函数的单调性奇偶性周期性对称性图象变换

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、图象变换

壶关一中 张志朝整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义

一般地，设函数()f x 的定义域为I ：

（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；

（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。

2.函数单调的充要条件

（1）若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：

121

2

()()

0f f x x x x

->-或

1212)[()()]0f f x x x x -->（ （2）若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：

1212

()()

0f f x x x x -<-或

1212)[()()]0f f x x x x --<（ 3.函数单调性的判断(证明)

(1)定义法（作差法） (2)求导法 4.复合函数的单调性的判定

对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当

(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数

(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

判断依据：同增异减

5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，函数1()()()F x f x g x =+、

2()()()F x f x g x =?的

增减性与()f x (或()g x )相同，3()()()F x f x g x =-、4()

()(()0)()

f x F x

g x g x =≠的增减性不能确定；

(2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+、2()()()F x f x g x =?的增减性不能确定； ② 3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =

≠为增函数，5()

()(()0)()

g x F x f x f x =≠为减函数。

6.奇偶函数的单调性

奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

二、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义

如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =-，则称函数()f x 为偶函数；如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =--，则称函数()f x 为奇函数。

2.奇偶性的几何意义

具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

3.函数奇偶性的判断(证明) (1)比较()f x 与()f x ±-的关系；

(2)

()

()

f x f x -（()0f x -≠）与1±的关系； (2) ()()f x f x ±-与0的关系

4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断

对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数； ②2()()()F x f x g x =?、4()

()(()0)()

f x F x

g x g x =

≠为偶函数；

(2)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时，那么：

①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定； ②2()()()F x f x g x =?、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()

()(()0)()

g x F x f x f x =≠为奇函数。5.函数奇偶性的常用结论：

（1）如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）

（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 （3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

（4）两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

（5）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为一个奇函数与一个偶函数

和

的

形

式

，

即

11

()[()()][()()]22

f x f x f x f x f x =+-+--，其中

（[][]。x f x f ，F x f x f F 为奇函数为偶函数)()(2

1

)()(2121--=-+=）

三、函数的对称性

1.函数自对称

（1）关于y 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是)()(x f x f =-

（2）关于原点()0,0对称的函数（奇函数）的充要条件是0)()(=-+x f x f （3）关于直线y x =对称的函数的充要条件是1()()f x f x -= 2.两个函数的图象对称性

（1）)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 （2）)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 （3）)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 （4）)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 （5）)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(),a b 对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(),a b 对称。 （6）)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2

b

a x +=

对称。 （7）()y f x =与1()y f x -=关于直线y x =对称。 四、函数的周期性 1.周期性的定义

对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有

)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函

数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么T -、nT （*

n N ∈）也是函数()f x 的周期。 2. 函数的周期性的主要结论：

结论1：如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期T a b =- 结论2：如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期

2T a b =-

结论3：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-

结论4：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =

结论5：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a =

结论6：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-

结论7：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =

结论8：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =- 结论9：如果1()()f x p f x +=或1

()()

f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 结论10：如果1()()21()p f x f x f x ++

=-或1()()21()

p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中

一个周期2T p =

结论11：如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 五、函数的图象 （1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=???????→=+左移个单位

右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=???????→=+上移个单位下移|个单位

②伸缩变换

01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=????→=伸

缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=????→=缩伸

③对称变换

()()x y f x y f x =???→=-轴 ()()y y f x y f x =???→=-轴

()()y f x y f x =???→=--原点 1()()y x y f x y f x -==????→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =???????????????→=去掉轴左边图象

保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =?????????→=保留轴上方图象

将轴下方图象翻折上去

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是

探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

《函数对称性的解题方法归纳》

函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。

函数的对称性

函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.

换种说法： )(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 1、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 2、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。 3、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2 b a x +=对称。 4、 函数的轴对称： 定理1：如果函数 ()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数 ()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. 5、 函数的点对称： 定理2：如果函数 ()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对 称. 推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称. 推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. 三、总规律：定义在Ｒ上的函数 ()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。 四、试题 1．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）. A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负.

