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怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第六章线性空间

第六章线性空间 §1 集合·映射

一、集合

集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用

M a ∈

表示a 是集合M 的元素，读为：a 属于M .用

M a ?

表示a 不是集合M 的元素，读为：a 不属于M .

所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.

设M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成

{}具有的性质

a a M |=. 不包含任何元素的集合称为空集，记作Φ.

如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即M a ∈当且仅当N a ∈，那么它们就称为相等，记为N M =.

如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由M a ∈可以推出N a ∈，那么M 就称为N 的子集合，记为N M ?或M N ?.

两个集合M 和N 如果同时满足N M ?和M N ?.，则M 和N 相等. 设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的交，记为N M .

属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为

N M .

二、映射

设M 和M '是两个集合，所谓集合M 到集合M '的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M '中一个确定的元素a '与之对应.如果映射σ使元素M a '∈'与元素M a ∈对应，那么就记为

σ,

)

(

a'就称为a在映射σ下的像，而a称为a'在映射σ下的一个原像.

M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.

关于M到M'的映射σ应注意：

1）M与M'可以相同，也可以不同；

2）对于M中每个元素a，需要有M'中一个唯一确定的元素a'与它对应；

3）一般，M'中元素不一定都是M中元素的像；

4）M中不相同元素的像可能相同；

5）两个集合之间可以建立多个映射.

σ=集合M到集合M'的两个映射σ及τ，若对M的每个元素a都有)

(

aτ

)

σ=..

则称它们相等，记作τ

例1M是全体整数的集合，M'是全体偶数的集合，定义

σ,

)

(

n∈

这是M到M'的一个映射.

例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义

σ.

(

)

=,|

A∈

这是M到P的一个映射.

例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义

σ.

)

(

a∈

E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.

例4 对于]

[

f∈,定义

)

(

)

))

这是]

P到自身的一个映射.

a是M'中一个固定的元素，定义例5 设M，M'是两个非空的集合，

σ.

)

(

a∈

这是M到M'的一个映射.

例6 设M 是一个集合，定义

M a a a ∈=,)(σ.

即σ把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为

M 1.

例7 任意一个定义在全体实数上的函数

)(x f y =

都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.

对于映射可以定义乘法,设σ及τ分别是集合M 到M '，M '到M ''的映射，乘积τσ定义为

M a a a ∈=,))(())((σττσ,

即相继施行σ和τ的结果，τσ是M 到M ''的一个映射.

对于集合集合M 到M '的任何一个映射σ显然都有

σσσ=='M M 11.

映射的乘法适合结合律.设ψτσ,,分别是集合M 到M '，M '到M ''，M ''到

M '''的映射，映射乘法的结合律就是

)()(τσψσψτ=.

设σ是集合M 到M '的一个映射，用

)(M σ

代表M 在映射σ下像的全体，称为M 在映射σ下的像集合.显然

M M '?)(σ.

如果M M '=)(σ，映射σ称为映上的或满射.

如果在映射σ下，M 中不同元素的像也一定不同，即由21a a ≠一定有

)()(21a a σσ≠,那么映射σ就称为11-的或单射.

一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.

对于M 到M '的双射σ可以自然地定义它的逆映射，记为1-σ.因为σ为满

射，所以M '中每个元素都有原像，又因为σ是单射，所以每个元素只有一个原像，定义

a a a a '=='-)(,)(1σσ当.

显然，1-σ是M '到M 的一个双射，并且

M M '--==1,111σσσσ.

不难证明，如果τσ,分别是M 到M '，M '到M ''的双射，那么乘积τσ就是M 到M ''的一个双射.

§2 线性空间的定义与简单性质

一、线性空间的定义.

例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.

10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算; 20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算. 30 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.

例2. 数域P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.

定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于V 中任意两个向量α与

β,在V 中都有唯一的一个元素γ与它们对应,称为α与β的和,记为βαγ+=.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素α,在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应,称为k 与α的数量乘积,记为αδk =.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.

加法满足下面四条规则：: 1) αββα+=+；

2) )()(γβαγβα++=++；

3) 在V 中有一个元素0,V ∈?α,都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）；

4) 0,,=+∈?∈?βαβαst

V V (β称为α的负元素).

