最新人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理导学案(全章)

第十七章勾股定理

课题：17.1 勾股定理（1）

学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程：

一、自主学习

画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。（勾3，股4，弦5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。(用勾、股、弦填空)

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

勾股定理内容

文字表述：

几何表述：

二、交流展示

例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为

a 、

b 、

c 。求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正

即4×2

1

× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=_____________ 右边S=_____________ 左边和右边面积相等，即

_________________________ 化简可得

_______________________ 三、合作探究

1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。（已知a 、b ，求c ） ⑵a= 。（已知b 、c ，求a ） ⑶b= 。（已知a 、c ，求b ）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。

b

b

b

b

a

a

3．△ABC 的三边a 、b 、c ，

（1）若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； （2）若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； （3）若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。 四、达标测试

1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( ) 2．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20

3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12

4．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．

1380 D ．13

60 5、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在

BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求CF CE

D

E

A

B

五、课后记

课题：17.1 勾股定理（2）

教学目标：

1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 重难点：

1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 一、自主学习

1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系： ；

⑵若D 为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系： ；

⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边的关系： ； ⑷三边之间的关系： 。 二、交流展示

例1、在Rt △ABC ，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c 。 ⑵已知a=1,c=2, 求b 。 ⑶已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知_________边，求________边,直接用_______定理。⑵⑶已知_____边和_______边，求__________边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

三、合作探究

例3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高. ⑵求S△ABC。

分析：勾股定理的使用范围是在_________三角形中，因此注意要

创造_______三角形，作____是常用的创造______三角形的辅助线做法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中。

四、达标测试

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

4，AC=4，AD是BC边上的高，求BC 2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=3

的长。

A

3．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

B

五、课后记

课题：17.1 勾股定理（3）

学习目标：1．会用勾股定理解决简单的实际问题。2．树立数形结合的思想。

重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。

学习过程：

一、自主学习

填空: 在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b= 。⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。

二、交流展示

例1（教材P25页例1）

分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸小结深化数学建模思想，激发兴趣。 三、合作探究

例2（教材P25页例2）

如图，一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．如果梯子的顶端A 沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B 也外移0.5米吗？

（计算结果保留两位小数）

分析：要求出梯子的底端B 是否也外移0.5米，实际就是求BD 的长，而BD =OD -OB

四、达标测试

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离

A B

C

A

2题图 3题图 4题图 5题图

4．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。

5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米。

6．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。

7．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、

F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之

间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

A

B

D

E

F

（精确到1米）

五、课后记

课题：18.1 勾股定理（4）

设计：付玲审核：刘建林督办：时间：2012.3

教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

重难点1．重点：勾股定理的综合应用。2．难点：勾股定理的综合应用。

一、自主学习

如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0. 5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

C

D

例4（教材P26页探究）

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。（变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点。）

二、交流展示

例1：已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°， CD=3，求线段AB 的长。

分析：本题是“双垂图”的计算题， “双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

三、合作探究

1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？

分析：(1)若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.

(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为2．因此在数轴上能表示2的点．那

么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）

2、如图：螺旋状图形是由若干个直角 三角形所组成的，其中①是直角边长为1的

等腰直角三角形。那么OA 1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4＝ , OA 5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ ,…,OA 14＝ , …,OA n ＝ .

四、达标测试

1．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = 。

2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度,

∠C= 度，BC= ，S △ABC = 。

5

●

●

●

●

●

●

O

1

2

3

4 5

●

●

●

●

●

●

O

1

2

3

4

3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ， 则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = 。

4．已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =6，AC =4，BC =8，求BD ，DC 的长.

5、已知：如图，四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°, ∠B =∠D =90°. 求四边形ABCD 的面积。

五、课后记

D A

2

186

4A

C

D 60?1

2

课题：17.2 勾股定理的逆定理（1）

教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

一、自主学习

1.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

2.勾股定理的逆定理

______________________________________________________________________________ 小结注：(1)每一个命题都有逆命题.

(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.

(3)每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.

b B

C

A1

C1

二、交流展示

例1（P32探究）证明：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

例2：判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形：(理解勾股数) （1）a=15, b=8, c=17. （2）a=13, b=14, c=15.

