullcolor:指定曲线的颜色bulllinewidth:指定曲线的宽度第三个参数lsquorsquob ``指定曲线的颜色和线型Pltlot (x，y，label = $ sin (x) $，color = red，lineWidth =) Pltlot (x，z，b，Label = $ cos (x) $)快速绘制下一步，绘图对象的各种属性是通过一系列函数来设置的:bull label:设置X轴和Y轴的文本bulltitle:设置图表的标题bullylim:设置Y轴的范围bulllegend:显示图表最后，调用pltshow()来显示所有创建的绘图对象。 PLT Label(time(s))PLT Label(volt)PLT title(pyplot first example)PLT lim(，)pltllegend()quick drawing importnumppyanpmportationplotlibpyplotaspltx = NPL space(，)y =

(精选)实验二数值方法计算积分

实验二数值方法计算积分学号：姓名：指导教师：实验目的 1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法； 2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用； 3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。一、用不同数值方法计算积分 10x ln xdx=-94. (1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？ (2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。二、实现实验 1、流程图：下图是龙贝格算法框图：

2、算法： (1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h 2∑-=1 1 )](n k xk f ； (2) 复合辛普森公式：Sn=6h [f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1 )2/1(n k x f ]；以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。 (3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式 1、Sn= 34T2n-31 Tn 2、 Cn=1516S2n-151 Sn 3、 Rn=6364C2n-631 Cn 从而实现算法。 3、程序设计（1）、复合梯形法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0. 001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); （2）、复合辛普森法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0 .001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); （3）龙贝格法： function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4; end; M=1; tol=10; k=0; T=zeros(1,1); h=b-a; T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),

Excel数据的计算

Excel数据的计算教学目标：1、在Excel利用用自定义公式及函数进行计算； 2、了解Excel的函数使用方法，熟悉基本函数的使用。教学重点：了解Excel的函数使用方法，熟悉基本函数的使用。教学难点：基本函数的使用方法教学过程：一、新课导入，了解基本知识：信息社会，我们日常生活经常需要处理大量数据。例如，学生的成绩计算，操行分的统计，对于大量的数据，怎样通过电脑来帮助我们计算和统计数据呢？ Excel的算术运算符号：加 + 减 - 乘 * 除 / 百分比 % 乘方 ^ 三个常用函数：1、SUM：求和 2、PRODUCT：求乘积 3、AVERAGE：求平均二、新授课： I.回顾与思考：在word中进行数据计算，统计学生成绩表。 II、步骤： 1、求总分。把光标移到要计算总分的单元格，单击“表格”菜单中的“公式”选项。

SUM( )表示求和函数 LEFT表示求和范围为左边的数据 2、求平均分。把光标移到要计算平均分的单元格，单击“表格”菜单中的“公式”选项。 AVERAGE( )表示求平均函数 C2：F2表示求平均值范围的数据 III、探索与发现：提问： 1、什么叫做单元格地址？ 2、C3：E5包含几个单元格？ 1、答：电子表格采用了将单元格的列标和行号并在一起即为单元格地址的表示方法，如：C3表示第C列与第3行交叉的单元格地址。 2、答： C3：E5包含C 3、D3、E3，C 4、D4、E4，C 5、D5、E5这9个单元格组成的一个单元格区域。用EXCEL电子表格来处理数据。（1）、自动求和求成绩表总分 IV、步骤： 1）选择存放结果的单元格； 2）选择常用工具栏上的“自动求和”按钮； 3）选择需要求和的单元格区域后，按键盘上的“Enter”键确定即可；

Python科学计算与数据处理—符号运算库.doc

Python科学计算与数据处理—符号运算库符号运算库目录从示例开始欧拉恒等式球体体积数学表达式符号数值运算符和函数符号运算表达式转换和简化方程目录微分方程积分其他函数符号运算库。它的目标是成为一个功能齐全的计算机代数系统，同时保持代码简单、易于理解和可扩展。 SymPy完全用Python编写，不需要任何外部库。符号可用于数学表达式的符号推导和计算。您可以使用isympy来运行程序isympy来添加基于IPython 的数学表达式的可视化显示功能。在启动时，以下程序将自动运行:该程序首先将Python的除法运算符从整数除法改为普通除法。然后，从SymPy库中加载所有符号，并定义四个通用数学符号x、y、z、t，三个符号k、m、n表示整数，三个符号f、g、h 表示数学函数。 fromFutureimPortdivisionfromSymport * x，y，z，t =符号(# x，y，z，t #) k，m，n =符号(# k，m，n #，integer = true) f，g，h =符号(# f，g，h #，cls =函数)# initprinting()从这个例子开始，这个公式被称为欧拉恒等式，其中e是自然常数，I是虚单位，pi是pi。这个公式被认为是数学中最奇妙的公式。它通过加法、乘法和幂运算连接两个基本的数学常数。在从符号库中载入的符号中，E代表自然常数，I代表虚数，

