第六章 数理统计的基本概念

第六章 数理统计的基本概念

§6.1基本概念 §6.2样本数字特征

一、填空题

1. 若12,,n X X X ,为来自总体X 的容量为n 的样本，则样本均值X = ，样本方差2S = ；

解：抽样分布定义：X = ∑=n

i i X n 11 ，样本方差2S = 21

1()1n

i i X X n =--∑

；

2．设总体(4,40)X N , 1210,,X X X ,是X 的简单随机样本，则X 的概率密度()f x = ； 解：因为2

(,

)(4,4)X N N n

σ

μ=

，所以2

2

(4)(4)8

24

()x x f x ---

-

?=

=

.

3．某种灯泡的寿命X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,n X X X ，是取自总体X 的简单随机样本，则12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 ；

解： 因为X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，其密度函数为，,0()0,

0i x i i i e x f x x λλ-?>?=?≤??，

所以12(,,)n X X X ，的联合密度函数为

1121,0,(,,)()0,n

i

i x n

n

i n i i e x f x x x f x λλ=-=?∑?>==???

∏ ，其它.

4．设总体2

(,2)X N μ ，12,,n X X X ，为取自总体的一个样本，X 为样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取多大 ； 解：由题设：()4

(),()D X E X D X n n

μ==

=，利用公式：22()()()E X D X E X =+， 2

2

4

()()()()00.1,40E X D X E X D X n n

μμμ-=-+-=+=

≤?≥. 5．设n X X X ,,21 ，

是来自总体2

(,)N μσ的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间2222

11()(),n n i i i i X X b a μμ==??-- ???

∑∑的长度的数学期望为 。 解：长度为2222222

2222

222211

11()()()(2)n

n n n i i i i i i i i i X X b a b a L X X X a b a b a b μμμμμ====----=-=-=-+∑∑∑∑， 所以 2222222222

2222222211()(2)(2)()n n i i i i b a b a n E L E X X b a a b a b a b

σμμσμμμμ==--=-+=+-+=-∑∑.

二、选择题

1. 设(1,4)X N ，12,,n X X X ,为X 的样本，则（C ）

（A ）

1~(01)2X N -，； （B ）1~(01)4X N -，； （C

~(01)N ，； （D

~(01)N ，. 2．设12,,n X X X ,是总体X 的样本，则有（D ）

（A ）()X E X =； （B ）()X E X ≈； （C ）1

()X E X n

=

； （D ）以上三种都不对. 3．设总体(2,9)X N , 1210,,X X X ,是X 的样本，则（B ）

（A ）(20,90)X N ； （B ）(2,0.9)X N ； （C ）(2,9)X N

； （D ）(20,9)X N .

4．设总体2(,)X N μσ , 其中μ已知, 1234,,X X X X ,是X 的样本，则不是统计量的是（C ） （A ）145X X +； （B ）4

1i i X μ=-∑； （C ）1X σ-； （D ）

4

21

i

i X

=∑.

5．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<，数a u 满足{}a P X u α>=，若

{||}P X x α<=，则x 等于（C ）

（A ）2

a u ； （B ）12

a u

-；

（C ）12

a u -； （D ）1a u -.

解：考查正态分布百分位点概念.由题设 {}a P X u α>=，可得 12

1{||}{||}1{}

2

a P X x P X x P X x x u

α

α

α--<=?≥=-?

≥=?

=. 故答案取C.

6．设12,,n X X X ，是来自正态总体2

(,)N μσ的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，

则（C ）

（A ）2

222()E X S μσ-=-； （B ）2

222()D X S μσ+=+； （C ）22()E X S μσ-=-； （D ）22()D X S μσ+=+. 解：考查样本数字特征.因为 2

2

2

2

2

2

(),(),()()()E X E S E X D X E X n

σμσμ===+=+

，

可得 2

22

()()

()E X S E X E S μσ-=-=-，故答案取C.

三、 计算题

1． 设有下列样本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512求x 和2

s 。

解： 5089.0)512.0506.0497.0(9

1

=+++= x ；

000118.0])5089.0512.0()5089.0506.0()5089.0497.0[(8

1

2222=-++-+-= s 。

2．设X 是12,,,n X X X 的样本均值，Y 是1235,35,,X X ++ ,53+n X 的样本均值，求证35Y X =+。

证明：由于1

1n

i i X X n ==∑ ， 所以11111(35)3()535n n i i i i Y X X n X n n n ===+=+?=+∑∑。

3．从一批零件中随机地抽取10件，记录其抗压强度数据为：48，70，51，51，70，68，73，68，51，73，求出关于该样本的样本分布函数。 解； 由题意列表：

因此可得样本分布函数 101/10, 4851,4/10, 5168,

()6/10, 6870,8/10, 7073,1, 73.

x x F x x x x ??≤

?≤<=?≤

≤?

4．设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：

求样本容量n n 解：设i X 是第i 天售出的台数，1,2,,100i = ，所以样本容量100n =；

样本均值 100111385

(220330*********) 3.85100100

100i i X X ===?+?+?+?+?==∑； 样本方差 100

2

21

1()1001i i S X X ==--∑ ()222221

20(2 3.85)30(3 3.85)10(4 3.85)25(5 3.85)15(6 3.85)99

=?-+?-+?-+?-+?- 192.75

1.94799

=

≈；

经验分布函数 0,

2,0,

2,201

,23,,23,10052030

1

,34,,34,1002

()()5010

3,45,,45,1005602515

,56,,56,1002085151,6.

,6.100

n n x x x x x x F x F x x x x x x x

≤

?=?

=+??

≤

?+??≤

?+??≤≤??? 5. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体2

(,)N μσ中的一个大小为4的样本，其中μ已知，但2σ未知，指出下面随机变量中哪些是统计量？ （1）1234X X X X +++；（2）

4

22

1

1

()i

i X

μσ=-∑； （3）12max{,}X X ；

（4）4X μ+； （5）141()2X X +； （6X . 其中4

1

14i i X X ==∑.

解： 由定义知：（1），（3），（4），（5）是统计量；而（2），（6）中的随机变量因含有未知的2σ，故不是统计量。

6. 12,,n X X X ，是取自正态总体2

(,)N μσ中的一个样本，12, m U X X X =+++

12 m m n V X X X ++=+++ ( )n m >.求,U V 的联合密度函数。

解： 因为 n i X i ,,1 , = 都服从正态分布，所以,U V 都是正态随机变量的线性组合，故,U V 都是正态随机变量，且,U V 互相独立.

又 2

2

(),(); ()(),()()E U m D U m E V n m D V n m μσμσ===-=-. 所以，2

2

~(,); ~[(),()]U N m m V N n m n m μσμσ--，

所以，V U ,的联合密度为)()(),(y f x f y x f V U ?=.故我们得到V U ,的联合密度函数如下：

22

22()()(,)}22()x m y n m f x y m n m μμμσσ--+=---

22

22

()()} 22()x m y n m m n m μμμσσ--+=

---。 7．从正态总体(3.4,36)N 中抽取容量为n 的一个样本， 如果要求样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95, 问样本容量n 至少应取多大? 解：由于 36

~(3.4,

)X N n

， 所以有：

{

}

1.4 5.4P X P ??

