文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 第三章 导数的应用

第三章 导数的应用

第三章 导数的应用
第三章 导数的应用

第三章 导数的应用

3.1 中值定理

这里所讲的中值定理是微分学中值定理,它是微积分学得重要理论基础。中值定理包括三个定理两个推论。

如右图中的一个在区间(),a b 内可导的函数()y f x =的图像,它是一条光滑曲线。这条曲线的两个端点A 、B 的纵坐标相等,即()()f a f b =,可以看到,曲线上存在着12,ξξ

零。

一般地,有如下定理:

定理3.1(罗尔Rolle 定理)

如果函数()y f x =满足条件: ⑴在[],a b 上连续; ⑵在(),a b 内可导; ⑶()()f a f b =,

则在区间(),a b 内至少存在一点ξ证明:因为()y f x =在[],a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,可知()f x 在

[],a b 上必有最大值M 和最小值m 。于是,有两种可能情况。

⑴M m =,此时()f x 在[],a b 上恒为常数,则在(),a b 内处处有()'0f x =。 ⑵M m >,由于()()f a f b =,m 与M 中至少有一个不等于端点的函数值,我们不妨假定()M f a ≠,就是说最大值不在两个端点处取值,则(),a b 内至少有一点ξ,使得()f M ξ=。我们可以证明()'0f ξ=。

因为()f M ξ=是函数()f x 在[],a b 内的最大值,所以总有

()()0f x f ξξ+?-≤,

当时0x ?>,有()()0f x f

x

ξξ+?-≤?,

又因为

()f x 在()

,a b 内可导,所以()f x 在点ξ处可导,即()'f ξ存在,由极限的保号性,有

()()()

'0

lim 0x f x f f x

ξξξ+

?→+?-=≤? () (1)

同理,当0x ?<时,有

()()

0f x f x

ξξ+?-≥?,

于是()()()

'0

lim 0x f x f f x

ξξξ+

?→+?-=≥? () (2)

由()()1,2可知,()'0f ξ=。 下面通过一个例子来证明罗尔定理。

设(

)f x =,()f x 在[]0,3区间显然满足罗尔定理前两个条件,且

()()00,30f f ==,即第三个条件也成立,这时按照罗尔定理得结论,一定能在

()0,3内找到ξ,使()'0f ξ=。(

)'f x =

==。

令()'0f x =,解得()2,20,3x =∈。取2ξ=,有()()''20f f ξ==。

()Lagrange 定理。

定理3.2(拉格朗日定理) 如果函数()y f x =满足条件: ⑴在[],a b 上连续; ⑵在(),a b 内可导;

则在区间(),a b 内至少有一点ξ,使得()'f b a

ξ=

-。

从几何上看,拉格朗日定理的意义是明显的,如上图所示,平移经过曲线()y f x =两个端点,A B 的直线,移至与曲线只有一个交点处,如图中的1ξ的对应点处,在

1x ξ=处的切线的斜率即为()'1f ξ,因为两条直线平行,所以()'1f ξ与直线AB 的斜率AB K 相等。而()()AB f b f a K b a -=-,于是有()()()

1f b f a f b a

ξ-=-,1ξ就是满足

定理结论的点。

拉格朗日定理还有下面两个推论:

? 推论1 如果函数()y f x =在区间(),a b 内任一点的导数()'f x 都等于零,则在

(),a b 内()f x 是一个常数。

证明:在区间(),a b 上取定一点0x 及(),x a b ?∈。显然,函数()f x 在[]0,x x 或[]

0,x x 上满足微分中值定理得条件。根据微分中值定理,有

()()()()'00f x f x f x x ξ-=-,ξ在x 与0x 之间。

已知()'0f ξ=,从而()()00f x f x -=或()()0f x f x =。 设()0f x C =,即(),x a b ?∈,有()f x C =。 例1.证明: ()arcsin arccos ,1,12

x x x π

+=

∈-

证明: 已知()1,1x ?∈-,有()'

arcsin arccos 0x x +=

=.

由推论1,arcsin arccos x x C +=,其中C 是常数.

为了确定常数C ,令0x =,有arcsin 0arccos 02C π=+=,即arcsin arccos 2x x π

+=.

? 推论 2 如果函数()f x 与函数()g x 在区间(),a b 内的导数处处相等,即

()()''f x g x =,则()f x 与()g x 在区间(),a b 内只相差一个常数,即()()

f x

g x C -=。 证明: (),x a b ?∈,有()()()()'

''

0f x g x f x g x -=-=????。由推论1 ,

有()()f x g x C -=或()()f x g x C =+,其中C 是常数。 例2.证明不等式()()1ln 0x x x +>>.

证明: 令()()1ln x f x x +=-,因为()f x 是初等函数,所以在其定义域()1,-+∞上连

续,因而[)0,+∞在上连续.由()'1

11f x x

=-

+可知()f x 在()0,+∞内可导,则()f x 在区间[]0,x 上满足拉格朗日定理条件,所以至少存在一点

()0x ξξ<<,使得()()()()'00f x f f x ξ-=-.()......3.1.2

而()'1111f ξξξξ=-

=++,由0ξ>知01ξξ

>+,即()'0f ξ>.又()00f =,

当0x >时,由式()3.1.2可得()0f x >,于是,有()1ln 0x x +->,即()1ln x x +>. 对于更一般的情况,还有下面的柯西()Cauchy 定理. 定理3.3(柯西定理)

如果()f x 与()g x 都在[],a b 上连续,都在(),a b 内可导,而且在(),a b 内

()'

0g x ≠,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()()

()

''

f b f a f

g b g a g ξξ-=-. 在上式中,如果()g x x =,就变成拉格朗日定理,所以拉格朗日定理是柯西定理的特例.

3.2 洛比达()'

LHospital 法则

我们在第一章中曾经介绍过利用极限的运算法则,函数的连续性和两个重要极限求极限的方法,本节将介绍一种借助于导数来求极限的新方法,即用洛比达法则求极限的方法.

在求极限的过程中,常常遇到这样的情形,即在同一变化过程中分子、分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形,这时分式的极限可能存在也可能不存在(例

如0sin 2lim 2x x x →=,而301cos lim x x x →-不存在),通常分别称这两类极限为“00”型或“∞

∞”

型未定式.对于成可利用极限运算法则或重要极限计算的形式,这种变形没有一般方法,需视具体情况而定,有时很难把握, 所能解决问题有限.下面我们介绍的洛比达法则将提供一种简便、可行、具有一般的求未定式极限的方法.

洛比达法则()1 “0

”型

若函数与满足条件:

⑴()()0

lim 0,lim 0;x x x x f x g x →→==

⑵()f x 与()g x 在点0x 的某个邻域内(点可除外)可导,且()'0;g x ≠

⑶()()

0''lim x x f x A g x →=(或∞). 则()()()()00''lim lim x x x x f x f x A g x g x →→==(或∞). 洛比达法则()2 “∞

”型 若函数与满足条件:

⑴()()0

lim ,lim ;x x x x f x g x →→=∞=∞

⑵()f x 与()g x 在点0x 的某个邻域内(点可除外)可导,且()'0;g x ≠

⑶()()

0''lim x x f x A g x →=(或∞). 则()()()()

00''lim lim x x x x f x f x A g x g x →→==(或∞). 对于法则(一)和法则(二),把0x x →改为x →∞,仍然成立.