单位pi代表周长比，所以上述公式可以直接计算如下:E * * (I * PI)从例子开始，符号不仅可以直接计算公式的值，而且有助于推导和证明数学公式。欧拉等式可以被替换成下面的欧拉公式:在SymPy中，您可以使用expand()来扩展表达式并进行尝试:没有成功，您只是更改了书写风格。当expand()的复数参数为真时，表达式将分为两部分:实数和虚数:expand (e * * (I * x)) expand (I * x)从示例开始，表达式这次被扩展，但结果相当复杂。显然，expand()使用x作为复数。为了将x指定为实数，需要重新定义x:最后，获得所需的公式。泰勒多项式可用于展开表达式:展开(exp (I * x)，复数=真)I * exp(im(x))* sin(re(x))exp(im(x))* cos(re(x))x =符号(x，实数=真)展开(exp (I * x)，复数=真)isin (x) cos (x)从示例开始，级数()对表达式执行泰勒级数展开。你可以看到虚项和实项在展开后交替出现。根据欧拉公式，虚项之和应等于正弦(x)的泰勒展开式，实项之和应等于余弦(x)的泰勒展开式。 Tmp =级数(exp (I * x)，x，，，prinTmpi * xx * * I * x * * x * * I * x * * x * * I * x * * x * * I * x * x * x * x * x * x * * o(x * *)tmp从下面的例子中得到tmp的实部:下面的cos(x)的泰勒展开式表明这些项

导数的数值计算方法[文献综述]

毕业论文文献综述信息与计算科学导数的数值计算方法一、前言部分导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示．导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理，统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具 ] 1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数] 2[．最简单的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有 [3] ． ()()() 'f x h f x f x h +-≈ ， ()()() 'f x f x h f x h --≈， ()()() '2f x h f x h f x h +--≈ ．需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化] 4[．

Excel利用函数进行数据计算(教案)

Excel利用函数进行数据计算（教案） ——制作歌手大奖赛成绩统计表（执教人：信息技术教研组王荔虹） [课题] Excel利用函数进行数据计算 [教学内容] Excel数据的函数运算 [教学对象] 1、子江中学初一（1）班。 2、对Excel有了初步的认识。 [教学目标] 知识目标：1、了解函数的定义、组成和使用方法； 2、掌握SUM、A VERAGE、MAX、MIN等几种函数的使用方法； 3、了解设置单元格格式的基本方法； 4、学会利用函数进行简单的计算。过程与方法：通过对Excel运用公式与函数运算的对比，能够在实际运用中正确选择和使用何种方法进行数据处理。情感目标：体验应用公式和函数解决问题的优势。，感受计算机的优势，增强学生学习计算机的兴趣。[教学重点] 掌握SUM、A VERAGE、MAX、MIN等几种函数的使用方法。 [教学难点] 1、理解函数的参数和函数参数的格式。 2、函数中的选定数据范围（包括连续和不连续）。 [教学方法] 1、创设情境法：教师创设好Excel的故事导入情境，激发学生的学习兴趣。 2、游戏讲授法：通过有趣的游戏环节，讲解Excel中什么是函数，通过故事内容中的数据让学生区分公式运算与函数运算。 3、任务驱动法：根据布置任务的具体要求，利用习得的知识经验进行迁移学习，从而达到相应的教学目标。 4、自主探究法：分小组结合书本、教师提示，自主探究、合作学习相应的教学目标。 [教学准备] 1、教师准备：提供Excel运算的辅助材料，如练习、导入材料等。 2、学生准备：课前分好小组。 3、教学环境：多媒体网络教室。 [课时] 1课时 [教学过程]

数值积分 (论文)

