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高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修

高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修
高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修

2.1.2 椭圆的几何性质(一)

学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形.

知识点一椭圆的简单几何性质

已知两椭圆C1、C2的标准方程:C1:x2

25+

y2

16

=1,C2:

y2

25

x2

16

=1.

思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点?交点坐标是什么?思考2 椭圆具有对称性吗?

思考3 椭圆方程中x,y的取值范围分别是什么?

梳理

思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量影响其扁平程度?怎样刻画?

梳理 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比e =c a

,叫做椭圆的____________.

(2)性质:离心率e 的取值范围是________,当e 越接近于1,椭圆越________,当e 越接近于________,椭圆就越接近于圆.

类型一 椭圆的几何性质

例1 求椭圆9x 2

+16y 2

=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究

已知椭圆方程为4x 2

+9y 2

=36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a ,b ,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量.

跟踪训练1 设椭圆方程mx 2+4y 2

=4m (m >0)的离心率为12,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦

点坐标及顶点坐标.

类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质

例2 椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的两焦点为F 1,F 2,以F 1F 2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正

三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.

反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e = 1-b 2a

2

求解.

跟踪训练2 已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 1的直线与椭圆相交于A ,

B 两点,若∠BAF 2=60°,|AB |=|AF 2|,则椭圆的离心率为________.

命题角度2 利用a ,c 的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围)

例3 (1)设椭圆C :x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C

相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________.

(2)若椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)上存在一点M ,使得∠F 1MF 2=90°(F 1,F 2为椭圆的两个焦点),则

椭圆的离心率e 的取值范围是________.

反思与感悟 若a ,c 的值不可求,则可根据条件建立a ,b ,c 的关系式,借助于a 2

=b 2

+c 2

,转化为关于a ,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂,得到关于e 的方程或不等式,即可求得e 的值或取值范围.

跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左顶点为A ,左焦点为F ,上顶点为B ,且∠BAO +

∠BFO =90°(O 为坐标原点),则椭圆的离心率e =________.

类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程

例4 (1)椭圆过点(3,0),离心率e =

6

3

,求椭圆的标准方程. (2)已知椭圆的中心在原点,它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1,B 2的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10-5,求这个椭圆的方程.

反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ,b ,c 所应满足的关系式,进而求出

a ,

b .在求解时,需注意当焦点所在位置不确定时,应分类讨论.

跟踪训练4 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);

(2)焦点在x 轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6.

1.已知椭圆的方程为2x 2

+3y 2

=m (m >0),则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.

33

C.22

D.12

2.椭圆6x 2

+y 2

=6的长轴端点坐标为( ) A .(-1,0),(1,0) B .(-6,0),(6,0) C .(-6,0),(6,0)

D .(0,-6),(0,6)

3.设P (m ,n )是椭圆x 225+y 2

9

=1上任意一点,则m 的取值范围是________.

4.若椭圆的对称轴为坐标轴,且长轴长为10,有一个焦点坐标是(3,0),则此椭圆的标准方

程为____________.

5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为________.

1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,应先化成标准形式.

2.根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,其基本思路是“先定型,再定量”,常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶点,而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.

3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 对于方程C 1:令x =0,得y =±4,即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0,-4);令y =0,得x =±5,即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(-5,0).同理得C 2与y 轴的交点为(0,5)与(0,-5),与x 轴的交点为(4,0)与(-4,0).

思考2 有.问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形,也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形.

思考3 C 1:-5≤x ≤5,-4≤y ≤4;

C 2:-4≤x ≤4,-5≤y ≤5.

梳理 F 1(-c,0),F 2(c,0) F 1(0,-c ),F 2(0,c ) |x |≤a ,|y |≤b |x |≤b ,|y |≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0),(0,±b ) (0,±a ),(±b,0) 2a 2b 知识点二

思考 如图所示,在Rt△BOF 2中,cos∠BF 2O =c a ,记e =c a

,则0

梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0 题型探究

例1 解 已知方程化成标准方程为x 216+y 2

9=1,

于是a =4,b =3,c =16-9=7,

∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a =8和2b =6, 离心率e =c a =

7

4

.又知焦点在x 轴上, ∴两个焦点坐标分别是F 1(-7,0)和F 2(7,0),

四个顶点坐标分别是A 1(-4,0),A 2(4,0),B 1(0,-3)和B 2(0,3). 引申探究

解 把椭圆的方程化为标准方程x 29+y 2

4

=1,

可知此椭圆的焦点在x 轴上,且长半轴长a =3, 短半轴长b =2.

又得半焦距c =a 2

-b 2

=9-4= 5.