例1. 求201lim x x e x x

→--

解:当0x →时,有10x e -→和20x x -→,这是“0

”型未定式,由洛比

达法则

2001lim lim 121

x x x x e e x x x →→-==--- 例2. 求30sin cos lim

sin x x x x

x

→- 解:当0x →时,有3sin 0x →和sin cos 0x x x -→,这是“0

”型未定式,

由洛比达法则

()()'

'3003sin cos sin cos lim lim sin sin x x x x x x x x

x x →→--= 200sin lim

lim 3sin cos 3sin cos x x x x x x x x x →→?==?? “0

”型

()

()

()'

'

220

011

lim

lim

3

3cos sin 3sin cos x x x x x x x →→===-?

例3.求02lim sin x x x e e x

x x

-→---

解:当0x →时,有20x x e e x ---→和sin 0x x -→,这是“0

”型未定式,

由洛比达法则

0022

lim lim sin 1cos x x x x x x e e x e e x x

x -→→--+-=-- “00”型 00lim

lim 2sin cos x x x x

x x e e e e x x

--→→-+===

例4.求arctan 2

lim x x x

π

→+∞

-

解:当x →+∞时,有

arctan 02

x π

-→和

10x →,这是“∞

”型未定式,由洛比达法则

22221

arctan 12

lim lim lim 11

1

1x x x x x

x x x

x

π

→+∞

→+∞→+∞-

-+===+- 例5.求2

tan lim

tan 3x x

x

π

“∞∞”型

解:当x →+∞时,有tan 0x →和tan 30x →,这是“

”型未定式,由洛比达法则

()()'

22'222222

1tan tan cos 3cos lim lim lim lim 3tan 33cos tan 3cos 3x x x x x x x x x x x x

ππππ→→→→

===? 2

2

2

6cos3sin3sin 66cos66

lim

lim lim 36cos sin sin 22cos 22x x x x x x x x x x x

π

ππ→

→→-?-=====-?-

例6.求0

ln cot lim ln x x

x

+

→ 解:当x →+∞时,有ln cot x →∞和ln x →-∞,这是“

”型未定式,由洛比达法则

20001tan ln cot sin lim lim lim 1ln cos sin x x x x x x x x x x

x +++

→→→?

??- ?

??==-? 02lim 1sin 2x x

x

+

→=-=- (利用重要极限)

洛比达法则不但可以用来求“00”和“∞

”型未定式的极限,还可以用来求

“0?∞”, “∞-∞”,“00”, “0∞ ”, “1∞”型未定式的极限.求这几种未定式极限

的基本方法就是设法将它们化为“00”或“∞

”型.后面三种类型做起来比较复

杂,我们只举例前两种类型的解法.

例7.求0

lim ln x x x +→? (“0?∞”型)

解:()00002

1

ln lim ln lim lim lim 0x x x x x x x x x x x

+++

+

→→→→?===-=- 例8.求()2

lim sec tan x x x π

- (“∞-∞”型) 解: ()22

1sin lim sec tan lim cos cos x x x x x x x ππ→→??-=- ??? (转化为“00”型) 2

2

1sin cos 0

lim

lim 0cos sin 1x x x x x x ππ→→

--====-

例9.求()sin 0

lim tan x

x x +

→ (“00”型)

解: ()sin sin ln tan 0

lim tan lim x

x x

x x x e +

+

?→→= 其中tan 2tan 2

0002

1

ln sin tan cos lim sin ln lim lim lim 01cos cos sin sin x

x

x x x x x x x x x x

x x

+

+++→→→→-??====-, 有()sin 00

lim tan 1x

x x e +

→==

例10.求1

lim x

x x →+∞ (“0∞ ”型) 解: 11ln lim lim x x

x

x x x e

?→+∞

→+∞

=

其中1

1ln lim ln lim lim 01

x x x x

x x x x →+∞→+∞→+∞?===,有1

0lim 1x x x e →+∞==.

例11.求lim 1x

x m x →∞??

+ ??

? (“1∞”型)

解: ln 1lim 1lim x

m x x x x m e x ?

?

?+ ???→∞→∞??

+= ??

?

其中,221ln 11lim ln 1lim lim lim 111x x x x m m m x m m x x x m m x x x x

→∞→∞→∞→∞??

?- ?

????++

????

??+==== ???-+

有ln 1lim 1lim x

m x m x x x m e e x ?

?

?+ ?

??→∞→∞??

+== ??

?

例12.求sin lim

1x x x

x

→∞++

解: 这是“∞∞”型型未定式,但极限()()''1cos lim lim

1x x f x x

g x →∞→∞+=不存在,即不满足洛比达法则的第三个条件,所以不能使用洛比达法则.事实上,原极限可由下面的方法求出: sin 1sin lim lim 1111

x x x x x x x x

→∞→∞+

+==++. 从上面的例子可以看出,洛比达法则虽然是求出未定式极限的一种有效的方法,但它不是王能的,有时会失效.不能用洛比达法则求出的极限不一定不存在.

3.3 函数的单调性

一个函数在某个区间的单调增减性变化规律,是我们研究函数图形时首先要考虑的.第1章里已经给出了单调性的定义,现在介绍利用导数判定函数单调性的方法.

先从几何直观上分析,容易看到,左下图中的曲线是上升的,其上每一点处的切线与x 轴正向的夹角都是锐角,切线的斜率大于零,也就是说()f x 在相应点处的导数大于零.相反地,右下图中的曲线是下降的,其上每一点处的切线与x 轴正向的夹角都是钝角,切线的斜率小于零,也就是说()f x 在相应点处的导数小于零.

定理3.4 设函数()f x 在区间内可导.

⑴如果在(),a b 内,()

'0f x >,那么函数在内(严格)单调增加; ⑵如果在(),a b 内,()'0f x <,那么函数在内(严格)单调减少.

证明: 在区间(),a b 内任取两点12,x x ,设12x x <.由于()f x 在(),a b 内可导,所以

()f x 在闭区间[]12,x x 上连续,在开区间()12,x x 内可导,满足拉格朗日定理

条件,因此有()()()()'2121f x f x f x x ξ-=- ()12x x ξ<<.

因为210x x ->,若()'0f ξ>,则()()210f x f x ->,即()()21f x f x >.由定义知,()f x 在(),a b 内单调增加;若()'0f ξ<,同理可证, ()f x 在(),a b 内单调减少.

特别说明:这个判定定理只是函数在区间内单调增加(减少)的充分条件. 例1. 确定函数()5433615407f x x x x =+--的单调区间. 解:()()()'43221806012060132f x x x x x x x =+-=+-. 解方程()'0f x =,得2

1,0,3

x x x =-==

.它们将定义域分成4个子区间()()22,1,1,0,0,,,33????-∞--+∞ ? ?

????

.由于导数()'

f x 在区间内部不再变号,我们只要分析()'f x 在每个区间的符号即可.

为了方便,我们列表分析()'f x 在各个区间的符号,表中第一行是自变量被导数等于零的点分成的几个子区间,下面是导数的几个因子在各区间内的符号,

从上表中容易看出,()f x 在区间()1,0-和20,3??

???内单调减少,在区间(),1-∞-和

2,3??

+∞ ???

