导数及其应用2

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?? 导数及其应用（二）

导数与函数的单调性 突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间 基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．函数的单调性与导数的关系

函数y ＝f (x )在某个区间内可导：

(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增；(2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减；

(3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数．

2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论

(1)函数f (x )在(a ，b )内可导，且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.当x ∈(a ，b )时，

f ′(x )≥0?函数f (x )在(a ，b )上单调递增；f ′(x )≤0?函数f (x )在(a ，b )上单调递减．

(2)f ′(x )>0(<0)在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充分条件.

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

证明或讨论函数的单调性

定义法 在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x 1，x 2，且x 1

的大小关系来确定函数f (x )的单调性

图象法 利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个

区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数

导数法

利用导数判断可导函数f (x )在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性 [[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x

. (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

(2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；

(3)当0

1－a 2a ，则当x ∈? ????0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈? ???? 1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在? ????0，

1－a 2a 上单调递减，在 1－a 2a

，＋∞上单调递增． [方法技巧]

导数法证明或讨论函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤

(1)求f ′(x )；

(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；

(3)得出结论：当f ′(x )>0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．

[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

求函数的单调区间

[例2] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12

x ，求函数f (x )的单调区间．

[解] 对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34

－a ＝－2，解得a ＝54.所以f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2

，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5， 因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．

[方法技巧]

用导数求函数单调区间的三种类型及方法

(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．

(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．

(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点二]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )

A ．(－∞，2)

B ．(0,3)

C ．(1,4)

D ．(2，＋∞)

解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，所以f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.

2.[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．f (x )＝sin 2x

B ．f (x )＝x e x

C ．f (x )＝x 3－x

D ．f (x )＝－x ＋ln x

解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是?

???k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在????－∞，－33和???

?33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝

－x －1x ，令f ′(x )>0，得0

x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,2)

解析：选A 对于函数y ＝12

x 2－ln x ，易得其定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0

x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)． 4.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．

解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x

－a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当00；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，

故函数f (x )在????0，1a 上单调递增，在???

?1a ，＋∞上单调递减．由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

当a >0时，f (x )在????0，1a 上单调递增，在???

?1a ，＋∞上单调递减． 5.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .

(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；

(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间．

解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，由已知可得????? f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，

2a ＝3＋b ，

解得a ＝b ＝3. (2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6

， ∵a >0，∴x 10得，x <－a 2或x >－a 6；由F ′(x )<0得，－a 2

. ∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是????－∞，－a 2，????－a 6，＋∞；单调递减区间为????－a 2

，－a 6. 突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题

利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：

(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．

(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质

求解．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

已知函数的单调性求参数的取值范围

(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；

(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；

(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．

[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.

(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；

(2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围；

(3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．

[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．

(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．

(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±

3a 3

(a ≥0)．因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以3a 3＝1，即a ＝3. 应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增?f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减?f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒]

比较大小或解不等式

[例2] (1)若0

A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1

B ．e x 2－e x 1

C ．x 2e x 1>x 1e x 2

D ．x 2e x 1

(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)

的解集为________． [解析] (1)构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x

－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)

的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2

，故函数g (x )＝e x

x 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2

，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C. (2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12

<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2

)1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[方法技巧]

利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点一]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－6，＋∞)

B ．(－∞，－16)

C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)

D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)

解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋a x

，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－(2x 2＋4x )或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1

C.

2.[考点二](2016·南昌三模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若在△ABC 中，角C 是钝角，则( )

A ．f (sin A )>f (cos

B ) B ．f (sin A )

C ．f (sin A )>f (sin B )

D ．f (sin A )

解析：选A ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，又A 、

B 都是锐角，且A ＋B <π2，∴0

，∴sin A f (cos B )，故选A. 3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2

4.[考点一]已知函数f (x )＝x 3

3

－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．

解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意可得f ′(x )≥0在x ∈R 上恒成立，所以Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝4(m 2－6m ＋8)≤0，解得2≤m ≤4.答案：[2,4]

5.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．

解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则f (x )<3x －15的解集即为g (x )<0的解集．又g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以g (x )4.所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞)

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

1.(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13

sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B.????－1，13 C.????－13，13 D.?

???－1，－13 解析：选C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23

＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.

2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(0,1)

B ．(－1,0)∪(1，＋∞)

C ．(－∞，－1)∪(－1,0)

D ．(0,1)∪(1，＋∞)

解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2

，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，

∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，

∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，

由图知00，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的

x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.

