固体物理填空、简答, 有答案版

第一章 晶体结构

1、填空题

1.1理论证明由10种对称素只能组成( 32 )种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型

1.2 根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为( 7大晶系 )对应的只有(14种布拉伐格子 )

1.3面心立方晶体在(100)方向上表面二维布拉伐格子是( 正方格子 )在(111)方向上表面二维布拉伐格子是( 密排结构 )

1.4晶体表面二维晶格的点群表示,由于晶格周期性在Z 轴方向的限制,二维晶格的对称素只有( 6 )个,即垂直于表面的n 重转轴( 1、2、3、4、6 ),垂直于表面的镜面反演( 1 ) 个。由( 6 )种对称素可以组成( 10 )种二维点群,按照点群对基矢的要求划分,二维格子有( 4 )个晶系,( 5 )种布拉伐格子

1.5在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的( 周期性 )又要考虑晶体的( 宏观对称性 )

1.6六角密积属( 六角晶系 ), 一个晶胞( 平行六面体 )包含( 两个 )原子.

1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面指数为

( 122 ), 其面间距为( a

32π

). 1.8典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( 343R V π ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的( 共价结合 )晶体, 它有( 6 )支格波

1.10按照惯例,面心立方原胞的基矢为( )(2),(2),(2321i k a a k j a a j i a a +=+=+= ),体心立方原胞基矢为( )(2),(2),(2321i k j a

a k j i a a k j i a a ++-=++-=-+= )。

2、简答题

1.10简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元:组成晶体的最小基本单元,整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点:将基元抽象成一个代表点,该代表点位于各基元中等价的位置。

布拉菲格子:格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。

1.11 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?

答:在结晶学中,晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。

1.12六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?

解答 六角密积属六角晶系 一个晶胞平行六面体包含两个原子.

1.13 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面?为什么?

解答]晶体容易沿解理面劈裂,说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱,即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.

1.14 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?

[解答]

正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h 1h 2h 3)与倒格式=h K h 11b +h 22b +h 33b 垂直, 则倒格晶面(l 1l 2l 3)与正格矢=l R l 11a + l 22a + l 33a 正交. 即晶列[l 1l 2l 3]与倒格面(l 1l 2l 3) 垂直.

1.15面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?

[解答]

周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图 1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为2/2a . 根据同族晶面族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.

1.16 在晶体衍射中,为什么不能用可见光?

[解答]

晶体中原子间距的数量级为1010

-米,要使原子晶格成为光波的衍射光栅,光波的波长应小于1010-米. 但可见光的波长为7.6?4.0710-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因

此, 在晶体衍射中,不能用可见光.

1.17 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?

[解答]

对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式

λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

1.18 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化?

温度升高时, 由于热膨胀, 面间距hkl d 逐渐变大. 由布拉格反射公式

λθn sin 2=hkl d 可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距hkl d 逐渐变大, 衍射角θ逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.

当温度不变, X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角θ随之变大.

第2章 晶体的结合

1、填空

2.1离子晶体的特征:一种离子的最近邻离子为( 异性 )离子;离子晶体的配位数最多只能是( 8 )

2.2离子晶体结合的稳定性,导致其物理性能( 导电性能差、熔点高、硬度高 )以及( 膨胀系数小 )

2.3共价键结合的两个基本特征是( 饱和性和方向性 ),共价键的强弱取决于( 形成共价键的两个电子轨道相互交叠的程度 )

2.4共价晶体结合的一对平衡力是( 外层未配对的自旋方向相反的电子电子云重迭 )和

(内层相同电子态的电子之间的排斥)

2.5金属晶体结合的一对平衡力是(共有化电子云和离子实之间的相互作用)和(共有化电子云浓度增加伴随电子动能上升)

2.6金属性结合的基本特征是价电子的( 在整个晶体内作共有化运动 ), 其晶格中原子排列的具体形式( 没有特别的要求 )

2、简答

2.6共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?

[解答]

共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.

2.7为什么许多金属为密积结构?

[解答]

金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.

2.8是否有与库仑力无关的晶体结合类型?

[解答]

共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.