所以椭圆的长轴长2a =6,短轴长2b =4;两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0).四个顶点的坐标分别是(-3,0),(3,0),(0,-2),(0,2).离心率e =c a =

53

. 跟踪训练1 解 椭圆方程化为标准形式为x 24+y 2m =1,且e =1

2

.

(1)当0

顶点坐标为A 1(-2,0),A 2(2,0),B 1(0,-3),B 2(0,3). (2)当m >4时,长轴长和短轴长分别为83

3,4,

焦点坐标为F 1(0,-233),F 2(0,23

3

),

顶点坐标为A 1(0,-433),A 2(0,43

3),B 1(-2,0),B 2(2,0).

例2

3-1

解析 方法一 如图, ∵△DF 1F 2为正三角形,

N 为DF 2的中点,

∴F 1N ⊥F 2N , ∵|NF 2|=c , ∴|NF 1|= |F 1F 2|2

-|NF 2|2

=4c 2

-c 2=3c ,

则由椭圆的定义可知|NF 1|+|NF 2|=2a , ∴3c +c =2a , ∴e =c

a

23+1

=3-1.

方法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中 ,∠NF 1F 2=30°, ∠NF 2F 1=60°,∠F 1NF 2=90°, 则由离心率的三角形式,可得 e =2c 2a =|F 1F 2||NF 1|+|NF 2| =sin ∠F 1NF 2

sin ∠NF 1F 2+sin ∠NF 2F 1

=sin 90°

sin 30°+sin 60°

1

12+32

=3-1. 跟踪训练2

33

解析 如图所示,∵∠BAF 2=60°, |AB |=|AF 2|,

∴△ABF 2是等边三角形, ∴△ABF 2的周长=3|AF 2| =4a ,

∴|AF 2|=4a 3,∴|AF 1|=2a

3

.

在△AF 1F 2中,由余弦定理得(2c )2

=(2a 3)2+(4a 3)2-232a 334a 33cos 60°,

化为a 2

=3c 2

,解得e

=c

a =

33

.

例3 (1)

33

解析 直线AB :x =c ,代入x 2a 2+y 2

b 2=1,

得y =±b 2

a

∴A (c ,b 2a ),B (c ,-b 2

a

).

∴kBF 1=-b 2a -0c - -c =-b 2a 2c =-b 2

2ac ,

∴直线BF 1:y -0=-b 2

2ac (x +c ),

令x =0,则y =-b 2

2a

∴D (0,-b 2

2a ),∴k AD =b 2a +

b 22a

c =3b 22ac .

由于AD ⊥BF 1,∴-b 22ac 23b 2

2ac

=-1,

∴3b 4

=4a 2c 2

∴3b 2

=2ac ,即3(a 2

-c 2

)=2ac , ∴3e 2+2e -3=0,

∴e =-2±4-4333 -3 23

-2±4

23

, ∵e >0,∴e =-2+423=223=3

3.

(2)[

2

2

,1) 解析 椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0),-b ≤y ≤b .

由题意知,以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点, 则c ≥b ,即c 2

≥b 2

,所以c 2

≥a 2

-c 2

, 所以e 2≥1-e 2,即e 2

≥12.

又0

所以e 的取值范围是[2

2

,1). 跟踪训练3

5-1

2

例4 解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程, 又椭圆过点(3,0),∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在x 轴上时,(3,0)为右顶点,则a =3.

∵e =c a =

63,∴c =63a =6

3

33=6, ∴b 2

=a 2

-c 2

=32

-(6)2

=9-6=3, ∴椭圆的标准方程为x 29+y 2

3

=1.

②当椭圆的焦点在y 轴上时,(3,0)为右顶点,则b =3, ∵e =c a =

63,∴c =6

3

a , ∴

b 2=a 2-

c 2=a 2

-23a 2=13a 2,

∴a 2

=3b 2

=27,

∴椭圆的标准方程为y 227+x 2

9

=1. 综上可知,椭圆的标准方程是x 29+y 23=1或y 227+x 2

9

=1.

(2)依题意,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0),

由椭圆的对称性,知|B 1F |=|B 2F |, 又B 1F ⊥B 2F ,

∴△B 1FB 2为等腰直角三角形, ∴|OB 2|=|OF |,即b =c . |FA |=10-5,

即a -c =10-5,且a 2

=b 2

+c 2

将上面三式联立,得???

b =

c ,

a -c =10-

5,

a 2

=b 2

+c 2

解得??

?

a =10,

b = 5.

∴所求椭圆方程为x 210+y 2

5

=1.

跟踪训练4 解 (1)当焦点在x 轴上时,设椭圆方程为x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0).

依题意有????

?

2b =a ,4a 2+36

b

2=1,

解得??

