学案20 幂函数

幂函数教学设计

2.3幂函数教学设计 教材分析： 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。 教学目标 知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析 情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。 重难点 重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质 难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律 教学方法与手段 借助多媒体，探究+反思+总结 教学基本流程

教学过程设计： （一）实例观察，引入新课 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里 p 是w 的函数； (2) 如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数； (3) 如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数； (4) 如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a=12 S ，这里a 是S 的函数； (5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=t -1，这里v 是t 的函数. 若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是: x y = 2x y = 3 x y = 2 1 x y = 1-=x y 【师生互动】： 以上问题中的函数有什么共同特征？ 都是函数; 均是以自变量为底的幂; 指数为常数; 自变量前的系数为1; 幂 前的系数也为1 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般 特征. （二）类比联想，探究新知 1、幂函数的定义 幂函数的概念：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

人教新课标版数学高一必修1学案 2.3幂函数

2.3 幂函数 自主学习 1．掌握幂函数的概念． 2．熟悉α＝1,2,3，1 2，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质． 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题． 1．一般地，幂函数的表达式为________________；其特征是以幂的________为自变量，________为常数． 2．幂函数的图象及性质 在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x － 1的图象如图．结合图象， 填空． (1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义． (2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________． (3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴． (4)当α为奇数时，幂函数图象关于________________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称． (5)幂函数在第________象限无图象． 对点讲练

理解幂函数的概念 【例1】 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 规律方法 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 变式迁移1 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1 m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 幂函数单调性的应用 【例2】 比较下列各组数的大小 (1) 3－52与3.1－52；(2)－8－7 8与－????1978. 规律方法 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．

高一数学【幂函数】课堂学案

高一数学课堂学案 班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号必修1-32 第 1 页

问题2.幂函数的概念是什么？ 问题3．由上面幂函数的图象，归纳幂函数的共同性质：y xα = 在幂函数中： （1）= αα + ∈ 如果是正偶数（2n,n N）这一类函数具有哪些性质？ （2）=- αα + ∈ 是正奇数（2n1,n N）呢？ （3）[) 0,,101 xαα ∈+∞><< 与的图像有何不同？ 二、基础自测 1．下列函数中，是幂函数的是（） A．x2 y=B．3x2 y=C． x 1 y=D．x2 y= 2．已知某幂函数的图象经过点)2 ,2(，则这个函数的解析式为___________. 3.函数3 1 x y=的图象是() 4．下列结论正确的是（） A．幂函数的图象一定过点（0，0）和（1，1） B．当0 < α时，幂函数αx y=是减函数，当0 > α时，幂函数αx y=是增函数C．幂函数() y x R αα =∈是奇函数，则() y x R αα =∈是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 合作互学： 请同学们相互讨论，解决自学过程中的疑问．小组长汇总，将合作讨论中没有解决的 问题和新生成的问题提交课代表． （微课：1-31 幂函数） 第 2 页 训练展示学案

第 4 页在线测学： 1、下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（）

A 、3 x y = B 、2 x y = C 、x 1 y = D 、23 x y = 2、已知函数p q y x =（,p q 是互质的整数）图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数，则( ) A 、p 是奇数，q 为偶数，且0pq < B 、p 是奇数，q 为偶数，且0pq > C 、p 是偶数，q 为奇数，且0pq < D 、p 是偶数，q 为奇数，且0pq > 3、当10<> A C D

幂函数教案

幂函数教案

教学设计 一、教学过程： （一）教学内容：幂函数概念的引入。 设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动： 教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克，老师总共需要花的钱P是多少？ 教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？ 教师：回答的非常正确。面积S= 2 a. 下面的 问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？ 教师：对。正方体的体积V= 3 a。第四个问题，

如果已知一个正方形面积等于S，那么这个正方形边长a等于多 少了？ 教师：非常正确。通过前面对指数幂的学习，根式与分数指数幂是可以相互转换的，所以根号下S就等于S 的二分之一次方。那么我们的边长a=12S。最后一个问题，认真 听，某人s t内骑自行车行进了1KM，那他的平均速度v等于多少？ 教师：回答非常正确。因为我们知道v×t=s 所以v=1 =1t 。好，现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达 t 式，我们可以看出第一个表达式中P是W的函数，那第二个表达式了？ 教师：非常好，第三个表达式了？ 教师：第四个表达式了？ 教师：第五个了？ 教师：大家回答得非常正确。如果将上面的函数自变量全用x代替，函数值全用y来代替，那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。 教师：第二个表达式？ 教师：第三个表达式？ 教师：第四个表达式？ 教师: 第五个表达式？ 教师：回答的非常好。那现在请同学们仔细观察老师用x，y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请

