研究生应用数理统计简述题及答案

1.参数的点估计的类型、方法、评价方法。

（1）点估计（2）区间估计

点估计法：a ，矩估计法。基本思想：由于样品来源于总体，样品矩在一定程度上反映了总体矩，而且由于大数定律可知，样品矩依概率收敛于总体矩。因此，只要总体x 的k 阶原点矩存在，就可以用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量。b ，极大似然估计法。基本思想：设总体分布的函数形式已知，但有未知参数θ,θ可以取很多值，有θ的一切可能取值中选一个使样品观测值出现概率最大的值作为θ的估计

量，记作 θ

，并称为θ的极大似然估计值，这叫极大似然估计法。 2.方差分析的目的及思想（结合单因素）。

目的：通过分析，判定某一因子是否显著，当因子显著时，我们可以绘出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。思想：检验1μ=2μ=… …γμ是通过方差的比较来确定的，即要考虑均值之间的差异，差异产生来自两个方面，一是由因数中不同水平造成的，称为系统性差异；二是由随机性产生的差异。两方面的差异用两个方差来计量，一个称水平之间的方差（既包括系统因数，又包括随机性因数）；一个称为水平内部方差（仅包括随机因数）。如果不同的水平对结果没有影响，两个方差的比值会接近于1；反之，则两个方差的比值会显著地大于1很多，认为HO 不真，可作出判断，说明不同水平之间存在着显著性差异。

如果方差分析只对一个因数进行单因数方差分析,单因数方差分析所讨论的是在一个总体标准差皆相等的条件下，解决一个总体平均数是否相等的问题。

5.简述正交实验设计中的数据分析方法

方法：极差分析法和方差分析法。

极差分析法步骤：（1）定指标，确定因数，选水平（2）选用适当的正交表，表头设计，确定实验方案；（3）严格按要求做实验，并记录实验结果；（4）计算i 个因数的每个水平的实验结果和极差（同一因数不同水平的差异），其反映了该因数对实验结果的影响大小；（5）按级差大小排列因数主次；（6）选取较优生产条件（7）进行实验性试验，做进一步分析。 方差分析法：思想：将数据的总偏差平方和分解为因数的偏差平方和与随机误差的平方和之和，用各因数的偏差平方和与误差平方和相比，做一下检验，即可判断引述的作用是否显著，这里用方差分析的思想来处理有正交表安排的多因数实验的实验结果，分析各因数是否存在显著影响。

6主成分分析的基本思想。

主成分分析是从总体的多个指标中构造出很少几个互不相关的综合指标，且使这几个综合指标尽可能充分的反映原来各个指标的信息。即主成分分析是一种把原来多个指标化为少数几个互不相关的综合指标的一种统计方法。

它的目的是力求数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理。即用原来变量的少数几个线性组合（称为综合变量）来代替原变量，以达到简化数据，揭示变量之间关系和进行统计解释的目的。

7、典型相关分析

答：考虑X 的综合指标（X 的线性函数）与y 的综合指标之间的相关性程度来刻画X 与Y 的相关性，即把两组变量的相关变为两个新变量（线性函数）之间的相关来进行讨论，同时又尽量保留原来变量的信息，或者说，找X 的线性函数和Y 的线性函数，使这两个函数具有最大的相关性。称这种相关为典型相关，称形式的两个线性函数即两个新的变量为典型变

量，继而还可以分别找出X与Y的第二对线性函数，使其与第一对典型变量不相关，而这两个线性函数之间又具有最大的相关性，如此继续进行下去，直到两组变量X与Y之间的相关性被提取完毕为止，这就是典型相关分析的基本思想。总之，典型相关分析是揭示两个因素“集团”之间内部联系的一种数学方法。

8、贝叶斯判别法

答：贝叶斯判别是根据先验信息使得误判所造成的平均损失达到最小的判别法。假定对研究对象已有一定的认识，常用先验概率分布来描述这种认识，然后我们取得一个样本，用样本来修正已有的认识（先验概率分布）得到后验概率分布，各种统计推断通过后验概率分布来进行，将贝叶斯思想用于判别分析就得到贝叶斯分布。