?

a =237,

b =37,

∴椭圆方程为x 2

148+y 2

37=1.

同理可求出当焦点在y 轴上时, 椭圆方程为x 213+y 2

52

=1.

故所求的椭圆方程为x 2148+y 237=1或x 213+y 2

52

=1.

(2)依题意有?

??

??

b =

c ,

c =6,∴b =c =6,

∴a 2=b 2+c 2

=72,

∴所求的椭圆方程为x 2

72+y 2

36=1.

当堂训练

1.B 2.D 3.[-5,5] 4.

x 225+y 2

16

=1 5.(0,±69)

2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程.1.椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1

2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案 新人教B版选修1 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形. 知识点一椭圆的简单几何性质 已知两椭圆C1、C2的标准方程:C1:x2 25+ y2 16 =1,C2: y2 25 + x2 16 =1. 思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点?交点坐标是什么?思考2 椭圆具有对称性吗? 思考3 椭圆方程中x,y的取值范围分别是什么? 梳理 标准方程x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0) y2 a2 + x2 b2 =1(a>b>0)

图形 性质 焦点 焦距 |F1F2|=2c (c=a2-b2) |F1F2|=2c (c=a2-b2) 范围 对称性关于________________对称 顶点 轴长轴长________,短轴长________ 思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量影响其扁平程度?怎样刻画?梳理(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比e= c a ,叫做椭圆的____________. (2)性质:离心率e的取值范围是________,当e越接近于1,椭圆越________,当e越接近于________,椭圆就越接近于圆. 类型一椭圆的几何性质 例1 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究 已知椭圆方程为4x2+9y2=36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a ,b ,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量. 跟踪训练1 设椭圆方程mx 2+4y 2 =4m (m >0)的离心率为12,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦 点坐标及顶点坐标. 类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质 例2 椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的两焦点为F 1,F 2,以F 1F 2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正 三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________. 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e = 1-b 2a 2 求解. 跟踪训练2 已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 1的直线与椭圆相交于A , B 两点,若∠BAF 2=60°,|AB |=|AF 2|,则椭圆的离心率为________. 命题角度2 利用a ,c 的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围) 例3 (1)设椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________. (2)若椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)上存在一点M ,使得∠F 1MF 2=90°(F 1,F 2为椭圆的两个焦点),则 椭圆的离心率e 的取值范围是________. 反思与感悟 若a ,c 的值不可求,则可根据条件建立a ,b ,c 的关系式,借助于a 2 =b 2 +c 2 ,转化为关于a ,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂,得到关于e 的方程或不等式,即可求得e 的值或取值范围. 跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ,左焦点为F ,上顶点为B ,且∠BAO + ∠BFO =90°(O 为坐标原点),则椭圆的离心率e =________.

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

(一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下:

椭圆的参数方程(教案)

学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质(5) ——椭圆的参数方程(教案) 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求: 1?了解椭圆参数方程,了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识,并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标: 1. 知识目标:学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程,理解它与普通方 程的相互联系;对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标:巩固坐标法,能对简单方程进行两种形式的互化;能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标:通过对椭圆多角度、多层次的认识,经历从感性认识到理性 认识的上升过程,培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点: 1. 重点:由方程研究曲线的方法;椭圆参数方程及其应用。 2. 难点:椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法: 引导启发,计算机辅助,讲练结合。 五.教学过程: (一)引言(意义) 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的,对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用,进一步完善对椭圆认识。(二)预备知识(复习相关) 1. 求曲线方程常用哪几种方法? 答:直接法,待定系数法,转换法〈代入法〉,参数法。 2. 举例:含参数的方程与参数方程

2 “ x = 2t 例如:y =kx+1 (k 参数)含参方程'而I 十1 (t 参数) 3 ?直线及圆的参数方程?各系数意义? (三)推导椭圆参数方程 1. 提出问题(教科书例5) 例题.如图,以原点为圆心,分别以 a b (a>b>0)为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点,过点 A 作AN _0x ,垂足为N ,过 点B 作BM _AN ,垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题,但动点较多,不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目,回答问题: (1) 动点M 是怎样产生的? M 与A 、B 的坐标有何联系? (2) 如何设出恰当参数? 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题(板演) 解:设点M 的坐标(x,y ),是以Ox 为始边,OA 为终边的正角, 取为参数,那么 x=ON=|OA|cos 「, y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步(板演:化普通方程) -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形,得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程,「为参数。