高中数学《幂函数》学案5 湘教版必修1

幂函数 重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念； ②结合函数1 2 3 21,,,,y x y x y x y y x x ==== =的图像，了解他们的变化情况． 知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧， 图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习： 1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2 (2,)，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21 m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.53 1，1.73 1，1； （2）（－ 22 ） 3 2- ，（－ 107 ）3 2，1.1 3 4- ； （3）3.832-，3.952，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5 . 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．

第二章《幂函数》学案

§2.3 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α 前的系数为1，项数只有1项． 要注意幂函数与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量． 2．五个具体幂函数的图象与性质 当α＝1,2,3，1 2 ，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示． 结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下： (1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴； (4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝1 2 时， 幂函数既不是奇函数也不是偶函数． 说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型 题型一 理解幂函数的图象与性质 下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1,3，12 时，幂函数y ＝x α 是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α 在定义域上是减函数 解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1 的图象不通过原点，故选项A 不正确；因 为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象

幂函数学案

幂函数 学习目标:了解幂函数概念;会画常见幂函数的图象;结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1／2 的图象了解 幂函数图象的变化情况和简单性质;会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念 学习难点：简单的幂函数的图像性质。函数奇偶性的判断 学习过程： 一 探究新知 1.写出下列y 关于x 的函数解析式:正方形边长x 、面积y;②正方体棱长x 、体积y;③正方形面积x 、边长y;④某人骑车x 秒内匀速前进了1m,骑车速度为y;⑤某人购买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付的钱数y.上面5个函数是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？ 2.幂函数的定义：一般地，函数y=x a 叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 练习:（1）①y=1／x 3②y=2x 2③y=x 2+x ④y=0.2x ⑤y=x 0 ⑥y=1属于幂函数的是_________. （2）若函数f(x)=(a 2-3a-3)x 2 是幂函数，则a 值为________. 3.幂函数的图象与性质,由幂函数y ＝x 、y ＝12 x 、y ＝x 2 、y ＝x －1 、y ＝x 3 的图象，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在__________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；(4)当a<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________. 4.幂函数的比较 ①幂函数的图象比较 ②函数y ＝x ，y ＝x 2，y=x 3,y=x 0.5 ,y ＝1x (x≠0)的图象和性质

高中数学必修1幂函数学案

幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 ; 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x =； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. ` 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 22 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 | 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗 （1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， ` （4） α<0时， 4.研究函数1 2 132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表：

课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ； （2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； — （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 32 x y =（2）23x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6） 2 3x y - =（7）5 3- =x y

《幂函数》教学设计

《幂函数》教学设计 克山一中吴雅杰 一、设计构思 1、设计理念 注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。 注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。 注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。 注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。 2、教材分析 幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该内容安排一课时。 3、教学目标的确定 鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标： ⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 ⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

高中数学必修1幂函数学案

幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x = ； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 2 2)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗

（1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， （4） α<0时， 4.研究函数1 2 13 2 x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表： 课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ；

（2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 3 2 x y =（2）2 3x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6）2 3x y - =（7）5 3- =x y

高三数学一轮复习学案：幂函数

高三数学一轮复习学案：幂函数 一、考试要求： 理解幂数函数的概念与意义，能画出具体幂数函数,,,32x y x y x y ===2 1 x y =21,--==x y x y 的图像，探索并理解幂数函数单调性与特殊性。 二、知识梳理： 1、函数 叫做幂函数，幂函数的图像都通过点 2、幂数函数,,,32x y x y x y ===2 1 x y =21,--==x y x y 中， 为奇函数的是 ；为偶函数的是 定义域为 R 的是 ；定义域为[)∞+，0的是 在第一象限是增函数的是 是减函数的是 3、幂函数的性质 （1）当0>α时，幂函数有下列性质； （1） （2） （3） （4） （2）当0<α时，幂函数有下列性质； （1） （2） （3） （4） 三、基础检测： 1、已知函数m x m m x f m ,)1()(352----=为何值时，:)(x f （1）是正比例函数 （2）是反比例函数 （3）是二次函数 （4）是幂函数 2、当x ()∞+∈，0时，幂函数,)1()(352----=m x m m x f 为减函数时，则实数m 的值为 3、点()22，在幂函数)(x f 的图像上，点)4 1,2(-在幂函数)(x g 的图像上，当x 为何值时，有)()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f <=>

