概率作业纸第三章答案
第三章 随机变量的数字特征
第一节 数学期望
一、选择
1. 掷6颗骰子，令X 为6颗骰子的点数之和，则()E X =（ D ）
（A ）42 （B ）21/2 （C ）7/2 （D ） 21
2. 对离散型随机变量X ，若有()k k P X x p == (1,2,3,)k = ，则当（ B ）时，
1
k
k k x
p ∞
=∑称为X 的数学期望。
（A ）
1
k
k k x
p ∞=∑收敛 （B ）1
k k k x p ∞
=∑收敛 （C ）{}k x 为有界函数 （D ）lim 0k k k x p →∞
=
二、填空
1. 设随机变量X 的概率密度为1,10,()1,01,0,x x f x x x +-≤≤??
=-<≤???
其它，则()E X = 0 。
2. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,
()0,,
kx x f x α?<<=??其它 其中,0k α>，又已知
()0.75E X =，则k = 3 ，α= 2 。 三、简答题
1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X 表示空盒子的个数，求()E X 。
解： ()4
446
0464A P X ===，()1234434361464C C A P X ===
()2444(22)212464C P X -===，()344
1
3464
C P X === 所以 ()6362118101236464646464
E X =?
+?+?+?= 2.设(,)X Y 的联合概率密度为212,01,
(,)0,
y y x f x y ?≤≤≤=??其它，，求()(),E X E Y 。
解：()120
01
4
(,)125
x
y x E X xf x y dxdy xdx y dy ≤≤≤=
==
????，同理()35E Y =。
第二节 随机变量函数的数学期望
一、填空
1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望()
2X
E X e
-+=4/3 。
2. 设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ，则()
2
E X = 2.16 。
二、简答题
1.设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为
,0,()0,0,x X e x f x x -?>=?≤? ,0,
()0,0,y Y e y f y y -?>=?≤?
求随机变量函数Z X Y =+的数学期望。
解：因为X 和Y 相互独立，所以,0,0,
(,)()()0,,x y X Y e x y f x y f x f y --?>>==??其它
()()0
()x y E Z E X Y x y e dxdy +∞+∞
--=+=+?
?
x y x y xe dx e dy e dx ye dy +∞+∞
+∞
+∞
----=+?
???
112=+=。
2.按季节出售某种应时商品，每售出1 kg 获利润6元,如到季末尚有剩余商品，则每kg 净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X （以kg 计）是一随机变量，X 在区间
()8,16内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应进多少货？
解： 设t 表示进货量，易知应取816t <<，进货t 所得利润记为()t W X ，且有
62(),8,()
()6,
16,()t X t X X t W X t t X --<
<
得[]()t E W X 最大。X 的概率密度为1
,016,
(,)80,
x f x y ?<
[]16
81()()()()8
t t t E W X W x f x dx W x dx +∞
-∞==
?? []16
82
1162()688
1432
2t t x t x dx tdx t t =
--+=--??
令
[]()140,t d W X t dt
=-= 得 14t =。
而
[]22
()10,t d E W X dt
=-<
故知当14t =时，[]()t E W X 取得极大值，且可知这也是最大值。 所以，进货14kg 时平均利润最大。
第三节 关于数学期望的定理
一、填空
1. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布2
2(),0,1,2,,!
k k e P X x k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 。
2. 设X 服从泊松分布，已知[](1)(2)1E X X --=，则()E X = 1 。
3.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为0.4，则2
X 的
数学期望()
2
E X = 18.4 。
二、简答题
1. 设(,)X Y 在A 上服从均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线10x y ++=所围成的区域，求()32E X Y -+。 解：因为A 的面积为
1
2
，所以(,)X Y 的概率密度为 2,10,10,
(,)0,x y f x y -<<-<
?其它， ()00
1
1
(,)21E X xf x y dxdy xdx dy +∞+∞
-∞
-∞
--===-????
()(,)1E Y yf x y dxdy +∞+∞
-∞-∞
==-?
?
()()()32321E X Y E X E Y -+=-+=
2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求()E X 。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设旅客是否下车相互独立） 解： 引入随机变量 0,1,i i X i ?=?
?在第站没有人下车，在第站有人下车，
，i =1,2,
,10. 易知1210X X X X =+++ ，现在来求()E X 。
按照题意，{}209010i P X ??