9、聚类，分类

答：聚类分析是研究对样品或指标进行分类的一种多元统计方法，分类是将一个观测对象指定到某一类（组）。分类问题可分为两种：一是将一些未知类别的个体正确地归属于另外一些已知类中的某一类，另一种是事先不知道研究的问题应该分为几类，而是根据统计分析建立一种分类方法，并按接近程度对观测对象给出合理的分类，这一类问题即是聚类分析所要解决的问题。

聚类分析根据分类对象的不同分为R型和Q型两大类。R型是对变量（指标）进行分类，Q 型是对样品进行分类；R型聚类分析的目的是（1）可以了解变量间及变量组合间的亲疏关系。（2）对变量进行分类。（3）根据分类结果及它们之间的关系，在每一类中选择有代表性的变量作为重要变量，利用少数几个重要变量进一步作分析计算；Q型聚类分析的目的主要是对样品进行分类。

10、线性回归分析的主要内容及应用中应注意的问题

答：线性回归分析根据预报变量的多少可分为一元线性回归、多元线性回归。主要研究内容包括如何确定响应变量和预报变量之间的回归模型，如何根据样本观测值进行参数估计并检验回归方程和回归系数的显著性；从众多的预报变量中，判断哪些变量对响应变量的影响时显著的，哪些变量的影响是不显著的；根据预报变量的已知值或给定值来估计和预测响应变量的平均值并给出预测精度。

怎样选择自变量，即能使回归方程有高的精确性，又不含非显著因子，这是线性回归分析在应用中应注意的问题。

（1）要从全部因子的所有可能的组合组成的回归方程中，挑选平均残差平方和小，负相关系数大，自变量个数较少的方程，作为方程。

（2）采用逐步回归法。

11、系统聚类法的算法思想及步骤

答：算法思想：（1）首先将每个样品各视为一类，定义类与类之间的距离，将距离最短的两类合并为一个新类（2）再计算新类与其他类之间的距离，将距离最短的两类再合并为一个新类。如此进行下去，直到所有样品全部合并为一个大类为止，最后再根据事先给定的分类临界值，确定分类，一般步骤为：（1）计算样品两两之间的距离；（2）将每个样品各作为一类；（3）将距离最近的两类合并为一个新类；（4）若类的个数等于1，则转向步骤5，否则转向步骤3；（5）记录下全部合并过程，画类聚图；（6）根据给定的分类临界值，确定最终分类结果。

12、如何看待多元统计分析方法在实际数据处理中的作用和地位

答：多元统计分析方法在实际数据处理中有着重要的作用。它不仅可以通过观察值对总体进行参数估计和假设检验，还可以通过相应的方法达到数据化简，分类和研究变量间依赖关系的目的，并能预测变量间关系，提出检验假设等目的。目前在医学、教育学、社会学、地质学、考古学、环境保护等各个领域有极其广泛的作用。

《应用数理统计》期末考试-2011

《应用数理统计》期末考试试题 （2011-11-26上午8：30—10：30） 学院： 学号： 姓名： 注意：所有题目答案均做在答题纸上，该试卷最后随答题纸一同上交，否则成绩无效。 1、（20分）设总体X 服从正态分布(0,1)N ，12,X X 为来自总体X 的简单样本，设112212; Y X X Y X X =+=-。 （1）求二维随机变量12(,)Y Y 的联合密度()21,y y f ； （2）分别求12,Y Y 的边缘密度函数()()2121,y f y f Y Y ； （3）12,Y Y 是否独立？说明根据。 （4）叙述2χ分布的构造性定义。能否通过取适当的常数c ，使得2212()c Y Y +服从2χ分布？若可以，求出c ，并写出所服从的2χ分布的自由度。 2、（20分）设12,,,n X X X 是来自正态总体() 2~0,X N σ的简单样本，记 22221 21111??();1n n i i i i X X X n n σσ===-=-∑∑，其中11n i i X X n ==∑， （1）证明：21?σ是2 σ的渐近有效估计量； （2）证明：22?σ是2 σ的有效估计量； （3）试分别以21?σ，22?σ为基础构造2 σ的两种1α-置信区间。你认为你得到的哪个估计区间会更好一些？为什么？ 3、（20分）（1）简述假设检验的一般步骤； （2）某厂生产一批产品，质量检查规定：若次品率0.05p ≤，则这批产品可以出厂，否则不能出厂。现从这批产品中抽查400件产品，发现有30件是次品，问：在显著性水平0.05α=下，这批产品能否出厂？若取显著性水平0.02α=，会得出什么结论？α是越小越好吗？对你的答案说明理由。 要求：将此问题转化成统计问题，利用所学知识给出合理的、令人信服的推断，推断过程的每一步要给出理由或公式。分位点定义如下： 若随机变量W ，对任意的()1,0∈α，有()α=≤x W P ，称x 为W 的α分位点，记作αx 。