4、已知幂函数)(322+--∈=N m x y m m 的图像关于y 轴对称，且在()∞+，0上是减函数，则满足33)23()1(m m a a ---<+的a 的取值范围 5、已知Z n x x f n n ∈=++-321 )(的图像在[)+∞,0上是单调递增，则不等式)3()(2+>-x f x x f 的解集为 6、下列函数中，既是奇函数又是区间()∞+，0上的增函数的是（ ） A 21x y = B 1-=x y C 3x y = D x y 2= 7、已知10,)(2 1<<<=b a x x f 若，则)1(),1(),(),(b f a f b f a f 的大小关系式 8、已知313432)21(2,)21(===-c b a ，则a,b,c 的大小关系为 9、（2011聊城模拟）已知幂函数)()(12)(++∈=-N m x x f m m （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性 （2）若该函数还经过点() 2,2，，试确定m 的值，并求满足条件)1()2(->-a f a f 的实数a 的取值范围 10、画出函数23x y =和32x y =的草图，并探讨该函数的定义域值域，奇偶性，单调性

高中数学必修1 幂函数学案

3.3幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1y x =； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数322 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗？ （1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， （4） α<0时， 4.研究函数12132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表：

课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ； （2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0, )+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1=在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 32x y =（2）23x y =（3）53x y =（4）0x y =（5）32-=x y （6）23x y -=（7）53-=x y

幂函数的概念学案

2.3.1 幂函数的概念 【学习目标】 知识与技能 通过具体实例明白幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 【学习重点】幂函数的概念与性质. 【难点提示】幂函数的指数对幂函数性质的影响，体会图象的变化规律. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7783P -结合进行自主学习（对教材中的文字、 图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 在初中，我们已经学习了函数：x y x y x y 1 ,,2 = ==等函数的图像；并在前面的学习中我们研究了这些函数共同的性质，如：单调性、奇偶性等，请同学们完成下列问题： 1.用描点法在同一坐标系下画出上面函数的图像，并指出它们有什么共同特点？ 2.回顾函数性质主要有哪些内容？指对函数的概念及其性质是怎样的？ 二、探究新知 1.幂函数的定义 ●阅读思考 请读阅下面5个例子（教材77P （1）～（5））： (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；(2)如果一个正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2 ，这里S 是a 的函数； (3)如果一个立方体的边长为a ，那么立方体的体积V ＝a 3 ，这里V 是a 的函数； (4)如果一个正方形的面积为S ，那么这个正方形的边长12 a s =，这里a 是S 的函数； (5)如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝t -1 km/s ，这里v 是t 的函数. 请思考以下问题，问题1：每个例子的自变量是什么？ 问题2：每个例子中的函数关系哪些是我们已经研究过的？ 问题3：这5个实例中的函数关系有哪些共同特征？ ●归纳概括 由教材中5个例子，观察其表达式的结构特征，你能从这几个函数抽象出一个更一般的函数式，并给它取个名字吗？ 幂函数的概念： ●快乐体验 判断下列函数是否是幂函数？（1）x y 2=； （2） x y 2=； （3）3 )1(--=x y ； （4）2 1 2x y =； （5）10 x y = ． 解： ●挖掘拓展（1）幂函数有何数量特征？（链接1） 3 (6)2y x =+

幂函数导学案

§2.3 幂函数 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. （预习教材P 77~ P 79，找出疑惑之处） 复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数. 复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式． 任务二、新课导学 探究任务一：幂函数的概念 问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 新知 1、幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 试一试：判断下列函数哪些是幂函数. ① 1 y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =. 探究任务二：幂函数的图象与性质 问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．

说明： ② 除函数12y x =外，其余四个幂函数具有奇偶性 ②在第一象限内，函数1 y x -=的图像向上与y 轴无限接近，我们称x 轴y 轴为渐近线 结合以上特殊幂函数的图像得出 一般幂函数的性质 （1）所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都通过点(1,1) （2）若0α>，则幂函数的图像都过原点，并且 在区间[0,)+∞上为增函数 （3）若0,α<则幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点 时，图像在 y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞ 时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴 （4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表： 常见幂函数的性质 例1、已知幂函数2 1 2 1 (22)23m y m m x n -=+-+-，求,m n 的值 例2、已知函数22 1 ()(2),m m f x m m x m +-=+?为何值时，()f x 是： （1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数