<<=<<

210.95, =-=-≥ΦΦΦ

0.975 1.96 34.57n ?≥?≥?≥Φ，

所以样本容量n 至少应取35。

8．设有一枚均匀的硬币，以X 表示抛一次硬币正面向上的次数，试问要抛多少次才能使样本均值X 落在[0.4，0.6]内的概率不小于0.9？

解：(1,0.5)X B ，()0.5, ()0.25E X D X ==，在n 较大时，可以近似认为0.25

(0.5,

)X N n

， 则按要求：{

}

0.40.6210.9P X <<≈-=-≥ΦΦΦ，

即要求：0.95≥Φ

，查正态分布表 1.64567.65n ≥?≥，即至少应抛68次。 9．当随机变量12,,n X X X ，独立同分布且为正时, 试证:

n

X X X X E n 1211=??????++ . 证明：考察随机变量

1212n 121212=

=,=

n

n n n

X X X Y Y Y X X X X X X X X X ++++++ ，，， 由题设12,,n X X X ，同分布，所以12,,n Y Y Y ，也同分布，因之具有相同的数学期望. 故 12()()()n E Y E Y E Y === ， 又 121n Y Y Y +++= ，

所以 12()(1)1n E Y Y Y E +++== ， 即 12()()()1n E Y E Y E Y +++= ，

可知有 11()E Y n =

，即 n X X X X E n 121

1

=??????++ . 10．设2

(,)X N μσ ，其中2,

μσ均为未知，从总体中抽取简单随机样本122,,(2)n X X X n ≥ ，

，样本均值为2112n

i i X X n ==∑，求统计量()

2

1

2n

i n i i Y X X X +==+-∑的数学期望()E Y 。

解：易知1122(),(),,()n n n n n X X X X X X ++++++ 相互独立，且都服从正态分布2(2,2)μσ，因此可将

其视为取自总体2(2,2)Z N μσ 的容量为n 的简单随机样本，其样本方差为

2

211

11[()()]1n n

i n i i n i i i S X X X X n n ++===+-+-∑∑ 221112[()]12n n

i n i i i i X X X n n +===+--∑∑ 2111[()2]11

n i n i i X X X Y n n +==+-=--∑， 因为样本方差是总体方差的无偏估计，即22()()2E S D Z σ==，故

22()((1))2(1)E Y E n S n σ=-=-。

11．设12,,(2)n X X X n ≥ ，为来自(0,1)N 的简单随机样本，

X 为样本均值，记,1,2,,i i Y X X i n =-= ；求 (1) i Y 的方差(),1,2,,i D Y i n = ； (2) 1cov(,)n Y Y 。

解：(1) 因为 ()0,()1,1,2,,i i E X D X i n === ，所以 1

()0,()E X D X n

==，

1111111

()n i i i i i i i n i n Y X X X X X X X X X n n n

-+=-=-=-=-+++++∑ ，

所以 22

21112

211(1)(1)1()()()i i i i n n n n n D Y D X D X X X X n n n n n -+----????

=++++++=+= ? ?????

； (2) 注意到12,,n X X X ，的独立性，有 0,,

c o v (,)1,,

i j i j X X i j ≠?=?

=? 所以有

11cov(,)cov(,)n n Y Y X X X X =--11cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)n n X X X X X X X X =--+

102cov(,)()X X D X =-+1111

2cov(,)n i i X X n n ==-+∑

1121211

cov(,)X X n n n n n

=-+=-+=-。

§6.3正态总体的抽样分布

一、填空题

1. 设总体2

(,)X N μσ ，样本容量为n ，则X ～ 分布，

2

2

(1)n S σ

-～ 分布；

解：抽样分布定义：X ～2

(,

)N n

σμ，

2

2

(1)n S σ

-～2(1)n χ-.

2．设12,,n X X X ，是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则当,a b =

=

时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为 ；

解：因为：12341234(2)0,(34)0,(2)20,(34)100,E X X E X X D X X D X X -=-=-=-=

所以有：

(0,1),(0,1)N N ， 从而

2

2

2

(2)X χ=+ ， 即 11,20100

a b =

=，自由度为2. 3. 设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N ，而129,,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自

X 和Y

的简单随机样本，则统计量U =

服从 分布，参数为 ；

解：因为 129(0,1)9X X X N +++ ，而 222

2

129(0,1)(9)

39

i Y Y Y Y N χ+++? ， 所以

(9)

U t =

=

，

即服从参数为9的t 分布. 4. 设总体X 服从正态分布(0,4)N ，12,,,n X X X 而是来自总体X 的简单样本，则统计量

22

110

22

11152()

X X Y X X ++=++ 服从 分布，参数为 ； 解：因为 (0,4)X N ，

22

2110

(10)4

X X χ++? ，2221115

(5)4

X X χ++?

，

所以 22

110

22

1102222

1115

1115104(10,5)2()5

4

X X X X Y F X X X X ++++==++++ ，即服从参数为(10,5)的F 分布. 5. 1217,,X X X ，是来自总体2(,2)N μ的简单随机样本， 2,X S 分别为样本均值及样本方差，

{}20.01P S a >=，则a = ；

解：因为

2

2

2

(1)(1)n S n χσ-- ，故对17n =，2

22164(16)4

S S χ= ，

所以由 {}{}

22440.01P S a P S a >=>=，查2(16)χ分布表，可得百分位点

20.014(16)328a a χ==?=.

6．从正态总体2

(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，2

S 为样本方差，则2

2

S D σ

??

= ???

； 解：因为 2

2

22

(161)(161)S χχσ

-=

- ，注意2χ分布的方差：2[()]2D n n χ=，

所以有 2

222

2222

11511512

215151515

15

S S S D D D σσσ??????=?==??= ? ? ???????. 7．随机变量X 服从自由度为12(,)n n 的F 分布，则随机变量1/T X =，服从 分布，参数为 。 解： 因为X 服从自由度为12(,)n n 的F 分布，

即存在 21()U n χ ，22()V n χ ，且,U V 独立，1

2

U n X V n =

； 而 2

1

1V n Y X U n ==

，故Y 服从自由度为21(,)n n 的F 分布. 二、选择题

1. 设12,,n X X X ，为来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则下列表达式正确的是 ( D )

（A

(1)t n - ； （B ）(0,1)X N ；

（C ）(1)X

t n S - ； （D ）221

()(1)n

i i X X n χ=--∑ . 2．设12,,n X X X ，为来自正态总体2(,)N μσ容量为n 的简单随机样本，X 是样本均值，记

2

2111()1n i i S X X n ==--∑，22211()n i i S X X n ==-∑，22311()1n i i S X n μ==--∑，2

241

1()n i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是（B ）

（A

）t =

（B

）t = （C

）t （D

）t .

