2010年大连市数学竞赛试题B答案
学 校
姓 名
大连市第十九届高等数学竞赛试卷（B ）
一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）
1． 设函数1, |x|1,
()0, |x|>1f x ≤?=??，则(())f f x =_____1_____
2．
2
20
2x x dx -=?
_____
_____2
π
3．已知tan 2x y =，则dy =tan 2_____2ln 2sec _____x xdx
4． 设111()24x x
e
f x e
+=
+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点。
5．设2sin 21
, x 0()a, x=0ax x e f x x
?+-≠?
=???
在(,)-∞+∞上连续，则 a =_____2_____- 6．已知当0x →时，123
(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a =
3
_________2
7． 设()y y x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则
0|x dy
dx
==_____1_____ 8． 曲线2
x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22
-
9． 设0a b <<，则1lim()n
n n
n a b --→∞
+=1__________a -
10． 2
0cos()x d x t dt dx
-=?2_____cos _____x
考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1 页
阅卷人
得 分
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数
二、（本题8分）已知30
1()sin 21
lim
21
x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.
解：因为30
1()sin 21
lim
21
x
x f x x e →+-=-， 又 30
lim(1)0x x e →-=，
所以0
lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0
lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分
从而30
01()sin 21()sin 22lim
lim 123x x x f x x f x x
e x
→→+-==-?，…………………………4分 又0sin 2lim
12x x
x
→=，
所以0
lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分
三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。求证：在(,)-∞+∞内,()f x 以
T 为周期的充要条件为'()f x 的周期为T 且(0)()f f T =。
证明：（?）设()f x 以T 为周期，则(,)x ?∈-∞+∞，()()f x T f x +=，即(0)()f f T =。
又0
0()()()()
'()lim
lim x x f x x f x f x T x f x T f x x x
→→+-++-+==='()f x T +， 所以，'()f x 的周期为T 。……………………………………………………………..3分
（?）设'()f x 的周期为T 且(0)()f f T =。 因为0()'()(0)x
f x f t dt f =+?，
所以0
()'()(0)x T
f x T f t dt f ++=+?
=0
'()T f t dt ?'()x T T
f t dt ++?
(0)f +……………………………………3分
令t T u =+，则0
'()'()x T
x
T
f t dt f u T du +=+?
?=0
'()x f u du ? =()(0)f x f -………………2分
所以，()()(0)()(0)(0)f x T f T f f x f f +=-+-+=()f x 。命题成立。…………………1分
考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 2 页
阅卷人 得 分
阅卷人
得 分
学校姓名
四、（本题8分）设函数
2
2
2
(1)
x
y
x
=
-
，试求其单调区间，极
值点及凹凸性、拐点和渐近线。
解
3
4
',''
(1)
x
y y
x
=
-
=
4
84
(1)
x
x
+
-
，令'0
y=，得0
x=；令''0
y=得
1
2
x=-。……2分
列表如下：
x1
(,)
2
-∞-
1
2
-
1
(,0)
2
-
(0,1)
1
(1,)
+∞'y
_ _ 0 + _ ''y
_ 0 + + + + y单调下降拐点单调下降极小
值
单调
增加
单调下降可知函数的单增区间为（0，1）,单调减区间为(,0)
-∞和(1,)
+∞;函数在0
x=取
得极小值，极小值为0；…………………………………………………………2分
函数的图形在上
1
(,)
2
-∞-是凸的,在
1
(,1)
2
-和(1,)
+∞上是凹的,
12
(,)
29
-是曲线
的拐点。……………………………………………………………………………2分由lim2
x
y
→∞
=，知2
y=为图形的水平渐近线；由
1
lim
x
y
→
=+∞知1
x=为图形的铅直渐近线。…………………………………………………………………………2分阅卷人
得分
五、（本题9分）设2
(sin )sin x f x x =
， 求()1x
f x dx x
-?。 解：令2sin t x =，则arcsin x t =，arcsin ()x
f x x
=
，……………………………..…3分 原式=arcsin 121arcsin 211x x
dx x x d x x x
-=--+--?
?……………………………4分 =21arcsin 2x x x C --++…………………………………………….……2分
六、（本题8分）求曲线ln y x =在[2,6]内的一条切线，使该切线与2x =，6x =及ln y x =所围成图形的面积最小。
解 设(,ln )t t 为曲线ln y x =上任意一点，则此点处切线为
1
()ln y x t t t
=-+…………………………………………………………..2分
所求面积为
621
[()ln ln ]S x t t x dx t =-+-?