内单调减少。 例2. 确定函数()()()24

21f x x x =+-的单调区间. 解:()()()()()4

2

3

'221421f x x x x x =+-++-

()()()()()()

3

3

2211246211x x x x x x x =+--++=+-+

由()'0f x =,求得2,1,1x x x =-=-=。这三个点将函数定义域分为四个子区间,

从上表中容易得到:()f x 在区间(),2-∞-和()1,1-内单调减少,在区间()2,1--和

()1,+∞内单调增加。

总结:讨论可导函数()f x 的单调区间可按下列步骤进行:

⑴确定函数()f x 的定义域;

⑵求导函数()'f x 的零点(或方程()'0f x =的根); ⑶用零点将定义域分成若干开区间;

⑷判别导函数()'f x 在每个开区间的符号。根据定理3.4,确定函数()f x 的增加或减少。

函数不等式是函数之间的大小关系,应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式。

例3. 证明:0x ?>,有不等式()ln 11x

x x x

<+<+. 证明:分别证明这两个不等式: 左端不等式 设()()ln 11x f x x x =+-

+.()()

'2

1x f x x =+ 0x ?>,有()'0f x >,从而,函数()f x 在()0,+∞单调增加,且()00f =.

于是, 0x ?>,有()()ln 101x f x x x =+-

>+,即0x ?>,有()ln 11x

x x

<++.

右端不等式 设()()ln 1g x x x =-+.()'1x g x x

=

+ 0x ?>,有()'0g x >.从而,函数()g x 在()0,+∞单调增加,()0g x =.

于是, 0x ?>,有()()ln 10g x x x =-+>,即0x ?>,有()ln 1x x +<. 综上所证, 0x ?>,有不等式

()ln 11x

x x x

<+<+. 3.4 函数的极值

从上节例2中看到,x 从2-的左边邻近变到右边邻近时,()f x 由单调减少变为单调增加,即点2x =-是函数由减少到增加的转折点,因此,在2x =-的左右邻近恒有()()2f f x -<.相反地,1x =-是函数由增加到减少的转折点,因此,在1x =-的左右邻近恒有()()1f f x ->.像这样的单调区间的转折点在应用上具有特殊的意义,我们定义如下:

定义3.1:设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义.

①如果对于该邻域内任意的()0x x x ≠总有()()0f x f x <,则称()0f x 为函数()f x 的极大值,并且称点0x 是()f x 的极大值点....

. ②如果对于该邻域内任意的()0x x x ≠总有()()0f x f x >,则称()0f x 为函数()f x 的极小值,并且称点0x 是()f x 的极小值点....

. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值..,极大值点与极小值点统称为极值点...

. 特别指出: 函数的极值是一个局部概念,它只是与极值点邻近的点的函数值

相比是较大或较小,而不意味着它在函数的整个定义域区间内为最大或最小。

如上图所示的函数()f x ,它在点1x 和点3x 各取得极大值,在点2x 和点4x 各取得极小值。从图中可以看到,极大值()1f x 甚至小于极小值()4f x ,还可以看到,这些极大值都不是函数在区间上的最大值,极小值也不是定义区间上的最小值。图中还可能显示出,极值点处如果有切线的话,一定是水平方向的。但是,有水平切线的点不一定是极值点。如曲线在点5x 处的切线是水平的,5x 却不是极值点。

在上述几何直观的基础上,我们给出下面的定理: 定理3.5(极值存在的必要条件....

) 如果()f x 在点0x 处取得极值且在点0x 处可导,则()'00f x =。

证:不妨假定点0x 是极大值点,则存在0x 的某个邻域,在此邻域内总有

()()00f x f x x >+?,

于是,当0x ?>时,()()

000f x x f x x

+?-

'0f x 存在,所以()()

0'

00lim 0x f x x f x x

+

?→+?=≤?; 当时0x ?<,

()()

000f x x f x x

+?->?,由于()'0f x 存在,所以

()()

0'00

lim 0x f x x f x x

+

?→+?=≥?;

故只能有 ()'00f x = 关于这个定理需要说明..

两点: ⑴()00f x =只是()f x 在点0x 处取得极值的必要条件,而不是充分条件。事实上,我们熟悉的函数3y x =在0x =时,导数等于零,但在该点并不取得极值。 ⑵定理的条件之一是函数在点0x 可导,而导数不存在(但连续)的点也有可能取

得极值,例如()23

f x x =,()1

'

32f x x -=,显然()'0f 不存在,但在0x =处却取得

极小值()00f =

通常把使导数为零的点称为驻点。函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生,但是驻点和导数不存在的点又不一定时极值点,下面给出判断极值的两个充分条件。

? 定理3.6 (极值判别法Ⅰ)

设函数()f x 在点0x 的邻域内连续且可导(允许()'0f x 不存在),当x 由小增大经过点0x 时,若

⑴()'f x 由正变负,则0x 是极大值点; ⑵()'f x 由负变正,则0x 是极小值点; ⑶()'f x 不改变符号,则0x 不是极值点。

把必要条件和充分条件结合起来,就可以求函数的极值了。 例1. 求函数()()2

35f x x x =?-的极值.

解:()()()()()2

'2323525535f x x x x x x x x =-+-=--

令()'0f x =,解得三个驻点: 0,3,5;三个驻点将函数的定义域R 分为四个区间: ()()()(),0,0,3,3,5,5,-∞+∞,列表分析如下:

因为20x ≥,不会影响导数的符号,故我们列表时略去这个因子. 由表可见函数的极大值点是3,极大值是()3108f =;极小值点是5,极小值是()50f =. ? 定理3.7 (极值判别法Ⅱ)

设函数()f x 在点0x 处有二阶导数,且()()''000,f x f x =存在. ⑴若()''00f x <,则函数()f x 在点0x 处取得极大值. ⑵若()''00f x >,则函数()f x 在点0x 处取得极小值.

⑶若()''00f x =,则不能判断()0f x 是否是极值.

说明: 对于()''00f x =的情形,()f x 可能是极大值,可能是极小值,也可能不是极值.例如()4

f

x x =-

,()''00f =,()00f =是极大值;()4g x x =,

()''00g =,()00g =是极小值; ()3x x φ=,()''00φ=,但()00φ=不是极值.因此,当()''00f x =时,第二判别法失效,只能用第一判别法判断. 例2. 求函数()32391f x x x x =--+的极值. 解: ()()()'2369313f x x x x x =--=+- 求()'0f x =,解得1,3x x =-=. 求()''f x ,并用判别法Ⅱ判断. ()''66f x x =-

()''1120f -=-<,所以1x =-是极大值点.()f x 的极大值为()16f -=. ()''3120f =>,所以3x =是极小值点.极小值为()326f =-.

我们把求函数极值的步骤归纳如下:

①求()f x 的导数()'f x ;

②解方程()'0f x =,求出()f x 在定义域内的所有驻点; ③找出()f x 在定义域内所有导数不存在的点;

④分别考察每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点,是极大值点还是极小值点;

⑤求出各极值点的函数值.

在经济分析中,经常遇到利润最大、成本最低、投资最省等问题,在数学上就是函数的最大值和最小值问题。

对于一个闭区间上的连续函数()f x ,它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得。因此,只要求出函数()f x 的所有极值和端点值,它们之中最大的就是最大值,最小的就是最小值。

最大、最小值与极大、极小值是不同的。极值是局部性的概念,在一个区间内

可能有多个数值不同的极大值或极小值,有的极小值也可能大于某个极大值,而最大值和最小值是整体的概念,是所考察的闭区间上全部函数值的最大者或最小者。函数在区间[],a b 上取得最大值的点可能不只一个,但最大值只有一个;取得最小值的点也可能不只一个,但最小值也只有一个。 根据最大值和最小值的概念,我们得出它们的求法如下:

①求出在内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点,并计算各点的函数值(不必判断这些点是否取得极值,是极大值还是极小值). ②求出端点的函数值()f a 和()f b .