解：注意t

分布的定义：(1)T t n =

- ，看哪一个适合，

==

，

故答案取（B ）.

3．设12,,n X X X ，为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则（D ）

（A ）

2

2

2

(1)X

χσ ； （B ）

2

2

2

(1)S n χσ- ； （C ）

(1)X t n S - ； （D ）2

2(1,1)S F n nX

- . 解：因为2

(0,)i X N σ ，所以 2

(0,)X N n

σ ，

(0,1)N ?

，

(0,1)N ?

，2

2

2

2(1)nX χσ?=?

?

， 而

2

2

2

(1)(1)

n S n χσ

-- ，所以有：2

22

2

2

2

(1)(1)

(1,1)1

n S n S F n nX

nX

σ

σ--=- .故答案取（D ）.

4．样本12,,n X X X ，取自标准正态分布总体(0,1)N , S X ,分别为样本均值及样本标准差, 则(C )

（A ）(0,1)X N ； （B ）(0,1)nX N ； （C ）

221

()n

i

i X

n χ=∑ ； （D ）/(1)X S t n - .

解：此题复习各种统计量的形式，注意()1()()0,()i i D X E X E X D X n n ===

=，所以1

(0,)X N n

； 而22()

()()0,()()i i D X E nX nE X D nX n D X n n n

====?

=，所以 (0,)nX N n ；

(1)X

t n S

=

- ； 故正确答案是(C )，2χ分布的定义. 5. 设12,,,n X X X 和12,,,m Y Y Y 是分别来自总体2

11(,)N μσ和2

22(,)N μσ的样本，且相互独立, 则

2

2

2

2

1

1

121

1

()()

n

m

i

i

i i X

X Y Y σ

σ

==-+

-∑∑服从的分布是（C ）

（A ）()t m n +； （B ）2()m n χ+； （C ）2

(2)m n χ+-； （D ）(,)F m n . 6．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（C ）

（A ）X Y +服从正态分布； （B ）22

X Y +服从2χ分布；

（C ）2X 和2Y 都服从2χ分布； （D ）22

/X Y 服从F 分布. 解：(0,1)X N ，22(1)X χ?

，同理22(1)Y χ ，所以2X 和2Y 都服从2χ分布，

（C ）成立. 如果附加X 和Y 独立的条件，则（A ）（B ）（C ）（D ）均成立. 7. 设随机变量2

1

(),1,X t n n Y X >=

, 则（C ） （A ）2()Y n χ

； （B ）2(1)Y n χ- ； （C ）(,1)Y F n ； （D ）(1,)Y F n .

解：由t

分布定义：X ，且(0,1)U N ，2()V n χ ， 所以 221V n

Y X U

==，其中 22(0,1)(1)U N U χ? ，2()V n χ ， 故 221(,1)1

V n

Y F n X U == ，故答案取（C ）. 三、 计算题

1. （1）求等式0.05{(8,7)(8,7)}0.05P F F >=中的0.05(8,7)F ； （2）求等式 0.95{(7,8)(7,8)}0.95P F F >=中的0.95(7,8)F 。

解：（1）对于128, 7, 0.05n n α===，由附表（F 分布表）可查得：0.05(8,7) 3.73F =； （2）对于127, 8, 0.95n n α===，应用下面的公式：121211

(,)(,)

F n n F n n αα-=

，

以及（1）的结果可得：0.950.0511

(7,8)0.268(8,7) 3.73

F F =

=≈。

2．设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2()X n χ ，证明：()E X n =，()2D X =。

证明： 因为 2()X n χ

，则 (), ()2E X n D X n ==，

所以 1111()()n n i i i i E X E X E X E X n n n ==????

==== ? ?????

∑∑，

21111()2 ()2n n i i i i D X n

D X D X D X n n n n ==????===== ? ?????

∑∑。

3．假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知()(1,2,3,4)k

i k E X a k ==.证明当n 充分大时，

随机变量2

1

1n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，并指出其分布参数。

证明：依题意，12,,,n X X X 独立同分布，因而222

12,,,n

X X X 也独立同分布且有 224222

242

(),()()[()]i i i i E X a D X E X E X a a ==-=-， 根据列维-林德伯格中心极限定理，随机变量

2

2

2

21(0,1)n

n i

i n X

na X a Y N --=

=

=

∑∑ 近似

，

所以当n

充分大时，随机变量2n n Z Y a =

+也近似服从正态分布，

其分布参数分别为：2

2

42

2(),()n n a a E Z a D Z n

μσ-====。

4. 设总体2

~(0,0.3)X N ，1210,,,X X X 是取自总体的一个样本，求1021 1.44i i P X =??

>????

∑。

解： 因为 ~(0,1)0.3

i X

N ， 则

2

10

1022111~(10)0.30.09i i i i X X χ==??= ?

??

∑∑， 所以 {}1010222

11

1 1.441.44(10)160.10 0.090.09i i i i P X P X P χ==????>=>=>=????????∑∑。 5．设12,,n X X X ，是取自正态总体2

(,

)X N μσ 的简单随机样本，1

1n

n i i X X n ==∑，

2

211()1n n

i i S X X n ==--∑.1n X +是对X

的又一独立观测值，试证统计量T =服从自由度为1n -的t 分布。

证明：将统计量改写为：

()=

*

由于1n X +与i X 相互独立，2

11(,)n n i i X X N n n

σμ==∑ ，21(,)n X N μσ+

所以 211()0,(1)n n X X N n

σ+??-+ ??

?

，从而

(0,1)N ；

又注意到：n X 与2n S 相互独立，1n X +也与2

n S 相互独立，且2

22

(1)(1)n n S n χσ

-- ；

故由（*）式可得：

(1)t n =

- 。

6．设12,,,n X X X 是取自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，2

S 为样本方差，试求2()E S 与2

()D S 。 解：因为

2

2

2

(1)(1)n S n χσ-- ，则2222(1)(1)1,2(1)

n S n S E n D n σσ????

--=-=- ? ? ? ?????

， 利用期望与方差的性质即得：

2222

(1)

()1,()n E S n E S σσ-=-?=. 2

4222(1)2()2(1),()1n D S n D S n σσ-??=-?= ?-??