目录第一章数值积分计算的重述 (1) 1.1引言 (1) 1.2问题重述 (2) 第二章复化梯形公式 (3) 2.1 复化梯形公式的算法描述 (3) 2.2 复化梯形公式在C语言中的实现 (3) 2.3 测试结果 (4) 第三章复化simpson公式 (6) 3.1 复化simpson公式的算法描述 (6) 3.2 复化simpson公式在C语言中的实现 (6) 3.3 测试结果 (7) 第四章复化cotes公式 (8) 4.1 复化cotes公式的算法描述 (8) 4.2 复化cotes公式在C语言中的实现 (9) 4.3 测试结果 (10) 第五章Romberg积分法 (11) 5.1 Romberg积分法的算法描述 (11) 5.2 Romberg积分法在C中的实现 (12) 5.3 测试结果 (13) 第六章结果对比分析和体会 (144) 参考文献 (16) 附录 (16)

数值积分?-10 2 dx e x （一）第一章数值积分计算的重述 1.1引言数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 ()() () b a f x d x F b F a =-? 其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge 现象。如7n >时,Newton-Cotes 公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的Newton-Cotes 公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复化的基本思想。本文主要

用EXCEL电子表格进行数据计算

用EXCEL电子表格进行数据计算【摘要】本文介绍了应用EXCEL电子表格进行数据计算常见的四种方法。【关键词】数据；单元格；公式；函数；EXCEL VBA EXCEL作为三大办公软件（WORD、EXCEL、PPT）之一，以其功能强大、界面友好、应用快捷等特点深受大家的喜爱，已成为渗透到我们日常工作和生活中的一款颇具代表性的软件。它不仅能够方便处理表格和进行图形分析，更强大的功能体现在对数据的自动处理和计算。那么如何使用EXCEL对数据进行计算呢？ 1 直接输入数据进行计算打开EXCEL电子表格，选择单元格（以A1为例），在编辑栏处输入=100-10，按回车键，A1中的数据就变成了90了。还可以在A1单元格输入=100-10，按回车键，A1中的数据就变成90了。上述两种方法计算结果相同。如果输入的单元格列宽比较窄，而输入内容又比较多的情况下，前种方法输入内容显示完整，一目了然。简单的四则运算，如加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）

及幂（^）等都可采用这种方法。这些运算符号都可以直接通过键盘输入，快捷、方便。 2 应用公式进行计算公式是由用户自行设计的对工作表进行计算和处理的表达式。它由等号（=）开始，包含运算符，运算对象常量、单元格引用和函数等。往单元格中输入公式，选中单元格后就可以输入。例如，单元格A1和B1中已分别输入“10”和“20”，选定单元格C1并输入=A1+B1。按回车键，则在C1中就出现计算结果30。这时，如果再选定单元格C1时，在编辑栏中则显示其公式=A1+B1。编辑公式与编辑数据相同，可以在编辑栏中，也可在单元格中。双击含有公式的单元格，该公式就在单元格中显示。由例可见，应用公式时：（1）全部公式以等号开始；（2）输入公式后，其计算结果显示在单元格中；（3）当选定含有公式的单元格，该单元格的公式就显示在编辑栏中；（4）对输入单元格中数据的修改可立即引起公式结果的改变。 3 应用函数进行计算 EXCEL中既可应用内置函数，也可应用自定义函数来进行数据计算。 3.1 应用内置函数进行计算 EXCEL内置函数是预先定义，执行计算、分析等处理

Python科学计算与数据处理 —Python函数.doc

Python科学计算与数据处理—Python函数 Python的基本函数目录函数的定义以及调用函数的形式函数参数、局部变量和全局变量的标注表明，公共函数和调用函数的定义是一个能够完成特定功能的代码块，可以在程序中重用，以减少程序的代码量，提高程序的执行效率。 Python中函数定义的语法如下:deffunctionname (arg，arg)，:不需要Statementreturnvalue返回值。如果没有返回语句，python默认返回值无函数定义和调用定义函数通常使用def语句。函数名可以是任何有效的Python标识符。参数列表可以由多个、1或0个参数组成。括号是必不可少的，即使没有参数，你也不能没有它们。不要忘记括号后面的冒号。功能体必须注意缩进。形式和实际参数。 return语句结束函数调用，可以出现在函数体的任何地方。定义函数名(参数列表):函数体定义添加(X):X = XRETURNXdefd(X):X = XRETURNXADD()调用函数调用函数的一般形式如下:对于不使用RETURN语句的函数，它实际上向调用方返回一个值，即无。标准调用方法传递的值按照形式参数定义的顺序分配给它们。函数名(参数表)add()defmyad():sum = a = myad()aprintane调

