高一数学第二章(第29课时)函数复习小结2

课题：函数复习小结（二）

教学目的：

1.熟悉并掌握函数的对称语言.

2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.

3.把握数形结合的特征和方法.

4.能够应用函数思想解题.

5.了解与函数有关的数学模型.

教学重点：数形结合的特征与方法

教学难点：函数思想的应用

授课类型：复习课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引入：

通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.

二、例题分析：

例1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（）

A.f(2)＜f(1)＜f(4)

B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.

解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)

在x＜2时，y=f(x)为减函数

∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)

即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A

通过此题可将对称语言推广如下：

（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴

（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

2b

a

是f(x)的对称轴.

例2求f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.

解：先求最小值.

因为f(x)的对称轴是x=a ，可分以下三种情况：

（1）当a ＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a; (2)当2≤a ＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a 2

;

(3)当a ＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a

综上所述：f(x)min=??

???>-<≤-<-)2( ,81842(

,2)2(

,462

a a a a a a 最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a

(1)当a ≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a; (2)当a ＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.

故f(x)max=??

?<-≥-)3(

,88)3(

,46a a a a

评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有

参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a 与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.

例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a ＜b ＜c,若 f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（ ）

A.a ＜1,b ＜1,且c ＞1

B.0＜a ＜1,b ＞1且c ＞1

C.b ＞1,c ＞1

D. c ＞1且

c 1＜a ＜1,a ＜b ＜a

1 分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在（0，1上为增函数.

观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c ＞1

且c 1＜a ＜1,a ＜b ＜a

1

.答案：D 评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数

图象在函数单调性问题中的应用.

例4函数f(x)=x 2

-bx+c ，满足对于任何x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b x )与f(c x

)的大小关系是（ ）

A.f(b x )≤f(c x )

B.f(b x )≥f(c x

) C.f(b x )＜f(c x ) D.f(b x )＞f(c x

)

分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b 值，再由f(0)=3,可确定c 值，然后结合b x ,c x

的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.

解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-2

b

=1 ∴b=2,又f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)=x 2

-2x+3

(1)当x ＞0时，1＜2x ＜3x

,且f(x)在［1，+∞)上是增函数 所以f(2x )＜f(3x ),即f(b x )＜f(c x

)

(2)当x ＜0时，1＞2x ＞3x ,且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2x

)＜f(3x )，即f(b x )＜f(c x

)

(3)当x=0时，2x =3x

=1

则f(2x

)=f(3x

),即f(b x

)=f(c x

) 综上所述，f(b x

)≤f(c x

). 答案：A

三、课堂练习：

已知f(x)=x 2

-4x-4,x ∈［t,t+1］(t ∈R)，求f(x)的最小值φ（t ）的解析式.

解：f(x)=(x-2)2-8

(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t ＜2时，φ(t)=f(2)=-8.

(2)当t ＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t 2

-4t-4. (3)当t+1＜2，即t ＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数. 故φ(t)=f(t+1)=t 2

-2t-7

综上所述：φ(t)=??

?

??≥--<<-≤--)2( ,44)21(

,8)1( ,7222t t t t t t t 四、课时小结：

本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用. 五、课后作业：

1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T 和Q （万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=

a Q a 3

10

,3=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加

工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？

解：设投入养殖业为x 万元，则投入养殖加工生产业为60-x 万元 由题意：P+Q=

x x -+603

103 (0≤x ≤60) 设t=x -60,则0≤t ≤60,x=60-t 2

P+Q=

31(60-t 2

)+310t=-31(t-5)2+3

85 ∴当t=5时，即x=35时，（P+Q ）max=3

85

.

∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润3

85

万元.

2.已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数2

2)]([)(x f x f y +=的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的x 的值

答案：3=x 时，y 取最大值13；1=x 时，y 取最小值6

3.设集合]1,1[-=A ,]2

2,22[-

=B ，函数2)(2-+=mx x x f

（1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当B A C ?时，求实数m 的取值范围； （2）若对任意实数x ，均有)1()(f x f ≥恒成立，求B x ∈时，)(x f 的值域； （3）当B x A m ∈∈,时，证明8

|)(|≤

x f 答案：（1）11≤≤-m （2）22,22[-

（3）因为对称轴]2

2

,22[]41,41[4-?-∈-

=m x ， 故只需证明89|)22(|≤-

f ，8

9

|)22(|≤f ，89|)4(|≤m f 即可十二、板书设计（略）

十三、课后记：