。

数理统计的基本概念知识点

10 06 数理统计的基本概念 知识网络图 正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→???? ?????????????? 主要内容 一、样本 我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21Λ称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21Λ表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21Λ表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 二、.统计量 1.定义：称不含未知参数的样本的函数),,,(21n X X X f Λ为统计量 2.常用统计量 样本均值 .11 ∑==n i i x n x 样本方差 ∑=--=n i i x x n S 122.)(11 样本标准差 .)(111 2∑=--=n i i x x n S 样本k 阶原点矩 ∑===n i k i k k x n A 1 .,2,1,1Λ 样本k 阶中心矩

∑==-=n i k i k k x x n B 1 .,3,2,)(1Λ μ=)(X E ，n X D 2 )(σ=， 22)(σ=S E ，221)(σn n B E -=, 其中∑=-=n i i X X n B 1 22)(1，为二阶中心矩。 三、抽样分布 1.常用统计量分布 （1）设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量，且均服从与标准正态分布)1,0(N ，则222212n n X X X X Λ++=，服从自由度为n 的-2χ分布，记为()n 2~χχ. （2）设()()n Y N X 2~,1,0~χ，且X 与Y 相互独立，则.n Y X T =服从自由度为n 的-t 分 布，记为()n t T ~. （3）设X 与Y 相互独立，分别服从自由度为1n 和2n 的-2χ分布，则1 22 1n n Y X n Y n X F ?==。服从自由度为()21,n n 的-F 分布，记为()21,~n n F F 2.正态总体场合 设n X X X ,,,21Λ是从正态总体()2,σμN 中抽取的一个样本，记 ()2 1211,1∑∑==-==n i i n n i i X X n S X n X ，则 （1）;,~2??? ? ??n N X σμ （2）X 与2 n S 相互独立. （3）()()1~1222 --n S n χσ；或()1~)(2212 --∑=n X X n i i χσ

天津理工大学概率论与数理统计第六章习题答案详解

第六章 数理统计的基本概念 一.填空题 1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本， 则∑==n i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ . 2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2 σμN X 则~)(22 1n S n σ - )(1χ2-n ； ~)(n S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122 11)(。 3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本， +-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 20 1=a 时，=b 1001=b 时，统计量X 服从2 X 分布，其自由度为 2 . 4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而12 9(,, ,) x x x 和 129(,,,)y y y 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 ~U = (9)t . 5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 12 9 ,, ,X X X 与 1216 ,,,Y Y Y 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2 1292 22 1216 X X X Y Y Y ++ +++ +服从的分布为 (9,16).F 6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立, 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布. 解： 由T =, 得22 X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ

金融数学专业攻读硕士学位研究生(学术型)

金融数学专业攻读硕士学位研究生（学术型）培养方案 （专业代码：070121） 一、培养目标 在本门学科上掌握坚实的理论基础和系统的专门知识；具有从事科学研究工作或独立担负专门技术工作的能力。培养面向世界，面向未来，面向现代化，德智体全面发展的，为社会主义现代化建设服务的高层次专门人才。具体要求是： 1、较好地掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平建设有中国特色的社会主义理论，坚持四项基本原则, 树立正确的世界观、人生观、价值观，遵纪守法，热爱祖国，热爱社会主义，具有勇于追求真理和献身于科学教育事业的敬业精神，富有历史责任感。具有良好的道德品质和学术修养。 2、掌握本专业坚实的基础理论和系统的专业知识，了解本学科目前的进展与动向，具有从事科学研究工作或独立担负专门技术工作的能力。 3、掌握一门外国语，并能运用该门外国语比较熟练的阅读本专业的外文资料。 4、具有健康的体魄和心理素质。 二、研究方向 1、非线性数学期望及其在金融中的应用 2、保险，金融中的数学理论和应用 3、随机分析在数理金融中的应用 4、金融数学，金融工程与金融管理 5、金融统计 6、数理经济 三、学习年限 全日制硕士研究生的学制为3年，在校学习期限为2-3年。原则上不提前毕业，对于特别优秀者，最多可提前一年。提前毕业的硕士研究生除完成培养方案规定的课程外，必须有一篇以上SCI论文发表，并须经学位委员会审核通过。所取得的科研成果均要求研究生为第一作者，作者单位需为山东大学。 四、培养方式 根据宽口径、厚基础的原则，提倡按一级学科培养硕士研究生；充分利用校内外优质教育资源，鼓励研究生进行“三种经历”，实行双导师合作培养。 五、应修满的总学分数 应修总学分：30 ，其中必修24学分（含前沿讲座与社会实践），选修 6学分。 六、课程的类别及设置 硕士研究生课程分为必修课与选修课两大类。 1．必修课是为达到培养目标要求，保证研究生培养质量而必须学习的课程。必修课分学位公共课、学位基础课和学位专业课。学位基础课一般按一级学科进行设置，学位专业课一般按二级学科设置。 经学校批准建设的全英语教学课程要纳入培养方案的课程体系中。如本专业培养方案中有2门及以上全英语教学必修课程的，相应专业研究生可免修专业外语，直接获得相应学分。 （1）思想政治理论，计3学分； （2）第一外国语，计3学分。 由学科开设的专业必修课包括：

第六章、数理统计的基本知识解答

第五章、数理统计的基本知识 五、证明题： 1．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ. 2．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，所以，它们的线性组合 112 22111111[, ()](,)n n i i i i n n i i X X X n n N N n n n σμσμ======??=∑∑∑∑ 即样本均值X 服从正态分布2 (, )N n σμ。所以，将X 标准化，即得 ~(0,1 )u N = . 3．证：因为随机变量12,,,n X X X 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布 2(,)N μσ，即 2~(,),1,2,i X N i n μσ= 所以得 ~(0,1),1,2,,i X N i n μ σ -= 又因为12,,,n X X X 相互独立，所以 12,,, n X X X μ μ μ σσσ --- 也相互独立。 于是，2 2 222 1 1 1 ()( )~()n n i i i i X X n μ μσ σ ==-χ= -=χ∑∑.

4．证：由§5.4定理2知，统计量 ~(0,1) u N =； 又由§5.4定理4知，统计量 2 22 2 (1) ~(1) n S n σ - χ=χ- 因为X与2S 独立，所以统计量u= 2 2 2 (1) n S σ - χ=也是独立的。于是，根据§5.3定理2可知，统计量 ~(1) t t n ===-. 5．证：由§5.4定理1知： 22 12 12 12 ~(,),~(,) X N Y N n n σσ μμ. 因为X与Y独立，所以可知： 22 12 12 12 ~(,) X Y N n n σσ μμ --+. 于是，得 ~(0,1) U N =. 6．证：由§5.4定理6的推论知，统计量 ~(0,1) U N =. 又由§5.4定理4知： 2 22 11 11 2 2 22 22 22 2 (1) ~(1), (1) ~(1). n S n n S n σ σ - χ=χ- - χ=χ- 因为2 1 S与2 2 S独立所以2 1 χ与2 2 χ也是独立的，由2χ分布的可加性可知，统计量