数量乘法满足下面两条规则： 5) αα=1; 6) αα)()(kl l k =;

数量乘法与加法满足下面两条规则：

7) αααl k l k +=+)(; 8) ;(βαβαk k k +=+）

在以上规则中，l k ,等表示数域P 中任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素. 例3 数域P 上一元多项式环][x P ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用n x P ][表示.

例4 元素属于数域P 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ?表示.

例5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.

例6数域P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法:

V R a a ∈∈=αα,,0.

2) R 上n 次多项式的全体所作成的集合W 对于多项式的加法和数与多项式的乘法.

例8 设V 是正实数集, R 为实数域.规定

αββα=⊕(即α与β的积), a ⊙α=a α(即α的a 次幂),

其中R a V ∈∈,,βα.则V 对于加法⊕和数乘⊙作成R 上的线性空间. 二线性空间的简单性质

线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 ,,,γβα代表线性空间V 中的元素，用小写拉丁字母 ,,,c b a 代表数域P 中的数.

1.零元素是唯一的.

证明：设0与0'均是零元素，则由零元素的性质，有

00'00'=+=； 2.负元素是唯一的.

证明：V α?∈，设,'ββ都是α的负向量，则

0(')'()0βββαββαβββ=+=++=++=+=，

于是命题得证。由于负向量唯一，我们用α-代表α的负向量。

我们定义二元运算减法“-”如下：

αβ-定义为()αβ+-。

3..)1(;00;00ααα-=-==k

4.如果0=αk ,那么0=k 或者0=α.

§3 维数·基与坐标

一、向量的线性相关与线性无关

定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V 一组向量,r k k k ,,,21 是数域P 中的数，那么向量

r r k k k αααα+++= 2211.

称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组

r ααα,,,.21 线性表出.

定义3 设

r ααα,,,.21 ; (1)

s βββ.,,21 (2)

是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.

定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使

0.2211=+++r r k k k ααα . (3)

如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组

r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立.

几个常用的结论：

1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α.两个以上的向量r

ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.

2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤.

由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.

3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的.

在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.

定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的.

定义6 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基.设α是V 中任一向量，于是αεεε,,,,21n 线性相关，因此α可以被基

n εεε,,,21 线性表出：

n n a a a εεεα+++= 2211.

其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记为),,,(21n a a a .

由以上定义看来，在给出空间V 的一组基之前，必须先确定V 的维数. 定理1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,.21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,.21 就是V 的一组基.

例1 在线性空间n x P ][中，

12,,,,1-n x x x

是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基.

例2 在n 维的空间n P 中，显然

??????

?===)

1,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(2

1 n εεε 是一组基.对于每一个向量),,,(21n a a a =α,都有

n n a a a εεεα+++= 2211.

所以),,,(21n a a a 就是向量α在这组基下的坐标.

例3 如果把复数域C 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组基, 把复数域C 看作是实数域上的线性空间，那么它就是二维的，数1与

i 就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.

例4 求证：向量组{}12,x x e e λλ的秩等于2（其中12λλ≠）

证明：方法一：设P k k ∈21,，满足12120x x k e k e λλ+=，则1212x x k e k e λλ=-，假若

12,k k 不全为零，不妨设10k ≠，则有12()2

x k e k λλ-=-，而由于12λλ≠，等号左边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数.于是

120k k ==.

所以12,x x e e λλ线性无关，向量组的秩等于2. 方法二：若在(,)a b 上12120x x k e k e λλ+=，两端求导数，得

1211220x x k e k e λλλλ+=，

以(,)x c a b =∈代入，

12121211220,

c c

k e k e k e k e λλλλλλ?+=??+=?? 而

12122

()2112()0c

c c c

e e e e e λλλλλλλλλλ+=-≠，

于是 120k k ==.

§4 基变换与坐标变换

在n 维线性空间中，任意n 个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的.

设n εεε,,,21 与n εεε''',,,21

是n 维线性空间V 中两组基，它们的关系是 ??????

