第十一章(理) 第一节 离散型随机变量的分布列

第十一章（理） 第一节 离散型随机变量的分布列

1.设ξ

则q 等于

( )

A ．1

B ．1±2

2

C ．1－

22

D ．1＋

22

解析：由分布列的性质得：

????

?

0≤1－2q ＜1，0≤q 2＜1，0.5＋1－2q ＋q 2＝1????

0＜q ≤12

，

q ＝1±2

2

.

∴q ＝1－2

2

.

答案：C

2．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝1

2k ，k ＝1,2，…，则P (2＜ξ≤4)等于( )

A.316

B.1

4

C.116

D.5

16

解析：P (2＜ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝3

16.

答案：A

3．由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替)，其表

如下：

解析：由于0.20＋0.10＋0.x 5＋0.10＋0.1y ＋0.20＝1，

得0.x 5＋0.1y ＝0.40，于是两个数据分别为2,5. 答案：2,5

4.一袋中装有63个球，以ξ

表示取出球的最大号码，求ξ的分布列． 解：随机变量ξ的取值为3,4,5,6. P (ξ＝3)＝C 33

C 36＝120

；

P (ξ＝4)＝C 11C 23

C 36＝320；

P (ξ＝5)＝C 11C 24

C 36＝310；

P (ξ＝6)＝C 11C 25

C 36＝12

.

故随机变量ξ的分布列为：

5．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率 为34，遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止

前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求： (1)ξ的分布列；

(2)停车时最多已通过3个路口的概率．

解：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示事件“汽车通过第k 个路口时不停(遇

绿灯)”， 则P (A k )＝3

4(k ＝1,2,3,4)，且A 1，A 2，A 3，A 4独立．

故P (ξ＝0)＝P (A 1)＝1

4；

P (ξ＝1)＝P (A 1·A 2)＝34×14＝3

16；

P (ξ＝2)＝P (A 1·A 2·A 3)＝(34)214＝9

64；

P (ξ＝3)＝P (A 1·A 2·A 3·A 4)＝(34)314＝27

256

；

P (ξ＝4)＝P (A 1·A 2·A 3·A 4)＝(34)4＝81

256.

从而ξ有分布列：

(2)P (ξ≤3)＝1－P (ξ＝4)＝1－81256＝175

256.

即停车时最多已通过3个路口的概率为175

256

.

6.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65

81，

则事件A 在1次试验中出现的概率为________．

解析：A 至少发生一次的概率为65

81，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为

1－6581＝1681＝(23)4，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13.

答案：13

7．(2009·辽宁高考)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为1

3.该目标分为3个

不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部

分的概率与其面积成正比．

(1)设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列；

(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2

次”，求P (A )．

解：(1)依题意知ξ～B (4，1

3

)，即ξ的分布列为

(2)设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2. B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2.

依题意知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3，A ＝A 1B 1＋A 1B 1＋A 1B 1＋A 2B 2，

故所求的概率为

P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.

8.一盒中有 装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，其分布列为P (ξ)，则P (ξ＝4)的值

为 ( ) A.1220

B.2755

C.27220

D.2125

解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，

故P (ξ＝4)＝C 23C 19

C 312＝27220

.

答案：C

9．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)＝________.

解析：相应的基本事件空间有36个基本事件，其中ξ＝2对应(1,1)；ξ＝3对应(1,2)，

(2,1)；ξ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)． 所以P (ξ≤4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4) ＝136＋236＋336＝1

6.

答案：16

10．(2010·成都模拟)一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任

意摸出1个球，得到黑球的概率是2

5

；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球

的概率是7

9.

(1)若袋中共有10个球； ①求白球的个数；

②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ分布列．

(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7

10，并指出袋

中哪种颜色的球个数最少．

解：(1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白

球的个数为x ，则

P (A )＝1－C 210－x C 210＝7

9，得到x ＝5.

故白球有5个．

②随机变量ξ的取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 35

C 310＝112

；

P (ξ＝1)＝C 15C 25

C 310＝512；

P (ξ＝2)＝C 25C 15

C 310＝512

；

P (ξ＝3)＝C 35

C 310＝112.

故ξ的分布列为：

(2)证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球， 由题意得y ＝2

5n ，

所以2y ＜n,2y ≤n －1， 故y n －1≤12

. 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则P (B )＝25·n －y n －1＋35·

y

n －1

＋25·y －1n －1

＝25＋35×y n －1≤25＋35×12＝710

. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于n

5.故袋中红球个数

最少．

几个重要的离散型随机变量的分布列

几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布

离散型随机变量及其分布律

5.离散型随机变量及其分布律 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律 【教材分析】：概率论考察的是与各种随机现象有关的问题，并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性，由此，就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。随机变量正是为了适应这种需要而引进的，随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具，把研究深入，一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义，学习了事件的关系及运算，掌握了概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能： 了解离散型随机变量的分布律，会求某些简单的离散型随机变量的分布律列；掌握伯努利试验及两点分布， 2、过程与方法 由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。 3、情感态度与价值观 通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。 【教学重点、难点】： 重点：掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质，理解伯努利试验，两点分布。 难点：伯努利试验，两点分布。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：