1
4[(4)ln 1]ln 46ln 6t t t =-+++-………………………………..………2分
令24(4)0dS t dt t =--=，得4t =，又当4t <时，0,4dS t dt <>时，0,dS dt
>故4t =时，S 取极小，即取最小。………………………………………….....…2分 从而所求的切线方程为
1
ln 414y x =+-……………………………………………………………….2分
共 三 页 第 4 页
阅卷人 得 分
阅卷人 得 分
学校姓名
七、（本题10分）设
12
1,2,3
u u n
==≥时，
12
n n n
u u u
--
=+。
（1）求证：
11
3
2
2n n n
u u u
--
<<；
（2）求
1
lim
n
n
u
→∞
。
证明：（1）因为
12
1,2,3
u u n
==≥时，
12
n n n
u u u
--
=+，所以，0
n
u>，又121
n n n n
u u u u
---
=+>，所以，{}
n
u单调增加。………………………………2分
121
2(3)
n n n n
u u u u n
---
=+<≥，
12111
13
(3)
22
n n n n n n
u u u u u u n
-----
=+>+=≥，
所以，
11
3
2
2n n n
u u u
--
<<。……………………………..…...…4分
（2）由（1）知：
1
3
2n n
u u
-
<，所以，
211
121
1221212
0()...()()
3333
n n
n n n
u u u u
--
--
<<<<<=，
故
1
lim0
n
n
u
→∞
=。………………………………………….…………4分
八、（本题8分）设平面图形A由222
x y x
+≤与y x
≥所确定，
求图形A绕直线2
x=旋转一周所得旋转体的体积。
解以y为积分变量，它的最大范围为01
y
≤≤，在其上固定一点，过此点作平行于x轴的平行线，这条平行线与图形A的两条边界线x y
=，2
11
x y
=--相交，它们与旋转轴之间的距离分别为2
2,2(11)
y y
----，则所求体积为
{}
1222
[2(11](2)
V y y dy
π
=-----
?…………………………..…2分
=122
2[1(1)]
y y dy
π---
?………………………..………………2分
=31
1
2[(1)|]
43
y
π
π+-……………………………………..……..…2分=
22
23
ππ
-………………………………………………….………2分阅卷人
得分
阅卷人
得分
九、（本题10分）设函数)(x f 在[,]a b 上连续,且单调增加,求证:
()()2
b
b
a
a a
b xf x dx f x dx +≥?
?。 证明：设()()()2
x
x
a a x a F x tf t dt f t dt +=-??(a x
b ≤≤)…………. 2分 则1'()()()()22
x a a x
F x xf x f t dt f x +=-
-?……………….……... 2分 1()()22x
a x a f x f t dt -=
-?............. ...........................2分 ()()22x a x a f x f x --≥-（()f x 单调增）.. (2)
=0，
又()0,F a =
所以()0,[,]F x x a b ≥∈。故原命题成立。……………………..….. 2分
十、（本题10分）设函数)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导,且
()()f a f b =，''()()0f a f b +->，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使"()f ξ=0。
证明：因为''()()0f a f b +->，所以，可设'()0,f a +>'()0f b ->。由于'()()
lim ()0x a
f x f a f a x a
+
+→-=>-，所
以，总存在()2a b c a c +<<
，使()()0f c f a c a ->-，又'
()()lim ()0x b f x f b f b x b
-
-→-=>-，所以，总存在()2a b d d b +<<，使()()0f d f b d b
->-，即()()()()f c f a f b f d >=>。……………………………….. 4分
且[,][,]c d a b ?,由()f x 在[,]a b 上连续知, ()f x 在[,]c d 上也连续，由介值定理知总存在
0[,][,]x c d a b ∈?使0()()()f x f a f b ==。…………………………………………………………..….. 3分
将()f x 分别在0[,]a x 、0[,]x b 上用罗尔定理得：总存在10(,)x a x ∈，20(,)x x b ∈，使'1()0f x =，
'2()0f x =，在12[,]x x 上再用罗尔定理得：总存在12(,)(,)x x a b ξ∈?，使"()f ξ=0。…………….... 3分
共 三 页 第 6页
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2013年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题(含答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1．已知实数x y ，满足 42 424233y y x x -=+=，，则444y x +的值为（ ）． （A ）7 （B ） 12 （C ） 72 + （D ）5 【答】（A ） 解：因为2 0x >，2 y ≥0，由已知条件得 21x ==， 2 y == ， 所以 444y x +=2 2233y x ++- 2226y x =-+=7． 另解：由已知得：2 22 2222()()30()30 x x y y ?-+--=???+-=? ，显然2 22y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为2 30t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x - +=--?=-
故 444y x +＝22 222222[()]2()(1)2(3)7y y x x -+-?-?=--?-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ） 512 （B ）49 （C ）1736 （D ）1 2 【答】（C ） 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知 ?＝24m n -＞0，即2m ＞4n . 通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故17 36 P = . 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )． （A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 【答】（B ） 解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条． 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点 E ，则AE 的长为（ ）． （A ） 2a （B ）1 （C ）2 （D ）a 【答】（B ） 解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=?-=∠． （第3题） （第4题）
