矩阵理论练习题
1.设实数域上的多项式空间3[]P t 中的多项式23
0123()f t a a t a t a t =+++在线性变换T 下的像为2
3
01122330()()()()()Tf t a a a a t a a t a a t =-+-+-+-，求线性变换T 的值域和核空间的基与维数。
2.设?
???
?
??=032100010A ，???? ??-=2010A ，求A
e 。3.求矩阵1141??= ???A 的谱分解。 4.求微分方程组112212313214221t
dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-??和1
1
3212331
3383625dx x x dt dx
x x x dt dx x x dt ?=+???=-+???=--??满足初始条件
123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。
5.证明矩阵n n C A ?∈的幂序列}{)
(m A
收敛于0的充分必要条件是()1A ρ<。
6. 求矩阵???
?
? ??---=502613803A 的Jordan （约当）标准形。
7. 设102011010A ?? ?=- ? ???
，试计算：8542
()234A A A A A E ?=-++-。
8. 证明矩阵幂级数
∑∞
=0
m m m
A c
绝对收敛的充分必要条件是对任一矩阵范数?，正项级数
∑∞
=0
m m m
A c
收敛。
1、非齐次微分方程组()()??
???=+=T x t F AX dt dx
1,0)0(的解：
其中????
??-=3553A ()???
? ??=-0t e t F
2、设n
n C
A ?∈，则对任何矩阵范数?，都有A A ≤)(ρ。
3、设????
? ??=010100012A ，求At
e 。
4、设n
n C
A ?∈，且1)( ∑∞ =0 m m A 的和。 5、求矩阵??? ?? ??---=502613803A 的约当标准形。 6、求??? ?? ??----=031251233A 的最小多项式)(λm 。 7、讨论k k k k ??? ?? ?--∑∞ =12816 0的敛散性。 8、线性变换的秩与零度的定义，秩与零度之间的关系 9、已知m n m R b R A ∈∈?,，对于矛盾线性方程组b Ax =，使得2 2)(b Ax x f -=为最小 的向量) 0(x 称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。 1. 已知6阶矩阵A 的初等因子组为3 2)3(,)2(),1(---λλλ，求A 的行列式因子，不变因子，若当标准形。 2. 已知cos 4sin 4sin 3(),2sin cos 2sin 22x x x A x x x x -?? ?= ?-+?? 求)(lim 2x A x π→ ；'()A x 3．判断k k k k ?? ????--∑∞ =12816 0的敛散性 4. 求4R 的子空间 } 0|),,,{(}0|),,,{(4321432143214321=+++==-+-=a a a a a a a a W a a a a a a a a V 的交W V 的一组基。 5设,n n A C ?∈且谱半径()1A ρ<，求级数11 m m A ∞ +=∑的和。 6设211121112A ?? ?= ? ???，试计算432 ()5362A A A A A E φ=-++-。 7. 估计矩阵0.90.010.120.010.80.130.010.020.4A ?? ? = ? ??? 的特征值以及其实部和虚部的界限。 8 设? ?? ? ??--=1411A ，计算sin cos A A + 9.求微分方程组 1 12 2 12313214221t dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-?? 满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。 10.求矩阵1141?? = ??? A 的谱分解。 11.设21,V V 分别是齐次线性方程组021=+++n x x x 与n x x x === 21的解空间，试证明21V V P n +=。 12.设}{)(m A ，}{)(m B 是n n C ?上的矩阵序列，若A A m m =∞ →)(lim ，B B m m =∞ →)(lim ，则 B A B A m m m ?=?∞ →)()(lim 。 1. 在R 22?中求矩阵 ? ? ????=3021A 在基123111111,,,111000E E E ??????===????????????41000E ?? =???? 下的坐标。 2. 试证：在R 22?中矩阵 123411111110,,,11011011αααα???????? ====? ???????????????线性无关，并求?? ????=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。 3. 在R 22?空间中，线性变换T ： ()221240,2114T X X X R ?-???? =∈???? ???? ， 求T 在基123101111,,,000010ααα??????===????????????41111α?? =???? 下的矩阵表示。 4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换，它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是 ?? ?? ? ?????-=512301321A （1）求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示； （2）求T 在基123,,ααα下的核与值域。 5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P （1）???? ??????-----211212112 , （2）? ? ??? ???? ???-2000 1200 10201012 . 6. 已知矩阵 310121013A -?? ??=--?? ??-?? 验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。 7. 已知3阶矩阵 1114335A x y -?? ??=?? ??--?? 的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量 （1）求,x y ； （2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵； （3）求A 的谱分解表达式。 8. 已知矩阵 011101110A ?? ??=?? ???? 验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。 9. 已知矩阵 024******** 2 A ??????? ?=???????? 验证A 是单纯矩阵，并求A 的谱分解表达式。 10. 设 000a a A a a a a ?? ??=?? ???? 