应用统计硕士专业学位研究生培养方案

应用统计硕士专业学位研究生培养方案 （专业代码025200） 一、培养目标 为适应经济社会发展的需要，以实际应用为导向，职业需求为目标，培养具有良好的职业道德和社会责任，能够熟练掌握数据采集、数据处理与挖掘，熟练应用计算机处理和数据分析能力的专门人才。以应用统计实践领域对专门人才的知识与素质需求为指导，培养具有实际操作能力，能创造性的解决实际问题的专门人才。 二、招生对象 具有国民教育序列大学本科学历（或本科同等学力）人员。 三、学习方式及年限 采用全日制学习方式，学习年限一般为2年。 四、课程设置 注重理论与实践相结合的原则，突出应用统计实践导向，加强实践教学与案例教学。课程设置分为学位基础课程，专业必修课程，专业选修课程，实践与实习四个模块。培养课程突出应用统计实践导向，加强实践与实习，实践与实习时间原则上不少于半年。实践与实习包括专题阅读、专题讲座和实习等实践形式。实践与实习在相关的统计或金融部门进行，相关统计或金融部门出具的实习合格证明计6学分。总学分不少于32学分。

五、学位论文及学位授予 应用统计硕士专业学生修完学分后，必须提交具有专业学位水平的学位论文。学位论文要与应用统计实际问题、实际数据分析和实际案例紧密结合，能充分体现学生运用应用统计分析、解决应用统计实际问题的能力。论文类型可以是学术论文、案例分析报告、调研报告、数据分析报告。修满规定学分，并通过论文答辩者，经学位授予单位学位评定委员会审核，授予应用统计硕士专业学位，同时获得硕士研究生毕业证书。 主要课程介绍 课程编号：010312 课程名称：高等数理统计 总课时：72 学分：3 开课单位：数学学院开课学期：Ⅰ 教学目的： 通过本课程的学习，使学生了解现代高等数理统计的基本概念，基本定理，掌握数理统计学中常用的一些基本原理（参数估计，非参数估计，假设检验，回归分析），熟练运用概率统计的思想来处理相关的数学问题。 教学要求： 正确理解数理统计的基本概念，熟练掌握和运用数理统计的基本原理（统计推断，假设检验，回归分析，时间序列分析）。 教材及主要参考书目：

070103概率论与数理统计-2019年

070103概率论与数理统计专业（全日制或非全日制） 硕士研究生培养方案 一、培养目标 本专业培养德、智、体全面发展，适应现代科技发展和国民经济建设需要，能在政府、企事业单位和经济管理部门从事统计调查、统计信息分析与管理、数据分析等开发、应用和管理工作，或在科研部门、高等院校从事科学研究和教学工作的高级专门人才工程技术及管理的高级专门人才。具体要求如下： 1、具有坚定正确的政治方向，努力学习掌握马克思主义的基本原理，树立正确的世界观、人生观和价值观；遵纪守法，品行端正，作风正派，具有较高的综合素质和愿为社会主义建设艰苦奋斗的献身精神。 2、掌握概率论与数理统计的基本理论和方法，能熟练地运用统计软件分析数据，具有独立从事科学研究和解决实际问题的能力。 3、熟练掌握一门外国语，具有阅读外文资料和使用外文写作论文的能力；具备熟练地使用计算机及数学软件进行科学计算以及借助互联网阅读专业资料的能力。 4、身心健康、德才兼备。 二、研究方向 本学科设置以下研究方向： 1、数理统计与金融学 2、随机分析 3、统计学习算法 4、统计与大数据分析 三、学习年限 学习年限一般为3年，最长不超过4年。课程学习时间为一年半。硕士生应在规定的学习期限内完成培养计划要求的课程学习和论文等工作。 四、课程设置与学分 本专业课程设置包括学位课、非学位课和实践环节，应修总学分不少于34学分（具体课程设置见附表）。其中 1、学位课：不少于19学分。其中，公共学位课9学分。 2、非学位课：不少于13学分。 3、实践环节：2学分。 五、实践环节 硕士研究生应参加学术活动、教学实践、科研实践或社会实践等实践活动。学术活动为

物理电子学专业硕士研究生培养方案2018年修订

物理电子学专业硕士研究生培养方案（2018年修订） 专业代码：080901 一、培养目标与培养规格 培养德、智、体全面发展，具有较高政治理论素养、宽厚专业基础知识、创新意识强，具备一定科研工作能力，并能在电子科学与技术领域从事物理电子学专业的教学、科研、工程应用等工作的专业技术型高级人才。具体培养规格如下： (1) 深入学习、掌握马克思主义基本原理，确立辩证唯物主义与历史唯物主义的世界观；坚持四项基本原则，热爱祖国，遵纪守法，品行端正；服从国家需要，积极为社会主义现代化建设服务； (2) 具有扎实的数学、物理、电子科学与技术基础知识，并掌握相应的实验方法和科研技能; (3) 掌握基本的研究方法和技能，具有从事教学、科学研究和工程应用等工作能力； (4)掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法； (6)具有较高的外语水平； (7)具有一定的计算机操作能力，能熟练运用计算机进行科学计算、论文撰写、文 献检索； 二、研究方向 A.电磁波特征信息探测与传播技术； B.光通信与光电检测技术； C.信息对抗技术； D.太阳能电池与光伏技术。 三、学习年限 学习年限为三年，其中课程学习时间一年半，至少修满35学分；完成学位论文时间一年半。外单位委托培养研究生与本校全日制研究生相同。本校在职研究生学习年限为三年至四年，每年应完成1/3的教学工作量，其余时间进行学习。 四、培养方式与方法 硕士生的培养，采取以导师为主，导师与指导小组集体培养相结合的方式。培养采用系统理论学习、进行科学研究、参加学术活动和教学实践活动相结合的办法。既要使硕士生牢固掌握基础理论和专业知识，又要培养硕士生具有从事科学研究、工程应用、高校教学等工作的能力。

(完整)高等数理统计2011

南昌大学研究生2010～2011学年第 2 学期期末考试试卷 试卷编号： ( A )卷 课程名称： 高等数理统计 适用专业： 数学 姓名： 学号： 专业： 学院： 考试日期： 2011年6月19日 考试占用时间： 150分钟 考试形式（开卷或闭卷）： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 累分人 签名 题分 15 15 20 25 25 100 得分 考生注意事项：1、本试卷共 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 一、证明题： (15分) 得分 评阅人 设1(0,1):X N ，2(0,4):X N ，且1X 与2X 独立，求112=+Y X X 与212=-Y X X 的联合分布。

二、计算题：(15分) 得分 评阅人 设总体X 有密度函数201 ()0 <P X 。

三、综合题：(20分) 得分 评阅人 （1） 检查Poisson 布族的完备性； （2） 判断分布族{(1),0,1,2,;0}θθθθ=-=>L x p x 是否为指数族；

四、应用题：(25分) 得分 评阅人 设1,,L n X X 为独立同分布变量，01θ<<， 11Pr(1)2θ-=-=X ， 11Pr(0)2==X ， 1Pr(1)2θ ==X ， （1） 求θ的1?θMLE 并问1 ?θ是否是无偏的； （2） 求θ的矩估计2 ?θ ； （3） 计算θ的无偏估计的方差的C-R 下界。