③比较前面求出的所有函数值,其中最大的就是()f x 在[],a b 上的最大值M ,其中最小的就是()f x 在[],a b 的最小值m .

例3. 求函数()4223f x x x =-+在[]2,2-上的最大值与最小值. 解: ()()()'344411f x x x x x x =-=+- 令()'0f x =,解得1,0,1x x x =-==.

计算出()()03,12f f =±=;再计算出()211f ±=.

比较这三个函数值,得出()f x 在[]2,2-上的最大值为()211f ±=,最小值为

()12f ±=.

例4. 求函数()31f x x =+在[]1,3-上的最大值与最小值. 解: ()'23f x x = 令()'0f x =,解得0x =.

计算出()01f =.再计算出()()10,328f f -==.

比较以上三个函数值得出()31f x x =+在[]1,3-上的最大值为()328f =,最小值为()10f -=.

事实上,有()'230f x x =≥,故()f x 是单调增加的,单调函数的最大值和最小值都发生在区间的端点处.

特别值得指出的是:()f x 在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点0x ,并且这个驻点是()f x 的唯一极值点,那么,当()0f x 是极大值时,()0f x 就是()f x 在该区间上的最大值,当()0f x 是极小值时, ()0f x 就是()f x 在该区间

上的最小值.在应用问题中往往遇到这样的情形,这时可以当作极值问题来解决,不必与区间的端点值相比较.

例5. 欲用长6米的铝合金材料加工一日字形窗框如右图所示,问它的长和宽分

别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?

解: 设窗框的宽为x 米,则长为()1

632x -米.为了保证窗框的

长度是正数,得到x 的取值范围在()0,2区间内,于是窗户

的面积()213

63322

y x x x x =??-=-,'33y x =-

令'0y =,求得驻点1x =,因为''30y =-<,所以1x =是极大值点.由于y 在区

间()0,2内有唯一的极大值,则这个极大值就是最大值.于是得到,窗户的宽

为1米,长为

32米时,窗户的面积最大,最大面积为()23

12

y m =. 例6. 设有一个长8cm ,宽5cm 的矩形贴片,如图所示,在每个角上剪去同样大小

的正方形.问剪去正方形的边长多大,才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积为最大.

解: 设剪去的正方形的边长为x .于是,做成开口盒子的容积()V x 是x 的函数,即

()()()5282V x x x x =--,其中5

02

x ≤≤

.问题归结为求可导函数()V x 在50,2??

????

的最大值.

()()()()()()()'528225228241310V x x x x x x x x x =------=-- 令()'0V x =.解得驻点为101,3x x ==

,其中1050,32??

?????

去掉,只有一个驻点1x =.比较三个数()()500,118,02V V V ??

=== ???

,其中,()118V =最大.于是,

剪去的正方形的边长为1cm 时,做成开口盒子的容积为最大,最大容积是

3

利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件下,如何安排

8cm

5cm

x

x

生产才能获得最大利润,这是企业管理中的一个现实问题。

例7. 某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加

2万元,其收入R (单位:万元)是产量q (单位:百件)的函数:

21

52

R q q =-,求达到最大利润时的产量。

解:由题意,成本函数为32C q =+,于是,例润函数21

332L R C q q =-=-+-

'3L q =- 令'0L =,得3q =百件

因()''310L =-<,所以当3q =时,函数取得极大值,因为是唯一的极值点,所以就是最大值点,即产量为300件时取得最大利润。 2. 最小成本问题

例8. 已知某个企业的成本函数为3293025C q q q =-++,其中C 表示成本(单

位:千元),q 表示产量(单位:t ),求平均可变成本(单位:千元)的最小值。 解:平均可变成本225

930C y q q q

-=

=-+,'29y q =-。 令'0y =,得 4.5q t =.

'' 4.520q y ==>,所以 4.5q =时,y 取得极小值,由于是唯一的极值,所以就是

最小值.()()2

4.5 4.59 4.5309.75q y ==-?+=千元.即产量为4.5t 时,平均可变成本取得最小值9750元.

3.5 函数在经济分析中的应用

本节向大家介绍导数概念在经济学中的两个应用-----边际分析....和弹性分析....

边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函数的变化率.......利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称作边际分析方法. 1. 边际成本

在经济学中,边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本...............。 设某产品产量为q 单位时所需的总成本为()C C q =. 由于()()()()()()''1C q C q C q dC q C q q C q +-=?≈=?= (注解:()()C q dC q ?≈参考本书55页)

所以边际成本就是总成本函数关于产量q 的导数.

2. 边际收入

在经济学中,边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入.................. 设某产品的销售量为q 时的收入函数为()R R q =,则收入函数关于销售量q 的导数就是该产量的边际收入()'R q . 3. 边际利润

设某产品的销售量为q 时的利润函数为()L L q =,当()L q 可导时,称()'L q 为销售量为q 时边际利润,它近似等于销售量为q 时再多销售一个单位产品所增加(或减少) 的利润.

由于利润函数为收入函数与总成本函数之差,即()()()L q R q C q =- 由导数运算法则可知()()()'''L q R q C q =-.即边际利润为边际收入与边际成本之差.

例1. 设某个产品产量为q (单位:吨)时的总成本函数(单位:元)为 (

)10007C q q =++ 求 ⑴产量为100吨时的总成本;

⑵产量为100吨时的平均成本;

⑶产量从100吨增加到225吨时,总成本的平均变化率. ⑷产量为100吨时,总成本的变化率(边际成本).

解: ⑴产量为100吨时的总成本为

(

)10010007100502200C =+?+=(元)

⑵产量为100吨时的平均成本为 ()()1002200

10022100100

C C =

==(元/吨) ⑶产量从100吨增加到225吨时,总成本的平均变化率为:

()()25510033252200

9255100125

C C C q -?-===?-(元/吨) ⑷产量为100吨时,总成本的变化率(边际成本)为: (

)(

''

100

1001001000779.5q q C q ==??

=++== ? ??

?(元) 这个结论的经济含义是: 当产量为100吨时,再多生产一顿所增加的成

本为9.5元.

例2. 设某产品的需求函数为1005q p =-,求边际收入函数,以及20,50

q q ==和70q =时的边际收入.

解: 收入函数为()R q pq =(注解:()R q pq =参考本书32页) ,式中的销售价格p 需要

从需求函数中反解出来,即()1

1005

p q =

-,于是收入函数为()()1

1005

R q q q =

-, 边际收入函数为 ()()'1

10025

R q q =

- ()()()'''2012,500,708R R R ===- 由所得结果可知,当销售量及需求量为20个单位时,再增加销售可使总收入增加,再多销售一个单位产品,总收入约增加12个单位;当销售量为50个单位时,再增加销售总收入不会再增加;当销售量为70个单位时,再多销售一个单位产品,反而使总收入大约减少8个单位.

主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.

下面先给出弹性的一般概念.

给定变量u ,它在某处的改变量u ?称为称为绝对改变量.给定改变量u ?与变量

在该处的值之比u

u

?称为相对改变量.

定义3.2:对于函数()y f x =,如果极限0lim

x y y

x x

?→??存在, 则

()'

00lim

lim x x y y y x x dy x f x x x x y y dx y ?→?→??=?=?=???称为函数()f x 在点处的弹

性,记作E ,即x dy

E y dx

=

? 从定义可以看出函数()f x 的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限,它是函数的相对变化率,或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数.