问a 取何值时，有lim 0k k A →∞ =。 11. 判断矩阵幂级数01 16 3 4136k k ∞=?? -? ?? ???-???? ∑的敛散性。 12. 已知 1 35 53155A ?? ??=? ??????? ， （1）求证：矩阵幂级数 2 1 k k k A ∞ =∑收敛。（2）求矩阵幂级数21 k k k A ∞ =∑的收敛和。 13. 已知A 为一个n 阶矩阵，且()1A ρ<，求 k k kA ∞ =∑。 14. 已知矩阵A 的某种范数1A <,求 1 1 k k kA ∞ -=∑。 15. 已知1 0001 10001100011A ????? ?=?? ?? ?? ，求tA e ，sin A ,cos A ,ln A . 16. 已知矩阵A ，求矩阵函数的()f A 多项式表示，并计算A e ，tA e ，sin A π，cos A π （1）221261004A ?? ??=-?? ???? (2) 210100212A ????=-????--?? 17. 求解线性常系数奇次微分方程 () ()(0)[1,1,0]T dx t Ax t dt x ?=???=?， 其中311201112A -????=-????-?? 。 18. 求解线性常系数非奇次微分方程 () ()()(0)[1,1,0]T dx t Ax t f t dt x ?=+? ??=? 其中311201112A -?? ??=-?? ??-?? ，2()[0,0,]t T f t e =。 19. 求解线性常系数非奇次微分方程 () ()()(0)[1,1,1] T dx t Ax t f t dt x ?=+? ??=? 其中211031213A -?? ??=-?????? ，22()[,0,]t t T f t e te =。 1、求微分方程组 1 12 2 123 1 3214221t dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-?? 满足初始条件123(0)1, (0)1,(0)1x x x ===-的解。 2、求矩阵1141?? = ??? A 的谱分解。 3、设??? ? ??-=2010A 求A e A sin , 4、矩阵n n C A ?∈的序列}{) (m A 收敛于01)( 1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为： 2、 已知100013031A ?? ? = ? ??? , 则12__________;__________;__________;__________;F A A A A ∞==== 3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()2 2,3λλ--，则A 的约当标准形 为： ；不变因子为 ；最小多项式 为： ； 4、 已知2sin cos sin(2)()cos 102x x x x A x x x e ?? ? = ? ??? ，则 2 200()___________;()___________;x d A t dt A x dx dx ==?? 二、解答下列各题 1、 在4 R 中有两组基： 12341234(1)(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)(2)(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3) ααααββββ=====-=== 试求 1）从第（1）组基到第2）组基的过渡矩阵； 2）向量1234(,,,)x ξξξξ=在第(2)组基下的坐标； 3）在两组基下有相同坐标的非零向量。 2、设211121112A ?? ?= ? ???，试计算432 ()333027A A A A A E φ=+-+-。 3、 用圆盘定理估计矩阵241131423A ?? ? = ? ??? 的特征值分布范围。 4、设,n n A C ?∈且谱半径()1A ρ≤，求级数0 m m A ∞ =∑的和。 5、设2333A --??= ?-??，求.A e 6、判断方阵幂级数018216k k m k ∞ =-?? ?-?? ∑的敛散性。 三、证明：lim m m A O →∞ =的充分条件是：有一方阵范数?，使得1A <。 1、在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为： 2、 已知122212221A ?? ? = ? ??? , 则12__________;__________;__________;__________;F A A A A ∞==== 3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()2 1,1λλ--，则A 的约当标准形为： 4、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ??= ?-??，则1()______________;()______________; |()|______________;| ()|______________. d d A t A t dt dt d d A t A t dt dt -==== 三、解答下列各题(（共48分，每小题8分） 1、用最小二乘法求解线性方程组 1213 12312312021 x x x x x x x x x x +=? ?+=?? ++=??+-=-? 2、设111111111A ?? ?= ? ???，试计算43 ()322A A A A E φ=-++。 3、 估计矩阵0.90.010.120.010.80.130.010.020.4A ?? ? = ? ??? 的特征值的界限。 4、设,n n A C ?∈且谱半径()1A ρ<，求级数0 m m A ∞ =∑的和。 5、 按通常矩阵的加法及数与矩阵的乘法，数域P 上方阵集合S: 全体形如0a a b ?? ?-?? 的二阶方阵的集合 是否构成数域P 上的线性空间？请祥述理由。 6、 设0140A ??= ??? ， （1）利用第四章第四节矩阵函数的求法求20 A 。 （2）2 2 sin cos .A A E += 三、证明：=∞ x ||max 4 1i i p x ξ≤≤=，其中=∞ x 14 12341 (,,,),(||)p p i p i x x ξξξξξ===∑ 四、用直接三角分解法解??? ? ? ??=????? ??????? ??201814513252321z y x . 五、已知cos 4sin 4sin 3(),2sin cos 2sin 22x x x A x x x x -?? ?= ?-+?? 则 )(lim 2x A x π→ = ____________)('=x A 六．判断k k k k ??? ???--∑∞ =12 8160的敛散性为 七、求4R 的子空间 } 0|),,,{(}0|),,,{(4321432143214321=+++==-+-=a a a a a a a a W a a a a a a a a V 的交W V 的一组基。 八、 设211121112A ?? ?= ? ??? ，试计算432 ()5362A A A A A E φ=-++-。 九设? ?? ? ??