3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )

＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x

<1，所以k ≥1.故选D. [课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

[练基础小题——强化运算能力]

1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(－∞，1)

D ．(1，＋∞)

解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D.

2．已知函数f (x )＝12

x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

解析：选A f ′(x )＝32

x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．

3.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )

解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．

4．若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．

解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]

5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．

解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )

A.????0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.???

?0，12和(2，＋∞) D ．(1,2) 解析：选C 函数f (x )＝x 2

－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0

或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是????0，12，(2，＋∞)． 2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( )

A.????－∞，518

B.(]－∞，3

C.???

?518，＋∞ D.[)3，＋∞ 解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即

3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32????x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32???

?x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32????4＋14＝518

，故选C.

3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2x 2＋23bx ＋c 3

的单调递减区间为( ) A.????12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3] D ．(－∞，－2)

解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以

????? 12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得????? b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3

，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12

时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2?

???x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f )2

1(，c ＝f (3)，则( )

A ．a

B ．c

C ．c

D ．b

解析选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函

数，所以a ＝f (0)

选C.

5．若函数f (x )＝x ＋b x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )

A ．(－2,0)

B ．(0,1)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，－2)

解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋b x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－b x 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.

6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，

有( ) A ．af (a )bf (b ) C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )

解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x

>0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.

二、填空题

7．若幂函数f (x )的图象过点????22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________． 解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点????22，12，所以12＝????22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2

8．已知函数f (x )＝12

x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间????13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在????13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在????13，2上恒成立，∵????－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83

，即a ≥43.答案：????43，＋∞

9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．

解析：由题图，????? f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于?

???? f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或?????

f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1) 10．若函数f (x )＝－13x 3＋12

x 2＋2ax 在????23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－????x －122＋14＋2a .当x ∈????23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′???

?23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19

.所以a 的取值范围是????－19，＋∞.答案：????－19，＋∞ 三、解答题

11．已知函数f (x )＝x －2x

＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性． 解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2

. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.

①当Δ<0，即00都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．

②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．

③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82

，0

此时f (x )在? ??

??∞上单调递增．

12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·?

???f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞)，且f ′(x )＝a (1－x )

x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；

当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．

(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2

＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋????m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．

由于g ′(0)＝－2，∴?????

g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；

由g ′(3)＞0，得m ＞－373.所以－373

＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是????－373，－9.

导数及其应用(2)

导数及其应用（2） 一、基础训练： 1．设曲线a x y e =有点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则实数a ＝ . 2．函数2sin y x x =-在()0,2π内的单调增区间为 . 3．若函数f (x )＝3 x ＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，则实数m 的范围是 . 4．将长为72m 铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则最大容积为 . 5．函数()f x （x ∈R ）满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足01)(<-'x f ，则不等式 2 2 ()1f x x <+的解集为 . 6．已知2 (),()(1)x f x xe g x x a ==-++，若12,,x x R ?∈使得21()()f x g x ≤成立，则实 数a 的取值范围是 . 二、例题分析： 例1．设ax x x x f 22 131)(2 3 ++ - =. （1）若)(x f 在),3 2 (+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<

例3．如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ． （1）求正四棱锥的体积V (x )； （2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？ 备用题：已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2 －3x (a ，b ∈R )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值； (3)若过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．

导数及其应用)

导数及其应用 导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义） 导数几何意义： 0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21 x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --= 2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ． 变式一： 3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12 - 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则 1299a a a +++的值为 .

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

2017年导数及其应用专题复习

2017年导数及其应用专题复习 知识点复习 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率： ()() 2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='=' →?=)()(lim )(000 00 ；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线() y f x =在点 ()() 00,x f x P 处的切线的斜 率． 4、常见函数的导数公式： ①' C 0=； ②1 ')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin ' =； ④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x ' ''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()() ()()()2 0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数' ' ()y f x =； （3）解不等式' ()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根

高中导数及其应用教案

教育教师备课手册 教师 姓名 学生姓名填写时间2012.2.1 学科数学年级高三上课时间 10:00-12:00 课时 计划 2小时 教学目标 教学内容中考复习三角形 个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教学过程 导数及其运用 知识网络 第1讲导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 x y ? ? .（3）取极限，得导数f'（x0）= lim → ?x x y ? ? . 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值研究 导数的定义 导数的物理及几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 导数的应用 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用

3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1 n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '= 1x ； (log )a x '=1 log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ' ()u v ±=' ' u v ±；' ()uv = ；' u v ?? = ??? (0)v ≠. 解析：' ' u v uv +； '' 2 u v uv v - ②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''()()f u x ?或x u x u y y '''?= ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量21x x x ?=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x g x =,212 233821 y x ?-==?- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2 )2cos 1(x y +=,则='y . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致