幂函数学案3节

第4章幂函数、指数函数和对数函数 4.1幂函数的性质与图象（1） 【教学目标】 1、 在理解幂函数概念的基础上，通过对幂函数性质的研究，学生学会研究简单函数的基本思路与 基本方法。 2、 在研究幂函数性质的基础上，学生体验根据函数的性质用描点法作出函数的大致图象，并理解 作幂函数图象的一般过程，培养学生数形结合的思想。 3、在探究幂函数性质与图象过程中，学生逐步锻炼从特殊到一般、从观察到归纳的数学能力。 【教学重点】幂函数的性质与图象 【教学难点】幂函数性质的总结 【新知学习】 引入：函数反映了客观世界中变量间的相互关系。通过上一章对函数定义域、值域的确定，函数的 奇偶性、单调性和最值的讨论，使我们初步了解了研究一个函数的基本内容和思想方法。 问题：1）在初中阶段我们学过哪些函数？ 正比例函数(1x y =)，反比例函数(1-=x y )， 二次函数(2x y =)， 2）这三个函数是否可以写成统一的形式呢？}2,1,1{,-∈=k x y k 3）若我们将k 推广到有理数，我们又可以得到哪些新的函数呢？ 函数2 1x y = ，3 2x y = 等等。——引出幂函数 幂函数：一般地，函数k x y =（k 是常数，Q k ∈）叫做幂函数。 问题：1）为什么k 属于Q ，而不是R 呢？ 在初中阶段我们学过的指数运算都是在有理数范围内运算的。 2）下面哪些是幂函数？ ①x y 2= ②x y 2= ③2 3- =x y ④3 2x y = ⑤2 1x y = ⑥22-=x y (7) y=x 3 +2；(8) y= -x 2 总结判断一个函数是幂函数要求： ①底数都是自变量x ②指数是常量 ③ 幂的系数是1 ④函数为单项式 2 21 ()(2)m m f x m m x +-=+?练习1：已知函数，m 为何值时，()f x 是 正比例函数？反比例函数？幂函数？ 练习2：求过点 (2的幂函数解析式 下面我们就选择几个有代表性的k 值，来讨论这些函数的性质。 ● 探究实践 1．研究函数2 3-=x y 的定义域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图象。

高一数学幂函数学案

高一数学幕函数学案 【学习目标】 I 1.明白得幕函数的概念，会画函数y = x, y = x2, y = x3, y = y = 的图象. 2、了解幕函数的图象，明白得幕函数图象的变化情形和性质，并能进行简单的应用. 【自主学习】 1.一样地, ___________ 叫做幕函数，其中_是自变量, ________ 是常数. 2.幕函数y = 图象过定点___________ 3.幕函数y = ，当a > 0时，图象在第一象限单调递 _______ ;当a v0时，图象在第一象限单 调递—、向上与______ 轴无限接近，向右与_____ 轴无限接近. 【自主探究】 1?请在同一坐标系内作岀幕函数y = x, y = x2, y = x3, y = y = x?的图象. 2321 【合作探究】 1.依照上表的内容并结合图象，试总结函数y = x； y = x2； y = x3： y = y = x2 的共同性质.

2、探究幕函数y = x a 的性质和图象的变化规律 【自主评判】 1.在以下函数中，定义域为R 的是( ) A.y = x 2 B. y = C. y = 2v D. y = x"1 i 2 i 2 i 1 2-若7；=(-)\T 2=(-)3,7；=(-)\ 则( ) 4. T }

幂函数教案

2.3 幂函数 教学分析 一、教学目标： 1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?， -1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。 2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论， 培养学生的发现问题，解决问题的力。 二、教学重难点： 重点：幂函数的定义，图象与性质。 难点：幂函数的图象与性质。 三、教学准备： 教师：将幂函数 1 231 2 ,,,, y x y x y x y x y x- =====图象提前画 在小黑板上。 四、教学导图:

教学设计 一、教学过程： （一）教学内容：幂函数概念的引入。 设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动： 教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克，老师总共需要花的钱P是多少？ 教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？ 教师：回答的非常正确。面积S=2 a. 下面的问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？ 教师：对。正方体的体积V= 3 a。第四个问题，