--=1411A ，计算sin cos A A + 十、 估计矩阵0.90.010.120.010.80.130.010.020.4A ?? ? = ? ??? 的特征值以及其实部和虚部的界限。 11、求微分方程组 1 12 2 12313214221t dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-?? 满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。 一、填空题：（每空3分，共18分） 1. 已知三阶方阵A 的初等因子为()()2 1,1λλ--，则A 的约当标准形为： ；最小多项式为： 。 2. 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ?? = ?-?? ，则 ()_____________,|()|_______________d d A t A t dt dt == 3. 已知2sin cos sin(2)()cos 102x x x x A x x x e ?? ? = ? ??? ，则 2 20 0()_______________;()_________________;x d A t dt A x dx dx ==?? 二、解答下列各题：（每题8分，共40分） 1. 设4321,,,x x x x 是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵为 ??????? ? ?---=212255213121 12 01 A ，求A 在基???????=+=--=+-=444334 322421132x y x x y x x x y x x x y 下的矩阵表示。 2. 设,n n A C ?∈且谱半径()1A ρ<，求级数∑∞ =-1 1m m mA 的和。 3.设 ?? ?? ? ??-=032311210A ，试计算： 876532()2228321316A A A A A A A A E φ=+--++--,其中E 是三阶单位矩阵。 4.用圆盘定理估计矩阵??? ? ? ??-=321321242A 的特征值分布范围。 5. 求定解问题 311,201(0)(1,1,1) 112T dX AX A dt X -?? ?=? ?=-? ?? ?=-??? 的解。 三、（12分）设???? ? ??=010101001A ， 证明：当3≥n 时，,22 E A A A n n -+=- 并求.100A 四、（14分）求方程组：1231231 2324 2253339 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=?的通解。 五、证明：（16分） 1．证明：lim m m A O →∞ =（阵）的充分条件是：存在一方阵范数?，使得1A <。 2．设T 是内积空间V 的一个变换。证明：如果T 保持向量的内积不变，即 V y x y x Ty Tx ∈=,),,(),( 则T 一定是线性变换，因而是正交变换。 一、填空题：（20分） 1.已知0 1232 34545676789A ????? ?=??????，则() ( )() 15.F A A A ?=?? =?? =?? 2.已知000101000A ????=-??????，则A 的Jordan 标准型是? ???????? ? . 3.设11 1213122321 22 23(),,x x x f X x x X x x x ??==? ???则df dX ? ? =??? ? . 4.已知1821A -??=??-?? ，则矩阵幂级数06k k k k A ∞ =∑是（ ），其理由是 （ ）. 5. Hermit 矩阵的特征值必为（ ），反Hermit 矩阵的特征值必为（ ）。 二、解答下列各题：（30分） 1．设实数域上的多项式空间3[]P t 中的多项式2 3 0123()f t a a t a t a t =+++在线性变换T 下的像为 2301122330()()()()()Tf t a a a a t a a t a a t =-+-+-+- 求线性变换T 的值域和核空间的基与维数。 2．设102011010A ?? ?=- ? ??? ，试计算：8542 ()234A A A A A E ?=-++-。 3．设??? ? ??-=x x x x A 1sin )(π，求10 ()A x dx ?。 4．用圆盘定理估计矩阵??? ? ? ??--=i i A 45.05.07.023 .1110 的特征值分布范围。 三、求微分方程组（15分） 1 12 2 12313214221t dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-?? 满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。 四、（15分）设??? ? ??--=1411A ， （1）求20A （2）证明I A A =+2 2cos sin 五、证明下列各题：（20分） 3．矩阵n n C A ?∈的幂序列}{) (m A 收敛于0的充分必要条件是()1A ρ<。 4．矩阵幂级数 ∑∞ =0 m m m A c 绝对收敛的充分必要条件是对任一矩阵范数?，正向级数 ∑∞ =0 m m m A c 收敛。 一、试述线性变换的秩与零度的定义，并指出秩与零度之间的关系 二、解答下列各题： 5．讨论k k k k ?? ????--∑∞ =12816 0的敛散性。 6．设n x P ][表示实数域R 上所有次数小于n 的多项式集合，则n x P ][是否构成R 上的线性空间？若是，指出其一组基，否则说明理由。 7．求矩阵????? ??---=502613803A 的约当标准形。 8．求??? ? ? ??----=031251233A 的最小多项式)(λm 。 9．用圆盘定理估计矩阵??? ? ? ??=31111 119i A 的特征值分布范围。 三、计算下列各题： 1．设n n C A ?∈，且1)( ∑∞ =0 m m A 的和。 2．已知m n m R b R A ∈∈?,，对于矛盾线性方程组b Ax =，使得2 2)(b Ax x f -=为最 小的向量) 0(x 称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。 3．设???? ? ??=010100012A ，求At e 。 4．设????? ??-+=x e x x x x x x A cos )1ln(sin )(，求??? ???dt t A dx d x 20)(。 四、非齐次微分方程组()()?? ???=+=T x t F AX dt dx 1,0)0(的解： 其中???? ??-=3553A ()??? ? ??=-0t e t F 五、证明下列各题： 5．设? ?? ? ??--=1411A ，证明I A A =+2 2cos sin 。 6．设n n C A ?∈，则对任何矩阵范数?，都有A A ≤)(ρ。 六、设3R 中的向量为),,(321x x x =，线性变换为 )32,32,22(32132132x x x x x x x x +---+---= 求3R 的一组基，使得线性变换A 在该基下的矩阵为对角矩阵。 七、解答下列各题： 10． 讨论k k k k ??? ?? ?