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
浙江省初中数学竞赛试题配答案
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 欢迎下载支持. https://www.wendangku.net/doc/bc5099858.html, D C B A 浙江省初中数学竞赛试题 一、 选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1 x - 图象的大致形状是（ ） A B C D 2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。如果设老王步行的速度为x 米／分，则老王步行的速度范围是（ ） A ．70≤x ≤87.5 B ．70≤x 或x ≥87.5 C ．x ≤70 D ．x ≥87.5 3．如图，AB 是半圆的直径，弦AD ，BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC 等于（ ） A ． 1 2 B ．2 C D ．3 4．抛物线()2 0y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶 点坐标是（ ） A ．（0，－2） B ．19,24??- ??? C ．19,24??- ??? D ．19,24?? -- ??? 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CD 是角平分线，则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（ ） A B C D 6．直线l ：() 0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点 恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 7．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入2 0x x ++=W W W 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项， 2 1 3 5 1 3
学用杯数学竞赛卷及答案
学用杯数学竞赛卷及答案． 2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛 八年级决赛试题 （2013年3月17日9:30---11:30 时量：120分钟满分：150分） 一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分）
（请将惟一正确的选项代号填在下面的答 题卡内） 8)(x?1)(x?的值为零，则1．已知式子的值为x |x?1|（） A、8或-1 B、8 C、-1 D、1 2．若，那么的值一定是（）)a)(1?(a1?a01??a?A、 正数 B、非负数 C、负数 D、正负数不能确定 ，3．定义：，例如，)2(?3,),),())?m(),(gmn??,n,(fab?ba(f23版） 21 版 （共 2 八年级决赛试题·第 g(?1,?4)），则等于（))5,6g(f(?)?(1,4、 D A、 B、 C、)5(65(?,?6)5(?6,),?)6(?5,等则，4．已知且， 于( )、C 、 B100 22210?c?ab?5?b ac??cbc?ab?ab? A、105 50 D、 75 ．有面额为壹元、贰元、 伍元的人民币共5元的护10张，欲用来购
买一盏价值为18眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付）款方式有（ 、 C 7 A、8种 B、种、3种 4种 D已知一个直角三角形的两直角边上的中线 6． ，那么这个三角形的斜5和长分别为 102( ) 边长为 B、 C、 A、10 10413、D132，ACB=90°AC7．如图，在△ABC中，=BC，∠AD⊥AD平分∠BAC，BE ，垂足的延长线于点交F AC为E，则下面结论：③=AF；BF；①②BFAD?；AB??ACCD⑤； ④AD=2BE．CF?BE）其中正确的个数是（、2 C、4 A、B3 、D1 版） 21 版（共 3 八年级决赛试题·第
高二数学竞赛模拟试题及答案
高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）
2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷(含答案)
2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷 说明：考试时间：60分钟。总分120分。每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有 1.直角坐标平面上将二次函数y=－2（x －1）2 －2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）。 A. （0，0） B. (1,－2) C. (0,－1) D.(－2,1) 2.下列的计算正确的是( ). A ．(ab 4)4=ab 8； B.(－3pq)2 =－6p 2 q 2 C. x 2 － 21x ＋41=( x －2 1)2；D.3(a 2)3－6a 6=－3a 6 3.如图1.以直角三角形ABC 三边为直径的半圆面积分别是S 1、S 2、S 3，直角三角形ABC 面积是S ，则它们之间的关系为（ ）. A. S= S 1＋S 2＋S 3 B. S 1= S 2＋S 3 C. S= S 1＋S 2 C. S= S 1 4. 一辆公共汽车从车站开出，加出速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）. (A) 时间 速度 (B) 时间 速度
(C) 时间 速度0 (D) 时间 速度 5.如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分 的面积，验证了一个等式是（ ）. A. a 2 －b 2 =（a+b ）（a-b ） B. （a+b ）2 = a 2 +2ab+ b 2 C. （a-b ）2 = a 2 -2ab+ b 2 D.（a+2b ）（a-b ）= a 2+ab-2b 2 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图.你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的个数是( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 主视图 左视图 俯视图 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,则下列式子中不一定成立的是( ). A.sinA=sinB B. cosA=cosB C.sinA=cosB D. sin(A+B)=sinC 8.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中正号表示成绩大于18秒,负号成表示绩小于18秒,则这组女生的达标率是( ). A. 41 B.2 C.4 D.8 9.函数y=kx 和y=x k （k ﹤0）在同一坐标系中的图象是（ ）.