椭圆几何性质教学设计流程图

篇一:教学设计-椭圆的简单几何性质 《椭圆的简单几何性质》说教学设计 一. 教材分析 1. 地位和作用 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-1)第二章第2节,椭圆的简单几何性质。在此之前,学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程,这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合,让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上,充分认识到“由数到形,由形到数”的转化,体会了数与形的辨证统一,也从中体验了数学的对称美,受到了数学文化熏陶,为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。 2. 教材的内容安排和处理 考虑到椭圆的性质有较多拓展,我将本节内容分为两课时来完成,本课为第一课时,主要介绍椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)及其初步运用,在解析几何中,利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次,因此可根据学生实际情况及认知特点,改变了教材中原有研究顺序,引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手,按照通过图形先发现性质,在利用方程去说明性质的研究思路,循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用,而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透,通过教师合理的情境创设,师生的共同讨论研究,学生的亲身实践体验,使学生真正意义上理解在解析几何中,怎样用代数方法研究曲线的性质,巩固数形结合思想的应用,达到切实地用数学分析解决问题的能力。 3. 重点、难点: 教学重点:知识上,要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质;学生的体验上, 需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现,如思维角度和思维方法。 教学难点;利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 二. 学生的学情心理分析 我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题,解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃,参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础,因此依据以上特点,在教学设计方面,我打算借助多媒体手段,创设问题情境,结合图形启发引导,组织学生合作探究等形式,都符合我班学生的认知特点,为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 三. 教学目标 本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况,我制定本节课的教学目标如下: 知识与技能: 掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。 过程与方法: 通过学生亲身的实践体验,利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质,经历由形到数,由数到形的 思想跨越,感知用代数的方法探究几何性质的过程,感受“数缺形时少直观,形缺数时难入微”的数学真谛,进一步体会“数形结合”思想在数学中的重要地位。 情感、态度与价值观: 在自然和谐的教学氛围中,通过师生间的、生生间的平等交流,塑造学生团结协作,钻研探究的品质和态度,培养学生研究问题的能力;通过对椭圆几何性质的发现,学生得到美的感受,体验到探究之后的成功与喜悦。

高中数学学案:椭圆的几何性质

高中数学学案:椭圆的几何性质 1. 熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题. 2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题. 1. 阅读:选修11第32~34页(理科阅读选修21相应内容). 2. 解悟:①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2=b2+c2,在图形中分别对应着什么?有怎样的几 何关系?②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与b a之间满足一个什么关系?求离心率 关键要寻找何种等式?③a-c,a+c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗?你能证明吗? 3. 践习:在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 若焦点在x轴上的椭圆x2 2+ y2 m=1的离心率为 1 2,则m= 3 2. 解析:因为焦点在x轴上的椭圆x2 2+ y2 m=1的离心率为 1 2,所以 2-m 2= 1 4,得m= 3 2. 2. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3 2,且椭圆G上一点到两个焦点 的距离之和为12,则椭圆G的方程为x2 36+ y2 9=1. 解析:由题意知e= 3 2,2a=12,所以a=6,c=33,所以b=3,所以椭圆方程为 x2 36+ y2 9=1. 3. 若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是3. 解析:由题意知2b=2,2a=4b,所以b=1,a=2,所以c=a2-b2=3,则椭圆的中心到其准 线的距离是a2 c= 4 3 = 43 3. 4. 过椭圆x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若 ∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为3W.

高中数学精讲教案-椭圆及其性质

高中数学-圆锥曲线与方程 第1讲椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 知识点 1椭圆的定义 (1)定义:在平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,且2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数. 2椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. 如图所示,设∠F1PF2=θ. (1)当P为短轴端点时,θ最大. (2)S△PF 1F 2 = 1 2|PF1||PF2|·sinθ=b 2· sinθ 1+cosθ =b2tan θ 2=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,为 bc. (3)焦点三角形的周长为2(a+c). 3椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义,通过建立适当的坐标系得出的.其形式有两种: (1)当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0). (2)当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为y2 a2+ x2 b2=1(a>b>0). 4特殊的椭圆系方程 (1)与椭圆x2 m2+y2 n2=1共焦点的椭圆可设为 x2 m2+k + y2 n2+k =1(k>-m2,k>-n2). (2)与椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为 x2 a2+ y2 b2=k1(k1>0,焦点在x轴上)或 y2 a2+ x2 b2=k2(k2>0,焦 点在y轴上).