--∑∞ =12816 0的敛散性。 11． 求实数域上全体n 阶实对称矩阵构成的线性空间n n R ?的基与维数。 12． 求矩阵??? ?? ??----=2126617215 111 A 的约当标准形。 13． 求??? ? ? ??----=031251233A 的最小多项式)(λm 。 14． 用圆盘定理估计矩阵??? ? ? ??=31111 119i A 的特征值分布范围，并画图。 八、计算下列各题： 5．已知,2cos 2sin 23sin 4cos )(???? ??-=-x x x x e x A x 求)(lim 2 x A x π→ 。 6．已知m n m R b R A ∈∈?,，对于矛盾线性方程组b Ax =，使得2 2)(b Ax x f -=为最 小的向量) 0(x 称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。 7．设???? ? ??=010100012A ，求At e 。 8．设????? ??-+=x e x x x x x x A cos )1ln(sin )(，求??? ???dt t A dx d x 20)(。 九、已知??? ? ? ??-----=411301 621A ，25)(x x x f +=，求 1．)(x f 在A 的谱上的值。 2．)(A f 。 十、证明下列各题： 7．设n n C A ?∈，则级数 ∑∞ =0 m m A 收敛的充要条件是1)( )(--A E 。 设n n C A ?∈，则对任何矩阵范数?，都有A A ≤)(ρ。 十一、 设4321,,,x x x x 是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵为 ?? ????? ??---=212255213121 12 01 A ，求A 在基???????=+=--=+-=444334 322421132x y x x y x x x y x x x y 下的矩阵表示。 十二、 解答下列各题： 15． 求??? ?? ??----=031251233A 的最小多项式)(λm 。 16． 求矩阵??? ? ? ??---=122020 021 A 的约当标准形。 17． 用圆盘定理估计矩阵??? ? ? ??-=i i A 045.05.07.023 .1110 的特征值分布范围。 18． 求线性方程组???????=-+-=++=+=+ 1213213212 131x x x x x x x x x x 的最小二乘解。 十三、 计算下列各题： 9．已知,2sin 2cos 2sin 23sin 4sin 4cos )(3???? ??+--=-x x x x x x e x A x 求)(lim 2 x A x π→ 。 10． 设()z y x V e x xyz xyz U y z ,,,)sin(=???? ??=，求dV dU 。 11． 设??? ? ??--=1411A ，求20 A 。 2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷 本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置. 一、 单项选择题（每题3分，共15分） 1. 设???? ? ??=001001001A ，则=-199200A A ( ) （A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A . 2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) （A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与 多项式的通常乘法； （B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； （C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算 0x x k =?，k 是实数，0x 是某一取定向量； （D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) （A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基； （C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵. 4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) （A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0； （C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞ =-=∑A E A k k . 5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( ) （A ）{}021=?V V ； （B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+； （C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =?][21. 二、填空题（每空3分，共15分） 设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为 1、生成一个3行3列的随机矩阵，并逆时针旋转90°，左右翻转，上 下翻转。 >>A=round(9*rand(3)) B=rot90(A) C=fliplr(A) D=flipud(A) A = 7 3 6 2 2 4 8 2 3 B = 6 4 3 3 2 2 7 2 8 C = 6 3 7 4 2 2 3 2 8 D = 8 2 3 2 2 4 7 3 6 2、已知a=[1 2 3]，b=[4 5 6]，求a.\b和a./ b a=[1 2 3] b=[4 5 6] s=a.\b t=a./ b a = 1 2 3 b = 4 5 6 s = 4.0000 2.5000 2.0000 t = 0.2500 0.4000 0.5000 3、数组和矩阵有何不同？ 数组中的元素可以是字符，而矩阵里的只能是数。矩阵是个计算机上的概念，矩阵是数学上的概念。 4、已知a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]，求其特征多项式并求其根。 A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; [V,D]=eig(A) V = -0.2998 -0.7471 -0.2763 -0.7075 0.6582 -0.3884 -0.6400 -0.0931 0.8791 D = 12.1229 0 0 0 -0.3884 0 0 0 -5.7345 5、已知多项式a(x)=x2+2x+3，b(x)=4x2+5x+6，求a，b的积并微 分。 