《应用数理统计》吴翊李永乐第三章 假设检验课后作业参考答案

第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。

应用数理统计试题库

一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本， 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ， ~1 2 X F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2 σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时， ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x ， 则0x βα+~ () 2 0201,x x N x n Lxx αβσ?? ? ?- ???++ ??? ?????? ? 。 5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为?λ ＝ 。 6．设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的 置信区间为 ()()()()22 2212211,11n S n S n n ααχχ-??--????--???? 。 7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑??? ? ??=8221, 10μ 令Y ＝X Y Y ???? ??=???? ??202121，则Y 的分布为 ()12,02T N A A A A μ??= ??? ∑ 。 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）： 表2 极差分析数据表

应用数理统计课后习题参考答案

习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中

样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量：

应用数理统计(武汉大学研究生)2009-2010试题

武汉大学2009－2010年度上学期研究生公共课 《应用数理统计》期末考试试题 （每题25分，共计100分） （请将答案写在答题纸上） 1设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为 ?????<<=其它0 01)(θθx x f n X X X ,,,21" 为样本， （1）求θ的矩估计量1?θ和最大似然估计量2 ?θ； （2）讨论1?θ、2?θ的无偏性，1?θ、2?θ是否为θ的无偏估计量？若不是，求使得i c ?i i c θ为θ的无偏估计量，； 1,2i =（3）讨论1?θ、2 ?θ的相合性； （4）比较11?c θ和22?c θ的有效性. 2. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X 得到两组数据，经对其作相应运算得 2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s == 假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=， （1）．在显著性水平0.10α=下，能否认为2212σσ=？ （2）．求12μμ?的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。 3.设是来自正态总体的样本, 总体均值n X X X ,,,21"),(2 σμN μ和方差未知，样本均值和方差分别记为2σ2211 11,(1n n i i i i )X X S X X n n ====?∑∑?

（1） 求2211 (n i i X )μσ=?∑的分布； （2）若0μ=，求212212()() X X X X +?的分布； （3）方差的置信度为12σα?的置信区间的长度记为L ，求()E L ； （4）1n X + 的分布。 4.为进行病虫害预报, 考察一只红铃虫一代产卵量Y (单位：粒)与温度x （单位：）的关系, 得到资料如下： C 0x 18 20 24 26 30 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 假设Y 与x 之间有关系 bx Y ae ε+=, . ),0(~2σεN 经计算：26.43x =，ln 3.612y =，，， 7215125i i x ==∑721(ln )102.43i i y ==∑7 1ln 718.64i i i x y ==∑（1）求Y 对x 的曲线回归方程； x b e a y ???=（2）求的无偏估计； 2σ2?σ （3）对回归方程的显著性进行检验（05.0=α）； （4）求当温度0x =33时,产卵量的点估计。 0Y 可能用到的数据： 0.02282z =，()()0.050.057,8 3.50,8,7 3.73F F ==，()0.0515 1.7531t =，，，，0.025(5) 2.5706t =0.05(5) 2.015t =0.025(7) 2.3646t =0.05(7) 1.8946t =，0.05(1,5) 6.61F =， 0.05(1,7) 5.59F =

北航应用数理统计考试题及参考解答

北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β 的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .

北航2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)

2014－2015 学年 第一学期期末试卷答案 学号 姓名 成绩 考试日期： 2015年1月13日 考试科目：《应用数理统计》（B 层） 一、填空题（本题共16分，每小题4分） 1．设122,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，则c = n m m - 时，统计量2 22112 2211 ()()m k k k n k k k m x x c x x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。 2. 设12,,n x x x ，是来自正态总体2 (0,)N σ的简单样本，用2 2 21 1?()n i i nx x n σ ===∑估计2σ，则均方误差2222?()E σσ σ- 42σ 。 3．设总体X 的密度函数为22 ,[0,] (;)0, [0,]x x p x x θθθθ?∈?=????，其中0θ>，12,,,n x x x 是 来自总体X 简单样本，则2()q θθ=的矩估计?q = 2 94 x 或2 1 2n i i x n =∑ 。 4．在双因素方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为 T A B A B e S S S S S ?=+++ 其中2 111 ()p q r e ijk ij i j k S x x ?====-∑∑∑，11r ij ijk k x x r ?==∑， 则e S 的自由度是 (1)p q r - 或n pq -，其中n pqr = 。

二、（本题12分）设总体X 的密度函数为111,(0,1) (;)0,(0,1)x x f x x θ θθ-?∈?=???? ，其中0θ>， 12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。 （1）求θ的极大似然估计?θ；（2）求θ的一致最小方差无偏估计；（3）问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证 明你的结论。 解（1）似然函数为 (1)()1 1 {01}121 1 ()() (,,,)n n i x x n n i L x I x x x θ θθ-<≤<== ∏ 对数似然函数为 (1)(){01}121 1 ln ()ln (1)ln ln (,,,)n n i x x n i L n x I x x x θθθ <≤<==-+-+∑ 求导，有 2 1 ln ()1 ln n i i L n x θθθθ =?=--?∑ 令ln ()0L θθ?=?，可得θ的极大似然估计为1 1?ln n i i x n θ==-∑。 （2）因为 (1)()1 1 12{01}121 1 (,,,;)() (,,,)n n n i x x n n i f x x x x I x x x θ θθ-<≤<== ∏ (1)(){01}121 1 1 (,,,)exp{(1)ln }n n x x n i n i I x x x x θθ <≤<==-∑ 令1 ()n c θθ = ，(1)(){01}12()(,,,)n x x n h x I x x x <≤<= ，1 ()1w θθ = -，1 ln n i i T x ==∑，由于() w θ的值域(0,)+∞有内点，由定理2.2.4知1 ln n i i T x ==∑是完全充分统计量。而 1 1 1 1 (ln )(ln )i E x x x dx θθθ -= =-? 所以 1 1 (ln )(ln )n n i i i i E x E x n θ====-∑∑

研究生《应用数理统计基础》庄楚强 四五章部分课后答案

4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0<

应用数理统计课后习题参考答案

习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 .

日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等

最新研究生《应用数理统计基础》庄楚强-何春雄编制---课后答案

研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：）

2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10<

应用数理统计习题答案 西安交大 施雨

应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级：

目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社

第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解：

i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++

北航数理统计期末考试题

材料学院研究生会 学术部 2011 年12 月 2007-2008学年第一学期期末试卷 一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令 2(x1 x2) T (x3 x4)2 (x5 x6)2 ， 试证明T 服从t-分布t(2) 二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明 1的 (0< <1)的分位点x 是1。 F F1 (n,m) 。 三、(8分)设总体X 的密度函数为 其中1，是位置参数。x1，x2，?，x n是来自总体X 的简单样本， 试求参数的矩估计和极大似然估计。 四、(12分)设总体X 的密度函数为 1x exp ，x p(x; ) 0 , 其它 其中, 已知，0, 是未知参数。x1，x2，?，x n 是来自总体X 的简单样本。

1)试求参数的一致最小方差无偏估计； 2) 是否为的有效估计？证明你的结论。 五、(6分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的 简单样本，y1，y2，?，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。为检验假设H0 : 可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 , 1 2, H1 : 1 2, 则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，?，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题 H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。 七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？ 八、(6 分)设方差分析模型为 总离差平方和 试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。 九、(8分)某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D 外，还需考察 A B ，B C 。今选用表L8(27 ) ，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。