第六章 数理统计的基本知识课后习题参考答案

第六章 数理统计的基本知识 1 ．10 2 21 1 () 210110(,,)i i x f x x e μσ=--∑=K ；2 2()12*10 1(),1x f x e x μσ-- -∞<<+∞=。 2．t 分布；9. 3．11,, 2.20100 4．解： 0 (0,1)0.3 i X N -~Q 10 1 22 ( )(10)0.3 i i X χ=∴~∑ {} {}1010222 2 11 1.441.44()(10)160.10.3 0.3i i i i X P X P P χ==??∴>=>=>=∑∑???? ５．解：4 (12,)5 X N : 可参考书中67P 页 （1）{ } 121210.7372P X -<=Φ-=； （2）{}125max(,,,)15P X X X

(1) ()1 c c c E X x c x dx c x dx θθθθθθθθ+∞ +∞ -+-=== -? ? 令 1c X θθ=-，得θ的估计量为$X X c θ =-，θ的估计值为$1 1 11n i i n i i x n x c n θ===-∑∑ （2）极大似然估计 (1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+==L L 1 ln ()ln()(1)ln n i i L n c x θ θθθ==-+∑ 令1 ln ln ln 0n i i L n n c x θθ=?=+-=?∑ 得θ的估计值为$1 ln ln n i i n x n c θ ==-∑，θ的估计量为$1 ln ln n i i n X n c θ ==-∑ 3．（1） 矩估计 1214 33 X ++= = 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=- 令()E X X = 得θ的估计值为$5 6 θ = 极大似然估计 2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=- 令 ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为$56 θ= （2）矩估计量 1 1n i i X X n λ===∑ 极大似然估计 1 111211()()()...()... ! ! !...! i n x x x n n n n n e e L P X x P X x P X x e x x x x λ λ λλλλλ---∑ ===== = 令 ln ()0i x L n λθλ ?=-+=?∑，得λ的似然估计值为$i x n λ=∑，

概率论与数理统计专业硕士研究生培养方案

概率论与数理统计专业硕士研究生培养方案 一、培养目标 在学校的总体培养目标要求基础上，我们提出本学科培养目标的具体要求如下： 研究生必须认真学习掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平建设有中国特色社会主义理论，热爱祖国，具有集体主义精神以及追求和献身于科学教育事业的敬业精神和科学道德。 攻读硕士学位的研究生（简称硕士生）必须在本学科内掌握坚实的基础理论和系统的专门知识；掌握本学科的现代统计方法和技能；掌握本学科的现代概率论理论。在所研究方向的范围内了解本学科发展的现状和趋势；掌握一门外国语；具有从事科学研究、大学教学或独立担负专门技术工作的能力。 二、研究方向：见附表一。 三、学习年限及时间分配 硕士研究生学习年限为2年，课程学习与论文写作交叉进行，论文工作时间一般在入学的第三个学期开始。对于要求提前毕业的硕士生需要考核其学分是否修满，是否已经在核心期刊发表至少1篇主攻方向的学术论文，并且是论文的第一或第二作者。 四、课程设置及学分要求：见附件二 硕士生所修课程总学分不少于26学分，其中学位课（包括公共课、专业必修课）不低于16学分。 五、文献阅读 根据概率论与数理统计专业对硕士研究生论文工作的需求，我们拟定在入学的第二学期至第三学期末指导硕士生进行文献阅读，其间每周定期安排指导教师与学生讨论所阅读的文献，文献阅读的形式是以学生讲解，指导教师提问的方式进行。阅读文献达到的标准是以能够掌握本人主攻方向的基础理论知识及了解该方向的前沿领域研究问题。指导教师可根据学生是否达到其主攻方向的文献阅读要求来决定是否给学生文献阅读的学分。考核通过，获得1个必修学分。 六、开题报告 概率论与数理统计专业硕士生在指导教师指导下确定选题，在第三学期初完成开题报告的写作，组织系内有关专家对报告进行论证，经修订后由指导教师审核同意。开题报告应包含如下内容：论题；论文的基本构思或大纲；论题的学术意义和现实意义；已阅读过的和准备阅读的资料；疑点和难点；解决的途经及方法，使用的工具等。考核通过，获得1个必修学分。 七、中期考核 在硕士研究生的论文工作期间必须对其进行一次中期考核，时间为入学第三学期末，考核的方式和内容是按照数学研究所的统一要求。凡不符合要求者，令其重做，并延期毕业论文答辩。

第六章数理统计学的基本概念

第六章数理统计的基本概念 一、教学要求 1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。 4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。 本章重点：统计量的概念及其分布。 二、主要内容 1．总体与个体 我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2．简单随机样本 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。 如果样本()满足 （1）相互独立； (2) 服从相同的分布，即总体分布； 则称()为简单随机样本。简称样本。 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率

函数(联合密度函数为)

3. 统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X 的 一个样本，是一个n 元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称 为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值 ，则称 为统计量观测值或统计量值。 4. 常用统计量 （1）样本均值： （2）样本方差： （3）样本标准差： 它们的观察值分别为： 这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。 （4）样本（k 阶）原点矩 1 1,1,2,n k k i i A X k n ===∑L （5）样本（k 阶）中心矩 1 1(),2,3,n k k i i B X X k n ==-=∑L 其中样本二阶中心矩21 1(),n k i i B X X n ==-∑又称为未修正样本方差。 （6）顺序统计量 将样本中的各个分量由小到大的重排成 (1)(2)()n X X X ≤≤≤L 则称(1)(2)(),,n X X X L 为样本顺序统计量，()(1)n X X -为样本的极差。 （7）样本相关系数： 1 1 2 211 ()()()() 11()()n n i i i i i i xy n n x y i i i i x x y y x x y y r S S x x y y n n ====----= = --∑∑∑∑

概率统计简明教程 第六章 数理统计的基础知识

第六章数理统计的基础知识 从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计.数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的数学学科，它以概率论为基础，研究如何合理地获取数据资料，并根据试验和观察得到的数据，对随机现象的客观规律性作出合理的推断. 本章介绍数理统计的基本概念，包括总体与样本、经验分布函数、统 计量与抽样分布，并着重介绍三种常用的统计分布：2 分布、t分布和F 分布. §1 总体与样本 1.1 总体 在数理统计中，我们把所研究对象的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体.例如,研究某班学生的身高时,该班全体学生构成总体,其中每个学生都是一个个体；又如,考察某兵工厂生产炮弹的射程,该厂生产的所有炮弹构成总体,其中每个炮弹就是一个个体. 在具体问题的讨论中,我们关心的往往是研究对象的某一数量指标(例如学生的身高)，它是一个随机变量,因此，总体又是指刻画研究对象某一数量指标的随机变量X.当研究的指标不止一个时，可将其分成几个总体来研究.今后，凡是提到总体就是指一个随机变量.随机变量的分布函数以及分布律（离散型）或概率密度（连续型）也称为总体的分布函数以及分布律或概率密度，并统称为总体的分布. 总体中所包含的个体总数叫做总体容量.如果总体的容量是有限的，则称为有限总体；否则称为无限总体.在实际应用中，有时需要把容量很大的有限总体当做是无限总体来研究. 1.2随机样本 在数理统计中，总体X的分布通常是未知的，或者在形式上是已知 182