p=[1 2 3]; q=[4 5 6]; k=conv(p,q) s=polyder(k) k = 4 13 28 27 18 s = 16 39 56 27 6、求解方程 1） 2） 解（1）： A=[1,2;2,3] b=[8;13] x=A\b A = 1 2 2 3 b = 8 13 x = 2.0000 3.0000 （2）: 第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 一、填空题: １．若A ,B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是 . ２. 若n 阶方阵A ，B ,C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵,则1-C ＝ ． 3. 设A ,B 都是n 阶可逆矩阵，若??? ? ??=00A B C , 则1-C ＝ . 4. 设A ＝??? ? ??--1112，则1-A ＝ ． 5. 设???? ??--=111111A ， ???? ??--=432211B .则=+B A 2 . ６.设???? ? ??=300020001A ,则1-A ＝ 7.设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ????== ? ????? ，T A 为A 的转置，则B A T = ． 8. ???? ? ??=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵,则AB 的秩等于 . 二、判断题 1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 k k k B A AB =)(（ｋ为正整数).……………（ ） 2． 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I =，则111C B A ---=.……………………………（ ) 3． 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆,则,A B 都不可逆．……………………… ( ) 4. 设B A 、为n 阶方阵,且0AB =,其中0A ≠,则0B =．……………………… ( ) 5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵,且I CA I AB ==,,则C B =．……………………( ） 6． 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =,则B 也是n 阶对角矩阵．…（ ) ７． 两个矩阵A 与B ,如果秩（A )等于秩（B ），那么A 与B 等价. …………（ ) ８． 矩阵A 的秩与它的转置矩阵T A 的秩相等． ……………………………………( ) 矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换， ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数. 第二章 矩阵及其运算测试题 一、选择题 1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（ ）。 (A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换； (C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ） (A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。 3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ??= ??? ，则* C =( )。 (A) **00 A B ?? ??? (B) **||00 ||A A B B ?? ??? (C) **||00||B A A B ?? ??? (D) **||||0 0||||A B A A B B ?? ??? 4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（ ）。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C) A A B B =-g (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ?==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3 x 的系数为（ ）。 (A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++ 6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111 ()B A B A -----+ 习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出2 3 ,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 1122111 11 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-?????? ??=+==?? ???????? n ∑。 2．设112 2 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===???? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112 222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ??????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1 i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -?????? ===?????? --?????? 。 注：2A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩 2016——2017学年第一学期 《矩阵理论》考试试卷 试卷审核人： 考试时间： 2016.12.4 注意事项：１.本试卷适用于16级研究生学生考试使用。 ２.本试卷共8页，满分100分。答题时间150分钟。 学院： 姓名:_________________学号： 一.(本题满分12分) 设3[]P x 是次数不超过3的实系数多项式空间， { } 2301233()(1)0; ()[]W f x f a x a x a x f x a P x ==+++∈=, 1. 证明W 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]P x 的线性子空间； 2. 求W 的维数及其一组基． 二. (本题满8分)求矩阵 524 212 425 A ?? ?? ?? ?? ?? - =- -- 的LU分解和LDU分 解． 三．(本题满分12分) 设T 为线性空间22R ?的一个线性变换 ， 对任意的22 a b R c d ???