《椭圆的简单几何性质》教学设计

《椭圆的简单几何性质》教学 一.教材分析 1. 教材的地位和作用 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时:椭圆的简单几何性质。 在此之前,学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程,这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。 而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合,让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上,充分认识到“由数到形,由形到数” 的转化,体会了数与形的辨证统一,也从中体验了学数学的乐趣,受到了数学文化熏陶,为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。 2. 教材的内容安排和处理 本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时,主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用,在解析几何中,利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次,因此可根据学生实际情况及认知特点,改变了教材中原有研究顺序,引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手,按照通过图形先发现性质,在利用方程去说明性质的研究思路,循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用,而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透,通过教师合理的情境创设,师生的共同讨论研究,学生的亲身实践体验,使学生真正意义上理解在解析几何中,怎样用代数方法研究曲线的性质,巩固数形结合思想的应用,达到切实地用数学分析解决问题的能力。 3. 重点、难点: 教学重点:掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用 教学难点;利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 二.学生的学情心理分析 我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题,解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃,参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础,因此依据以上特点,在教学设计方面,我打算借助多媒体手段,创设问题情境,结合图形启发引导,组织学生合作探究等形式,都符合我班学生的认知特点,为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 三.教学目标 本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况,我制定本节课的教学目标如下: 知识与技能: 掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。 过程与方法: 通过学生亲身的实践体验,利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质,经历由形到数,由数到形,的思想跨越,感知用代数的方法探究几何性质的过程,感受“数缺形时少直观,形缺数时难入微。”

高中数学椭圆的几何性质

一. 教学内容: 椭圆的几何性质 二. 教学目标: 通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用. 通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力. 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等. 三. 重点、难点: 重点:椭圆的几何性质及初步运用. 难点:椭圆离心率的概念的理解. 四. 知识梳理 1、几何性质 (1)范围,即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里.注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点.(2)对称性 把x换成-x,或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴或原点对称 (3)顶点 在中,须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭圆有四个顶点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b). ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b; ②a、b的几何意义:a是长半轴的长,b是短半轴的长; (4)离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义: 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围:∵a>c>0,∴0<e<1. 当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁; 当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆;

2.2.2椭圆的几何性质(教案)

2.2.2椭圆的几何性质(教案)   教学目标: 1、理解椭圆的几何性质,掌握a、b、c、e的几何意义及相互关系; 2、掌握由曲线方程研究曲线性质的一般方法; 3、培养学生探究问题的能力。 教学重点:椭圆的几何性质。  复习: 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程  讲授新课: 1、范围: 2、对称性:x轴、y轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心。 3、顶点:、、、 线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b; a、b的几何意义:a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 思考:已知椭圆的长轴和短轴,怎样确定椭圆焦点的位置? 4、离心率: 离心率的取值范围:因为 a > c > 0,所以0

(2)描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19).要强调:利用对称性可以使计算量大大减少。 练习: 一、下列各组椭圆中,哪个更接近于圆? 二、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标: 三、(理)根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)中心在原点,焦点在x轴上,长轴、短轴的长分别是8和6; (2)中心在原点,一个焦点坐标为(0,5)短轴长是4; (3)对称轴都在坐标轴上,长轴的长为10,离心率是0.6; (4)中心在原点焦点在x轴上,右焦点到短轴的距离为2,到右顶点的距离为1。 四、(理)设F是椭圆的一个焦点,是短轴,求这个椭圆的离心率。小结:

罗老师椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质 编写:罗万能审核:高二数学组 一、教学目标 1.知识与技能:掌握椭圆的简单几何性质,学会由椭圆的标准方程探索椭圆的简单几何性质的方法与步骤。 2.过程与方法: (1)通过探究,掌握椭圆的简单几何性质,培养猜想能力,合情推理能力,养成发现问题,提出问题的意识; (2)通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力;培养分析、抽象、概括的能力,加强数形结合等数学思想的培养。 3.情感态度与价值观: (1)在民主开放的课堂气氛中,培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、创新的精神; (2)通过探究,体验挫折的艰辛与成功的快乐,激发学习热情;通过数与形的辨证统一,对学生进行辩证唯物主义教育,通过对椭圆对称美的感受,激发学生对美好事物的追求。 二、教学重点与难点: 【重点】椭圆的简单几何性质. 【难点】椭圆的简单几何性质. 电脑,课件,几何画板,三角板,圆规。 三、教学方法: 讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。 四、教学过程设计:

(一)复习引入 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 3.椭圆中a,b,c 的关系 (二)探究问题,观察发现 1. 椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的范围 引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围,进而用代数的方法,由椭圆的标 准方程22 221(0)x y a b a b +=>>得出椭圆的范围。 教师推导出横坐标x 的范围,由学生类比得出纵坐标y 的范围 结论:椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(如图). 形依于数,数寓于形,数形相互依存,数形结合的思想是研究数学问题常用到的思想,也是一个重要的方法 【师生活动】 教师:引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法,由 椭圆的标准方程22 221x y a b +=得出椭圆的范围。 学生:在老师的引导下,观察、推导出椭圆的范围,并独立完成练习1以加深对椭圆范围的理解。 【学情预设】 在《椭圆的定义及其标准方程》中,学生已由椭圆的定义探究过|1OA |=a ,|1OB |=|2OB |=b ,因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应 1 A 2 A 1 B 2 B