由需求函数()Q Q p =可得需求弹性为d p dQ E Q dp

=

? 根据经济理论,需求函数是单调减少函数,所以需求弹性一般取负值.........。 利用供给函数()S S p =,同样定义供给弹性s p dS

E S dp

=

?

例3. 设某商品的需求函数为0.023000p Q e -=?,求价格为100时的需求弹性并解

释其经济含义。

解:()()'0.020.020.0230000.023000p

d p

pQ p p e E p p Q e ---??===-? ()1002d E =-

它的经济意义是:当价格为100时,若价格增加1%,则需求减少2%。

3.6 利用导数研究函数

在研究函数图像的变化状况时,了解它上升和下降的规律是重要的,但是只了解这一点是不

够的,上升和下降还不能完全反映图像的变化。有图所示函数的图像在区间内始终是上升的,但却有不同的弯曲状况。可以看到,从左端点开始,曲线先向上弯曲,通过点后改变了弯曲方向,变为向下弯曲。因此,研究函数图像时,考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的。从图中还可以看出,曲线向上弯曲的弧段位于该

弧段上任意一点的切线的上方;而向下弯曲的弧段则位于该段上任意一点的切线的下方。据此,我们给出如下定义:

定义3.3:如果在某个区间内,曲线弧位

于其上任意一点的切线的上方,则称曲线在这

个区间内是上凹的,如左图中函数()y f x =;如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点的

切线的下方,则称曲线在这个区间内是下凹的,如左图中函数()y g x =

定理3.8 设函数()f x 在区间内存在二阶导数.

⑴若a x b <<时,恒有()''0f x >,则曲线()y f x =在(),a b 内上凹; ⑵若a x b <<时,恒有()''0f x <,则曲线()y f x =在(),a b 内下凹; 因为()''0f x >时,()'f x 单调增加,tan α从小变大,由左上图中函数()y f x =可见曲线上凹;反之,当()''0g x <时, ()'g x 单调减少, tan α从大变小,由左上

)

高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试[1]

第三章《导数及其应用》单元测试题 一、 选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确) 1.函数()2 2)(x x f π=的导数是( ) (A)x x f π4)(=' (B)x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D)x x f π16)(=' 2.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是( ) (A)[]0,1- (B)[]8,2 (C)[]2,1 (D)[]2,0 3.已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时, ()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>, D .()0()0f x g x ''<<, 4.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值,则( ) (A ) 10<b (D )2 1< b 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.曲线x y e =在点2 (2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.294 e B.22e C.2 e D.22e 7.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) 8.已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有 ()0f x ≥,则 (1)'(0)f f 的最小值为( )A .3 B .52 C .2 D .3 2 9.设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞, 内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的

高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1_1

高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版 选修1_1 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用. 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a,b)内的函数y=f(x) 知识点二 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, (1)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小值. 知识点三函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的求法 1.求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. 2.将函数y=f(x)的________与端点处的函数值________比较,其中________的一个是最大值,________的一个是最小值. 类型一数形结合思想的应用 例1 已知f′(x)是f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是________. 反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时,应注意:(1)对于导函数的图象,重点考查导函数的值在哪个区间上为正,在哪

个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在交点附近导函数值是怎样变化的. (2)对于函数的图象,函数重点考查递增区间和递减区间,进而确定极值点. 跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是________.类型二构造函数求解 命题角度1 比较函数值的大小 例2 已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,f′(x)+<0,若a=f(),b=-f(-),c=(ln )f(ln ),则a,b,c的大小关系是________. 反思与感悟本例中根据条件构造函数g(x)=xf(x),通过g′(x)确定g(x)的单调性,进而确定函数值的大小,此类题目的关键是构造出恰当的函数. 跟踪训练2 设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是________.命题角度2 求解不等式 例 3 定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x),满足f(x)2ex的解集为________.反思与感悟根据所求结论与已知条件,构造函数g(x)=,通过导函数判断g(x)的单调性,利用单调性得到x的取值范围. 跟踪训练3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,f′(x)为其导函数.当x>0时,f(x)+x·f′(x)>0,且f(1)=0,则不等式x·f(x)>0的解集为________. 命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x>1,证明不等式x-1>ln x.

第三章导数及其应用单元测试(带答案)

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后 的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)。 1.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时,x的值为()A.0 B.C.D. 2.函数的单调递减区间是() A.B.C.D. 3.若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是 () 4.点P在曲线 上移动,设 点P处切线倾斜角为α, 则α的取值范围是 () | A.[0,] B.0,∪[,π C.[,πD.(, 5.已知(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在 上的最小值为() A.B.C.D. 6.函数的单调递增区间是()A. B.(0,3) C.(1,4) D. 7.已知函数时,则()

A.B. , C.D. 8.设函数的导函数,则数列的前n项和是 () A.B.C.D. 9.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为()A.[-,+∞] B.(-∞,-3) C.(-∞,-3)∪[-,+∞] D.[-,] 10.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)<0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则() A .a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 11.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()! A.B.C.D. 12.如图所示的是函数的大致图象,则等于() A.B.

C.D. 第Ⅱ卷 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)。 , 13.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________. 14.已知曲线交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为; 15.函数在定义域内可导,其图象如图,记的导函数为, 则不等式的解集为_____________ 16.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。 17.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R). (1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程; (2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a. 。

选修1-1第三章导数及其应用A卷@停课不停学中学精品

旗开得胜 选修1-1第三章导数及其应用A 卷 考试时间:120分钟 满分:150分 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(共12小题;共60分) 1 若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为( ) A 0()f x ' B 02()f x ' C 02()f x '- D 0 2 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 3 函数3 y x x 的递增区间是( ) A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 4 32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A 319 B 316 C 313 D 3 10 5 函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( )

A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 6 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为( ) A 72 B 36 C 12 D 0 7. 已知 a 函数 ()312f x x x =-的极小值点,则 ()a = A. B. C. D. 8. 函数 3223125y x x x =--+在 []0,3上的最大值,最小值分别是 ( ) A. , B. , C. , D. , 9. 函数 ()()3e x f x x =-的单调递增区间是 A. B. C. D . 10. 与直线 240x y -+=平行的抛物线 2y x =的切线方程是 . A. 230x y -+= B. 230x y --= C. 210x y -+= D. 210x y --=

数学第三章导数及其应用测试1新人教A版选修1 1

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题 1. 函数()323922yxxxx=---<<有() A. 极大值5,极小值27? B. 极大值5,极小值11? C. 极大值5,无极小值 D. 极小值27?,无极大值 2. 若'0()3fx??,则000()(3)lim h fxhfxhh?????() A. 3? B. 6? C. 9? D. 12? 3. 曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-,则0p点的坐标为() A. (1,0) B. (2,8) C. (1,0)和(1,4)?? D. (2,8)和(1,4)?? 4. ()fx与()gx是定义在R上的两个可导函数,若()fx,()gx满足''()()fxgx?, 则 ()fx与()gx满足() A. ()fx?()gx B. ()fx?()gx为常数函数 C. ()fx?()0gx? D. ()fx?()gx为常数函数 5. 函数xxy142??单调递增区间是() A. ),0(?? B. )1,(?? C. ),21(?? D. ),1(?? 6. 函数xxyln?的最大值为() A. 1?e B. e C. 2e D. 310 二、填空题 1. 函数2cosyxx??在区间[0,]2?上的最大值是. 2. 函数3()45fxxx???的图像在1x?处的切线在x轴上的截距为________________.