2.9如何理解库仑力是原子结合的动力?

[解答]

晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.

2.10晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?

[解答]

自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.

原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.

在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.

2.11原子间的排斥作用取决于什么原因?

[解答]

相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.

2.12 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?

[解答]

在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力

缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r时, 排斥力起主导作用.

2.13共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”?

[解答]

设N为一个原子的价电子数目, 对于IV A、V A、VI A、VII A族元素,价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的“饱和性”.

共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的“方向性”.

2.15试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.

[解答]

当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量.

2.16如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?

[解答]

使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.

2.18你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?

[解答]

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如上图所示, 0r附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 0r附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而0r附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定.

2.19固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?

[解答]

固体受到外力作用时发生形变, 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外

力时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r时, 排斥力起主导作用. 当固体受挤压时, r<0r, 原子间的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时, r>0r, 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.

2.20固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么?

[解答]

理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.

第三章晶格振动与晶体的热学性质

1、填空

3.1只有当(微弱)时,原子间(非谐的)相互作用可以忽略,即在()近似下,这些振动模式才是()。

3.2一个格波表示的是所有原子同时做(频率为ω的振动)

3.3一维单原子晶格看作成()

3.4一维双原子晶格叫做()

3.5热膨胀和热传导的原因是()。

3.6由一个原胞中原子的3n个位移分量方程得到对应(同一波矢的3n个不同格波频率),而系统中的(波矢数等于系统原胞数),则格波数等于(晶体中总自由度数)

2、简答

3.7为什么长波近似下,一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系一致。

3.8简述布里渊区。

3.9常用的晶格振动谱的实验方法有哪些,为什么?

答:中子非弹性散射、光子非弹性散射

3.10简述爱因斯坦模型及其成功、不足之处。

答:爱因斯坦模型:假定所有的原子以相同的频率振动

成功之处:通过选取合适的爱因斯坦温度值,在较大温度变化的范围内,理论计算的结果和实验结果相当好地符合。且热容量随着温度降低而趋于零

不足之处:温度非常低时,热容量按温度的指数形式降低,而实验测得结果表明:热容量按温度的3次方降低

原因:是爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别

3.11简述德拜模型及其成功之处。

答:德拜模型:以连续介质的弹性波来代表格波,将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质成功之处:温度愈低时,德拜模型近似计算结果愈好,

原因:这是因为温度很低时,主要的只有长波格波的激发,把格波看成连续介质的弹性波是合适的

3.12简述热膨胀的原因。

答:如果振动是严格简谐的,则不存在热膨胀,实际的热膨胀是原子之间非谐作用引起的

3.13简述热传导的原因。

答:不考虑电子对热传导的贡献,晶体中的热传导主要依靠声子来完成。固体中存在温度梯度时,“声子气体”的密度分布是不均匀的,平均声子数随温度的关系是波色分布。简谐近似得到的结果是不同格波间是完全独立的,则不存在不同声子之间的相互作用,类似于理想气体的情形。实际上非谐作用使不同格波之间存在一定的耦合,从而可以保证不同格波之间可以交换能量,达到统计平衡。

3.14什么叫简正振动模式?简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事?

答:为了使问题既简化又能抓住主要矛盾,在分析讨论晶格振动时,将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .

3.15长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?

答:长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

3.16温度一定,一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?

答:频率为ω的格波的(平均) 声子数为

11)(/-=T k B e n ωω .

因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T k B O e

ω )大于(1/-T

k B A e ω ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.

3.17 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?

[解答] 设温度T H >T L , 由于(1/-H B T k e

ω )小于(1/-L B T k e ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.

3.18 高温时, 频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系?

[解答]

温度很高时, 1/-≈ωω T k B e , 频率为ω的格波的(平均) 声子数为

1

1)(/-=T k B e n ωω ω T k B ≈.

可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.

3.19长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?

答:长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位

移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.

3.20你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗?

[解答]

实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.

3.21爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?

[解答]

按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013, 属于光学支频

率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.

3.22在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?

[解答]

在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.

3.23 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗?

[解答]

频率为i ω的格波的振动能为

i i i n ωε ??? ??+=21,

其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, (2/i ω )是零点振动能, 声子数

11/-=T k i B i e n ω .

绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能.

格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.

3.24 温度很低时, 声子的自由程很大, 当0→T 时, ∞→λ, 问0→T 时, 对于无限长的晶体, 是否成为热超导材料?

[解答]

对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当0→T 时, 声子数n 0→. 因此, 0→T 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.

3.25 石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点?

[解答]

由本教科书可知, 热膨胀系数V α与格林爱森常数γ成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数γ大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.

3.26 引入玻恩卡门条件的理由是什么?

[解答]

(1) (1) 方便于求解原子运动方程.

由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.

(2) (2) 与实验结果吻合得较好.

对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.

金属中共有化电子对热容贡献为什么和经典理论值存在较大偏差?在什么情况下应对电子的热容贡献予以考虑,为什么?

[解答]

由于电子是费米子,遵循费米-狄拉克分布和泡利不相容原理,因此共有化电子不能全部填充在最低能级上,而是填充在能带中由低到高准连续的能级上。在热激发作用下,只有费米能附近能级上的电子存在一定跃迁到高能级的机会,从而对热容有贡献,而大多数电子并没有参与热激发,这时造成金属中共有化电子对热容贡献和经典理论值存在较大偏差原因。通过计算发现,电子对热容量的贡献和温度的一次方成正比,而晶格振动的热容量在低温时和温度的三次方成正比,因此,在温度趋于零的情况下,电子的热容量是主要方面,应该予以考虑。

电子的有效质量*

m 变为∞的物理意义是什么?

[解答]

从能量的角度讨论之. 电子能量的变化 m E m E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d *

+=

[]电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1E E m -=. 从上式可以看出,当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量*

m 变为∞. 此时电子的加速度

01*==F a m ,

即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反.

第四章 晶体中电子能带理论

1、填空

4.1布洛赫定理:在周期势场中运动的电子,其波函数满足: ( ) 且本征函数为( 振幅受到晶格周期调制的调幅平面波 )

4.2布洛赫函数是( 振幅 )被( 晶格周期调制的调幅 )平面波。

4.2近自由电子近似模型:金属中电子受到( 原子实周期性势场的作用 )并假定( 势场的起伏较小 )

4.3能量接近且具有相互作用的两个态,相互作用后的结果是原来能级较高的态( 能量提)()(r e

R r m R k i m ψψ?=+

高 ),原来能级较低的态( 能量下降 )

4.4禁带宽度和( 能带的序号 )以及( 周期势场的起伏 )有关

4.5能带底部电子的有效质量( 大于零 ),能带顶部电子的有效质量( 小于零 )

4.6 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度( 不为 )零, 电子波矢的末端处在( 布里渊区 )边界上.

4.7一对有相互作用的态应满足( ),能级相互作用的结果是( )。

2、简答

4.8紧束缚近似方法的思想

答:电子在一个原子(格点)附近时,主要受到该原子势场的作用,而将其它原子势场的作用看作是微扰,将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合(LCAO 理论 __Linear Combination of Atomic Orbitals ),得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系

紧束缚讨论中 —— 只考虑了不同原子、相同原子态之间的相互作用

4.9 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 答:[解答]

波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、

, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、

1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.

倒格空间中一个倒格点对应的体积为

*321) (Ω=??b b b ,

波矢空间中一个波矢点对应的体积为

N N b N b N b *

332211)(Ω=??,

即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.

4.10在布里渊区边界上电子的能带有何特点?

[解答]

电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.

不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交

4.11当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?

[解答]

晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为

)(1l m F F a +=

.

但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有

F a *1m =

.

显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电

子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界

上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别

4.12电子的有效质量*m 变为∞的物理意义是什么?

[解答]

仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化 m E m E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d *

+=

[]电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1E E m -=. 从上式可以看出,当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量*

m 变为∞. 此时电子的加速度

01*==F a m ,

即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反.

4.13紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?

[解答]

以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r

R r R r r r d )()]()([)(*n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于)(r at

s ?与相邻格点的)(n at

s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的

)(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽.

4.14等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么?