湖南省邵阳市选修2-1学案 椭圆及其简单几何性质(1)

【学习目标】 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形; 2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图. 【自主学习】(认真自学课本P43-P46) 问题1:椭圆的标准方程22 221x y a b +=(0)a b >>,它有哪些几何性质呢? 图形: 范围:x : y : 对称性:椭圆关于 轴、 轴和 都对称; 顶点:( ),( ),( ),( ); 长轴,其长为 ;短轴,其长为 ; 离心率:刻画椭圆 程度. 椭圆的焦距与长轴长的比 c a 称为离心率, 记c e a = ,且01e <<. 问题2:类比问题1,回答椭圆22 1169 y x +=的几何性质。 【合作探究】 例1.(教材P46例4)求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 变式:若椭圆是22981x y +=呢?

小结:①先化为标准方程,找出,a b,求出c; ②注意焦点所在坐标轴. 【目标检测】 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴焦点在x轴上,6 a=, 1 3 e=; ⑵焦点在y轴上,3 c=, 3 5 e=; ⑶经过点(3,0) P-,(0,2) Q-; ⑷长轴长等到于20,离心率等于3 5 . 2.若椭圆 22 1 5 x y m += 的离心率e=m的值是(). A.3B.3或25 3 C D 3 ,离心率 2 3 e=的椭圆两焦点为 12 ,F F,过 1 F作直线交椭圆于,A B两点,则2 ABF ?的周长为().A.3B.6C.12D.24 【作业布置】 任课教师自定

高中数学_椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

椭圆的简单几何性质 教学目标: 1.掌握椭圆的几何性质:范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率。 2.能根据几何性质解决一些简单的问题,进一步体会数形结合的思想。 重点:椭圆的简单几何性质 难点:椭圆的离心率与椭圆关系。

学情分析 学习解析几何以来,利用方程讨论和研究曲线的几何性质尚属首次,学生有着强烈的求知欲望,迫切希望掌握利用方程研究曲线几

何性质的方法. 学生在学习了直线和圆的方程之后,对直线和圆方程的特点比较熟悉,通过类比能够掌握椭圆标准方程的结构特征。同时,在函数和不等式的学习过程中已经储备了利用等量关系寻找不等关系、图象的对称性、顶点的概念等基本能力。学生的思维方式和思维层次有所积累,因此,学生已经初步具备了一定的利用方程自主探究曲线性质的能力。 学生整体素质较高,独立分析问题,解决问题的能力很强,他们思维活跃,参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础,因此依据以上特点,在教学设计方面,我打算借助多媒体手段,创设问题情境,结合图形启发引导,组织学生合作探究等形式,符合我班学生的认知特点,为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 效果分析 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2—1第二章第二节的内容,它是在学完椭圆的标准方程的基础上,通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质,是解析几何的主要任务。通过本节课的学习,既让学生了解了椭圆的几何性质,又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程,同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。 通过本节课的学习,绝大多数的同学都能掌握椭圆的简单几何性质:范围、对称性、顶点、离心率,特别是对于本节的重难点离心

椭圆的简单几何性质导学案(定稿)

2.2.2椭圆的几何性质导学案 学习目标 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义 2 、通过对椭圆标准方程的讨论,理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。 3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 学习重点与难点 学习重点:椭圆的几何性质 学习难点:椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系 复习旧知 (1)椭圆的定义: . (2)椭圆的标准方程: 焦点在x 轴上时: .焦点在y 轴上时: . (3)椭圆中a,b,c 的关系是: . 学习过程 一、课内探究 探究一:观察椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的形状,你能从图形上看出它的范围吗? 它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊? 1 、范围 : (1)从图形上看,椭圆上点的横坐标的范围是_________________。 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。 (2)由椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 知: ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____ ,② 22 b y ____ 1;即____≤≤y ___ 因此)0(122 22>>=+b a b y a x 位于直线 和__________围成的矩形里。

2 、对称性 (1)从图形上看,椭圆关于_________,__________,__________对称 (2)从方程上看,在椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变,说明图像关于__________轴对称。 ②把y 换成-y 方程不变,说明图像关于__________轴对称。 ③把x 换成-x ,同时把y 换成-y 方程不变,说明图形关于__________对称, 因此____________是椭圆的对称轴,_________是椭圆的对称中心, 椭圆的对称中心叫做___________。 3 、顶点: (1)椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点, 分别为:1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , ) (2)线段1A 2A 叫做椭圆的_______,其长度为__________ 线段1B 2B 叫做椭圆的________,其长度为__________ a 和b 分别叫做椭圆的________和___________ 探究二:同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些,有些椭圆“扁”些?是什么因素影响 了椭圆的扁圆程度? 4 、椭圆的离心率: (1)定义:______________________________叫做椭圆的离心率, 用 表示,即____________= (2)由于a >c >0,所以离心率e 的取值范围是_____________ (3)若e 越接近1,则c 越接近a ,从而22c a b -=越____,因而椭圆越_______;若e 越接近0,则c 越接近0,从而22c a b -=越____,因而椭圆越接近于