∈????， 232a b a b b T c d c d d ??+???? = ?????+???? ? ? ； 1. 求T 在22 R ?的标准基 1112211 00 10 0,,, 000 01 0E E E ?? ?? ?? ===? ??????????? 220 00 1E ?? =? ??? 下的矩阵； 2. 求T 在22R ?的另一基 12 3 1 1010 0,,, 111 11 1G G G ???? ?? ===? ????????? ?? 4000 1G ?? =? ??? 下的矩阵． 四．（本题满分８分）设A()λ为6阶λ矩阵，其秩为4，初等因子为 3212111,,,,,,,()λλλλλλλλ--+++,试求A() λ的不变因子与Smith 标准型． 行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A) 习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ； 矩阵理论2017-2018学年期末考试试题 ?、选择题 (每题5分，共25分) 1.下列命题错误的是(A)(B)若，且，则(C)设且，令，则的谱半径为1 (D)设为空间的任意?空间，则2.下列命题错误的是(A)若，则(B)若,则(C)若，则(D)设的奇异值分别为，，如果，则3.下列说法正确的是(A)若，则(B)若为收敛矩阵，则?定可逆 (C)矩阵函数对任何矩阵均有定义，?论A 为实矩阵还是复矩阵 (D)对任意?阵，均有4.下列选项中正确的是(A)且，则为收敛矩阵； (B)为正规矩阵，则(C)，则(D)为的所有正奇异值，5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和?满秩矩阵，则(B)若矩阵为?满秩矩阵，则是正定矩阵(C)设为严格对?占优矩阵，，则的谱半径(D)任何可相似对?化的矩阵，皆可分解为幂等矩阵的加权和，即?、判断题(15分)(正确的打√，错误的打×) 1.若，且，，则 2.若且，则为到的值域上的正交投影 3.设都是可逆矩阵，且齐次线性?程组有?零解，为算?范数，则 4.，定义，则是上的范数 5.设矩阵的最?秩分解为，则当且仅当 ( ) (A ?B =?)H A H B H A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E ?2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim () V 1V 2V 1V 2( ) =A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1 A , B ∈ C n ×n ≥≥?≥>0σ1σ2σn ≥≥?≥>0σ′1σ′2σ′ n >(i =1,2,?,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2 ( )A =????π000π001π????sinA =????0000000sin 10?? ??A E ?A e A A A ,B =e A e B e A +B ( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r √≥≥?≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1 ( ) A B (AB =)+ B +A + A A A H Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,?,)a 11a 22a nn E ?A D ?1r (E ?A )≥1 D ?1(i =1,2,?,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A ?)H A ?∥A =n A ?∥2 ( ) A ∈，G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,?x ∈C m C m A ( ) A , B ∈ C n ×n (A +B )x =0∥?∥∥A ∥≥1B ?1 ( )?(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3?4xy x 2y 2￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( ) 第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和. 习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1Λ=m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1,Λ=， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ΛΛ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++=Λ10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21Λ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1Λ=， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a ΛΛΛ2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A ΛΛΛ2121) ()(2)(1)()1(τ， 矩阵理论试卷（A ）（2008级） (共1页) 成绩 学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿； 学号＿ ＿＿ ＿＿ 1 （15分）给定 2222{()|}ij ij R A a a R ??==∈（数域R 上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集 221122i j {()|0, } i j V A a a a a R ?==+=∈ （1）证明V 是22R ?的子空间；（2）求V 的维数和一组基；（3）求3253A ??= ?-?? 在所求基下的坐标。 2 （15分）设α为n 维欧氏空间V 中的单位向量，对V 中任意一向量x , 定义线性变换: ()2(,)T T x x x αα=-, （1）证明：T 为正交变换； （2）证明 T 对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量；（3）问T 能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。 3 （15分）设矩阵010120110A ?? ?=- ? ?-?? （1）求A 的若当标准形；（2）求A 的最小多项式；（3）计算532()45g A A A A E =+-+。 4（10分）设3 R 中的线性变换T 如下：123122323(,,)(2,,) ; ()i T x x x x x x x x x x R =--+∈ (1) 写出T 在基T T T 123 =(1, 1, 0),=(0, 1, 1), =(0, 0, 1)βββ下的矩阵；(2) 求3()T R 及()Ker T 。 