广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(1)
广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专) 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义，若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]g f x 为（ B ）. (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数 2．设函数()f x 是以3为周期的奇函数, 且(1)1f -=-,则(7)f =( A ) . (A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2- 3．设(0)0f =，且极限0()lim x f x x →存在，则0() lim x f x x →=（ C ）. (A) ()f x ' (B) (0)f (C) (0)f ' (D) 1 (0)2 f ' 4．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()<0f x '，若()>0f b ，则在(,)a b 内()f x （ A ）. (A) 0> (B) 0< (C) ()f x 的符号不能确定 (D) 0= 5．设()F x 是()f x 的一个原函数，则（ D ）. (A) ()d ()F x x f x =? (B) ()d ()F x x f x C =+? (C) ()d ()f x x F x =? (D) ()d ()f x x F x C =+? 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．极限201lim 1→?? -= ??? x x x 1 .
2．已知函数1 sin sin 33 y a x x =+（其中a 为常数），在3 x π =处取得极值，则a = 2 . 3．设1 ()ln ln 2f x x =-，则(1)f '= 1- . 4．设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定，求隐函数y 在0x =处的 导数0='=x y 1 . 5．4 1 -=? 62 5 . 三、(10分）设函数1sin , 0()e , x x x f x x x α β?>?=??+≤?，根据α和β的不同情况， 讨论()f x 在0x =处的连续性. 10 10 110 1 lim ()lim ()1,lim ()lim sin 0sin 1,lim 0,lim sin 0,lim ()=lim ()=(0)0=0lim sin lim sin 0lim ααα αββαβαα--+ +++-++++ →→→→→→→→→→→=+=+=>≤====
2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2017.4 本试题卷分填空题和解答题两部分。全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟 第1卷 填空题（共80分） 一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分） 1.设集合{|25},{|18}A x x a B x x =≤≤+=≤≤，满足A B ?，则实数a 的取值范围是___________. 2.设点O 是ABC ?的外心，13,12,AB AC ==则BC AO ? 为______________。 3.函数212 ()log (23)f x x x =-+的值域为_________________。 4.已知函数()sin cos()f x x x t =++为偶函数，且t 满足不等式2 340t t --<，则t 的值是________ 5.已知函数()f x 满足(1)(5)f x f x -=+,且方程()0f x =有5个不同的实根 12345,,,,x x x x x ,则12345x x x x x ++++=______________。 6.已知当6x π =时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图像的对称轴为_____________。 7. 00+的值等于___________。 8.设[]x 表示不超过x 的最大整数，r 为实数，且 17181997[][][][]3571000100010001000r r r r + +++++???++=.则[1000]r =_______。 9.已知平面向量,,a b c ，满足23||||4,2a b a b ==?= ，且()()0c a c b -?-= ，则1||2c b - 的最小值为_____________。 10.设函数2 ()26f x x ax a =-++的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个整数，则实数a 的取值范围_____。 第2卷（解答题，共120分） 二、解答题（本大题共5个小题，前三个小题每题20分，后两个小题每题30分，共120分） 11.已知实数t 满足关系式33log log (0,1)a t t y a a a a =>≠ （1）令x t a =，求()y f x =得表达式； （2）在（1）的条件下，若(0,2)x ∈时，min 8y =，求a 和x 的值。 12.已知0?π≤<，函数2())sin 2 f x x x ?=++的最大值是32。
浙江省初中数学竞赛试题