导数及其应用知识清单

导数及其应用知识清单 一、导数的概念 (1)如果当时，有极限，就说函数在点处存在导数，并将这个极限叫做函数在点处的导数(或变化率)，记作或，即 的几何意义是曲线在点处的；瞬时速度就是位移函数对的导数；加速度就是速度函数对______________的导数. (2)如果函数在开区间内的每一点都可导，其导数值在内构成一个新 函数，这个函数叫做在开区间内的导函数，记作或 . 二、几种常见函数的导数 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 三、可导函数的四则运算法则 法则1(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 .(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 四、函数的单调性 函数在某个区间内，若，则为；若，则 为；若，则为。如果一个函数在某个区间内的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时函数的图象就越“”。 五、（1）函数极值的概念

函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数 的，叫做函数的 . 函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数 的，叫做函数的 . 极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称为. （2）求函数极值的步骤： ①；②；③。 六、函数的最大值与最小值 在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1）；（2）。 七、生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。 八、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： （1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定。 （2）求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定。 （3）比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。 （4）还原到原实际问题中作答。 知识结构 说明：1、在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的， 代表函数在处的导数值，不一定为0 ；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0；

6-选修2-2导数及其应用知识点总结

选修2-2 导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为=??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率能够看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数运算公式：若()f x ，()g x 均可导，则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

2020版高中数学高二选修1-1教案及练习归纳整理70知识讲解导数的综合应用题基础

《导数及其应用》全章复习与巩固 编稿:李 霞 审稿: 张林娟 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一:有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上； ②切点在曲线上； ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组. 要点二:有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间(a,b)内可导, (1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a,b)内为增函数； (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a,b)内为减函数； (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a,b)内为常数函数. 要点诠释: (1)若函数()f x 在区间(a,b)内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a,b)内单调递减,则 '()0f x ≤. (2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤. ② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使min (,)0f x m ≥.

(或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使max (,)0f x m ≤) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题 (1)确定函数的定义域； (2)求导数)(x f '； (3)求方程0)(='x f 的根； (4)检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: ①先求出定义域 ②一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点； 若由负变正,则该点为极小值点. 注意:无定义的点不用在表中列出 ③根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； (3)求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ； (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 要点诠释: ①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值.

数学选修—导数及其应用(基础)

数学选修—导数及其应用 1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则 000 ()()lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x - D ．0 2．一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是 米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),(+∞-∞ D ．),1(+∞ 4．3 2 ()32f x ax x =++,若' (1)4f -=,则a 的值等于 A ．319 B ．3 16 C ． 313 D ．3 10 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数) (x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 6．函数344 +-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为 （ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 二、填空题 1．若 3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为 _________________； 2．曲线x x y 43 -=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin x y x = 的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数552 3 --+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。 三、解答题 1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线 3235y x x =+-相切的直线方程。 2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。 3．求函数543 ()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。 4．已知函数2 3bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。 1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A ．极大值5，极小值27- B ．极大值5，极小值11- C ．极大值5，无极小值 D ．极小值27-，无极大值 2．若' 0()3f x =-，则000()(3) lim h f x h f x h h →+--= A ．3- B ．6- C ．9- D ．12- 3．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线 41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 4．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若 ()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足 A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 5．函数x x y 1 42 + =单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),2 1(+∞ D ．),1(+∞ 6．函数x x y ln = 的最大值为（ ） A ．1 -e B ．e C ．2 e D ．3 10 1．函数2cos y x x =+在区间[0,]2 π 上的最大值 是 。 2．函数3 ()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。 3．函数3 2x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。 4．若3 2 ()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则 ,,a b c 的关系式为是 。 5．函数3 2 2 (),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。 三、解答题 1． 已知曲线12-=x y 与3 1x y +=在0x x =处的切 线互相垂直，求0x 的值。 3． 已知c bx ax x f ++=2 4 )(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