183 的但含有未知参数.那么为了获得总体的分布信息,从理论上讲,需要对总体X 中的所有个体进行观察测试，但这往往是做不到的.例如,由于测试炮弹的射程试验具有破坏性,一旦我们获得每个炮弹的射程数据,这批炮弹也就全部报废了.所以，我们不可能对所有个体逐一加以观察测试,而是从总体X 中随机抽取若干个个体进行观察测试.从总体中抽取若干个个体的过程叫做抽样，抽取的若干个个体称为样本，样本中所含个体的数量称为样本容量. 抽取样本是为了研究总体的性质，为了保证所抽取的样本在总体中具有代表性，抽样方法必须满足以下两个条件： （1）随机性 每次抽取时，总体中每个个体被抽到的可能性均等. （2）独立性 每次抽取是相互独立的，即每次抽取的结果既不影响其它各次抽取的结果，也不受其它各次抽取结果的影响. 这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本. 对于有限总体而言，有放回抽样可以得到简单随机样本，但有放回抽样使用起来不方便.在实际应用中，当总体容量N 很大而样本容量n 较小时（一般当10N n ≥时），可将不放回抽样近似当作有放回抽样来处理. 对于无限总体而言，抽取一个个体不会影响它的分布，因此，通常采取不放回抽样得到简单随机样本.以后我们所涉及到的抽样和样本都是指简单随机抽样和简单随机样本. 从总体X 中抽取一个个体，就是对总体X 进行一次随机试验.重复做n 次试验后，得到了总体的一组数据12(,,,)n x x x ，称为一个样本观测值.由于抽样的随机性和独立性，每个(1,2,,)i x i n = 可以看作是某个随机变量(1,2,,)i X i n = 的观测值，而(1,2,,)i X i n = 相互独立且与总体 X 具有相同的分布.习惯上称n 维随机变量12(,,,)n X X X 为来自总体X 的简单随机样本. 定义1.1 设总体X 的分布函数为()F x ，若随机变量12,,,n X X X 相互独立，且都与总体X 具有相同的分布函数，则称12,,,n X X X 是来自

数理统计的基础知识

第4章数理统计的基础知识 数理统计与概率论是两个有密切联系的学科, 它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用; 数理统计——通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性. 数理统计的核心问题——由样本推断总体 从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计。 数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。 本章将介绍数理统计的基本概念：总体、样本、统计量与抽样分布。 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来。但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察资料。 数理统计就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获的有限的, 带有随机性的数据资料,对所考察问题的统计性规律尽可能地作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议.

§4.1 总体与样本 一、 总体与总体分布 1.总体：具有一定的共同属性的研究对象全体。总体中每个对象或成员称为个体。 研究某批灯泡的质量，该批灯泡寿命的全体就是总体；考察国产 轿车的质量，所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体；某高校学习“高等数学”的全体一年级学生。 个体与总体的关系，即集合中元素与集合之间的关系。统计学中关心的不是每个个体的所有具体特性，而是它的某一项或某几项数量指标。某高校一年级学生“高等数学”的期末考试成绩。 对于选定的数量指标 X （可以是向量）而言，每个个体所取的值是不同的，这一数量指标X 就是一个随机变量（或向量）；X 的概率分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况。数量指标X 的分布就称为总体的分布。 说明 例如 服装厂生产的各式服装，玩具厂生产的儿童玩具，检验部门通常将产品分成若干等级。 3X 总体分布就是设定的表示总体的随机变量.的分布. 4.1 X X 定义统计学中称随机变量（或向量）为，并把随机 变量（或向量）的分布称为总体总体分布.1X 表示总体的既可以是随机变量，也可以.是随机向量.2 有时个体的特性本身不是直接由数量指.标来描述的.

数理统计的基本概念

6 数理统计的基本概念 基本要求 1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。 2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。 3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。 4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。 疑难解答 1、采用抽样的方法推断总体，对样本应当有怎样的要求？ 答：为了对总体X的分布进行研究，逐个研究每个个体是不现实的。采用抽样推断总体，其出发点是利用局部认识整体，因此抽出的样本要具有代表性。即要求每个个体被抽取的机会均等，并且抽取一个个体后总体成分不变。首先要求抽样具有“随机性”，第一次抽取的样品X1的可能取值应与总体的可能取值是完全一样的，且去取个个值的概率相同。因此，X1是一个随机变量，并且是与X同分布的随机变量。其次，应具有“独立性”，第一次抽样不改变总体成分，第二次抽取的样品X2可能的值也与X完全一样，且取值的概率也是相同的，因此X2也是与X同分布的一个随机变量且与X1是相互独立的，同样道理，X3，X4，…，X n都是与X同分布的随机变量，并且X1，X2，…，X n是一组相互独立的随机变量，故要求X1，X2，…，X n是简单随机样本。 2、什么是简单随机样本？在实践中如何获得简单随机样本？ 答：设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果它满足以下两个条件，则称它为简单随机样本： （1）X1，X2，…，X n与总体X具有相同的分布 （2）X1，X2，…，X n相互独立 由简单随机样本的定义知，用简单随机样本研究总体，可以更好地用概率论中独立条件下的一系列结论，正是这些结论为概率统计提供了必要的理论基础。 一般说来，对总体进行独立重复观测，便可以获得简单随机样本。 具体来说，当抽取样本容量n相对于总体数N很小时（一般) ≤ n），则连续抽 N 10 1 取n个个体，就近似地看做一个简单随机样本。这是因为抽取的个数很小时，可认为对总体不影响或影响很小。 如果采取有放回抽样，则不必要求n相对很小。 3、什么叫大样本和小样本？它们之间的区别是否是一样本容量的大小来区分的？ 答：在样本容量固定的条件下，进行的统计推断、分析问题称为小样本问题，而在样本容量趋于无穷的条件下，进行的统计推断、分析问题称为大样本问题。 然而，众多统计推断与分析问题与统计量或样本的函数的分布相关联。能否得到有关统计量或样本的函数的分布常成为解决问题的关键。所以，大、小样本的区分常与这一分布 *该部分内容考研不作要求。

智轩考研数学红宝书2010精华习题完全解答---概数第六章 数理统计的基本概念

第六章 数理统计的基本概念精华习题 一、填空题 1. 设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2. 3456则 71 2((C D

3．设1234, , , X X X X 是取自总体()~0, 4X N 的简单随机样本，()2 122X a X X =-+()2 3434b X X - ()2 ~n c ，则 ()()()()2 4 C 1 2 24A n B n n D n ====或或 【解】选()C 。因为()2 ~X n c ，故, a b 不可能同时为零，但可以其中一个或全不为零。 12（（（3