北航数理统计期末考试题

北航数理统计期末考试题 2011年2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的样本，令，试证明T服从t-分布t（2） 二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明。 三、（8分）设总体X的密度函数为其中，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单 样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X的密度函数为，其中是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简 单样本。 （1）试求参数的一致最小方差无偏估计； （2）是否为的有效估计证明你的结论。 五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，y1，y2，…，yn是 来自正态总体的简单样本，且两样本相互独立，其中是未知参数，。为检验假设可令则上述假设检验问题等价于这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，已知，未知，试求假 设检验问题的水平为的UMPT。 七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方 面八、（6分）设方差分析模型为总离差平方和试求，并根据直观分析给出检验假设的拒绝域形式。 九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察，。今选用表，表 头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 列号试验号ABCD实验数据 12345671111111112.82111222228.23122112226.14122221135.35212121230.5621221214 .37221122133.3822121124.0十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标的协方差阵V的极大似然估计为且其特征根为。 （1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分（2）试求第一主成分。 2006级硕士研究生《应用数理统计》试题一、选择题（每小题3分，共12分） 1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0α1）分位点xα（P{T2≤xα}=α）是（）

应用数理统计试题

应用数理统计复习题 1.设总体，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解：设两样本均值分别为，则 2. 设总体具有分布律 1 2 3 其中为未知参数，已知取得了样本值，求的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计： 令，得. （2）最大似然估计： 得 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差均未知，抽查10件，测得重量为斤。算出 给定检验水平，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？ 附：t1-0.025(9)=2.2622 t1-0.025(10)=2.2281 t1- 0.05(9)=1.8331 t1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为

将已知数据代入，得 所以接受。 4. 在单因素方差分析中，因素有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平下对因素是否显著做检验。 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 误差 2.5 总和 6.7 解： 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 2 2.1 7.5 误差 2.5 9 0.28 总和 6.7 11 ，，认为因素是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量及强度的数据，求得 ，. （1）建立关于的一元线性回归方程； （2）对回归系数做显著性检验（）. 解：（1） 所以， （2）

拒绝原假设，故回归效果显著. 6.某正交试验结果如下 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 （1）找出对结果影响最大的因素； （2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3）写出第4号实验的数据结构模型。 解： 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 ⅠⅡR 29.79 25.36 32.0 30.86 35.29 28.65 1.07 9.9 3.35 （1）对结果影响最大的因素是B； （2）“算一算”的较优生产条件为 （3） 4号实验的数据结构模型为 ，

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答

2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）2 2()nS n χ ； （C ） (1)()n X t n S - ； （D ）2 12 2 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方

清华大学应用数理统计课后习题及答案

清华大学应用数理统计课后习题及答案 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于2 2 / 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格 （0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=->

应用数理统计吴翊李永乐第四章回归分析课后作业参考答案

第四章 回归分析 课后作业参考答案 炼铝厂测得铝的硬度x 与抗张强度y 的数据如下： i x 68 53 70 84 60 72 51 83 70 64 i y 288 298 349 343 290 354 283 324 340 286 (1)求y 对x 的回归方程 (2)检验回归方程的显著性(05.0=α) (3)求y 在x =65处的预测区间(置信度为 解：(1) 1、计算结果 一元线性回归模型εββ++=x y 10只有一个解释变量 其中：x 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数，ε位随机干扰项。 ( )()() ( )685.222 ,959.4116,541.35555 .76725 .19745 .109610 ,5.3151,5.6712 2 1 21 2 1 12 1 2 12 11=-= =-=== =-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n y y y L y x n y x y y x x L x n x x x L n y n y x n x e e yy e xx xy n i i n i i yy n i i i n i i i xy n i i n i i xx n i i n i i σ 使用普通最小二乘法估计参数10,ββ 上述参数估计可写为95.193??,80.1?1 01 =-===x y L L xx xy βββ 所求得的回归方程为：x y 80.195.193?+= 实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加个单位。 2、软件运行结果 根据所给数据画散点图

清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案

习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ， 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 55 11511 ,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ L ，其他

4）对总体~(,1) X Nμ () ()() 2 555 5/22 2 15 1 11 1 (,,)()=2exp 2 i x i i i i i f x x f x x μ πμ - -- = == ?? ==-- ? ?? ∑ ∏ L 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解设(=0,1,2,3,4) i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1： 经验分布函数的定义式为：