导数及其应用 复习课 教案

导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老

2.8导数及其应用

2.8导数及其应用 第一周周五60分钟 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.曲线y= x x 2 +在点(-1,-1)处的切线方程为( ) (A)y=2x+1 (B)y=2x-1 (C)y=-2x-3 (D)y=-2x-2 2.(2019·宿州模拟)若f(x)=2xf ′(1)+x 2，则f ′(0)等于( ) (A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4 3.y=sinx+tcosx 在x=0处的切线方程为y=x+1，则t 等于( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)0 4.已知函数f(x)=x 3+bx 2 +cx+d 在区间[-1,2]上是减函数，那么b+c( ) (A)有最大值 152 (B)有最大值-152(C)有最小值152 (D)有最小值-152 5.函数f(x)= 12e x (sinx+cosx)在区间[0，2π]上的值域为( ) (A)[12，122e π] (B)(12，12 2e π) (C)[1，2e π] (D)(1，2e π ) 6.(易错题)已知函数y=f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x)<0的解集为 ( ) (A)(-∞， 12)∪(12,2) (B)(-∞，0)∪(12 ，2) (C)(-∞，12) ∪(12，+∞) (D)(-∞，12)∪(2，+∞) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2019·哈尔滨模拟)等比数列{a n }中，a 1=1,a 2 012=4,函数f(x)=x(x-a 1)(x-a 2)…(x-a 2 012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为________. 8.已知函数f(x)=alnx+x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________.9.（2019·龙岩模拟)已知α、β是三次函数f(x)=3211x ax 2bx 32+ + (a,b ∈R)的两个极值点，且α∈(0,1),β∈(1,2),则b 2a 1 --的取值范围是______. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知函数f(x)满足如下条件：当x ∈(-1,1]时，f(x)=ln(x+1)，且对任意 x ∈R ，都有f(x+2)=2f(x)+1. (1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程； (2)求当x ∈(2k-1,2k+1]，k ∈N * 时，函数f(x)的解析式.

2、导数的应用(一)

实用文档 §12.2导数的应用（一） 【复习目标】 1． 会逆用多项式的求导法则，求多项式函数的解析式； 2． 会用导数判断函数的单调区间与单调性； 3． 会判断和求函数的极大值、极小值，求闭区间上函数的最大值、最小值． 【课前预习】 1. 给定函数32()2f x x x =+，则'()f x = ；'(0)f = ；'(2)f = 。 2. 已知函数42()f x x ax bx =++，且''(1)2,(1)6f f =-=，则a b += （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 3. 设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且'(0)6,f =则k = （ ） A ．0 B ．-1 C ．3 D ．-6 4. 已知0a >，函数312()f x ax x a =+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5. 函数432()44f x x x x a =-+--的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 6. 曲线3 3y x x =-上切线平行于x 轴的点有 个。

实用文档 【典型例题】 例1 已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点P （2，0），且在点P 处 有公切线，求,,a b c 及(),()f x g x 的表达式。 例2 讨论函数32(1)log ()a y x a x +=-的单调性。 例3 已知函数32()f x ax bx =+，曲线()y f x =过点P （－1，2），且在点P 处的切线 恰好与直线30x y -=垂直。 （1） 求,a b 的值； （2） 若在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围。

高中数学导数及其应用电子教案

高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；

②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。

导数及其应用、积分及其应用

高考数学 导数及其应用、积分及其应用 第一部分 知识点及公式 1.导数的几何意义：___________________________________________________ 2导数的定义： 设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 'x x y =，即'0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-=? 3切线： 0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点 0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 3导函数(导数): 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数 '()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4 常见函数的导数公式： 1.'0C =； 2.1)'(-=n n nx x ； 3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=； 4.x x 1)'(ln = ；e x x a a log 1 )'(log =； 5.x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 5和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 6积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=7商的导数：

2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2推理与证明知识点必记 13.归纳推理的定义是什么？ 答：从个别事实．．．．中推演出一般性．．． 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．． 的推理。 14.归纳推理的思维过程是什么？ 答：大致如图： 15.归纳推理的特点有哪些？ 答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义是什么？ 答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊．．到特殊．． 的推理。 17.类比推理的思维过程是什么？ 答： 18.演绎推理的定义是什么？ 答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般．．到特殊．． 的推理。 19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论 20.“三段论”可以表示为什么？ 答： ①大前题：M 是P ②小前提：S 是M ③结论：S 是P 。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？ 答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 22.什么是综合法？ 答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 23.什么是分析法？ 答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。 要注意叙述的形式：要证A ，只要证B ，B 应是A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 24什么是间接证明？ 观察、比较 联想、类推 推测新的结论 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案

§1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这

样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈-

导数及其应用

1．设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,f n+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 2．已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（） A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1 C．f(x)=2(x-1)2D．f(x) = -x+3 3.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________. 4．设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间； （2）若f(x)在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。 6．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。 7．已知a∈R,讨论函数f(x)=e (x2+ax+a+1)的极值点的个数。 8．设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)≥0; (2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 例2．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。 （1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。 （2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。