高一数学幂函数学案

高一数学幂函数学案 【学习目标】 1、明白得幂函数的概念，会画函数x y =，2 x y =，3 x y =，1 -=x y ，2 1x y =的图象. 2、了解幂函数的图象，明白得幂函数图象的变化情形和性质，并能进行简单的应用． 【自主学习】 1.一样地, 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数. 2.幂函数y x α =图象过定点 3.幂函数y x α=,当0α>时,图象在第一象限单调递 ;当0α<时,图象在第一象限单调递 ,向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近. 【自主探究】 1.请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2 x y =，3 x y =，2 1 x y =，1 -=x y 的图象. 2.函数x y =； 2x y =；3x y =； 2 1 x y =； 1 -=x y 的性质 x y = 2x y = 3x y = 21 x y = 1-=x y 定义域 值 域 奇偶性 单调性 定 点 1、 依照上表的内容并结合图象，试总结函数x y =； 2 x y =； 3 x y =；1 -=x y ； 2 1x y =的共同性质. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … x y = … … 2x y = … … 3x y = … … 2 1x y = … … 1-=x y … …

2、 探究幂函数y x α =的性质和图象的变化规律 【自主评判】 1．在以下函数中,定义域为R 的是( ) 3312 . . . 2 . x A y x B y x C y D y x -==== 2．221 333123111 (),(),()252 T T T ===若,则（ ） 123312231213....A T T T B T T T C T T T D T T T <<<<<<<< 3. 幂函数3 5 [1,1]y x =-在上是（ ） A.增函数且是奇函数 B. 增函数且是偶函数 C. 减函数且是奇函数 D. 减函数且是偶函数 4．如下图，曲线C 1、C 2、C 3、C 4为幂函数 αx y =在第一象限内的图象，α 取43 12 34 -，，，四个值，那么相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的 解析式中的指数α依次可取〔 〕 4343 .12.213434 3443 .21.12 4334 A B C D ---- ，，， ，，， ，，， ，，， 1 ()(9,),(25)3y f x f =5.若幂函数的图象经过点求的值. C 1 C 2 C 3 C 4

高中数学必修1幂函数学案

幂函数(学案) 学习目标 1. 理解幕函数的概念，能区分什么样的函数是幕函数； 2. 体会幕函数在第一象限内的变化规律； 3?借助解析式研究幕函数的性质，并能根据性质作出幕函数的图象; 学法指导 自学课本108页—— 109页例1上方。 通过课本引例，体会幕函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：扌旨数决定曲线的趋势。 注：幕函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1:判断下列函数哪些是幕函数 ________________ . __________ 1 ①y — ； ②y x 2 2x ； 3 ③y x x ；④ y 1 ； ⑤ y 0.2x ； ? y 1 5 x ； ⑦y x 3—2 ； ⑧ y x . 练习2 :已知某幕函数的图象经过点 （2,、 2）, 则这个函数的解析式为 2 练习3:函数f(x) (m 2 m 1)x m m 3是幕函数，求其解析式。 2.根据课本引例，你能总结出幕函数的图象在第一象限内的变化规律吗？ (1) 0< <1时， _______________________________ (2) =1时， _____________________________ (3) >1时， _____________________________ (4) <0时， _____________________________ 4.研究函数y x, y x 2,y x 3, y x 2, y x 1的性质，完成下表: 自学检测 1.幕函数的定义：一般地，形如 ____________ 的函数称为幕函数，其中 为常数.

高中数学《幂函数》导学案

1.幂函数的定义 □1一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数y＝xα与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的区别 幂函数□2y＝xα的底数为自变量，指数是常数；指数函数正好相 反，指数函数□3y＝a x中，底数是常数，指数是自变量．3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x 1 2 ，y＝x－1的图象(如图)． 它们的性质如下表．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3＋2是幂函数．() (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．() (3)指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)若y＝mxα是幂函数，则m＝________. (2)(教材改编P79T1)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.

(3)若y＝ax a是幂函数，则该函数的值域是________．答案(1)1(2)－8(3)(－∞，＋∞) 『释疑解难』 (1)幂函数的图象大致分为下表中的几类：

(2)幂函数与指数函数的区别

探究1 幂函数的定义 例1 (1)在函数①y ＝1 x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2， ⑥y ＝x －12 中，是幂函数的是( ) A ．①②④⑤ B ．③④⑥ C ．①②⑥ D ．①②④⑤⑥ (2)已知幂函数y ＝(m 2 －m －1)x m 2 －2m －3 ，求此幂函数的解析式，并 指出其定义域． 解析 (1)幂函数是形如y ＝x α(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－1 2的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数． (2)∵y ＝(m 2 －m －1)x m 2 －2m －3 为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．