3. 函数32xxy??的单调增区间为,单调减区间为 ___________________. 4. 若32()(0)fxaxbxcxda?????在R增函数,则,,abc的关系式为是 . 5. 函数322(),fxxaxbxa????在1?x时有极值10,那么ba,的值分别为________. 三、解答题 1.已知曲线12??xy与31xy??在0xx?处的切线互相垂直,求0x的值. 2. 如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大? 3. 已知cbxaxxf???24)(的图象经过点(0,1),且在1x?处的切线方程是2yx??(1)求)(xfy?的解析式;(2)求)(xfy?的单调递增区间. 4. 平面向量13(3,1),(,)22ab???,若存在不同时为0的实数k和t,使 2(3),,xat bykatb??????且xy?,试确定函数()kft?的单调区间.

第三章导数及其应用

第三章 导数及其应用 考点1 导数的概念及计算 1.(2014·陕西,10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( ) A .y =12x 3-1 2x 2-x B .y =12x 3+1 2x 2-3x C .y =1 4 x 3-x D .y =14x 3+1 2 x 2-2x 1.解析 法一 由题意可知,该三次函数满足以下条件:过点(0,0),(2,0),在(0,0)处的切线方程为y =-x ,在(2,0)处的切线方程为y =3x -6,以此对选项进行检验.A 选项, y =12x 3-12x 2-x ,显然过两个定点,又y ′=3 2x 2-x -1,则y ′|x =0=-1,y ′|x =2=3,故条件都满足,由选择题的特点知应选A. 法二 设该三次函数为f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,则f ′(x )=3ax 2+2bx +c , 由题设有?????f (0)=0?d =0, f (2)=0?8a +4b +2c +d =0,f ′(0)=-1?c =-1, f ′(2)=3?12a +4b +c =3,解得a =12,b =-1 2,c =-1,d =0. 故该函数的解析式为y =12x 3-1 2x 2-x ,选A. 答案 A 2.(2016·新课标全国Ⅲ,16)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=-x-1 e -x ,则曲线y =f (x ) 在

点(1,2)处的切线方程是________. 2.解析设x>0,则-x<0,f(-x)=e x-1+x, 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=e x-1+x,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2, y-2=2(x-1),即y=2x. 答案y=2x 3.(2015·新课标全国Ⅰ,14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________. 3.解析f′(x)=3ax2+1,f′(1)=1+3a,f(1)=a+2. 点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(1+3a)(x-1). 将(2,7)代入切线方程,得7-(a+2)=(1+3a), 解得a=1. 答案1 4.(2015·新课标全国Ⅱ,16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________. 4.解析由y=x+ln x,得y′=1+1 x,得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k=y′|x=1=2,所以切 线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,此切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,消去y得ax2+ax+2=0,得a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8. 答案8 5.(2015·天津,11)已知函数f(x)=a ax ln,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为________. 5.解析f′(x)=x a ln+ax·1x=a(ln x+1),由f′(1)=3得,a(ln 1+1)=3,解得a=3.

第三章 导数及其应用

第三章 导数及其应用 第一节导数的概念及运算、定积分 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数:函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx =li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ? 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′x =x 0,即f ′(x 0)=li m Δx →0 Δy Δx =li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . 函数y =f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (2)导数的几何意义:函数f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点P (x 0,y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数).相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). ?曲线y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k =f ′(x 0)的切线,是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数:称函数f ′(x )=li m Δx →0 f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. (4)f ′(x )是一个函数,f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数),[f ′(x 0)]′=0. 2.基本初等函数的导数公式

数学:第三章《导数及其应用》教案(新人教A版选修1-1)

导数及其应用复习 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式:x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 的导数;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 [教学方法] 1.采用“学案导学”方式进行教学。 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。 [教学流程]:独立完成基础回顾,合作交流纠错,老师点评;然后通过题目落实双基,根据学生出现的问题有针对性的讲评. [教学重点和难点] 教学重点:导数的概念、四则运算、常用函数的导数,导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点:导数的定义,导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容,在2000年开始的新课程试卷命题时,其考试要求都是很基本的,以后逐渐加深,考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算,力求结合应用问题,不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次:第一层次是主要考查导数的概念,求导的公式和求导法则;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值、单调区间、 导数定义 导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性 求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式

选修1-1第三章-导数及其应用导学案

选修1-1第三章-导数及其应用导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

沈丘三高高二数学导学案 编写人:楚志勇 审稿人:高二数学组 §3.1.1 变化率问题 【使用课时】:1课时 【学习目标】:1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义; 2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 【学习重点】:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习方法】:分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】: 一、课前准备(预习教材P 72~ P 74,找出疑惑之处) 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4 )(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 在吹气球问题中,当空气容量V 从0增加到1L 时,气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时,气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里,v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里,v =_________________ 问题3 平均变化率 已知函数()x f ,则变化率可用式子_____________,此式称之为函数() x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ?表示12x x -,即x ?=___________,可把x ?看做是相对于1x 的一个“增量”,可用+1x x ?代替2x ,类似有=?)(x f __________________,于是,平均变化率可以表示为_______________________ 提出疑惑 h t o

第三章 导数及其应用

第三章导数及其应用 考点1 导数与积分 1.(2018全国Ⅰ,5)设函数f(x)=x3+(a?1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0?, 0)处的切线方程为( ) A.y=?2x B.y=?x C.y=2x D.y=x 1.D 因为函数f(x)是奇函数,所以a?1=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+ 1, 所以f′(0)=1,f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y?f(0)=f′(0)x,化简可得y=x,故选D. 2.(2017?浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() A. B. C. D. 2. D 由当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,则由导函数y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,故选D. 3.(2017?新课标Ⅱ,11)若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)e x﹣1的极值点,则f(x)的极小值为() A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1 3. A 函数f(x)=(x2+ax﹣1)e x﹣1,可得f′(x)=(2x+a)e x﹣1+(x2+ax﹣1)e x﹣1,x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)e x﹣1的极值点,可得:﹣4+a+(3﹣2a)=0. 解得a=﹣1.可得f′(x)=(2x﹣1)e x﹣1+(x2﹣x﹣1)e x﹣1=(x2+x﹣2)e x﹣1,函数的极值点为:x=﹣2,x=1,当x<﹣2或x>1时,f′(x)>0函数是增函数,x∈(﹣2,1)时,函数是减函数,x=1时,函数取得极小值:f(1)=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1.故选A.4.(2018全国Ⅱ,13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,?0)处的切线方程为__________. 4.y=2x∵y′=2 x+1∴k=2 0+1 =2∴y=2x

第三章导数及其应用含详细答案

第三章导数及其应用 刷速度 一、选择题 1. 已知曲线上一点,则()A.B.C.D. 答案 . 2. 已知′(1),则f′(0)等于( ) A. B C D 2e 解:由′(1),得:f′(x)′(1), 取得:f′(1)′(1),所以,f′(1) 故f′(0)′(1), 因此,本题正确答案是:B. 3. 如图是导函数的图象,那么函数在下面哪个区间是减函数()。

A: B: C: D: 答案详解B 解析:本题主要考查函数的单调性。 当函数为减函数时,函数的导数小于零,根据图象,在区间内导函 数小于零,即为减区间。故本题正确答案为B 。 4. 函数,的最大值为( ) A. B. 1 C. D. 答案详解C 解:令得或 当时,或;当 时, 当 时 ;当 时, ;当 时, 所以函数的最大值为所以C 选项是正确的 解析:求出函数的导函数,令导数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值. 5. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ) A. 3 B 2 C 1 D 答案详解A 解析:函数的定义域为 ,函数的导数为 ,由 , 得 ,解得 或 (舍去),选A. 6. 函数 有极值的充要条件是

A、a≥1或a≤0 B、a>1或a<0 C、a≥1或a<0 D、00.即4a2-4a>0解得a>1或a<0,故选B. 7. 若在上是减函数,则的取值范围是()。 A: B: C: D: 答案详解D 解析:本题主要考查导数的应用。 由题意可知,在上恒成立,即在 上恒成立,令,因为,所以 。要使,即需要小于等于其最小值,所以。 8.