?+++='+++='+++='.,,22112222112212211111

n nn n n n

n n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε (1) 设向量ξ在这两组基下的坐标分别是),,,(21n x x x 与),,,(21

n x x x ''' ，即 .2211

2211n n n n x x x x x x εεεεεεξ''++''+''=+++= (2) 现在的问题就是找出),,,(21n x x x 与),,,(21

n x x x ''' 的关系. 首先指出，(1)中各式的系数

n j a a a nj j j ,,2,1,),,,(21 =

实际上就是第二组基向量),,2,1(n j j ='ε在第一组基下的坐标.向量

n εεε''',,,21

的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这个矩阵是可逆的.

为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量

.2211n n x x x εεεξ+++=

写成

????

??=n n x x x 2121),,,(εεεξ, (3)

也就是把基写成一个n ?1矩阵，把向量的坐标写成一个1?n 矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.

相仿地，(1)可以写成

??='''nn n n n n n n a a a a a a

a a a 2

22221112112121

),,,(),,,(εεεεεε. (4) 矩阵

??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2

22221

11211

称为由基n εεε,,,21 到n εεε''',,,21

的过渡矩阵，它是可逆的. 在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律. 设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是V 中两个向量组，()()ij ij b B a A ==,是两个n n ?矩阵，那么

;))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =

;))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα .),,,(),,,(),,,(22112121A A A n n n n βαβαβαβββααα+++=+ 现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有

??????

? ??''''''=n n x x x 2

1),,,(εεεξ. 用(4)代入，得

??????

? ??'''??????? ??=n nn n n n n n x x x a a a a a a

a a a 2

22221

1121121),,,(εεεξ.

与(3)比较，由基向量的线性无关性，得

??????

? ??'''??????? ??=??????? ??n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2

222211121121, (5) 或者

???

????????? ??=??????? ??'''-n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 211

22221112112

. (6)

(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式.

例1 在§3例2 中有

?='''111011

001),,,(),,,(2121

n n εεεεεε ??

?=111011001 A 就是过渡矩阵.不难得出

???

?--=-1000001

0000100011 A .

因此

????

?????????

?--=?

?????? ??'''n n x x x x x x

212

100000100001000

也就是

)2(,111n i x x x x x i i i ，， =-='='-.

与§3所得出的结果是一致的.

例2 取2V 的两个彼此正交的单位向量21,εε它们作成2V 的一个基.令21

,εε''分别是由21,εε旋转角θ所得的向量，则21

,εε''也是2V 的一个基，有 θ

εθεεθεθεεsin sin sin cos 212211+-='

+='

所以｛21,εε｝到｛21

,εε''｝的过渡矩阵是 ???

? ?

?-θ

θθθ

cos sin sin cos . 设2V 的一个向量ξ关于基｛21,εε｝和｛21,εε''｝的坐标分别为),(21x x 与(21

,x x '').于是由(5)得

,cos sin sin cos 2121???

? ??''????

??-=???? ??x x x x θθ

θθ

即

.cos sin ,sin cos 212

1θθθθx x x x x x '+'=''-'=

这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.

§5 线性子空间

一、线性子空间的概念

定义7 数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空

间（或简称子空间），如果W 对于V

的两种运算也构成数域P 上的线性空间.

定理2 如果线性空间V 的一个非空集合W 对于V 两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W 就是一个子空间.

既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.

例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.

例2 线性空间V

本身也是V 的一个子空间.

在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V 的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.

例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例4 n x P ][是线性空间][x P 的子空间. 例5 在线性空间n P 中，齐次线性方程组

????

?=+++=+++=+++0

,0,0221122221211212111n sn s s n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩.

二、生成子空间

设r ααα,,,21 是线性空间V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合

r r k k k ααα+++ 2211

所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，这个子空

间叫做由r ααα,,,21 生成的子空间，记为

),,,(21r L ααα .

由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量r ααα,,,21 ，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含),,,(21r L ααα 作为子空间.

在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W 是V 的一个子空间，W 当然也是有限维的.设r ααα,,,21 是W 的一组基，就有

),,,(21r L W ααα =.

定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）

),,,(21r L ααα 的维数等于向量组r ααα,,,21 的秩.