运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a 2+b 2和c 2的值。③判断a 2+b 2和c 2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 三、合作探究

例3、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，a=n 2－1，b=2n ， c=n 2＋1（n ＞1）求证：∠C=90°。

四、达标测试

1．填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；

若a2＜b2－c2，则∠B是。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是三角形。

(5)△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是______三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）A．a=8，b=15，c=17

B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2D．a：b：c=2：3：4 4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

2，c=5；⑵a=5，b=7，c=9；⑶a=2，b=3，c=7；

⑴a=3，b=2

⑷a=5，b=62，c=1。 (5)a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。

五、课后记

课题：18.1 勾股定理的逆定理（2）

教学目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

一、自主学习

1、若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵5

1

,41,31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；

⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）

A ．2个

B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个

2、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b=32，c=4； 二、交流展示

例1（P33例2）某港口P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于Q 、R 处，并相距30海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可求PR ，PQ ，QR ；

⑷根据勾股定理 的逆定理，求∠QPR ；⑸求∠RPN

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

远航号

海岸线

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长；

⑶根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。

三、合作探究

例3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种

了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

四、达标测试

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，

A

B

此三角形的形状为 。

2．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 。

3．一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13

米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 则电线杆和地面是否垂直，为什么？

4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇

的航向？

C

N

第17章《勾股定理》单元备课

第十七章勾股定理单元备课 一、教材分析： 新版教材在原有教材的基础上进行了修订，“勾股定理”为独立的一章，其主要内容包括勾股定理（直角三角形三边的关系）；勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）；勾股定理及逆定理的应用。 本章所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。 1.本章的主要内容 （1）勾股定理（直角三角形的三边关系） （2）勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法之一） （3）勾股定理及勾股定理逆定理的应用。 2.重点与难点 本章内容的重点是勾股定理及勾股定理逆定理的应用。勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是勾股定理的证明。课本通过构造图形，利用面积相等来证明的，证明思路的获得学生感到困难，这涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法。 二、教学目标：

（1）理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边。 （2）能验证勾股定理。 （3）会运用勾股定理的逆定理，判定直角三角形。 （4）通过介绍古今中外对勾股定理的研究，激发学生的爱国热情。 （5）能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。 三、教学中应注意的问题： 1.让学生获得更多与勾股定理有关的知识背景，注重介绍数学文化。 2.让学生体验勾股定理的探索和运用过程。 3.注意引导学生体会数形结合的思想方法，培养应用意识。 4.适当总结与定理、逆定理有关的内容 四、课时安排： 17.1勾股定理4课时 17.2 勾股定理的逆定理3课时 小结与复习1课时第十八章单元测试2课时

最新人教版初二下册数学第十七章《勾股定理》导学案

探索勾股定理-（1） （第1课时）学生姓名： 学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。 重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长 学习过程： 一、课前预习： 1、三角形按角的大小可分为：、、。 2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。 3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。 4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 二、自主探究： 探究一：探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边关系为。https://www.wendangku.net/doc/b92978744.html, 探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？

思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。 勾股定理： 直角三角形 等于 ； 几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。 三、课堂练习： 1、求下图中字母所代表的正方形的面积 12米处。旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？ 四、课后反思 第4题 B C A

探索勾股定理-（2） （第2课时）学生姓名： 学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。能运用勾股定理解决一些实际问题。 重难点：勾股定理的应用。 学习过程： 一、知识回顾： 1、直角三角形的勾股定理： 2、求下列直角三角形的未知边的长 二、自主探究：利用拼图验证勾股定理 活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？ 分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积 得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×1 2ab . 化简可得： 活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。 用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形． 图2 分析：大正方形的面积＝边长的平方= ＋4个直角三角形的面积 得 2＝( － )2＋4×1 2 ab . 化简可得： 12 B A C