用函数的形式关键字调用方法是在调用函数时给出形式参数和实际参数。当一个函数有多个参数时，关键字调用方法非常有用，因为解释器可以通过给定的关键字匹配参数的值，从而在定义函数时允许参数丢失或不按照形式参数的顺序提供实际参数。定义选择(X，Y):让Y班，X年级的学生清除选择(，，，，，，选择(X =，Y =)选择(Y =，X =)功能的参数。定义函数时，我们可以使用赋值符号为一些参数赋值，这样在调用函数时，如果调用者没有为参数提供值，就会使用默认值。如果在调用函数时为参数提供了一个值，则使用调用方提供的值将像这样的参数称为默认参数。默认参数必须在所有标准参数之后定义。 Deff (arg，arg =，arg =): print # arg = #，argprint # arg = #，argprint # arg = #，arg function parameter function with default parameter:function with default parameter by关键字:f(，arg =) arg = arg = f (arg =，arg =) arg = arg = f，Arg =) arg = arg = f，arg = f (arg =，Arg =)Arg = deff(Arg，Arg) arg =): print # arg = #，argprint # arg = #，argprint # arg = #，arg()arg = arg = f(，)arg = arg = f(，)arg = arg = arg = arg = arg =函数参数需要一个可以处理比最初声明的参数更多的参数的函数。这些参数称为不定长参数。带星号(*)的变量名将存储所有未命名的变量参数。也可以选择几个参数。

基础实验二定积分数值计算

基础实验二定积分数值计算一、实验目的学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。二、实验材料 2.1定积分的数值计算计算定积分?b a dx x f )(的近似值，可将积分区间n 等分而得矩形公式 n a b n a b i a f dx x f n i b a ---+≈∑?=]) 1([)(1 或 n a b n a b i a f dx x f n i b a --+≈∑?=][)(1 也可用梯形公式近似计算 n a b b f a f n a b i a f dx x f n i b a -++-+≈∑?-=]2)()()([)(11 如果要准确些，可用辛普森公式 n a b b f a f a b i a f n a b i a f dx x f n i n i b a 6)]()()2)21((4)(2[)(111-++--++-+≈∑∑?=-= 对于?1 0sin xdx ，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica 程序为 a=0;b=1;k=10; f[x_]:=Sin[x]; d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值） s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式） s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （取小区间中点的矩形公式） s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式） s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式） s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}]

Python科学计算与数据处理—ndarray 对象.doc

Python科学计算与数据处理—ndarray 对象 NumPy快速处理数据NumPyndarray对象目录NumPy导入创建数组访问元素多维数组结构数组NumPy导入标准Python使用列表保存一组可用作数组的值。然而，由于列表的元素可以是任何对象，所以存储在列表中的是指向该对象的指针。对于数值计算来说，这种结构显然浪费了内存和CPU计算。Python提供了数组模块，它不同于列表，可以直接存储数值。但是，它不适合数值计算，因为它不支持多维数组，也没有各种运算功能。数位币的引入弥补了这些不足。NumPy提供了两个基本对象:ndarray(ndimensiallaryobject)和ufunc(universalfunctionobject)。 Ndarray(以下统称为array)是一个存储单一数据类型的多维数组，而ufunc是一个可以处理该数组的函数。函数库导入导入创建数组在IPython中输入函数名，并添加一个符号以显示文档内容。例如，输入nparray可以通过将Python的序列对象传递给数组函数来创建数组。如果传递多级嵌套序列，将创建多维数组(以下示例中的变量c):create array a = NP array(，，，)b = nparray(，，，，，，，)c = nparray(，，，，，)Barry(，，，)carry(，，，，，cdtype# array的元素类型可以通过dtype属性(# int #)获得。创建的数组的大小可以通过其shape 属性获得:可以通过修改数组的shape属性来更改数组的每个轴的长度，同时保持数组元素的数量不变。

计算方法讲义：七数值积分

第七章数值积分如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a -=?来求得定积分。然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x >> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x) ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2 所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求?b a n dx x P )(得?b a dx x f )(的近似值。 7.1 插值型求积公式设?=b a dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使 ?=≈b a n dx x P I I )(* 。构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a b a x a f b a b x x P --+--= ，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=?? ? ???--+--==??称为梯形公式。