函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间的关系 1、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线)(,,b a b x a x ≠==对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。 证：根据题意有：)()2();()2(x f x b f x f x a f -=+-=+ 令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+——————————① )2()(b x f x f +-=—————————————② 将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+ ∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。 2、若函数)(x f 在R 上满足图像关于点))(0,(),0,(b a b a ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。 证：根据题意有：0)()2(,0)()2(=-++=-++x f x b f x f x a f 令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +--=-+————————① )2()(b x f x f +--=————————————② 将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+ ∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。 3、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线a x =和点))(0,(b a b ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(4b a T -=是它的一个周期。 证：根据题意有：0)()2(),()2(=-++-=+x f x b f x f x a f 令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+，)2()(b x f x f +--= 则)()22(x f b a x f -=-+，又令b a x x 22-+=，得)22()](4[b a x f b a x f -+-=-+ )()](4[x f b a x f =-+∴ ∴函数)(x f 是周期函数，且)(4b a T -=是它的一个周期。

分子结构和对称性

普化无机试卷（分子结构和对称性） 一、填空题 1. (1801) ClO 2F 的结构是 ，其点群是 。 2. (1802) 用VSEPR 理论判断H 2Se 和H 3O +的结构和点群分别是H 2Se 和H 3O + 。 3. (1804) 如果金属三羰基化合物分别具有C 3v 、D 3h 和C s 对称性，其中每一种在IR 光谱中的CO 伸缩振动谱带数各有 ， 和 个。 4. (1806) PF 5分子和SO 32 -离子的对称群（若有必要，可利用VSEPR 理论确定几何形状）分别是 和 。 5. (1807) NH 4+中的C 3轴有 个，各沿 方向。 6. (1808) 二茂钌分子是五角棱柱形，Ru 原子夹在两个C 5H 5环之间。该分子属 点群， 极性（有、无）。 7. (1809) CH 3CH 3具有S 6轴的构象是 。 8. (1813) (H 3Si)3N 和(H 3C)3N 的结构分别是 和 ，原因是 。 9. (1814) 下列分子（或离子）具有反演中心的是 ，具有S 4轴的是 。 (1) CO 2，(2) C 2H 2，(3) BF 3，(4) SO 42 - 10. (1815) 平面三角形分子BF 3，四面体SO 42 -离子的点群分别是 和 。 11. (1817) 确定下列分子或离子的点群： (1) CO 32 - ；(2) SiF 4 ；(3) HCN ； (4) SiFClBrI 12. (1818) (1) 手性的对称性判据是 。

(2) NH2Cl，CO32-，SiF4，HCN，SiFClBrI，BrF4-中具有光学活性的是。 13. (1822) 分子中的键角受多种因素的影响，归纳这些因素并解释下列现象。 OF2< H2O AsF3 > AsH3 101.5?104.5?96.2?91.8? 14. (1829) 配离子[Cr(ox)3]3-(其中ox代表草酸根[O2CCO2]2-)的结构属于D3群。该分子(是、否)为手性分子。因为。 二、问答题 15. (1800) 绘出或写出AsF5及其与F-形成的配合物的分子形状（若需要，可使用VSEPR理论），并指出其点群。 16. (1803) 有关O2配位作用的讨论中认定氧有O2、O2-和O22-等三种形式。试根据O2的分子轨 道能级图，讨论这些物种作为配体时的键级、键长和净自旋。 17. (1805) 已知N、F、H的电负性值分别为3.04、3.98和2.20，键的极性是N—F大于N—H，但分子的极性却是NH3 >NF3，试加以解释。 18. (1810) (一) 试说明哪些对称元素的存在使分子没有偶极矩？ (二) 用对称性判断确定下列分子（或离子）中哪些有极性。 (1) NH2Cl，(2) CO32-，(3) SiF4，(4) HCN，(5) SiFClBrI，(6) BrF4- 19. (1811) 长久以来，人们认为H2与I2的反应是典型的双分子反应：H2和I2通过侧向碰撞形成一个梯形活化配合物，然后I—I键、H—H键断裂，H—I键生成。请从对称性出发，分析这种机理是否合理。 20. (1812) 画出或用文字描述下列分子中对称元素的草图： (1) NH3分子的C3轴和σv对称面； (2) 平面正方形[PtCl4]2-离子的C4轴和σh对称面。 21. (1816) 确定下列原子轨道的对称元素： 轨道。 (1) s轨道；(2) p轨道；(3) d xy轨道；(4) d z2 22. (1819) H2O和NH3各有什么对称元素？分别属于什么点群？ 23. (1820)