椭圆及其性质

第十章 圆锥曲线 本章知识结构图 第一节 椭圆及其性质 考纲解读 1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义,标准方程,几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究 椭圆是圆锥曲线的重要内容,高考主要考查椭圆的基本性质,椭圆方程的求法,椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算,尤其是对离心率的求解,更是高考的热点问题,在各种题型中均有题型 预测2019年高考对本节考查内容为: (1) 利用标准方程研究几何性质,尤其是离心率的求值及取值范围问题. (2) 利用已知条件求出椭圆的方程,特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义,标 准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主,每年高考分值大多保持在5分. 知识点精讲 曲线与方程 轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴(虚轴)、渐近线(双曲线)、准线(只要求抛物线) 离心率 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x 1,y 1) ───────→关于点(a ,b )对称点(2a -x 1,2b -y 1 ) 曲线f (x ,y ) ───────→ 关于点(a ,b )对称曲线f (2a -x ,2b -y ) ? ????A ·x 1+x 22+B ·y 1+y 2 2+C =0y 2-y 1x 2-x 1·(-A B )=-1 特殊对称轴 x ±y +C =0 直接代入法 点(x 1,y 1)与点(x 2,y 2)关于 直线Ax +By +C =0对称

完整word版,椭圆(高三复习课教案)

椭圆(高三复习课) 恩平市第一中学张雪梅 一、教学内容分析 圆锥曲线是解析几何的主体内容,也是高中数学的重点内容,而椭圆是圆锥曲线的起始部分,通过本节课的学习,不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识,而且在处理问题时,让学生学会灵活运用定义,正确选用标准方程,恰当利用几何性质,合理的分析,准确的计算,并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。 二、学生学习情况分析 本班是普通文科班,此课之前,学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1—1》(A版)第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。此时,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上来讲,由于学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,分析问题不透彻,知识体系不完整,使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法,教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素,侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“练”、“思”、“究”,再到教师的“讲”,使学生的学习达到“探索有所得,研究获本质”。 三、教学目标 1、知识与能力:能用自己的语言描述椭圆的定义;准确地写出椭圆两种形式的标准方程;能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形;并概括出椭圆的简单几何性质。 2、过程与方法:通过了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;理 解数形结合的思想,并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质,解决椭圆的简单应用问题。 3、情感、态度与价值观:通过与同学、老师的交流、合作与探究,体会合作学习的乐趣;通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索,体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律,感受数学的严谨性;逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 四、教学重点与难点 教学重点:1、掌握椭圆的定义,几何图形,标准方程及简单的几何性质。 2、了解椭圆的简单应用。 教学难点:椭圆的定义和简单几何性质的应用,理解数形结合的思想。 五、教学过程

高中数学《椭圆的简单几何性质》教案

课 题:8.2椭圆的简单几何性质(一) 教学目的: 1.熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点等简单几何性质2.掌握标准方程中c b a ,,的几何意义,以及e c b a ,,,的相互关系 3.理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点:椭圆的几何性质 教学难点:如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 根据曲线的方程,研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一,根据曲线的条件列出方程,如果说是解析几何的手段,那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢?本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例,因此,本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 通过本节的学习,使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质,从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系,对解析几何的基本思想有更深的了解 通过对椭圆几种画法的学习,能深化对椭圆定义的认识,提高画图能力;通过几何性质的简单的应用,了解到如何应用几何性质去解决实际问题,提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程;根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法;椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解,关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系,理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据教学大纲的安排,本节内容分4个课时进行教学,本节内容的课时分配作如下设计:第一课时,椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法;第二课时,椭圆的第二定义、椭圆的准线方程;第三课时,焦半径公式与椭圆的标准方程;第四课时,椭圆的参数方程及应用 教学过程: 一、复习引入: 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹 2.标准方程:12222=+b y a x ,122 22=+b x a y (0>>b a )

学案 52山西大学附中高二年级椭圆及其简单几何性质(2)