EXCEL的常用计算公式大全

EXCEL的常用计算公式大全一、单组数据加减乘除运算： ①单组数据求加和公式：=（A1+B1）举例：单元格A1：B1区域依次输入了数据 10和5，计算：在C1中输入 =A1+B1 后点击键盘“Enter（确定）”键后，该单元格就自动显示10与5的和15。 ②单组数据求减差公式：=（A1-B1）举例：在C1中输入 =A1-B1 即求10与5的差值5，电脑操作方法同上； ③单组数据求乘法公式：=（A1*B1）举例：在C1中输入 =A1*B1 即求10与5的积值50，电脑操作方法同上； ④单组数据求乘法公式：=（A1/B1）举例：在C1中输入 =A1/B1 即求10与5的商值2，电脑操作方法同上； ⑤其它应用：在D1中输入 =A1^3 即求5的立方（三次方）；在E1中输入 =B1^（1/3）即求10的立方根小结：在单元格输入的含等号的运算式，Excel中称之为公式，都是数学里面的基本运算，只不过在计算机上有的运算符号发生了改变——“×”与“*”同、“÷”与“/”同、“^”与“乘方”相同，开方作为乘方的逆运算，把乘方中和指数使用成分数就成了数的开方运算。这些符号是按住电脑键盘“Shift”键同时按住键盘第二排相对应的数字符号即可显示。如果同一列的其它单元格都需利用刚才的公式计算，只需要先用鼠标左键点击一下刚才已做好公式的单元格，将鼠标移至该单元格的右下角，带出现十字符号提示时，开始按住鼠标左键不动一直沿着该单元格依次往下拉到你需要的某行同一列的单元格下即可，即可完成公司自动复制，自动计算。二、多组数据加减乘除运算： ①多组数据求加和公式：(常用) 举例说明：=SUM（A1:A10）,表示同一列纵向从A1到A10的所有数据相加； =SUM（A1:J1）,表示不同列横向从A1到J1的所有第一行数据相加； ②多组数据求乘积公式：（较常用）举例说明：=PRODUCT（A1:J1）表示不同列从A1到J1的所有第一行数据相乘；=PRODUCT（A1:A10）表示同列从A1到A10的所有的该列数据相乘； ③多组数据求相减公式：(很少用) 举例说明：=A1-SUM（A2:A10）表示同一列纵向从A1到A10的所有该列数据相减； =A1-SUM（B1:J1）表示不同列横向从A1到J1 的所有第一行数据相减；

工程中的计算方法课件6 数值积分

6 数值积分如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且原函数为)(x F ，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a -=?计算定积分。然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求定积分。一个简单被积函数，例如错误!未找到引用源。dx cx bx a ?++2，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x >> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x) ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2 所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数)(x P n 来近似代替被积分函数)(x f ，然后通过求?b a n dx x P )(得?b a dx x f )(的近似值。 6.1 插值型求积公式设?=b a dx x f I )(* ，插值型求积公式就是构造插值多项式)(x P n ，使 ?=≈b a n dx x P I I )(*。构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a b a x a f b a b x x P --+--= ，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=?? ? ???--+--==??称为梯形公式。

微积分的数值计算方法

第七章微积分的数值计算方法 7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。 2．定积分计算问题计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I b a ?= )( 当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算： )()()(a F b F dx x f I b a -==? 然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。 3．数值积分的基本形式数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式 ∑?=≈n k k k b a x f A dx x f 0 )()( (7.1.1) 或记成 ∑?=+=n k n k k b a f R x f A dx x f 0 ][)()( (7.1.2) ∑==n k k k x f A I 0 * )( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数 k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论* I 的算法设计及其数值稳定性。 4．插值型求积公式如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式 )(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点

Python科学计算与数据处理 pandas的数据结构入门.doc

Python科学计算与数据处理pandas的数据结构入门熊猫条目目录熊猫的数据结构介绍了系列数据框架索引对象的基本功能，重新索引指定轴上的丢弃项索引、选择和过滤算术运算和数据对齐功能应用和映射排序和排序具有重复值的轴索引目录摘要和计算描述统计相关系数和协方差唯一值、值计数和成员处理缺失数据过滤缺失数据填充缺失数据层二级索引根据排序摘要统计重新排列排序顺序。使用数据框架的列。其他与熊猫相关的话题。熊猫包含先进的数据结构和操作工具，使数据分析更快更简单。它建立在NumPy之上，使以NumPy为中心的应用程序更加容易。因为Series和DataFrame经常使用，所以将它们引入本地命名空间更方便。从Frompandasimportseries开始，dataframemportpandassappandas数据结构介绍系列创建一个类似于一维数组的对象，它由一组数据(各种NumPy数据类型)和一组与之相关的数据标记(即索引)组成。最简单的系列只能从一组数据中生成:obj =系列(，，)objd type:int熊猫。序列的字符串表示如下:左边是索引，右边是值。由于没有为数据指定索引，因此会自动创建一个到N的整数索引(N是数据的长度)。序列的数组表示和索引对象可以通过序列的值和索引属性获得:objvaluesray(，，dt type = INT)objindexindindex(，，DTYPE = # INT