[解答]

将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度

)

(1k E k ?= ν

得到 ////1k E

??=

ν,

⊥⊥??=k E 1ν. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥??k E /=0, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的

结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.

4.15 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点?

[解答]

由本教科书得

m m m

l F F F +=*. 将上式分子变成能量的增量形式

m t m t m t l d d d *

ννν?+?=?F F F , 从能量的转换角度看, 上式可表述为

m E m

E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功

)d ()(d )(d *

+=.

由于能带顶是能带的极大值, 22k E

??<0, 所以有效质量

222

*

k E

m ??= <0.

说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值, 22k E

??>0,

所以电子的有效质量

222

*

k E

m ??= >0.

但比m 小. 这说明晶格对电子作正功. m*

V T m m 211*

+=<1.

4.16 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?

[解答]

波矢空间与倒格空间处于同一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、

, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、

1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.

倒格空间中一个倒格点对应的体积为

*321) (Ω=??b b b ,

波矢空间中一个波矢点对应的体积为

N N b N b N b *

332211)(Ω=??,

即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.

4.17 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用?

[解答]

当电子的波矢k 满足关系式

固体物理填空、简答,  有答案版

时,与布里渊区边界平行且垂直于的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用.此时,电子的波矢很大,波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于.

4.18 一维周期势函数的付里叶级数

nx a i n n e

V x V π2)(∑=

中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?

[解答]

周期势函数V (x )付里叶级数的通式为

固体物理填空、简答,  有答案版

上式必须满足势场的周期性,即

.

固体物理填空、简答,  有答案版

显然

.

固体物理填空、简答,  有答案版

要满足上式, 必为倒格矢

.

固体物理填空、简答,  有答案版

可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.

4.19 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?

解答]

电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.

不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交

第五章 晶体中电子在电场和磁场中运动

1、填空

5.1 两种不同金属接触后, 费米能级高的带( 正 )电.对导电有贡献的是 ( 费米面附近 )的电子

5.2在所有晶体中,处于( 满 )带的电子,无论有无外场,均对宏观电流的产生没有贡献。处于( 未满 )带的电子,在无外场时,由于( 在k 空间分布的对称性 ),对宏观

电流的产生没有贡献;在存在外场时,由于(外场作用使得电子在K空间匀速,破坏了未满带电子在K空间的对称分布),产生宏观电流。

2、简答

5.2一维简单晶格中一个能级包含几个电子?

[解答]

设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有N个不同的波矢状态, 能容纳2N个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N/2)个. 可见一个能级上包含4个电子.

5.3本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?

[解答]

在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.

5.4简述费米面。

答:根据能量最小原理,电子填充尽可能低能级,因此能量最高的电子处在一个等能面上,所有电子处于该等能面内,该等能面叫做费米面

5.5为什么无外场时,处于满带和非满带中的电子宏观电流均没有贡献,有外场时,只有非满带中的电子才对宏观电流有贡献。

答:1、能带关于波矢是对称的;2、处于+K和-K的电子运动的速度大小相等方向相反;无外场时,电子处于尽可能低的能级,无任是满带还是非满带,电子关于波矢对称分布,处于+K和-K的电子对对宏观电流的贡献相互抵消;

有外场时,外场不破坏满带中电子关于波矢的对称分布,同样,处于+K和-K的电子对对宏观电流的贡献相互抵消;而非满带中电子关于波矢的对称性则受到破坏,因此带中有部分没有对应项的电子,其运动对宏观电流有贡献

5.6什么是有效质量近似法?

热膨胀和热传导的原因

热膨胀的原因:如果振动是严格简谐的,则不存在热膨胀,实际的热膨胀是原子之间非谐作用引起的

热传导的原因:不考虑电子对热传导的贡献,晶体中的热传导主要依靠声子来完成。固体中存在温度梯度时,“声子气体”的密度分布是不均匀的,平均声子数随温度的关系是波色分布。简谐近似得到的结果是不同格波间是完全独立的,则不存在不同声子之间的相互作用,类似于理想气体的情形。实际上非谐作用使不同格波之间存在一定的耦合,从而可以保证不同格波之间可以交换能量,达到统计平衡

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