5 （10分）已知多项式矩阵 2210007(2)00()00(1)00 00(1)(5)A λλλλλλλ-?? ?++ ?= ?- ?++??，求()A λ的初等因子及史密斯标准形。 6（10分）在欧氏空间4R 中， 对任意两个向量12341234(,,,) , (,,,),T T a a a a b b b b αβ==定义内积 1122334(, )2a b a b a b a b αβ=+++ 求齐次方程组1234123 20 = 0x x x x x x x +-+=??+-? 的解空间的一组标准正交基。 7 （10分）(1) 设A 为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有11||||||||--≥A A 。 （2）设???? ? ??--+-=21512363 11684i i A , 利用(1)的结论分别估计11||||-A 和∞-||||1A 的下界。 8（15分）已知200111113?? ?= ? ?-?? A , 求矩阵函数()e t f =A A 。 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。 练习一： 1．设A 、是Hermite 矩阵，证明：AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是n n C B ?∈AB=BA 。2．设，若，则A 为反Hermite 矩阵。试证明：任意一个都n n C A ?∈A A H -=n n C B ?∈可以唯一地表示为一个Hermitet 矩阵与一个反Hermite 矩阵的和。3．证明反Hermite 矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。4．设是Hermite 矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A 的主对角线上凡不是零的元素n n C A ?∈都是具有同符号的实数；又设是反Hermite 矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵B n n C B ?∈的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的虚部之纯虚数。5．试求一酉矩阵P ，使为对角矩阵，这里AP P AP P H =-1（1）A=； （2）A=。??????????----10001i i i i ??????????-0010010i i 6. 设是Hermite 矩阵。证明A 是Hernite 正定矩阵的充分必要条件是，存在n n C A ?∈Hermite 正定矩阵B ，使得。2 B A =7．设是Hermite 矩阵,则下列条件等价：n n C A ?∈ （1）A 是Hernite 半正定矩阵； （2）A 的特征值全为非负实数； （3）存在矩阵，使得。n n C P ?∈P P A H =练习二：1．用初等变换化下列多项式矩阵为Smith 标准形：（1） ； （2）；()???? ??+-=λλλλλλλ352223A ()??????????-+--=222211λλλλλλλλλλB （3） ；（4）()()220000 001C λλλλλ??+??=????+????。()()??????????????---=00000100000002222λλλλλλλD 2．求下多项式矩阵的不变因子： 第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 矩阵习题 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 2. 如果2 0,A =则0A =. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ， 使.00 0??? ? ??=s I PAQ 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2 ()AB (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。 (A) T A A (B) T A A - (C) 2 A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ ）。 (A) 如果A 是上三角矩阵，则2 A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2 A 也是对角阵。 4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ） (A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 列元素全等7于零； (C ) BA 的第j 列元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ） (A) 2 2 2 ()2A B A AB B +=++ (B) 2 2 ()()A B A B A B -=+- (C) 222 ()AB A B = (D) 2 2 ()()A E A E A E -=+- 6．下列命题正确的是（ ） (A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C)若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） (A)当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时，必有行列式0AB = (C)当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时，必有行列式0AB =； 8．以下结论正确的是（ ） (A) 如果矩阵A 的行列式，则0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足2 0A =，则0A =； (C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有2 2 ()()A B A B A B -+=- 9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩 阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ ）. （A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++. 习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?2012矩阵论复习题
上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分
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