#)熊猫的数据结构介绍，通常希望创建的序列将有一个可以标记每个数据点的索引:OBJ =序列(，，，Index = # D #，B #，A #，C #)OBJDBACDTYPE:intobINDEX(U # D #，与普通的NumPy数组相比，熊猫的数据结构可以通过索引在序列中选择一个或一组值:obj # A # obj # d # = obj # C # # A # # d # cadd type:int熊猫数据结构简介NumPy数组操作(例如，基于布尔数组的过滤、标量乘法、数学函数的应用等。)将保留索引和值之间的链接:objobjobj * npexp(obj)dbacdtype:float pandas数据结构简介还可以将序列视为固定长度的有序字典，因为它是索引值到数据值的映射。它可以用于许多最初需要字典参数的函数:# b # inobjtrue # e # inobjfalsepanda的数据结构介绍，如果数据存储在Python字典中，也可以直接从该字典创建系列:sdata = {# ohio #:，# Texas #:，# Oregon #:，# Utah #:} obj = Series(sdata)objoiooregontexutahdtype:int熊猫介绍，如果只传入一个字典，结果系列中的索引就是原始字典的键(有序排列)。在该示例中，将找到与各州索引匹配的sdata值，并将其放在相应的位置，但是由于找不到对应于加利福尼亚州的sdata值，因此结果是NaN(即非数字)州= # California #、俄亥俄#、俄勒冈#、德克萨斯# OBJ =系列(SDATA，索引=州)OBJCALIFORNIA NanoHioOregonTexastype:FLOAT AMANS数据结构简介NAN用于表示缺失值或NA值。熊猫的是和不是函数可用于检测丢失的数

基于MATLAB的EXCEL数据计算与分析

基于MATLAB的EXCEL数据计算与分析潜刘方摘要：再怎么样希望先看摘要，阅读本文需要一定的MATLAB基础知识，不需要excel相关知识。结合本人近期工作上的需要测量计算，想偷懒就选择了利用MATLAB偷懒，于是便有了本文。本文首先利用MATLAB读取数据，计算，将数据写入excel，然后花了很大的精力来根据实际需要画图，最后将图保存在excel所在的文件夹下。这个m文件可谓花了我不少的时间和精力。最后根据m文件的不足（不能将图形输入到excel文档当中），进一步弥补这不足，就有了exlink（也叫excel link），在网上搜索了相关的知识，发现很多关于exlink 的培训，觉得实在可笑，所以就将exlink的使用写的比较详细，以供读者自行分析体会。关键字：MATLAB excel exlink接口一、前沿 MATLAB是一款应用在各个领域的数学软件，最初叫做矩阵实验室，专用于矩阵的运算，后来的版本再各个领域都得到了很好的应用，比如：通信、电力电子、电机控制、运动控制、计算机控制、自动控制，DSP数字信号处理。但是MATLAB对于数据的处理与可视化是很多软件所不能及的。 EXCEL作为办公必备软件，能对简单数据分析计算与作图分析，但是处理复杂数据显得力不从心，比如三维作图就无法利用EXCEL作出；EXCEL本身的函数远远没有MATLAB 多，MATLAB作为数据有其独特的优势，集成了很多数学函数，包括数据拟合差值等。MATLAB 可以从EXCEL中读取数据，经过相关运算之后又可以将数据写入EXCEL，假如需要重复性的对excel可以利用MATLAB编写函数，每次只要运行MATLAB程序就可以完成，大大节省时间和精力。另外，MATLAB还有与EXCEL的接口，叫做EXLINK，运用这个接口可以在excel中完成MATLAB函数的调用，还能传送数据给MATLAB，从MATLAB当中读取数据，从MATLAB 当中读取图形，使用方便，操作简单。二、基于MATLAB的数据分析数据分析操作流程主要分为三步：第一步，从excel中读取数据；第二部：利用MATLAB 大量函数对数据分析处理；第三步：将分析结果写入excel中。在整个过程中，不需要打开excel软件，操作十分方便，每次操作唯一要做就是修改excel所在的目录及文件名。主要函数如下（具体使用方法可在MATLAB命令窗口输入help+函数名查看）：Xlsread从excel中读数据 Xlswrite向excel中邪数据 num2str将数字转换为字符串 strncmp字符串比较 polyfit数据拟合 polyval具体数值代入求值 plot作图