最新八年级数学上册导学案全册有答案

八年级数学上册导学案全册有答案

第一章轴对称与轴对称图形 1.1我们身边的轴对称图形 教学目标： 1、观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。 2、能判断一个图形是否是轴对称图形。 3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。 4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 5、理解并能应用轴对称的有关性质。 教学重点： 1、能判断一个图形是否是轴对称图形。 2、轴对称的有关性质。 难点： 1、判断一个图形是否是轴对称图形。 2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 教学过程： 一、情境导入 教师展示图片：五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。学生欣赏，思考：这些图形有什么特点？ 二、探究新知 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 190 -

1、生活中有许多奇妙的对称，如从镜子里看到自己的像;把手掌盖 在镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起；这些都是对称，你还能举出例子吗？ 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言。 教师巡回指导、点评。 2、动手做一做：用直尺和圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯 形剪下来，沿上底和下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能完全重合吗？ 学生活动：观察、小结特点。 3、教师给出轴对称图形的定义。 问题： ⑴“完全重合”是什么意思？ ⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗？ ⑶圆的直径是圆的对称轴吗? 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言,教师点评。 ⑴指形状相同，大小相等。 ⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则必然经过这个图形的本身。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 190 -

第17章勾股定理导学案17.2勾股定理的逆定理第5课时

勾股定理的逆定理（第5课时） 【 学习目标】：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 【学习重点】：掌握勾股定理的逆定理及证明。 【学习难点】：勾股定理的逆定理的证明 【学习过程】 一、温故知新1、如何判定一个三角形是直角三角形？ 二、自学探究 1、在练习本上用尺规画以线段a ，b ， c . 为边的三角形，并判断分别以上述a 、b 、c 为边的三角形的形状. ⑴ a =3，b =4 c =5 ⑵ a ＝2.5，b ＝6，c ＝6.5， ⑶ a =4， b =7.5 , c =8.5 2、猜想：如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足222c b a =+，那么这个三角形是 三角形 猜想的题设是： __________ 猜想的结论是： ____________________________________ 该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好 . 3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做 命题，若把其中一个叫做原命题．．．，那么另一个叫做它的 命题.譬如： ①原命题：若a ＝b ,则a 2＝b 2；逆命题： .（正确吗？答 ） ②原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ） 由此可见：原命题正确，它的逆命可能 也可能 . 正确的命题叫真命题．．．，不正确的命题叫假命题．．． 4、验证猜想 已知：△ABC 中，BC 2＋AC 2＝AB 2 ； 求证：∠C ＝90°. 证明：作Rt △A ′B ′C ′,使∠C ′＝90°， B ′ C ′＝BC ＝a , A ′C ′＝AC ＝b . 通过证明，我发现勾股定理的逆命题是 的，它也是一个 ，我们把它叫做勾股定理的 . 三、回顾与归纳 1、勾股定理是直角三角形的 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的 定理. 2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是： ①先算两条短边的 再算最长边的 ；把 作比较；作出 . ②勾股数:我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）是一组勾股数吗？ 比一比看谁能说出的勾股数多？

八年级数学下二次根式导学案.doc

16． 1 《二次根式 (1) 》学案 班级 :姓名：小组： 学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标： 1、理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 学习过程 一、自主学习 (1) 16 的平方根是； (2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h(单 位：米 ) 满足关系式h 5t 2。如果用含h的式子表示t，则t= ； (3) 圆的面积为 S，则圆的半径是； (4) 正方形的面积为 b 3 ，则边长为。 思考： 16 ，h ，s , b 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 5 定义 : 一般地我们把形如 a （a 0 ）叫做二次根式， a 叫做_____________。读作。 二、应用举例 例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、3 3 、1 、 x（x>0）、x 0、42、- 2 、 1 、 x y （x≥0，y?≥0）． x y 解：二次根式有：；不是二次根式的有：。 例 2．当x是多少时，3x 1 在实数范围内有意义？ 解：由得：。当时，3x 1 在实数范围内有意义．

