1.(2014新课标1)已知A (0,-2),椭圆E :
2
22
2
y x a b
+=1(a>b>0)
,F 是椭圆的焦点,直线AF
的斜率为
3
,O 为坐标原点。 (1)求E 的方程;
(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P 、Q 两点,当ΔOPQ 的面积最大时,求l 的方程。
2.(2014新课标2)设1
F
、2
F
分别是椭圆C :222
2
y
x a b
+=1(a>b>0)的左右焦点,M 是C
上一点,且M
2
F
与x 轴垂直,M
1
F
与C 的另一个交点为N 。
(1)若直线MN 的斜率为
3
4
,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且MN =51
N
F ,求a,b 的值。
3.(2014辽宁卷)圆
2
2
y
x +
=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该
三角形面积最小时,切点为P(如图)。双曲线
1
C
:22
x a -22
y b
=1过点P
(1)求
1
C
的方程; (2)椭圆
2
C
过点P 且与
1
C
有相同的焦点,直线l 过
2
C
的右焦点且与
2
C
交与A 、B 两
点。若以线段AB 为直径的圆过点P,求直线l 的方程。
4.(2014上海卷)在平面直角坐标系xoy 中,对于直线l:ax+by+c=0和点
1
P (1
x ,1
y
),
2
P (2
x
,
2
y
),记η=(a
1
x +b 1
y
+c)(a
2
x
+b
2
y
+c).若η<0,则称点
1
P
、
2
P
被直
线l 分割。若曲线C 与l 没有公共点,且曲线C 上存在点1
P
、
2
P
被直线l 分割,则称直
线l 为曲线C 的一条分割线。
(1)求证:点A (1,2),B (-1,0)被直线x+y-1=0分割;
(2)若直线y=kx 是曲线
2
x
-4
2
y
=1的分割线,求实数k 的取值范围;
(3)动点M 到点Q(0,2)的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E 。求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分割线。
5.(2014)已知椭圆C :222
2
y x a b
+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个
端点构成正三角形。
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线x=-3上的任意一点,过F 做TF 的垂线,交椭圆C 与P 、Q 两点。
(i )证明:OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点); (ii )当
TF
PQ
最小时,求点T 的坐标。 6(2014湖北卷)在平面直角坐标系xoy 中,点M 到点F(1,0)的距离比它到y 轴的距离多1。记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程;
(2)设斜率为k 的直线l 过点P (-2,1),求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时K 的取值范围。
7.(2014天津卷)设
1
F
、2
F
分别是椭圆C :222
2
y
x a b
+=1(a>b>0)的左右焦点,右顶点为
A,上顶点为B 。已知AB
1
2
F F
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1
F
,经过原点的直线l
与该圆相切,求直线的斜率。
8.(2014年安徽卷)如图,已知两条抛物线1
E :2
y
=2
1
p
x (
1
p
>0)和
2
E
:
2
y
=2
2
p
x (
2
p
>0),过原点O 的两条直线
1
l 和2
l ,1
l
和
1
E 、2
E
分别交于
1
A 、2
A
两点,2l 和
1
E
、
2
E
分别交于
1
B
、2
B
两点.
(1)证明:
1
A 1
B
‖
2
A 2
B
;
(2)过原点O 作直线l (异于
1
l 、2
l
)与
1
E 、2
E
分别交于
1
C 、2
C
两点,记Δ
1
A 1
B 1
C
与Δ
2
A 2
B 2
C
的面积分别为1
S
、2
S
,求12
S
S
的值。
9.(2014湖南卷)如图,O 为坐标原点,椭圆
1
C
:222
2
y x a b
+=1(a>b>0)的左右焦点分别为
1
F
、2
F
,离心率为1
e
;双曲线2
C
:22
x a -22
y
b
=1的左右焦点分别为
3
F
、
4
F
,离心
率为
2
e
。已知1e 2
e
2
4
F F
(1)求1
C 、2
C
的方程;
(2)过
1
F
作
1
C
的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点。当直线OM 与
2
C
交于P 、Q 两点
时,求四边形APBQ 的面积的最小值。
10(2014广东卷)已知椭圆C :
222
2
y x a b
+=1(a>b>0)
),离心率为
(1)求椭圆C 的标准方程; (2)若动点P (0
x
,
y
)为椭圆外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,点P 的
轨迹方程。
11.(2014陕西卷)如图,曲线C 由上半椭圆
1
C
:222
2
y x a b
+=1(a>b>0,y ≥0)和部分抛物
线
2
C
:y=-2
x
+1(y ≤0)连接而成,
1
C 、2
C
的公共点为A 、B ,其中1
C
的离心率为2
。 (1)求a 、b 的值; (2)过点B 的直线l 与1
C 、2
C
分别交于P 、Q (均异于点A 、B ),若AP ⊥AQ,求直线l
的方程。
12.(2014福建卷)已知双曲线E ::
22
x a -22
y b
=1(a >0,b>0)的两条渐近线分别为
1
l
:
y=2x,
2
l
:y=-2x.
(1)求双曲线E 的离心率;
(2)如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线
1
l 、2
l
于A 、B 两点(A 、B 分别在第一、第
四象限),且ΔOAB 的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ?若存在,求出双曲线E 的方程;若不存在,说明理由。
函数与导数
13.(2014新课标1)设函数f(x)=a x
e
lnx+x
b
x
e ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方
程为y=e(x-1)+2. (1)求a,b;
(2)证明:f(x)>1.