北京--正弦函数图象的对称性(檀晋轩)CASIO

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）——正弦函数图象的对称性 教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下） 授课教师： 北京市第十九中学 檀晋轩 【教学目标】 1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义，体会正弦函数的对称性. 2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力. 3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】 正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线2π= x 对称和关于点)0,(π对称. 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】 计算机、图形计算器（学生人手一台）. 【教学过程】 一、复习引入 1.展示生活实例 对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.

2．复习对称概念 初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念： 轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合； 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合. 3．作图观察 请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象 （见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？ 是轴对称图形还是中心对称图形？ 4．猜想图形性质 经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对 称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对 称轴和对称中心.（教师点评并板书） 如何检验猜想是否正确？ 我们知道， 诱导公式x x sin )sin(-=-（∈x R ），刻画了正弦曲线关于原点对称，而x x cos )cos(=-（∈x R ），刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明. 今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题） 二、探究新知 分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质. （一）对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线 2π=x 对称的研究. 1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行 探索 请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线 2 π=x 的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见右图），在直线2 π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律？ 给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最

函数奇偶性对称性与周期性有关结论

函数奇偶性对称性与周期性有关结论 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称

3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -= 对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。 7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称 （三）函数的周期性 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1)(x f a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f - =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1)(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 3= 8、) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4=

抽象函数的性质问题解析

抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。 解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。 2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。 解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ， 所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的

(完整word)高考专题函数对称性

函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④

函数的对称性完美

函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解

函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）

最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --

6抽象函数的周期性

抽象函数的周期和对称性 一、关于周期性的结论 1. ()()f x T f x +=型：f x ()的周期为T 。 2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x () 4. ) (1 )(x f a x f ± =+型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++= += =21 1 1。 5. f x a f x f x ()() () += +-11型：f x ()的周期为4a 。 证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]() ()+=++=++-+211 = + +--+- =-1111111f x f x f x f x f x () ()()() ()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++=- +=- - =4221 21 1。 6. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。 证明： f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-?? ? ?-=-?=+-222222， 。

三角函数图象的对称性

三角函数图象的对称性质及其应用 观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性 ，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。 一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 性质1、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 2ππ?ω+=+k x )(Z k ∈，则ω ?π22)12(-+= k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π-=k x 。 例1、函数)62sin(3π+ =x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+ πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，3 2π=x ，故选（B ）。 例2、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解：由性质1知， 令1)33cos(±=+ πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)3 3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9 3ππ-=k x )(Z k ∈。 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形； )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得

抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)， 则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 2a b +对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ， （a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点( ,)22a b c + 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两 函数的图象关于直线x=2b a -对称。 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b － x)两函数的图象关于点( ,)22b a c -对称。 性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（2b a +,0）对称。 性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（2a b -,0）对称。 二、抽象函数的周期性 定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。 定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。 定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。 定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。 定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则

函数对称性

函数对称性 一 知识点 I 函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、图象关于直线对称 推论1：的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于Y轴对称 2、与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、函数与其反函数图象关于直线对称 5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则关于__________对称，图象关于

__________对称，。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y 轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

关于函数图像对称性问题

关于函数图像对称性的问题 胡春林 指导老师：刘荣玄 【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。 【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称 一、函数自身的对称性的问题 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。 例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。例题2 ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数， 且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明：