注意： 1、形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2、利用“ a （a≥0）”解决具体问题 3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 例 3．当x是多少时，2x 3 在实数范围内有意义？ 例 4若 a 1 +b 1 =0，求a2004+b2004的值．(答案:2 ) 5 四、巩固练习 教材练习． 五、课堂检测 （ 1）、简答题 1．下列式子中，哪些是二次根式，那些不是二次根式？ -7 3 7x x4168 1 x （ 2）、填空题 1．形如 ________的式子叫做二次根式． 2．面积为 5 的正方形的边长为________． （ 3）、综合提高题 1．二次根式 a 1 中，字母a的取值范围是（） A、 a＜l B、a≤1 C、a≥1 D、a＞1 2．已知x 3 0 则x的值为 A 、 x>-3 B、x<-3C、x=-3 D、x的值不能确定 六、课后记

勾股定理导学案

A B 17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案 学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。 2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。 学习过程： 活动一 动手做一做 1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°， 直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________（2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系： 活动二 毕达哥拉斯的发现 1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ， 则三个正方形面积之间的关系：_______________ 2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ， 斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度 之间的关系：_____________________ 活动三 探索与猜想 观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1) （1）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。 （2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________ 活动四 认识赵爽弦图 活动五 证明猜想 已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边分别为a 、b ， 斜边为c 全等的直角三角形， 求证： 222 a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +?4） 证明：

勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 归纳直角三角形的主要性质： 在Rt △A B C 中，∠C = 90°， （1）两锐角的关系：∠ A + ∠ B = _____° （2）斜边与直角边的关系：若∠A = 30°，则 ________________ （3）三边之间的关系：______________________ 活动六 活学活用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______ 2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。 (注：下列各图中的三角形均为直角三角形) 3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°, （1）若a = 2，b = 3, 则c = _______ （2）若a = 1，c = 2, 则b = _______ （3）若c = 5，b = 4, 则a = _______ 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、（1）在Rt △A B C 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4， 则BC = _______, 则AC = _______ （2）在Rt △A B C 中，∠A = 90°，BC = 7，AC = 5，则 AB = _________ x 8 6 13 5 y A B C

华师大版八年级(上)数学导学案

第12章数的开方导学方案 第一课时 学习指导： 一、自主学习： 【导学提纲】 1.我们已学过哪些数的运算? 2.加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢? 3.什么是平方根？一个数的平方根如何表示呢？什么是算术平方根？什么叫开平方？ 4、一个数的平方根有什么特点？ 5、要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？【预习填空】 ★1、如果一个数的等于a，那么这个数叫做a 的。 ★2、一个正数必定有，它们互为，其中正数a的叫做a的算术平方根；0的平方根（有且只有个）；负数； 3、一个正数a的平方根记作（符号表示），其中是算

术平方根，称为被开方数； 4、求一个，叫做开平方，将一个正数开平方，关键是找出它的一个； 5、练习： (1)∵（）2=25 ∴正数25的平方根是，可表示为± =±5； (2)∵（）2=0.09 ∴正数0.09的平方根是，可表示为 = ； (3)∵（）2=16/25 ∴16/25的平方根是，可表示为 = ； (4)∵（）2=0 ∴0的平方根是，可表示为 = ； (5) ∵负数，∴ -4 。 6、已知一个数的平方等于10000，那么这个数是 . 【学贵有疑】组长或学科导生检查情况（等级）：组长或导生（签字）： 二·展示提升 1、填空（1） 144的平方根是；（2） 0的平方根是； 4的平方根是；（4）－4有没有平方（3） 25 根？为什么？ 2、求下列各数的算术平方根。（1）121 （2）21 （3）64 （4）102； 4 （5）0； 3、求下列各数的平方根：(1)81；(2)0.09；（3）1600；（4）49/25；（5）0.0256；

第十七章勾股定理复习导学案

第十七章：《勾股定理》复习学案 一、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么。 直角三角形 b c a2+b2=c2 (数) （形） a a 变形为：a= ；b= 。 1、设直角三角形的斜边为c，两直角边为a和b，求： （1）已知a=6，b=8，则c= ; (2) 已知a=3，c=8，则b= ; (3)已知b=4，c=8，则a= ; 二、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是．2（1）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 （2）下列各组数不是股数的是（） A、5、12、13 B、3、4、5 C、8、6、17 D、15、20、25 三、勾股定理与正方形面积 3、已知图中所有四边形都是正方形，且A与C、B与D所成的角都是直角，其最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和为 4、是一株美丽勾股树，其四边形正方形，．若正方形A，B，C，D边长分别