定理4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，m ααα,,,21 是

W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可

以找到m n -个向量n m m ααα,,,21 ++使得n ααα,,,21 是V 的一组基.

结论数域P 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间

W b a W F b a ∈+∈∈??βαβα都有,,,,.

§6子空间的交与和

定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是

V 的子空间.

只需要证明12V V 关于加法与数乘封闭即可.

事实上，12,V V αβ?∈ ，则1,V αβ∈，2,V αβ∈。由于12,V V 均是V 的子空间，则12,V V αβαβ+∈+∈，于是12V V αβ+∈ ，12V V 关于加法封闭，

12V V α?∈ ，k K ∈，12,kv V kv V ∈∈，于是12kv V V ∈ ，12V V 关于数乘封闭.

由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：

1221V V V V =(交换律)，

)()(321321V V V V V V =（结合律）.

由结合律，可以定义多个子空间的交：

i i s V V V V 121==,

它也是子空间.

定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.

定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.

只需要证明12V V +关于加法与数乘封闭即可.

事实上，12,V V αβ?∈+，则由12V V +的定义，111222,,,V V αβαβ?∈∈，使得

1212,αααβββ=+=+，而111222,V V αβαβ+∈+∈，则

1212112212()()()()V V αβααββαβαβ+=+++=+++∈+，12V V +关于加法封闭，

12,V V k K α?∈+∈，1122,V V αα?∈∈，使得12ααα=+，由于1122,k V k V αα∈∈，则121212()k k k k V V ααααα=+=+∈+，12V V +关于数乘封闭.

由定义有，子空间的和适合下列运算规律：

1221V V V V +=+(交换律)，

)()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.

由结合律，可以定义多个子空间的和

∑==+++s

i i s V V V V 121 .

它是由所有表示成

),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα

的向量组成的子空间.

关于子空间的交与和有以下结论：

1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ?与2V W ?可推出21V V W ?；而由1V W ?与2V W ?可推出21V V W +?.

2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ? 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.

例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.

例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组

????

?=+++=+++=+++0

,0,0221122221211212111n sn s s n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与

??????

?=+++=+++=+++0

,0,0221122221211212111n tn t t n

n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组

??????????

?=+++=+++=+++=+++0

,0,

0,0221112

1211122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a

的解空间.

例3 在一个线性空间V 中，有

),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.

关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.

定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么

维（1V ）+维（2V ）=维（21V V +）+维（21V V ）.

证明：设1d i m V s =，2dim V t =，12dim()V V n +=，12dim()V V r = ，取12

V V 的一组基12,,,r εεε （若12V V =0，则0r =，基为空集），将此基分别扩充为12,V V 的基

1212,,,,,,,r s r εεεααα- ，

1212,,,,,,,r t r εεεβββ- ，

只需要证明121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ-- 是12V V +的一组基即可. 首先，易见12V V +中的任一向量都可以被121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ-- 线性表出.事实上，12V V γ?∈+，则12γγγ=+，其中1122,V V γγ∈∈，而

111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++

211221122.r r r

r t t r l l l l l l γεεεααα++-

=+++++++ ,i j k l K ∈

于是12γγγ=+可被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ-- 线性表出.只要再证明向量组121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ-- 线性无关即可.设

1122112211220r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++++++= ，其中,,i j h k a b K ∈，则

112211221122r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++=---- ，（*）于是

112211221r r s r s r k k k a a a V εεεααα--+++++++∈ ，

11222t r t r b b b V βββ------∈ ，

于是1122112212r r s r s r k k k a a a V V εεεααα--+++++++∈ ，记为α. 则α可被12,,,r εεε 线性表示，因而

1122r r h h h αεεε=+++ ，

带入（*），有

112211220r r t r t r h h h b b b εεεβββ--+++++++= ，

由于1212,,,,,,,r t r εεεβββ- 是2V 的一组基，所以线性无关，则

12120r t r h h h b b b -======== ，带回（*），又有

12120r s r k k k a a a -======== ，

于是向量组121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ-- 线性无关.

从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.

推论如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，

2V 必含有非零的公共向量.

怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第六章 线性空间

怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第六章线性空间