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高等数学(上)第二章练习题

高等数学（上）第二章练习题

一. 填空题

1．设()f x 在0x x =处可导，且00x >

，则0lim x x →=

2．设()f x 在x 处可导，则220()(2)

lim 2h f x h f x h h →+--=______________

3．设0

()10x ax x f x e x

在0x =处可导，则常数a =______

4．已知sin ()x f x x '=

5．曲线ln x x

y x +=上横坐标为1x =的点的切线方程是

6．设sin x y x x = ，则y '=

7．设2x y e -=，则00.1x x dy =?==

8．若()f x 为可导的偶函数，且0()5f x '=，则0()f x '-=

二. 单项选择题

9．函数()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处连续的【】

A ．必要非充分条件

B ．充分非必要条件

C ．充分必要条件

D ．无关条件

10. 设2()()

lim ()x a f x f a l x a →-=-，其中l 为有限值，则在()f x 在x a =处【】

A ．可导且()0f a '=

B ．可导且()0f a '≠

C ．不一定可导

D ．一定不可导

11．若2()max(2,)f x x x =，(0,4)x ∈，且()f a '不存在，(0,4)a ∈，则必有【

】 A ．1a = B.2a = C ．3a = D ． 1

2a =

．函数()f x x =在0x =处【】

A ．不连续

B ．连续但不可导

C ．可导且导数为零

D ．可导但导数不为零

13．设2

221()31

x x f x x x ?≤?=??>?，则()f x 在1x =处【】

A ．左、右导数都存在

B ．左导数存在但右导数不存在

C ．右导数存在但左导数不存在

D ．左、右导数都不存在

14．设32()3||f x x x x =+，使()(0)n f 存在的最高阶数n 为【】

A ．0 B. 1 C ．2 D ． 3

15．设()f u 可导，而()()x f x y f e e =，则y '=【】

A ．()[()()()]f x x x x e f x f e e f e ''+

B ． ()[()()()]

f x x x e f x f e f e ''+ C ．()()()()f x x f x x e f e e f e ''+ D ． ()()()()

x f x x f x x e e f e e f e ''+

16．函数23()(2)||f x x x x x =+--不可导点的个数是【】

A ．3 B. 2 C ．1 D ． 0

17．设()f x 可导，()()(1|sin |)F x f x x =+，要使()F x 在0x =处可导，则必有【】

A ．(0)0f =

B ．(0)0f '=

C ．(0)(0)0f f '+=

D ．(0)(0)0f f '-=

18．已知直线y x =与log a y x =相切，则a =【】

A ．e

B ． 1e -

C ．1e e -

D ．e

19．已知()(1)(2)(100)f x x x x x =--- ，且()2(98)!f a '=?，则a =【】

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 20．已知01()3

f x '=

，则当0x ?→时，在0x x =处dy 是【】 A ．比x ?高阶的无穷小 B ．比x ?低阶的无穷小

C ．与x ?等价的无穷小

D ．与x ?同阶但非等价的无穷小

21．质点作曲线运动，其位置与时间t 的关系为22x t t =+-，2321y t t =--，

则当1t =时，质点的速度大小等于【】 A ．3 B ．4 C ．7 D ．5

三. 解答下列各题

22．设()()()f x x a x ?=-，()x ?在x a =连续，求()f a '

23．2sin

(12)x y e -= ，求dy 24

．2arcsin 2

x y =，求y '' 25．若()f u 二阶可导，3()y f x =，求22d y dx

26．设111x

y x ??=+ ???

，求(1)y ' 27．若2ln(1)arctan x t y t t

?=+?=-? ，求dy dx 与22d y dx 28．2(1)x y x e -=-，求(24)y

29．arctan y x =，求()(0)n y 30．已知23220()011x x x f x ax bx cx d x x x x ?+≤?=+++<

_在(,)-∞+∞内连续且可导，

求a ，b ，c ，d 的值

31．求曲线23xy e x y --=上纵坐标为0y =的点处的切线方程

32．求曲线(1)010

y x t t te y +-=??++=? 上对应0t =处的法线方程 33．过原点O 向抛物线21y x =+作切线，求切线方程

34．顶角为60 底圆半径为a 的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b （b a <）

的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗

中水面的高度是多少？

35．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式

(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，其中，()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，

且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程

习题答案及提示

一． 1

．0()x ' 2. 3()()f x f x ' 3. 1 4

5. y x = 6．[(1ln )sin cos ]x x x x x ++ 7. 0.2- 8. 5- 二. 9. B 10. A 11. B 12. C 13. B 14. C 15. A

16. B 17. A 18. C 19. C 20. D 21. D

三. 22. 提示：用导数定义 ()()f a a ?'= 23. 2sin (12)2sin(24)x dy e x dx -=--

24. y ''= 25. 234326()9()d y x f x x f x dx '=+ 26. (1)12ln 2y '=- 27. 2dy t dx = ，2121()4

d y t t dx -=+ 28. (24)2[48551]x y

e x x -=-+

29．由21()1y x x '=+ 22

2(1)x y x ''=-+ 由2(1)()1x y x '+= 两边求n 阶导数，_

利用莱布尼兹公式，代入0x =，得递推公式，

(1)(1)(0)(1)(0)n n y n n y +-=-+__利用(0)1y '=和(0)0y ''= ()

(1)(2)!21(0)022k n k n k y n k ?-=+=?=+?