山西大学附中高二年级(上) 导学设计 编号52 椭圆及其简单几何性质(2) 【学习目标】 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质; 2.椭圆与直线的关系. 【学习重点】椭圆与直线的关系 【学习难点】椭圆与直线的关系 【学习过程】 一、导学 复习1:椭圆22 11612 x y +=的焦点坐标是( )( );长轴长 、短轴长 ;离心率 . 复习2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定? 探究: 问题1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢? 问题2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定? 反思:点与椭圆的位置如何判定? 二、导练 例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上,片门 位于另一个焦点2F 上,由椭圆一个焦点1F 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另 一个焦点2F ,已知12BC F F ⊥,1 2.8F B cm =,12 4.5F F cm =,试建立适当的坐标系,求 截口BAC 所在椭圆的方程. 变式:若图形的开口向上,则方程是什么? 小结:①先化为标准方程,找出,a b ,求出c ; ②注意焦点所在 坐标轴. 例2 已知椭圆22 1259 x y +=,直线l :45400x y -+=。椭圆上是否存在一点,它到直线l 的距离最小?最小距离是多少? 变式:最大距离是多少? 练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =?,离心率0.0192e =的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大和最小距离.

椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切,则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于4 5,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0,32 B.??? ?0,34 C.?? ?? ??32,1 D.??? ?3 4,1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2+y 2=a 2,又与直线bx -ay +2ab =0相切, 所以圆心(0,0)到直线的距离d =2ab a 2+b 2 =a ,整理为a 2=3b 2 ,即b a =13. ∴e =c a =a 2- b 2a = 1-??? ?b a 2 = 1-? ?? ??132=63. (2)设左焦点为F 0,连接F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |+|BF |=4, ∴|AF |+|AF 0|=4,∴a =2. 设M (0,b ),则4b 5≥4 5,∴1≤b <2. 离心率e =c a = c 2a 2= a 2- b 2a 2= 4-b 24∈? ???? 0,32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ,c 的值,利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助于b 2=a 2-c 2消去b ,转化为含有e 的

椭圆几何性质学案

椭圆的简单几何性质学习案 一、课程阅读学习目标 1.通过阅读椭圆标准方程和图形,使学生掌握椭圆的几何性质. 2.认真研读椭圆的几何性质,理解实质。 3.掌握椭圆的几何性质的简单运用 二、阅读学习建议 1.认真阅读椭圆的几何性质 2.认真研读重点性质 3.阅读难点是离心率 第一课时 1 阅读椭圆标准方程和图形, 猜想:椭圆有哪些几何性质 2研读教材 (1)对称性 问题1:请同学们观察刚才这个图形在x轴的上方、下方,y轴的左侧、右侧有怎样的关系呢? 问题2;一般的椭圆是否也具有这种对称性,你能根据方程来进行研究吗? 对称性:在上任取一点P(x,y)则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是(x,-y)(-x,y)、(-x,-y),而代入方程知这三个对称点都适合方程,即点P关于x轴、y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上,可得结论。 总结: (2)顶点 (大屏幕展示所表示的图形) 问题3:请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢?一般的椭圆与坐标轴有几个交点呢? 问题4:你能根据方程求得四个交点的坐标吗? 总结;顶点的定义,结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长,点明方程中a、b的几何意义。 (3)范围 问题5:(据图)如果过、、分别作y轴的平行线,过、分别做x 轴的平行线,则这四条直线将构成___________, 椭圆在矩形__________这说明了椭圆有____________,x、y的范围_____________________ ______; (4)离心率 通过前面的探讨,我们知道椭圆是有范围的,即它围在一个矩形框内。有了前面这几个性质,我们就可以很快地作出焦点在x轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图(先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点,画出矩形框,光滑曲线连接,并注意对称性) 练习:请同学们根据这种作图方法,在同一坐标系下画出方程和所示的椭圆,并思考这两个椭圆的形状有何不同? 实物展台展示画图,指出一个扁一些,一个圆一些。

2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计

2.1.2《椭圆的简单几何性质》 第一课时 科目:高二数学 授课教师:张晶晶 指导教师:韩学奎 完成时间:2017年4月6日

课工具课型:新授课 教学工具:多媒体设备

◆知识与技能目标 通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质,用方程的方法研究图形的对称 性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念. ◆过程与方法目标 能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函 数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论,研 究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实 数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的性质得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的 P的思考问题,探究椭圆概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念;④通过39 的扁平程度量椭圆的离心率. ◆情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究, 教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观, 激励学生创新.培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 必须让学生认同和掌握:椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、 对称性、顶点和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系的两个原则, ①充分利用图形对称性,②注意图形的特殊性和一般性;让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题,培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ◆能力目标 (1)分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题 和解决问题的能力. (2)思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生 的辩证思维能力. (3)实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4)创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 教学过程设计

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