是3，5，2，3，则最大正方形E 面积是 5、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如上图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______． 四、木板能否通过门框 6，如图，长4m ，宽3m 薄木板 （能或不能）从门内通过． 7、门高2米，宽1米，现有为3米，宽为2.2米薄木板能否从门框内通过？为什么？ 五、梯子移动问题 8、一个5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时OB=3米，如果底端B 沿直线OB 向右滑动1米到点D ，同时顶端A 沿直线向下滑动到点C （如图所示）．求AC ． 9、如图，一个2.5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时梯子顶端A 距离墙角O 的高度为2米． ①求底端B 距墙角O 多少米？ ②如果顶端A 沿角下滑0.5米至C ，底端也滑动0.5米吗？ l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1

人教版八年级数学下册导学案全册

第十七章反比例函数 课题 17.1.1 反比例函数的意义课时：一课时【学习目标】 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.会判断一个给定函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。 【重点难点】 重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的表达式。 难点：反比例函数的意义。

【导学指导】 复习旧知: 1.什么是常量？什么是变量？函数是如何定义的？ 2.我们学过哪几种函数？每一种函数形式怎样？ 3.写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数.

（1）梯形的上底长是2，下底长是4，一腰长是6，则梯形的周长y与另一腰长x之间的函数关系式。（2）某种文具单价为3元，当购买m个这种文具时，共花了y元，则y与m的关系式。 学习新知：阅读教材P39-P40相关容，思考，讨论，合作交流完成下列问题。 1.什么是反比例函数？反比例函数的自变量可以取一切实数吗？为什么？

2.仔细观察反比例函数的解析式y=k/x,我们还可以把它写成什么形式？ 3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数，我们是用什么方法求它们的解析式的？以此类推，我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。 【课堂练习】 1.下列等式中y是x的反比例函数的是（） ①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑤y=5/x+2 ⑥y=x/2 ⑦y=-√2/x ⑧y=-3/2x 2.已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=7, (1)写出y与x的函数关系式；（2）当x=7时，y等于多少？

【要点归纳】 通过今天的学习，你有哪些收获？与同伴交流一下。

勾股定理导学案

勾股定理 1 勾股定理（一） 学习目标： 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的容，会用面积法证明勾股定理。 2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。 学习重点：探索和验证勾股定理。 学习难点：证明勾股定理。 导学流程： 一、 自主学习 前置学习： 自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。 1. 教材第64至65页思考及探究。 2. 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。（勾3，股4，弦5）。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现23+24与25的关系，25+212和2 13的关系，即23+24_____25，25+212_____213，那么就有____2+____2=____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a 、b ， 斜边为c ，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。 二、展示成果 活动1 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：222a b c +=。 证明：如爽弦图， 思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？ 活动2 如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？ 知识点归纳： 上述问题可视为命题1的证明 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 斜边为c ，那么 。 总结：经过证明被确认正确的命题叫 。 命题1在我国称为 ，而在西方称为 。 三、合作探究 活动3 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 （1）a = 。（已知c 、b ，求a ） （2）b = 。（已知a 、c ，求b ） （3）c = 。（已知a 、b ，求c ） 活动4 △ABC 的三边a 、b 、c ， （1）若满足222a b c +=，则∠C 是 角； （2）若满足222a b c +>，则∠C 是 角； （3）若满足222a b c +<，则∠C 是 角。 四、当堂自测 基础训练： 1. 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，若=5a ，=12b ，则=c 。 2. 在直角三角形ABC 中，若=3a ，=5b ，则=c 。 3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边扩大到原来的 。 4. 在ABC ?中，90C ∠=?． b b