一、问题引入（离散型随机变量的概念） 例1：观察掷一个骰子出现的点数。 随机变量 X 的可能值是 ： 1， 2， 3， 4， 5， 6。 例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则 X 的可能值是： 1,2,3,. 例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手射了30次，则随 机变量 X 记为“击中目标的次数”， 则 X 的所有可能取值为： 0,1,2,3,,30. 定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、离散型随机变量的分布律 定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =k x k ， X 取各个可能值得概率，即事件称}{k x X =的概率，为 ,2,1,}{===k p x X P k k 由概率的定义，k p 满足如下两个条件： 1）)21(0 ，，=≥k p k ； 2） ∑∞ ==1 1k k p （分布列的性质） 称（2.1）式为离散型随机变量为X 的概率分布或分布律， 也称概率函数。 常用表格形式来表示X 的概率分布： n i n p p p p x x x X 2121 【设计意图】：给出分布律的概念和性质，体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。 例1：()()1,2,,C k P X k k N X N ?=== 若为随机变量的分布律，是确 定常数C 。 解：由分布律特征性质 1 知 C ≥ 0 ， 由其特征性质 2 知 1 ()1N k P X k == =∑ 1 N k C k N =?=∑ )(12C N N ++=+ ()12 C N += 21C N ∴= + 【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握离散型随机变量的分布律的性质。

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：

高考数学-随机变量及其分布-1-离散型随机变量及其分布

专项-离散型随机变量及其分布列 知识点 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量P ( X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11 =∑=n i i p 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．

题型一离散型随机变量的理解 【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数X B ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X C ．某超市一天中来购物的顾客数X D ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝? ???? 1，小胡在线 0，小胡不在线 【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ； (2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数． 【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6 D ．ξ≤5 【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 【过关练习】 1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度． 2.某人射击的命中率为p (0

随机变量及其分布-离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布列 知识点 1随机变量的有关概念 (1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X , Y , E, n …表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一- 变量. 2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，x n , X 取每一个值X i (i = 1,2,…，n) 的概率P(X = X i )= P i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量 P(X = X i )= p i , = 1,2,…, n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质： n ① p i >0 i = 1,2,3,…,n ；① P i 1 i 1 3. 常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p = P(X = 1)为成功概率. (2)超几何分布 其中 m = min{ M , n}，且 n 汆， M 哥，n , M , N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 题型一离散型随机变量的理解 【例 1】 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数 X B .把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 X C .某超市一天中来购物的顾客数 X 在含有M 件次品的N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则 P(X = k)= c M c N —M c N ,k = 0,1,2, m ,

离散型随机变量的分布列综合题精选(附答案)

离散型随机变量的分布列综合题精选（附答案） 1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。 （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从 盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 18 5 ，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξξ，D E 的值。 解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张， 由,18 5292 =C C n 得n=5， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为6 1 2924=C C …………5分 （II ）) 1 ,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P k k k ξ 0.9 )61(4,364=-?==? =∴ξξD E …………12分 2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表： 表1：甲系列 表2：乙系列 动作 K 动作 D 动作 得分 90 50 20 0 概率 10 910 110910 1 动作 K 动作 D 动作 得分 100 80 40 10 概率 4 3 4 1 4 341

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量， a b ，其中a 、b 是常数，则 也 是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出，而连续性随机变量的结果不可以 --------------------- 列出 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取的值为X i 、X 2 X i 取每一 个值X i i 1,2, 的概率为P( X ) p ，贝U 称表 为随机变量的概率分布，简称的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0 P(A) 1,并且不可能事件的概率为0，必然事 件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) P i 0, i 1,2, ; (2) RP.L 1 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P( 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 特别提醒：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1为成 功 率? (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ⑶两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正 品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列 来研究? 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 C k C n k X k ) P( X k ) P( X k 1) L 则称X 的分布列为两点分布列

离散型随机变量及其分布范文

离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++ = 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

2.1.2 离散型随机变量的分布列

2.1.2 离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： (2)表示：离散型随机变量可以用表格法、解析法、图象法表示． (3)性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② 11 =∑=n i i p 2．两个特殊分布列 (1)两点分布列 如果随机变量X 的分布列是 P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布列 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为 P (X ＝k )＝n N k n M N k M C C C --，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，称分布 列 如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布． (3)公式P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N 的推导 由于事件{X ＝k }表示从含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有k 件次品这一随机事件，因此它的基本事件为从N 件产品中任取n 件．由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有n N C 个基本事件，而其中恰有k 件次品，则必有(n －k )件正品，因此事件{X ＝k }中含有k n M N k M C C --个基本事件，由古典概 型的概率公式可知P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N . [知识点拨]1.离散型随机变量分布列表格形式的结构特征 分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率． 2．两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知：P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝1.

