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微分中值定理论文罗尔中值定理论文：微分中值定理的研究

微分中值定理论文罗尔中值定理论文：微分中值定理的研究摘要：微分中值定理是微分学的核心，是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文对微分中值定理内容以及三者之间的关系进行了深入阐述。

关键词：微分中值定理；罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

导数与微分是数学分析中重要的基本概念，微分学是数学分析的重要组成部分，其中微分中值定理是微分学的核心。微分中值定理有罗尔(rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西中值定理，它们是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文归纳介绍了微分中值定理的几种形式。

一、微分中值定理的基本内容

微分中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间

内某一点导数之间的关系，它们分别是罗尔(rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西（cauchy）中值定理。定理内容如下：

定理1（罗尔中值定理）若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）f（a）=f（b）.则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=0

定理2（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足下列条件:

（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；

则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=■.

定理3（柯西中值定理）若函数f（x），g（x）满足下列条件：

（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；

且对任意xε（a，b），有g′（x）≠0.

则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使■=■.

二、微分中值定理的几何意义

罗尔中值定理：如果连续曲线弧ab上每一点都有不垂

直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，则在曲线弧ab 上至少有一条切线与x轴平行。

拉格朗日中值定理：如果连续曲线弧ab上每一点都有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧ab上至少有一条切线平行于弦ab。

柯西中值定理：在曲线｛■ (其中ｘ为参数，ａ≤x≤b)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点a（f （a），f（a））,b（f（b）,f（b））的弦。

综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为：在区间[a，b]上连续且除端点外，每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线，它们有个共同的特征就是在曲线上至少存在一点，使得过该点的切线平行于曲线端点的连线。

三、三个微分中值定理的关系

在拉格朗日定理中，如果f(a)=f(b)，则变成罗尔定理；在柯西中值定理中，如果f(x)=x，则变成拉格朗日定理。因此，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日定理的推广。反之，拉格朗日定理是柯西中值定理的特例，罗尔定理是拉格朗日定理的特例。

四、微分中值定理的理解

（1）罗尔定理的条件不能随意变动，如将定理中任何一个条件去掉或将闭区间连续改为开区间连续，则结论可能不成立。例如函数f(x)=x-1，1就不满足定理的条件。

微分中值定理

微分中值定理班级：姓名：学号：

摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使

()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ．此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答 1．设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ，此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ，此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

微分中值定理研究报告和推广

渤海大学毕业论文<设计）题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙主修专业数学与应用数学所在院系数学系入学年度 2002年9月完成日期 2006年5月25日指导教师张玉斌

目录引言 (1) 一、中值定理浅析 (1) 1、中值定理中的 (1) 2、中值定理中条件的分析 (2) 二、微分中值定理的推广 (4) 1、微分中值定理在无限区间上的推广 (4) 2、中值定理矢量形式的推广 (7) 3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广 (9) 4、中值定理在n阶行列式形式的推广 (12) 5、高阶微分中值定理 (15) 结束语 (19) 参考文献 (19)

微分中值定理的研究和推广张士龙 <渤海大学数学系锦州 121000 中国）摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。 The Research and Popularization of The Differential Mean Value Theorem Shilong Zhang (Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem. Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order 引言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。一、中值定理浅析 1、中值定理中的

微分中值定理论文

引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。中值定理的内容及联系基本内容[4][5] 对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 Lagrange 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()() =f b f a f b a ξ-'- Cauchy 定理设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得 ()()()()()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-。三个中值定理之间的关系现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日

微分中值定理和应用(大学毕业论文)

毕业论文(设计) 题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生：邓奇峰院 (系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月

目录毕业设计任务书I 开题报告II 指导老师审查意见III 评阅老师评语IV 答辩会议记录V 中文摘要VI 外文摘要VII 1 引言1 2 题目来源1 3 研究目的和意义1 4 国外现状和发展趋势与研究的主攻方向1 5 微分中值定理的发展过程2 6 微分中值定理的基本容3 6.1 罗尔(Rolle)中值定理3 6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理4 6.3 柯西（Cauchy）中值定理4 6.4 泰勒（Taylor）定理4 7 微分中值定理之间的联系5 8 微分中值定理的应用5 8.1 根的存在性证明6 8.2 利用微分中值定理求极限8 8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性10 8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题10 8.5 利用微分中值定理求近似值10 8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题10 8.7 利用微分中值定理证明不等式11 9 微分中值定理的推广14 9.1 微分中值定理的推广定理15 9.2 微分中值定理的推广定理的应用17 参考文献18 致19

微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的容和微分中值定理之间的在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理历史与发展

微分中值定理历史与发展卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ，曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度，存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部

微分中值定理及其应用

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学论文题目微分中值定理及其应用学生姓名贾孙鹏指导教师黄宽娜（副教授）班级11级数应1班学号 11290056 完成日期：2015年4月

微分中值定理及其应用贾孙鹏数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056 【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。【关键词】微分中值定理应用辅助函数 1引言微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。 2柯西与微分中值定理 2.1柯西的证明首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将() g x的导数定义为 ()() g x h g h h +- 当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：

论文拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的应用论文论文题目拉格朗日中值定理姓名学号所在学院年级专业完成时间年月日

拉格朗日中值定理的应用摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛

Applications of Lagrange's mean value theorem Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolle's mean value theorem , Lagrange's mean value theorem and Cauchy's mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagrange's mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems' main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point，and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagrange's mean value theorem's way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary. Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Convergence

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

微分中值定理及其应用大学毕业论文

微分中值定理及其应用大学毕业论文 Last revised by LE LE in 2021

毕业论文(设计) 题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生姓名：邓奇峰院 (系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月

目录毕业设计任务书................................................ I 开题报告..................................................... II 指导老师审查意见 ............................................ III 评阅老师评语................................................. IV 答辩会议记录.................................................. V 中文摘要..................................................... VI 外文摘要.................................................... VII 1 引言 (1) 2 题目来源 (1) 3 研究目的和意义 (1) 4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1) 5 微分中值定理的发展过程 (2) 6 微分中值定理的基本内容 (3) 罗尔(Rolle)中值定理 (3) 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4) 柯西（Cauchy）中值定理 (4) 泰勒（Taylor）定理 (4) 7 微分中值定理之间的联系 (5) 8 微分中值定理的应用 (5) 根的存在性证明 (6) 利用微分中值定理求极限 (8) 利用微分中值定理证明函数的连续性 (9) 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10) 利用微分中值定理求近似值 (10) 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10) 利用微分中值定理证明不等式 (11) 9 微分中值定理的推广 (14) 微分中值定理的推广定理 (14) 微分中值定理的推广定理的应用 (16) 参考文献 (18) 致谢 (19)

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点：中值定理。教学难点：定理的证明。教学难点：系统讲解法。一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.wendangku.net/doc/b83503062.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

微分中值定理及应用综述

微分中值定理及应用综述谢娟 09211045 江苏师范大学数学与统计学院徐州 221116 摘要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 关键词：微分中值定理；关系；应用引言微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛. 1 浅谈微分中值定理 1.1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下: 1.1.1 罗尔定理如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导; ( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即 ()/0f ε= 几何分析在（图1）中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在 (),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/ ()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助.

微分中值定理及其应用大学毕业论文

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微分中值定理论文罗尔中值定理论文：微分中值定理的研究

微分中值定理

微分中值定理及其应用

微分中值定理与导数的应用总结

第五章微分中值定理及其应用答案

微分中值定理研究报告和推广

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微分中值定理和应用(大学毕业论文)

第六章 微分中值定理及其应用

微分中值定理历史与发展

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