https://www.wendangku.net/doc/bc5099858.html, 浙江省初中数学竞赛试题 一、 选择题（共8小题, 每小题5分, 满分40分。以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项, 其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里, 不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1 x -图象的大致形状是（ ） A B C D 2．老王家到单位的路程是3500米, 老王每天早上7：30离家步行去上班, 在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。如果设老王步行的速度为x 米／分, 则老王步行的速度范围是（ ） A ．70≤x ≤87.5 B ．70≤x 或x ≥87.5 C ．x ≤70 D ．x ≥87.5 3．如图, AB 是半圆的直径, 弦AD, BC 相交于P, 已知∠DPB ＝60°, D 是弧BC 的中点, 则tan ∠ADC 等于（ ） A ． 1 2 B ． 2 C D 4．抛物线()2 0y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P, 那么该抛物线的顶 点坐标是（ ） A ．（0, －2） B ．19,24??- ??? C ．19,24??- ??? D ．19,24?? -- ??? y x O y x O y x O y x O
D C B A 5．如图, △ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝36°, CD 是角平分线, 则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（ ） A ． 22 B ．2 3 - C ．32 D ．33- 6．直线l ：() 0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点 恰好是（横坐标和纵坐标都是整数）, 那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 7．把三个连续的正整数a, b, c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入2 0x x ++=W W W 的三个方框中, 作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项, 使所得方程至少有一个整数根的a, b, c （ ） A ．不存在 B ．有一组 C ．有两组 D ．多于两组 8．六个面上分别标有1,1, 2,3, 3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示, 掷这个立方体一次, 记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标, 朝下一面的数主该点的纵坐标。按照这样的规定, 每掷一次该小立方体, 就得到平面内的一个点的坐标。已知小明前再次搠得的两个点能确定一条直线l , 且这条直线l 经过点P （4,7）, 那么他第三次掷得的点也在直线l 上的概率是（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．16 二、填空题（共6小题, 每小题5分, 满分30分） 9．若a 是一个完全平方数, 则比a 大的最小完全平方数是 。 10．按如图所示, 把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分, 则中间小正方形（阴影部分）的周长为 。 11．在锐角三角形ABC 中, ∠A ＝50°, AB ＞BC, 则∠B 的取值范围是 。 21 35 1 3 https://www.wendangku.net/doc/bc5099858.html,
原创!!全面大学生数学竞赛试题
2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：
lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界；
新时代杯—中小学生数学竞赛
新时代杯——中小学生数学竞赛关于举办第十六届“走进美妙的数学花园”系列主题活动暨首届“新时代杯”少年学生邀请赛，关于“新时代杯”的活动统一组织办法 活动由主办单位统筹安排，在各地以市、县（区）为单位成立地方组委会。各地方组委会在主办单位的授权和指导下，开展各地组织工作，包括宣传、报名、组织“新时代杯”少年数学邀请赛、组织趣味数学解题技能展示及数学创意小制作或数学建模小论文的撰写、组织参加其他各项展示活动等相关工作。 主办单位：少先队安徽省工作学会，安徽省青少年宫协会，安徽省校园文化发展研究中心 承办单位：安徽青年报—学生周刊，安徽省光正校园文化研究所 活动对象：小学三年级至初中二年级。 “新时代杯”少年数学邀请赛说明 1.时间：2018年1月14日（星期日） 上午三年级组、四年级组、七年级组：8:30-10:00 五年级组、六年级组、八年级组：10:30-12:00 2.内容：数学核心素养展示（笔试）。 3.区域：以学校为单位统一组织。 4.报名费用：免费参加。
5.报名方式：网络在线报名。报名通道为官方网站及官微,承办单位发放报名说明。 6.报名截止时间：2017年12月30日。 7.辅导资料：由承办单位统一整理提供，《大赛辅导专辑》定价15.00元。（不强制购买） 8.试题、考场及阅卷：由主办单位全省统一命题、印发试卷，考场在参赛学校安排，阅卷工作由承办单位集中进行。 9.成绩公布：活动成绩在承办单位官方网站及官微。 10.奖项说明：选取成绩为各组别参加活动的总人数前30%的学生（其中：一等奖5%。二等奖10%，三等奖15%），由安徽省组委会颁发“新时代杯”少年数学邀请赛获奖证书并入围全国趣味数学解题技能展示。 参加走美杯总决赛在“新时代杯”获奖的学生由安徽省组委会推荐到全国趣味数学解题技能展示（笔试：国家级比赛）。校园数学益智文化活动（学校社团活动）组委会将根据“趣味数学解题技能展示”阶段的学生获奖情况，在参加活动的学校择优组建成立“青少年数学社团”开展活动。（活动内容包括：数学文化节、数学智力运动会、数学建模等）。本次活动得到了安徽省各大初高中的重视，获奖学生将有机会直接通过自主招生进入名校。
全国高中数学联赛精选模拟试题一
最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则 （） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且 则a的值有（） （A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。 若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等 差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM
江苏省第十九届初中数学竞赛