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11.1.1三角形的边 一、学习目标 1．认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类． 2．知道三角形三边不等的关系． 3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，?并能用于解决有关的问题 二、重点：知道三角形三边不等关系． 难点：判断三条线段能否构成一个三角形的方法． 三、合作学习 （一）精讲 知识点一：三角形概念及分类 1、学生自学教科书内容，并完成下列问题： （1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾连接所组成的图形 叫做三角形。如图，线段____、______、______ 是三角形的边； 点A 、B 、C 是三角形的______; _____、 ______、_______ 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形 的角。图中三角形记作__________。 （2）三角形按角分类可分为___________、___________、______________。 （3）三角形按边分类可分为 _____________ （二）精练一： 1、如图．下列图形中是三角形的___________？ 2、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 精讲 知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段 能否构成三角形 1、探究：请同学们画一个△ABC ，分别量出AB ，BC ，AC 的长，并比较下列各式的大小： AB+BC_____AC AB + AC _____ BC AC +BC _____ AB 结论：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 精练二： 1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10 2、有四根木条，长度分别是12cm 、10cm 、8cm 、4cm ，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。 3、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ） A 、1 B 、9 C 、3 D 、10 4、阅读教科书例题，仿照例题解法完成下面这个问题： 5、一个三角形有两条边相等，周长为20cm ，三角形的一边长6cm ，求其他两边长。 6、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ） A 、7 B 、9 C 、12 D 、9或12 7、若三角形的周长是60cm ，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为 ___________. 8、（选做）若△ABC 的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________. 9、已知线段3cm,5cm,xcm,x 为偶数，以3，5，x 为边能 组成______个三角形。 学习反思： A B C

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理导学案(最新整理)

《17.1勾股定理》导学案（1） 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程 一、自学导航（课前预习）1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （ 2）若 D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、勾股定理证明：方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=______________ 右边S=_______________左边和右边面积相等， 即： 化简可得 。 二、合作交流（小组互助）思考： A b

（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 （3）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中， ，90C ∠=?（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ） A.若、、是△ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=B.若、、是Rt △ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=C.若、、是Rt △ABC 的三边，， 则a b c 90A ∠=?2 a +D.若、、是Rt △ABC 的三边， ，则a b c 90C ∠=?2a +3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。 三、本节课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？ 四、达标检测 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则

2013新版北师版数学八年级(上)上第一章勾股定理导学案

第一章勾股定理 第1课时探索勾股定理（1） 一、三角形的边角关系： 边： 角： 引例： 二、探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? 勾股定理： 三、利用拼图验证勾股定理： 用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？

四、典型例题 例1、求出下列各图中x 的值。 例2、如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？ 例4、求下图中字母所代表的正方形的面积。 x 15 17C B A

例6、直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 五、知识巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°， （1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ； （3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ， 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 5．一个直角三角形的两直角边长为3cm 、4cm ，斜边长为 a cm ，则以斜边为半径的圆的面积是 。 6．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为 ．

第17章勾股定理导学案17.1勾股定理第1课时

C B A 勾股定理第1课时 【学习目标】1、能用在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理。 2、通过用拼图的方法验证勾股定理，经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程获得数学知识，发展数形结合的数学思想。 3、能对勾股定理和它的变形简单应用。 【学习重点】勾股定理的探索和证明 【学习难点】勾股定理的证明 预 习 案 知识链接 我们学过的直角三角形有哪些性质？（每个同学自制4个大小完全一样的直角三角形） 边： 角： 探 究 案 探究一：直角三角形的三边关系 1、如图，在正方形瓷砖拼成的地面中，观察图中用阴影画出的三个正方形，两个小正方形P 、 Q 的面积与大正方形R 的面积有什么关系？ 用图中的线段表示为： 即：在等腰直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。 2、如图，每一小方格表示1平方厘米，那么： 正方形P 的面积＝ 平方厘米； 正方形Q 的面积＝ 平方厘米； 正方形R 的面积＝ 平方厘米． 我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是： ． 用图中的线段表示为： （每一小方格表示1平方厘米） 即：在一般直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。 由此，对于任意的直角三角形，若它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则一定有： 勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方。 探究二：勾股定理的证明 每个同学拿出自制的4个直角三角形拼图，能否拼出下列图形。（利用面积证明勾股定理） 如左图，∵ S 大正方形= ，S 小正方形= ， S 三角形= ，又∵S 大正方形-S 小正方形= ∴ ∴ 即： 勾股定理符号语言： ∵在ABC Rt ?中，090=∠C ∴ （勾股定理） 探究三：勾股定理的简单变形 对于勾股定理：2 2 2 c b a =+，可以有哪些变形？ 训 练 案 1.在?Rt ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ，，，∠C ＝90°.回答下列问题： ①若43 ==b a ，，则c ＝ ②若817==a c ，，则b ＝ ； ③若1312==c b ，，则a ＝ .（提示：根据题意先画出草图辅助分析。） 2．如图是美国总统Garfield 于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 3．如图所示，AC ＝10，BC ＝17，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，求△ABC 的面积． 4．设a ，b ，c ，d 都是正数．求证： + ＞