0,1,2,k = 30. 提示：讨论分段点0x =与1x =处连续性与可导性

2a =， 3b =-， 1c = ， 0d =

31. 10x y ++= 32. 10ex y ++= 33.2y x =±

35. 提示：关系式两边取0x →的极限，得(1)0f =

00(1sin )3(1sin )8()sin lim lim 8sin sin x x f x f x x x x x x

x x α→→+--??=+=???? 而 000(1sin )3(1sin )(1)3(1)lim

lim sin (1)(1)(1)(1)lim 34(1)x t t f x f x f t f t x t f t f f t f f t t →→→+--+--=+---??'=+=??-??

得(1)2f '=，由周期性(6)(1)0f f ==

6()(6)(6)lim 6

x f x f f x →-'=- 令5x t -= 由周期性得 1()(1)lim 21

t f t f t →-==- 切线方程2(6)y x =-

《微积分》《高等数学》第二章测试题

《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---

高等数学第二章练习及答案

第二章一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处（） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （） 4. 极值点一定是驻点. （） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （）四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+，（2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ，（3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

高等数学第一章练习题答案

第一章练习题一、设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。二、求极限：思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。四、讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。五、设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。六、求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。七、设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上至少有一点，使()()a x f x f +=。八、设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ，至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是（） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（）（A ）（1，0）（B ）（0，1）（C ）（1，1）（D ）（1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断

高等数学第二章复习题及答案

高等数学第二章复习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学习题集及解答第二章一、填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1 ()x f x e -=，则0 _____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________ (ln 2)f '''= 。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________ a = 。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________ ()f x '-=。 9、()(1)(2) ()f x x x x x n =+++，则_________________ (0)f '= 。 10、ln(13)x y -=+，则____________________ y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________00lim (2)() x x f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________ dy =。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 0x x f x x x λ ?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 _______________________ 。

专升本高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是（） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是（） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε　（D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量

高等数学I(专科类)测试题

考试科目:《高等数学》高起专一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y = 的定义域是 ( ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设11f x x =-（），则(())f f x = ( ) (a) 1x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 1x x - 3. 10 lim(12)x x x →- (a) e (b) 1 (c) 2e - (d) ∞ 4. 2 20lim (2) x x sin x → (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 x 的 ( ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =___________. 7. 函数()f x = 的定义域是__________ 8. 若(31)1x f x +=+, 则()f x =__________ . 9. 2sin(2)lim 2 x x x →--=_____. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=_______.

11. 4lim(1)x x x →∞-=_____. 12. 3232lim 35 x x x x x →∞+--+=_____. 三.解答题(满分52分) 13. 求 45lim()46 x x x x →∞--. 14. 求 0x →. 15. 求 2sin lim 24cos x x x x x →∞-+. 16. 求 2lim x →-. 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+. 18. 设函数22cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤??=?>?+? , 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。 19. 若 33lim 12 x x ax b →-=++, 试确定常数 ,a b 的值。附：参考答案：一．选择题 (每题4分，共20分) 1）a 2）d 3）c 4）a 5）c 二.填空题(每题4分，共28分) 6）2 35x x ++ 7）12x -<<

14级《高等数学》(第二章)统测试卷答案

上海立信会计学院2014～2015学年第一学期 14级《高等数学》（第二章）统测试卷答案（考试时间90分钟，闭卷）共 4 页一、单项选择题（每题2分，共20分） 1．设周期函数)(x f 在),(∞+-∞内可导，周期为4，又12) 1()1(lim -=--→x x f f x ，则 )(x f y =在点))5(,5(f 处的切线的斜率为 D A .2 1 B .0 C .1－ D .2－ 2．设函数)(x f 在点0=x 处连续，且1) (lim 2 20=→h h f h ，则 C A .0)0(=f 且)0('-f 存在 B .1)0(=f 且)0(' -f 存在 C .0)0(=f 且)0('＋f 存在 D .1)0(=f 且)0(' ＋f 存在 3．设??? ??≤>-=0 ) (0cos 1)(2x x g x x x x x f 其中)(x g '是有界函数，则)(x f 在0=x 处 D A .极限不存在 B .极限存在，但不连续 C .连续，但不可导 D .可导 4．设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数|)(|x f 在点a x =处不可导的充分条件是 A .0)(=a f 且0)(='a f B .0)(=a f 且0)(≠'a f B C .0)(>a f 且0)(>'a f D .0)('x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内 A .0)(<'x f ，0)(<''x f B .0)(<'x f ，0)(>''x f C C .0)(>'x f ，0)(<''x f D .0)(>'x f ，0)(>''x f 9．设函数?? ??? =≠=0 001sin ||)(2 x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处 C A .极限不存在 B .极限存在但不连续 C .连续但不可导 D .可导