江苏省第十九届初中数学竞赛 主办单位 江苏省教育学会中学数学专业委员会 江苏教育出版社 《初中生数学学习》编辑部 初二年级第1试 2004年12月5日 上午8：30～10：30 学校_______ 姓名_______ 成绩________ 一、选择题(每小题7分，共56分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内． 1．已知x 1，x 2， x 3的平均数为5，y l ，y 2，y 3的平均数为7，则2x l +3y l ，2x z +3y 2，2x 3+3y 3 的平均数为 ( ) (A)31 (B)331 (C)5 93 (D)17 2．在凸四边形ABCD 中，AB=BC=BD ，∠ABC =700，则∠ADC 等于 ( ) (A)1450 (B)1500 (C)1550 (D)1600 3．如图，△ABC 为等边三角形，且BM=CN ，AM 与BN 相交于点P ，则∠APN ( ) (A)等于700 (B)等于600 (C)等于500 (D)大小不确定 4．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图(1)、图(2)所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置 ( ) (A)3个球 (B)4个球 (C)5个球 (D)6个球 5．已知一列数a l ，a 2，a 3，…，a n ,…中，a 1=O ，a 2=2a l +1，a 3=2a 2+1，…，a n+l =2a n +l ，…．则a 2004-a 2003的个位数字是 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 6．在0，1，2，3，…，100这101个整数中，能被2或3整除的数一共有 ( ) (A)85个(B)68个 (C)34个(D)17个 7．如果每1秒钟说一个数，那么说1012个数需要多少时间?下面的估计最接近的是 ( ) (A)32年 (B)320年(C)3千2百年 (D)3万2千年 8．如图是3~3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD 的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD 中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如 就视为同一种图案，则不同的涂法有 ( )
山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案
山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分.
学用杯数学竞赛卷及答案
2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛 八 年 级 决 赛 试 题 （2013年3月17日9:30---11:30 时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分） （请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．已知式子 1 ||) 1)(8(-+-x x x 的值为零，则x 的值为（ ） A 、8或-1 B 、8 C 、-1 D 、1 2．若01<<-a ，那么)1)(1(a a a +-的值一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、正负数不能确定 3．定义：),(),(a b b a f =，),(),(n m n m g --=，例如)2,3()3,2(=f ，)4,1(--g )4,1(=，则))6,5((-f g 等于（ ） A 、)5,6(- B 、)6,5(-- C 、)5,6(- D 、)6,5(- 4．已知5=-b a ，且10=-b c ，则ac bc ab c b a ---++2 2 2 等于( ) A 、105 B 、100 C 、75 D 、50 5．有面额为壹元、贰元、伍元的人民币共10张，欲用来购买一盏价值为18元的护眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付款方式有（ ） A 、8种 B 、7种 C 、4种 D 、3种 6．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和102，那么这个三角形的斜边长为( ) A 、10 B 、104 C 、13 D 、132 7．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于点F ，垂足为E ，则下面结论： ①AD BF =； ②BF =AF ； ③AC CD AB +=； ④BE CF =； ⑤AD =2BE ． 其中正确的个数是（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1
2019-2020年初中数学竞赛模拟试题
2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标 准 The latest revision on November 22, 2020
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为 AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m =（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1 2 BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则 AE AC =（ ） A ．2 5 B ．3 5 C ． 3 7 D ． 47 4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ） A ．23 B ．22 C ．4 D ．31+ 5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ， 有（ ） H O B C A （第4题图） （第2题图） E G B D （第3题图）
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