新课标全国III卷理科数学2016-2019年高考分析
及2020年高考预测
话说天下大势,合久必分,分久必合,中国高考也是如此.2000年,教育部决定实施分省命题.十多年后,由分到合.
2019年,除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行全科自主命题外,大陆其他省区全部使用全国卷.
研究发现,新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性.每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定.掌握了全国卷的各种题型,就把握住了全国卷命题的灵魂.基于此,笔者潜心研究近4年全国高考理科数学III卷(丙卷)和高考数学考试说明,精心分类汇总了全国卷近4年所有题型.为了便于读者使用,所有题目分类(共17类)列于表格之中,按年份排序.高考题的小题(填空和选择)的答案都列在表格的第三列,便于同学们及时解答对照答案,所有解答题的答案直接列在题目之后,方便查看.
本文档是第三次修订,为了适应不同基础的考生使用,特别新增了选择题和填空题的解法,解法大都体现“小题小做”.
为了帮助同学们研究解答题的压轴题,在文档末,附有函数导数和解析几何这两个重要模块的经典题的解题研究.
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一、集合与简易逻辑小题:
1.集合小题:4年4考,每年1题,都是交并补子运算为主,多与不等式交汇,新定义运算也有较小的可能,但是难度较低;基本上是每年的送分题,相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大. B =( }
.已知集合
D .12B ={,},选 1.已知集合22{(,)1}A x y x y =+=,{(,)}B x y y x ==,则A B 中元素的个数为
A .3
B .2
C .1
D .0
B
(1)设集合{}{}
(x 2)(x 3)0,T |0S x x x =--≥=> ,则S T =
(A) [2,3] (B)(-∞ ,2] [3,+∞)
(C) [3,+∞) (D)(0,2]
[3,+∞)
D
{A =B =
2.简易逻辑小题:4年0考.这个考点包含的小考点较多,并且容易与函数,不等式、数列、三角函数、立体几何交汇,热点就是“充要条件”;难点:否定与否命题;冷点:全称与特称,思想:逆否.要注意,这类题可以分为两大类,一类只涉及形式的变换,比较简单,另一类涉及命题真假判断,比较复杂.下面举一个全国1卷的例子.
二、复数小题:4年4考,每年1题,以四则运算为主,偶尔与其他知识交汇,难度较小.一般涉及考查概念:实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等.
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三、平面向量小题:4年4考,每年1题,向量题考的比较基本,突出向量的几何运算或代数运算,不侧重于与其它知识交汇,难度不大(与全国其它省份比较).我认为这样有利于考查向量的基本运算,符合考试说明. 5b -5b -5a -2455||9a b b -?+=,所以|3c =,所以cos ,a c <>=
133
a c ==?? 13.已知向量a
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12.在矩形ABCD 中,1,2AB AD ==,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相
切的圆上.若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为 A .3
B .22
C .5
D .2
12.在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ,则λ+μ的最大值为
A .3
B .22
C .5
D .2
解析:如图,建立平面直角坐标系
设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y
A
6
(3)已知向量 , 则ABC= (A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
解析:由题意,得,所以
,故选A .
A
四、三角函数小题:
4年10考.题目难度较小,主要考察公式熟练运用,平移,由图像性质、化简求值、解三
角形等问题(含应用题),基本属于“送分题”.考三角小题时,一般是一个考查三角恒等变形或三角函数的图象性质,另一个考查解三角形. 13(,
)22
BA =uu v 31
(,),22BC =uu u v ∠1331
32222cos 112||||
BA BC ABC BA BC ?+?
?∠===?30ABC ∠=?
≤≤π
x
02
7
62k
ππ
π
=+
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五、立体几何小题:
4年6考(不包括三视图,已删去),球体是基本的几何体,是发展空间想象能力的很好载体,是新课标的热点,主要计算体积和表面积.“点线面”在小题中频繁考查,但是难度不大.
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C.BM EN =,且直线BM ,EN 是异面直线
D.BM EN ≠,且直线BM ,EN 是异面直线
解析:如图所示, 作EO CD ⊥于O ,连接ON ,过M 作MF OD ⊥于F . 连BF ,
平面CDE ⊥平面ABCD .
,EO CD EO ⊥?平面CDE ,EO ∴⊥平面ABCD ,MF ⊥平面ABCE ,
MFB ∴?与EON ?均为直角三角形.设正方形边长为2,易知3,01
2EO N EN ===,
35
,,722
MF BF BM =
=∴=.BM EN ∴≠,故选B .
3D
16.,a b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
②③,a b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;
②当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;
③直线AB与a所成角的最小值为45;
④直线AB与a所成角的最大值为60.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)
正确的说法为②③.
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六、推理证明小题:4年0考,但是全国2卷考了,但也不是常规的数学考法,倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题,但这是个信号.2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题,这个题已经是教材的一个例题;上海市是最喜欢考类比推理的,上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题.这类题目不会考察“理论概念”问题,估计是交汇其他题目命题,难度应该不大.适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的.
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七、概率小题:
4年2考,难度较小.下表列上了全国2的部分考题。 46104
B(10,p),DX=10p(1P(X=4)=C (1)(1)p p -<-
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年
(10)从区间
随机抽取2n 个数
,
,…,,,,…,,构成n 个数对
,
,…,
,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方
法得到的圆周率 的近似值为
(A ) (B ) (C ) (D )
解析:由题意得:()()12i i x y i n =???,,,
,在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知π
41m n
=,∴
4πm
n
=
,故选C . C
年 5. 某地区空气质量监测资料表明,
一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两为优良的,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是
八、统计小题:
4年2考.其实统计考个小题比较好的,各地高考及模拟高考小题居多.因为这个考点内容实在太多:频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、二项分布、正态分布等.
年3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
解析:由折线图,7月份后月接待游客量减少,A错误;本题选择A选项.
A (4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低
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(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温
差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C的月份有5个
九、数列小题:
全国3理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个,考解答题时一般不再考小题,不考解答题时,就考两个小题,交错考法不一定分奇数年或偶数年.
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9.等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若236,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为
A .-24
B .-3
C .3
D .8
A
{}a 1,3a a a a +=--=-a =-8
十、圆锥曲线小题:
4年9考。太重要了!!全国卷注重考查基础知识和基本概念,综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系,多数题目比较单一,一般一个容易的,一个较难的.
PO PF
=
妨设为
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