高中数学人教版选修1-1(文科)第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数A卷

高中数学人教版选修1-1(文科)第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数A 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题;共16分) 1. (2分) (2016高二下·会宁期中) 已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为(b,c)则ad等于() A . 2 B . 1 C . ﹣1 D . ﹣2 2. (2分)(2019·长春模拟) 已知函数有且只有一个极值点,则实数构成的集合是() A . B . C . D . 3. (2分) (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1 ,若 f(x)存在唯一的零点 x0 ,且x0 >0 ,则 a 的取值范围是() A . (2,+∞) B . (1,+∞) C . (-∞,-2)

D . (-∞,-1) 4. (2分)(2017·江西模拟) 若函数f(x)=[x3+3x2+(a+6)x+6﹣a]e﹣x在区间(2,4)上存在极大值点,则实数a的取值范围是() A . (﹣∞,﹣32) B . (﹣∞,﹣27) C . (﹣32,﹣27) D . (﹣32,﹣27] 5. (2分) (2017高三上·唐山期末) 已知函数,则使得成立的的取值范围是() A . B . C . D . 6. (2分)若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为() A . B . C . ∪ D . ∪

7. (2分) (2020高二上·黄陵期末) 若函数在处取得极值,则() A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 8. (2分)(2017·葫芦岛模拟) 设a,b∈R且a<b,若a3eb=b3ea ,则下列结论中一定正确的个数是() ①a+b>6;②ab<9;③a+2b>9;④a<3<b. A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 二、填空题 (共3题;共3分) 9. (1分)(2016·江苏模拟) 已知函数f(x)=x2+2x+alnx在区间(0,1)内无极值点,则a的取值范围是________. 10. (1分) (2019高三上·长春月考) 已知函数有两个不同的极值点 ,且不等式 恒成立,则的取值范围是________. 11. (1分)若函数f(x)=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间(a﹣1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围________ 三、解答题 (共3题;共25分) 12. (5分)已知函数f(x)=+ax,x>1. (Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;

第三章导数及其应用(教案)

如何培养学生良好的行为习惯 我国著名教育家陶行知先生说:“播种行为,就收获习惯;播种习惯,就收获性格;播种性格,就收获命运。”这一育人哲理道出了培养行为习惯的重要性。叶圣陶先生十分重视少年儿童良好行为习惯的培养。他认为,“我们在学校里受教育,目的在养成习惯,增强能力。我们离开了学校,仍然要从多方面受教育,并且要自我教育,其目的还是在养成习惯,增强能力。”习惯越自然越好,能力越增强越好。良好的行为习惯是促进一个人健康成长的重要条件,是健全人格形成的基础。习惯有好坏之分,好习惯终身受其益,坏习惯终身受其累”。生活中有两种习惯养成不得,一种是不养成习惯的习惯,另一种是妨害他人的习惯(所谓不养成习惯的习惯就是指一个人做事没有强制与警觉,今天东,明天西,今儿这样,明儿又那样,这就可能什么习惯也养不成。久而久之,就成为一种不养成习惯的习惯)”。陶行知先生在改造中国教育的实践中提出了“生活教育理论”。他非常重视在做中学,主张在做中养成习惯,即实践中养成习惯。“生活即教育”。到处是生活,即到处是教育。整个社会是生活的场所,亦即教育之场所。教育无处不在。作为教育工作者,我们应该充分挖掘各自现有教育资源,结合各种教学活动,把“做人、做事、学习”的正确习惯的培养融入平常的教学活动中。持之以恒,自然成习惯。班主任是学生接触最多的老师,也是给学生影响最大的人,培养学生形成好的行为习惯对于班主任来说至关重要。那么作为班主任应该怎样培

养学生地习惯呢?下面我谈谈自己的观点: 一、教师要正确面对学生存在的不良习惯 先贤哲人孔子曾说:“少成若天性,习惯如自然。”充分说明人在自然状态下,不假思索,不必费什么心思,更不用意志去控制而形成的某种行为,就是一种习惯。所谓习惯也可以理解成人的一种自动化的行为,坏习惯也是一种自动化行为。作为教育者要认识到每个学生都追求上进,都希望获得别人(尤其是老师)的肯定和赞扬,他们不想犯错更不想故意与老师作对,他们之所以犯错是因为他们已有的习惯。这样,作为教师在教育学生的过程中就会减少一些情绪化的语言和手段,多一些理智的思考。既有利于对学生的教育,又有利于教师的心理健康。因为当教师在面对学生坏习惯的时候首先表现出的不能是生气和发脾气,当你用理解,用爱心去面对时问题就会变的简单化,处理起来也会更顺畅一些。所以用平和的心态,正确的面对学生的不良习惯是关健。作为班主任经常会遇到学生各种各样的突发事件,他们出现的一些坏习惯坏行为的确让人头痛,那么一定要先让自己心平气和,通过思考冷静的去处理。这样的效果肯定比发怒更管用。我们班有一位男生,进校时行为习惯特别差,经常给我带来麻烦事,起初我也很生气,认为他是朽木一个,总是以责备为主,但后来冷静思考后觉的自己处理的不好,因为责骂的效果并不好。于是我改变了方法,当他犯错时自己先保持平和心态然后让他讲原因,和他讲道理并且从学生角度想问题,处理问题。慢慢的他有了一些变化,虽然还是会有一些小毛病但己经有了很大进步,这学期当了校卫生督察后经

选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案

第三章 导数及其应用 备课人 周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法;正确理解导数的定义、几何意义; 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率,建立导数的概念;掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下,让学生积极主动地探索导数概念的形成过程,锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1.什么叫瞬时速度?(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度? 在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ,那么我们就会计算任意一段的平 均速度v ,通过平均速度v 来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少? 我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ,请同学们完成表格1左边部分,(事先准备好的),再完成表格的右边部分〉

表格1 格 2 0?t 时,在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时,-=v 13.051; 当=?t 0.01时,-=v 13.149; 当-=?t 0.001时,-=v 13.095 1; 当=?t 0.001时,-=v 13.104 9; 当-=?t 0.000 1时,-=v 13.099 51; 当=?t 0.000 1时,-=v 13.100 49; 当-=?t 0.000 01时,-=v 13.099 951; 当=?t 0.000 01时,-=v 13.100 049; 当-=?t 0.000 001时,-=v 13.099 995 1; 当=?t 0.000 001时,-=v 13.100 004 9; 。。。。。。 。。。。。。 问题:1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?(表格2) 关于这些数据,下面的判断对吗? 2.当t ?趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是t 从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3. 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度; 4. 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度;