14.(2014新课标2)已知函数f(x)=
x e -
x
e
--2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g (x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b 的最大值;
,估计ln2的近似值(精确到0.001)。
15.(2014陕西卷)设函数f(x )=ln(1+x),g(x)=xf(x ),x ≥0,其中f(x)是f(x)的导函数。 (1)
1
g
(x )=g(x),
1
n g
+ (x)=g(
n
g
(x)),n ∈
N
+
,求
n
g
(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a 的取值范围; (3)设n ∈
N
+
,,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明。
16.(2014四川卷)已知函数f(x)=x
e
-a
2
x
-bx-1,其中a 、b ∈R,e=2.71828…,为自然对数的
底数。
(1)设g(x)是f(x)的导函数,求函数g(x)在[]0,1上的最小值; (2)若f(1)=0,函数f(x)在区间()0,1内有零点,求a 的取值范围。
17.(2014安徽卷)设函数f(x)=1+(1+a)x-2x -
3
x
,其中a >0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(2)当x ∈[]0,1时,求f(x)的最大值和最小值时的x 的值。
18.(214北京卷)已知函数f(x)=xcosx-sinx,x ∈0,2π??
????
(1)求证:f(x)≤0; (2)若a ??? 恒成立,求a 的最大值和b 的最小值。 19.( 2014 辽 宁 卷 ) 已 知 函 数 f(x)=(cosx-x)(π+2x)-83(sinx+1),g(x)=3(x-π)cosx-4(1+sinx)ln(3-2x π ). 证明:(1)存在唯一的 0x ∈0,2π?? ??? ,使f(0x )=0; (2))存在唯一的1x ∈,2ππ?? ??? ,使g(1x )=0,且对(1)中的0x +1x <π。 20.(2014山东卷)设函数 f(x)= 2 x e x -k(2 x +lnx) (k 为常数,e=2.71828…为自然对数的底数) (1)当k ≤0时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x) 在()0,2 内存在两个极值点,求k 的取值范围。 21.(2014湖北卷)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数。 (1)求函数f(X)=ln x x 的单调区间; (2)求3 e ,3e , e π , e π,3 π , 3 π这六个数中的最大数和最小数; (3)将3 e , 3e , e π , e π , 3 π , 3 π 这六个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结 论。 22.(2014天津卷)设f(x)=x-a x e (a ∈R),x ∈R,已知函数y=f(x)有两个零点 1 x 、2 x ,且 1 x <2 x 。 (1)求a 的取值范围; (2)证明: 21 x x 随a 的减小而增大; (3)证明: 1 x +2 x 随a 的减小而增大。 23.(2014江苏卷)已知函数 f (x)= sin x x (x >0),设n f (x)为 1 n f -(x)的导数,n ∈ N + (1) 求2 12f π?? ???+2 π 22f π?? ??? 的值; (2)证明:对任意的n ∈ N + ,等式1()44 4n n n f f ππ π -??+ ???24.(2014湖南卷)已知常数a >0,函数f(x)=ln(1+ax)-22 x x + (1) 讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)若函数存在两个极值点1 x 、2 x ,且f( 1 x )+f(2 x )>0,求a 的取值范围。 25.(2014山东卷)已知抛物线C : 2 y =2px (p>0)的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意 一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有FA =FD 。当点A 的横坐标为3时,ΔADF 为正三角形。 (1)求C 的方程; (2)若直线 1 l ‖l,且 1 l 与C 有且只有一个公共点E. ① 证明直线AE 过定点,并求出定点坐标; ②ΔABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由。 26.(2014福建)已知函数f(x)=x e -ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y=f(x ) 在A 点处的切线斜率为-1。 (1)求a 的值及函数的极值; (2)证明:当x >0时, 2x < x e ; (3)对任意给定的正数c,总存在0 x ,使得x ∈(0 x ,+∞)时,恒有2 x x e . (4) 27.(2014浙江卷)已知函数f(x)= 3 x +3x a -(a ∈R). (1)若f(x)在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为M (a),m(a),求M(a)-m(a); (2)设b ∈R,若[]2 ()f x b +≤4对x ∈[]1,1-上恒成立,求3a+b 的取值范围。 28. 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性; 2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工类) 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 (选择题 共50分) 注意事项: 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 1.已知集合2 {|20}A x x x =--≤,集合B 为整数集,则A B ?= A .{1,0,1,2}- B .{2,1,0,1}-- C .{0,1} D .{1,0}- 2.在6 (1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为 A .30 B .20 C .15 D .10 3.为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A .向左平行移动 12个单位长度 B .向右平行移动1 2 个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度 4.若0a b >>,0c d <<,则一定有 A .a b c d > B .a b c d < C .a b d c > D .a b d c < 5. 执行如图1所示的程序框图,如果输入的,x y R ∈,则输出的S 的最大值为 A .0 B .1 C .2 D .3 6.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A .192种 B .216种 C .240种 D .288种 7.平面向量(1,2)a =,(4,2)b =, c ma b =+(m R ∈),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m = A .2- B .1- C .1 D .2 8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上,直线OP 与平面1A BD 所成的角为α,则sin α的取值范围是[数学]数学高考压轴题大全
2014年高考四川理科数学试题及答案(详解纯word版)
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]