== ??? {}20
91110i P X ??==- ???
所以()20
91,1,2,,1010i E X i ??
=-= ???
进而 ()()20121091018.78410E X E X X X ??
??=+++=-=?? ???????
第四节 方差与标准差
二、选择
1. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ B ）
（A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+
（C ）X 和Y 独立 （D ）X 和Y 不独立
2. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别是4和2，则随机变量32X Y -的方差是（ D ） 。
（A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）44 3. 设随机变量ξ和η相互独立,又25X ξ=+，38Y η=-，则下列结论不正确的是（ B ）
（A ）()4()9()D X Y D D ξη+=+ （B ）()4()9()D X Y D D ξη-=- （C ）()()()E X Y E X E Y +=+ （D ）()()()E XY E X E Y =
二、填空
1. 设随机变量X 在区间[]1,2-上服从均匀分布，随机变量1,0,0,0,1,0X Y X X >??
==??-
， 则方差
()D Y =
8/9 。
2. 设X 是一随机变量, ()1E X =，[](1)4E X X -=， 则()D X = 4 。 三、简答题
1. 设(,)X Y 的联合概率密度为215,01,
(,)0,
xy y x f x y ?≤≤≤=??其它，，求()D X 。
解：()122005
(,)156
x
E X xf x y dxdy x dx y dy +∞
+∞
-∞-∞=
==
????， ()12232005
(,)157
x E X x f x y dxdy x dx y dy +∞+∞-∞-∞===????，
()()()225255
736252
D X
E X E X =-=-=????。
第五节 某些常用分布的数学期望与方差
三、选择
1. 设X 服从 （ C ）分布，则()()E X D X =。
（A ） 正态 （B ） 指数 （C ）泊松 （D ）二项
2. 已知X 服从二项分布，且() 2.4E X =，() 1.44D X =，则二项分布的参数为（ B ）
（A ）4,0.6n p == （B ）6,0.4n p ==
（C ）8,0.3n p == （D ）24,0.1n p == 二、填空
1. 已知随机变量X 在[]0,2上服从均匀分布，则 ()
2
E X =
4/3
.
2. 设()()12P X P X ===，且X 服从参数为λ的泊松分布，则()E X = 2
()D X = 2 。
三、简答题
1. 设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,R x y x <<<内服从均匀分布，试求 （1）X 的边缘概率密度；
（2）随机变量函数21Z X =+的方差()D Z 。
解：因为区域R 的面积为1，所以(,)X Y 的联合概率密度为
1,01,,
(,)0,x y x f x y ?<<
其它，
（1）当0x <或1x >时，()0X f x =，当01x ≤≤时，()2x
X x f x dx x -==?，
所以X 的边缘概率密度为2,01,
()0,X x x f x ≤≤?=??其它。
（2）()1
0223E X x xdx ==?，()122
0122
E X x xdx ==?
()()()22
2
2144()(())9
D Z D X D X
E X E X ??=+==-=
??
2017概率作业纸答案
第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率 一、单选题 1.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ D ） （A ） “甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ） “甲种产品畅滞销” （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2.对于事件、A B ，有B A ?，则下述结论正确的是（ C ） （A ）、A B 必同时发生； （B ）A 发生，B 必发生； （C ）B 发生，A 必发生； （D ）B 不发生，A 必发生 3.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ） (A)()()P C P AB = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 二、填空题 1. 设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示 （1）仅A 发生为：ABC ； （2）,,A B C 中正好有一个发生为：ABC ABC ABC ++； （3）,,A B C 中至少有一个发生为：U U A B C ； （4）,,A B C 中至少有一个不发生表示为：U U A B C . 2.某市有50%住户订日报，65%住户订晚报，85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是30%. 3. 设111 ()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC === ====则 ()P A B C ??= 7 16 ；()P ABC =9 16；(,,)P A B C =至多发生一个34 ；(,,P A B C = 恰好发生一个）316 .
概率统计章节作业答案
第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是 ( B ). A.AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ).