2013年高考复习讲义第三章导数及导数的应用

2013年高考复习讲义第三章导数及导数的应用 3.1导数的概念和运算 一、考点梳理 1、导数的有关概念: 1)导数: 2)导函数: 3)导数的几何意义: 4)导数的物理意义: 2、导数的运算: 1)基本初等函数的导数公式: ; 2)导数的运算法则:多项式的导数: ; 乘积的导数: ; 除商的导数: ; 复合函数的导数: ; 二、边做、边想、边总结 题型一:导数的运算: 例1、设函数()f x 在2x =处可导,且()/ 21f =,则()() 222lim h f h f h h →+--= ; 方法小结: 变式练习:1、已知()/ 02f x =,则()() 000 2lim h f x h f x h →--= ; 2、已知()/ f a b =,则()() 32lim h f a h f a h h →+--= ;()( ) () 2 lim x f a x f a x →+-= 3、已知函数()ln 1.f x x =+则 ()() 121lim x f x f x →--= 4、已知f (3)=3,(3)=-2,则:的值为 . 例2、求下列函数的导数 1、 利用定义求y = 2x =处的导数

方法小结: 变式练习:利用定义求4 y x =的导数 2、 求下列函数的导数 1、2311y x x x x ??=+ + ?? ?,2、sin cos 22x x y x =-,3、ln y x x =,4、sin 23y x π? ?=+ ?? ?, 5、()3 sin y ax b x =-,6、21x y e =+,7、()1ln 1x y x x a -=+++,8、()ln ln 2y x x ax =+-+ 9、) 11y ?= ?? ,10,y =11、2 x e y x ax a =++,12、()1ln 11x y ax x -=+++ 13、y =x (1+|x |).14、y =x 2e x ;15、y =e x +1 e x -1 ; 方法小结: 题型二:函数基本性质与导数的运算相关题型: 1、 等比数列{}n a 中184,2,a a ==函数()()()()128,f x x x a x a x a =--- 则()/ 0f = 2、 已知二次函数()2 f x ax bx c =++导数为()/ f x ,()/00f >对于任意数x 都有()0f x ≥,则 () () / 10f f 的最小值为 3、 ()f x 定义在R 上的可导函数,且满足()()/ 0xf x f x +<,对于任意,a b ,若a b <则必有( ) A 、()()af b bf a > B 、()()bf a af b > C 、()()af a bf b > D 、()()bf b af a > 4、已知函数()/ cos sin 4f x f x x π?? =+ ??? ,则4f π?? ??? = 5、已知函数()()2/ 21,f x x xf =+则()/0f = 6、()f x 定义在()2,2-上的可导函数,且()/ 22cos f x x x =+,且()00f =,则满足 ()()210f x f x x ++->的实数x 的取值范围 7、函数()32 1122132 f x ax ax ax a = +-++的图像经过四个象限,则实数a 的取值范围 8、已知函数定义在R 上的奇函数,()20f =,当0x >时,有()() /2 0xf x f x x -<成立,则不等式

选修11第三章导数及其应用教案

第三章导数及其应用 备课人周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法;正确理解导数的定义、几何意义; 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率,建立导数的概念;掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下,让学生积极主动地探索导数概念的形成过程,锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1.什么叫瞬时速度?(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度? 在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度h(单位:m)及起跳后的时间t(单位:s)存在关系()10 =t t t h, - + 5.6 9.42+ 那么我们就会计算任意一段的平均速度v,通过平均速度v来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多

少? 我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ,请同学们完成表格1左边部分,(事先准备好的),再完成表格的右边部分〉 表格1 格2 0?t 时,在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时,-=v 13.051; 当=?t 0.01时,-=v 13.149; 当-=?t 0.001时,-=v 13.095 1; 当=?t 0.001时,-=v 13.104 9; 当-=?t 0.000 1时,-=v 13.099 51; 当=?t 0.000 1时,-=v 13.100 49; 当-=?t 0.000 01时, -=v 13.099 951; 当=?t 0.000 01时,-=v 13.100 049;

第三章 中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用 一、基本要求 (1)深刻理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理,会利用微分中值定理做一些证明题。 (2)熟练掌握洛必达法则。 (3)掌握函数单调性的判别法。 (4)理解函数极值的概念,并掌握其求法。 (5)理解函数最值得概念,并掌握其求法,能解决较简单的最值应用问题。 (6)理解曲线凹凸性和拐点的概念,会判断曲线的凹凸性,会求拐点。 (7)能描绘函数的图形(包括渐近线)。 (8)知道弧微分概念,并会求弧微分。 (9)了解曲率、曲率半径的概念。 二、重点与难点 重点:微分中值定理的应用;洛必达法则;函数最值及其求法。 难点:微分中值定理的应用;泰勒公式。 三、释疑解难 问题3.1 罗尔定理中“函数()f x 在闭区间[,]a b 连续,在开区间(,)a b 可导”这两个条件,是否可以合并成“函数()f x 在闭区间[,]a b 可导”这一条件,这样不是更简便吗? 答 ()f x “在[,]a b 可导”不仅包含了()f x “在[,]a b 连续,在(,)a b 可导”,而且包含了 ()f a +'与()f b -' 都存在。这样,条件增强了,必然引起罗尔定理适用范围的缩小。例如, ()f x =满足“在[1,1]-连续,在(1,1)-可导”,(1)(1)0f f -==,于是,存在 (1,1)ξ∈- ,使得()0f ξ ξ='===,可以看出,0(1,1)ξ=∈-,但 是,()f x =1x =±不可导,不满足“在[1,1]-可导”。 在进行数学研究时,应力求将命题的条件减弱,以扩大其适用范围。 问题3.2 罗尔定理的结论为存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=,那么,ξ是否一定是()f x 的极值点? 答 罗尔定理中的ξ在(,)a b 可以有多个,其中有的ξ可以是()f x 的极值点,有的ξ可 以不是()f x 的极值点。例如,3 ()(53)4 x f x x =-,在[1,2]-满足罗尔定理的条件。令23()(54)04f x x x '= -=,得()0F ξ'''=。10ξ=不是()f x 的极值点,25 4 ξ=是()f x 的极大值点。

第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章) 时间:90分钟 分值:150分 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.已知f (x )=(x +a )2,且f ′(1 2)=-3,则a 的值为( ) A .-1 B .-2 C .1 D .2 解析:f (x )=(x +a )2,∴f ′(x )=2(x +a ). 又f ′(1 2)=-3,∴1+2a =-3,解得a =-2. 答案:B 2.函数y =sin x (cos x +1)的导数是( ) A .y ′=cos2x -cos x B .y ′=cos2x +sin x C .y ′=cos2x +cos x D .y ′=cos 2x +cos x 解析:y ′=(sin x )′(cos x +1)+sin x (cos x +1)′=cos 2x +cos x -sin 2x =cos2x +cos x . 答案:C 3.函数y =3x -x 3的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,-1) C .(-1,1) D .(1,+∞) 解析:f ′(x )=3-3x 2>0?x ∈(-1,1).

答案:C 4.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2+2,则t =2秒时,汽车的加速度是( ) A .14 B .4 C .10 D .6 解析:依题意v (t )=s ′(t )=6t 2-10t , 所以a (t )=v ′(t )=12t -10,故汽车在t =2秒时的加速度为a (2)=24-10=14. 答案:A 5.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π 2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 解析:f ′(x )=x cos x +sin x ,f ′(π 2)=1, ∴k =-a 2=-1,a =2. 答案:D 6.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( ) A .1 B .3 C .-4 D .-8 解析:

相关文档
相关文档 最新文档