人教版八年级数学下册导学案(全册)

第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义 学习目标： 了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字 母的取值范围。 理解二次根式的非负性 学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导： 看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。（2）被开方数必须是 数。 判断下列格式哪些是二次根式? ⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2 )2 1(- ⑷ ()223≥-a a ⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02?-x x 学： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 2-x ⑵ x -21 ⑶13-+ -x x ⑷2x ⑸3x （6） ()01-a （1）常见的非负数有：a a a ,,2 （2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。 巩固练习： 已知(),03122 =-++b a 求a,b 的值 2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练： 1.下列各式中：①52+- x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥ 3+-x 其中是二次根式的有 。 2.若1 21 3-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。 3.已知122+-+-= x x y ，则=y x 4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（） （A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子ab a 1+ -有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限 （A ）一 (B)二 (C)三 (D)四 6.若,011=-++b a 则=+20112011 b a 7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是 8.已知01442=-++ +-y x y y ，求xy 的值

新北师大版八年级数学上册第一章勾股定理导学案(自编)已审

第一章勾股定理导学案 第1课时探索勾股定理（1） 一、学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。 二、预习设计： 1、三角形按角的大小可分为：、、。 2、三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和；任意两边之差。 3、直角三角形的两个锐角； 4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系： （1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? （3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想： 三、课堂探究：：

如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是 怎样得到的？ 思考： 每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。 勾股定理： 直角三角形等于； 几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°， 则：； 若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。 图1.1-1 课堂练习： 1、求下图中字母所代表的正方形的面积

落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 三、师生互动： 例题.在△ABC 中,AB=AC=5cm ，BC=6cm,求△ABC 的面积. C B A

四、训练达标： 基础巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°， （1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ； （3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。 4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 能力提升： 6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方 形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 的面积是 。 8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其 面积为 ． 10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。 课堂检测 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ （2）若c ＝41，a ＝9，则b ＝ 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 第4题

八年级数学上册全册导学案+分层练习合集(含答案)

11.1 与三角形有关线段 11.1.1 三角形边 1.通过具体实例，认识三角形概念及其基本要素. 2.学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3.掌握三角形三边关系. 阅读教材P2～4，完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义：由不在____________三条线段首尾________所组成图形叫做三角形. 2.有关概念 如图，线段AB，BC，CA是三角形________，点A，B，C是三角形________，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成角，叫做三角形________，简称三角形角. 3.表示方法：顶点是A，B，C三角形，记作“________”，读作“____________”. (1)三角形表示方法中“△”代表“三角形”，后边字母为三角形三个顶点，字母顺序可以自由安排，即△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA为同一个三角形. (二)三角形分类 1.等边三角形：三条边都________三角形.

2.等腰三角形：有两边________三角形，其中相等两条边叫做________，另一边叫做________，两腰夹角叫做________，腰和底边夹角叫做________. 3.不等边三角形：三条边都________三角形. 4.三角形按边相等关系分类 三角形????? 三角形 三角形????? 三角形 三角形 等边三角形是特殊等腰三角形，即底边和腰相等等腰三 角形 . (三)三角形三边关系 1.三角形任意两边之和________第三边. 2.推论：由于a ＋b>c ，根据不等式性质，得c －b

华师大版八年级数学下册导学案

第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 导学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 导学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 导学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 导学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分 式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9 中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3）

17.1.1勾股定理导学案

17.1 勾股定理（1） 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？ 2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 A B C (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？

二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形 的面积相等。 左边S=______________ 右边S=_______________ 左边和右边面积相等， 即 化简可得。 方法三： 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 2 12 1 b b b