A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = C. ()0P AB = D.()0P AB > 8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容 9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 1 10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ). A.A B B. A B C. A B D. A B 11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.44 12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 0 13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ). A.()()P A B P A = B.A B ? C. P (A )=P (B ) D. P (AB )=P (A ) 14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.75 15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ). A. 3 7 B.0.4 C. 0.25 D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.8 17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ).
概率作业纸第五六七章答案
第五章 数理统计的基本知识 一、选择 1. 设n X X X ,,,21 独立且服从同一分布),(2σμN ，X 是样本均值，记()∑=--=n i i X X n S 1 2 2111， ()∑=-=n i i X X n S 1 2 22 1， ()∑=--=n i i X n S 1 22 3 11μ， ()∑=-=n i i X n S 1 2 24 1μ，则下列服从)1(-n t 的是 ( A ). （A ）n S X t 1μ-= （B ）n S X t 2μ-= （C ）n S X t 3μ-= （D ）n S X t 4 μ -= (A) )(2n χ (B) )1(2-n χ (C) )1(-n t (D) )(n t 3. 设总体)4,2(~2N X ,n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,则下面结果正确的 是（ D ） (A) )1,0(~42N X - (B))1,0(~16 2 N X - (C) )1,0(~2 2N X - (D))1,0(~42 N n X - 二、填空 1.已知某总体X 的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，10 2.1， 100.5，则样本均值X = 99.93 ，样本方差2 S = 1.43 . 2.设总体)4,(~μN X ,1220,, ,X X X 为取自总体X 的一个容量为20的样本,则概率 20 21 P[46.8()154.4]i i X X =≤-≤∑= 0.895 . 3.从总体(63,49)N 中抽取容量为16的样本,则P[60]X ≤= 0.0436 . 2. 设总体),(~2 σμN X , 则统计量~)(1 1 22 2 ∑=-=n i i X X σ χ（B ）
应用数理统计吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案
第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解：
{}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为
概率作业纸第二章答案
第一章 随机事件及其概率 第三节 事件的关系及运算 一、选择 1.事件AB 表示 （ C ） （A ） 事件A 与事件B 同时发生 （B ） 事件A 与事件B 都不发生 （C ） 事件A 与事件B 不同时发生 （D ） 以上都不对 2.事件B A ,，有B A ?，则=B A （ B ） （A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A B 二、填空 1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为 C B A 第四节 概率的古典定义 一、选择 1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ） （A ） 21 （B ）53 （C ）103 （D ）10 1 二、填空 1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概 率为11322 535 C C C = 2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为 ! 10! 8!3 3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队 被分在不同组内的概率为1910 10 20 91812=C C C 。 三、简答题 1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率
（1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球； （3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。 解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614)(31 4==C B P （3）169 4)(3 132314==C C C C P 第五节 概率加法定理 一、选择 1.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ） (A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 2.已知41)()()(= ==C P B P A P ， 0)(=AB P ， 16 1 )()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为（ B ） (A) 82 (B) 8 3 (C) 85 (D) 86 3.已知事件A 、B 满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P （ A ） (A) p -1 (B) p (C) 2 p (D) 21p - 二、填空 1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球，则其中至少有一只红球的概率为 3 33734 135 C C -=（0.97） 2.掷两枚筛子，则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 3.袋中放有2个伍分的钱币，3个贰分的钱币，5个壹分的钱币。任取其中5个，则总数超过一角的概率是 0.5 三、简答题 1．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3 件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率； （2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 解：设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品，其中i =1，2，3； （1）所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
概率作业B解答
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 随机数学 （B） 标准化作业简答 吉林大学公共数学中心 2013.2
第一次作业 一、填空题 1．解：应填 29 . 分析：样本空间含基本事件总数2 10C ，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3）…， （9,10），（10,1）共10个，故所求概率为 210102 9 C =. 2．应填0.6. 分析: ()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+, 故()1()0.6.P B P A =-= 3．应填1 3． 4. 应填172 5. 5．应填 23． 6 ． 二、选择题 1．（D ）．2.（C ）．3．（B ）．4.（C ）．5．（C ）．6.（A ）. 三、计算题 1．将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中，设每个盒子都可以容纳n 只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率1p ；（2）恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ；（3）n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p ． 解：此题为古典概型，由公式直接计算概率. （1）1n N n P p N =. （2）2(1)m n m N n C N p N --=. （3）31 1 n n N p N N -= = .