离散型随机变量及其分布列练习题和答案

高二理科数学测试题（9-28） 1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ） ()A 33710(1)C p p - ()B 33 310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概 率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ） ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 15 4，刮三级以上风的概率为152，既 刮风又下雨的概率为10 1，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A. 225 8 B.2 1 C.8 3 D.4 3 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )． A.15 B.25 C.35 D.45 6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(?C B.83)85()83(29911?C C.29911)83()85(?C D. 29911)85()83(?C

数学百大经典例题——离散型随机变量分布列(新课标)

耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得． 解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=?==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=?==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=?==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： 说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+?==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________． 分 析 ： 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论． 解：由题，因为 ()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，

第7讲离散型随机变量及其分布列

第7讲 离散型随机变量及其分布列 一、选择题 1.某射手射击所得环数X 的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 C 2.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： X －1 0 1 P 2－3q q 2 则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336 解析 由分布列的性质知?????2－3q ≥0，q 2 ≥0， 13＋2－3q ＋q 2 ＝1， 解得q ＝32－33 6. 答案 C 3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.23 解析 由已知得X 的所有可能取值为0，1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，

得P(X＝0)＝1 3. 答案 C 4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是() A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 C 5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是() A.4 35 B. 6 35 C. 12 35 D. 36 343 解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问 题，故所求概率为P＝C23C14 C37＝12 35. 答案 C 二、填空题 6.设离散型随机变量X的分布列为 X 0123 4 P 0.20.10.10.3M 若随机变量Y＝|X 解析由分布列的性质，知 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0， ∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0) ＝P(X＝4)＋P(X＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5.

人教版高中数学《离散型随机变量的分布列》教学设计(全国一等奖)

《离散型随机变量的分布列》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的分布列》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第二课时，主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。离散型随机变量的分布列是高中阶段的重点内容，它作为概率与统计的桥梁与纽带，既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一，也是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。一般以实际情境为主，需要学生具备一定的建模能力，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。 二、学情分析 在必修三的教材中，学生已经学习了有关统计概率的基本知识，在本书的第一章中也全面学习了排列组合的有关内容，有了知识上的准备; 并且通过古典概率的学习，基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率, 有了方法上的准备, 但并未系统化。处于这一阶段的学生，思维活跃，已初步具备自主探究的能力，动手能力运算能力尚佳，但基础薄弱，对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化，以及处理抽象问题的能力，还有待于提高。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，通过设计抽奖方案，让学生感受“从特殊到一般，再从一般到特殊”的抽象思维过程，应用类比、归纳、转化的思想方法，得到分布列的三种表示方法及分布列的性质，培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、目标分析 1.理解核心概念——离散型随机变量分布列及两点分布模型，掌握分布列的性质，会求离散型随机变量的分布列，并能解决实际问题；

离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列 [考纲传真]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 【知识通关】 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下： P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质 ①p i≥0，i＝1,2,3，…，n； ②∑ n i＝1 p i＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次 品，则P(X＝k)＝C k M C n－k N－M C n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.() (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．() (3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．() 布．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)√ 2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是() A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 D．以上答案都不对 C 3．设随机变量X的分布列如下： A.1 6B. 1 3 C.1 4D. 1 12 C 4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 10 5．在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________． P(X＝k)＝C k3·C4－k 7 C410，k＝0,1,2,3

离散型随机变量及其概率分布列(学生版)

离散型随机变量及其概率分布列 第一课时 随机变量 学习目标： 1.离散型随机变量、事件空间的概念。区分离散型随机变量和非离散型随机变量。 2.理解随机变量所表示实验结果的含义，会用合适的数表示试验的结果。 3.会求离散型随机变量：()P X a =、()P X a <、()()P X a P b X a ≤<≤、。 预习：离散型随机变量、离散型随机变量概率分布列的概念。 新课 一、随机试验、随机变量、样本空间 引例：下列2个随机试验，结果能否用数字表达？ 1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次。 2.抛掷一枚质地均匀的硬币一次。 3.一枚电灯泡的使用寿命是否超过1000小时。 例题1 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出随机变量的样本空间和各个随机变量所对应的试验结果。 1.已知5件产品中有2件次品，任意一次抽取2件中含有的次品数。 2.抛掷质地均匀的2枚骰子一次，所得点数之和。 3.某球队在5次点球中，射进的球数。 4.任意抽取一瓶某种标有2500ml 的饮料，其实际量与规定量之差。 5.一枚电灯泡的使用寿命。 6.东圳水库2020年3月1日至7日，每天中午12点的水位。 练习：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？

二、随机变量的概率 例题2 抛掷一枚质地均匀的骰子，数值X 表示抛掷出的点数。 （1）求X 的样本空间； （2）(5)P X =； （3）(5)P X <； （4）(5)P X ≤； （5）(35)P X <≤； （6）抛掷出偶数； 练习：投掷2枚质地均匀的硬币一次，用X 表示投掷出的正面数。求下列事件的概率。 （1）(0)P X = （2）(1)P X = 三、作业 《离散型随机变量及其分布列A 卷》1，2，3，5，8,10 《离散型随机变量及其分布列B 卷》3，5，7，11，13，15，16. 第二课时 随机变量的概率分布列 学习目标： 1. 随便变量概率分布列的概念。 2. 会求简单的离散型随机变量的概率分布列。认识概率分布列对刻画随机现象的重要性。 3. 掌握超几何分布概率分布列。 预习：随机变量概率分布列的概念 一、复习导入 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量