第六章 数理统计的基本概念精华习题完全解答 一、填空题 1．设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2 3 45．设随机变量()~, X F n n ，则概率{}1P X <= __________。 【解】()(){}{}{}{}111~, ~, 111112X F n n F n n P X P Y P P X P X X X ìü T T<=<=<=>T<=íy?t 。

6． 设总体()2, 01 ~0, X x x X f x other <<ì=í? ，12, X X 来自X 的简单随机样本，12U X =，21V X =+， 则12U P V ìü ￡=í y?t _______。 【解】()12, ~X X ()1212124, 01, 01 , 0, x x x x f x x other <<<<ì=í? 2P < 7 1 2 (( A B C D

1-数理统计基础

1、数理统计基础 1.1 随机变量 1.1.1随机事件和概率 观测或试验的一种结果，称为一个事件。在一定条件下进行大量重复试验时，每次都发生的事件，称为必然事件（Ω）；反之，每次都不发生的事件，称为不可能事件（Φ）；有时发生有时不发生的事件，称为随机事件或偶然事件（A ）。 随机事件的特点是在一次观测或试验中，它可能出现，也可能不出现，但在大量重复观测或试验中呈现统计规律性。用来描述事件发生可能性大小的量就是概率。 概率的统计定义是：在相同条件下进行n 次重复试验，事件A 发生了m 次，称m 为事件的频数，称m /n 为事件的频率。当n 足够大时，频率m /n 稳定地趋向于某一个常数p ，此常数p 称为事件A 的概率，记为)(A P ＝p ，即： )(A P ＝n m n ∞→lim ＝p （1.1） 即概率是频率的极限值。 由概率的定义可归纳出概率的三个基本性质： （1）必然事件Ω的概率等于1，即)(Ωp =1； （2）不可能事件Φ的概率等于0，即)(Φp =0； （3）任何事件的概率都介于0和1之间，即0≤)(A P ≤1。 小概率原理：当某一事件的概率非常接近于0时，说明这个事件在大量的试验中出现的概率非常小，这样的事件称为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次连续试验中出现的可能性很小，一般可以认为不会发生，此即为小概率原理。 概率的三个定理： （1）互补定理：某事件发生的概率与不发生的概率之和为1。当发生的概

率为p，则不发生的概率为1-p。全部基本事件之和为必然事件。 （2）加法定理：相互独立而又互不相容的各个事件，其概率等于它们分别 出现之和。例如，A 1，A 2 ，…A n 为相互独立而又互不相容的事件，其中任一事件 出现的概率为各个事件概率的总和，即 P（A）=P（A 1）+P（A 2 ）+…+P（A n ）=∑ = n i i A P 1 ) (（1.2） （3）乘法定理：相互独立的事件同时发生的概率是这些事件各自发生的概率的乘积，即 P（A 1A 2 …A n ）=P（A 1 ）P（A 2 ）…P（A n ）=∏ = n i i A P 1 ) (（1.3） 1.1.2 随机变量与分布函数 每次试验的结果可以用一个变量X的数值来表示，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量。 随机变量根据其取值的特征可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量试验结果的可能值可以一一列举出来，即随机变量X可取的值是间断的、可数的。 连续型随机变量试验结果的可能值不能一一列举出来，即随机变量X可取的值是连续充满在一个区间的。 随机变量的特点是以一定的概率在一定的区间范围内取值，但并不是所有的观测值都能以一定的概率取某一固定值。因此人们关心的是随机变量在某一个区间取值的概率是多少？即P（a≤X≤b）＝？ 根据概率的加法定理，某随机变量X在区间[a，b]的取值概率为： P（a≤X≤b）＝P（X＜b）－P（X＜a）显然只要求出P（X＜b）和P（X＜a）即可，这比求出P（a≤X≤b）简单得多。 对于任何实数x，事件（X＜x）的概率当然是x的函数，令F（x）=P（X ＜x）表示（X＜x）的概率，并定义F（x）为随机变量X的概率分布函数，

高等数理统计实验报告

《高等数理统计》实验报告 一、实验目的 不同分布的随机数生成原理及其算法实现 二、实验内容 1.针对均匀分布的随机数生成原理及算法实现 2.以指数分布为例的反函数方法的随机数生成 3.针对正态分布的随机数生成原理及算法实现 4.基于Box–Muller算法的随机数生成及算法实现 5.基于舍选抽样法算法的随机数生成及算法实现 三、实验过程 1.均匀分布随机数生成 方法一：迭代取中法 原理： 这里在迭代取中法中介绍平方取中法 , 其迭代式如下 : 其中，是迭代算子，而则是每次需要产生的随机数。 第一个式子表示的是将平方后右移位，并截右端的位。 而第二个式子则是将截尾后的数字再压缩倍，显然 :。 注： 迭代取中法有一个不良特性就是若初始随机数参数以及初始值选择不恰当，最后结果容易退化成0. 附结果验证： （1）当初始值为123456，s=2时，部分结果如下， 所有结果均不退化为0

（2）当初始值为12345，s=2时，部分结果如下：注：当迭代次数达到48次时，随机数则退化为0 （3）当初始值为12345，s=1时，部分结果如下：注：当迭代次数达到4次时，随机数则退化为0

方法二：乘同余法 = = 其中，是迭代算子，而则是每次需要产生的随机数，为参数； 注： 这里的参数选取是需要一定理论基础的，否则所产生的随机数的周期将较小，相关性会较大。 附图： 当迭代次数为300次时，p值为0.54： 当迭代次数为1000次时，p值几乎为1

方法三：混合同余法（又称线性同余法LCG） 混合同余法是加同余法和乘同余法的混合形式,其迭代式如下 =( = 其中，是迭代算子，而则是每次需要产生的随机数，为参数； 一般而言，高的是2的指数次幂(一般2^32或者2^64)，因为这样取模操作截断最右的32或64位就可以了 在的条件下，参数按如下方式选取： ,取附近的数 为任意非负整数 注： 参数,,选取直接影响了伪随机数产生的质量 该随机数的生成方法在某一周期内成线性增长的趋势，但是在大多数场合，这种极富“规律”型的随机数是不适用的 使用场合：LCG不能用于随机数要求高的场合，例如不能用于Monte Carlo模拟，不能用于加密应用。不过有些场合LCG有很好的应用，例如内存很紧张的嵌入式中，电子游戏控制台用的小整数，使用高位可以胜 附结果验证： 当迭代次数为1000时，p值几乎为1

高等数理统计预备知识

预备知识 1.事件域 定义 设Ω为一基本事件空间，F 为Ω的某些子集所组成的集合类。如果F 满足： （1）Ω∈F ； （2）若A ∈F ，则对立事件A ∈F ； （3）若,=1,2, n A n ∈F ，则可列并 =1 n n A ∞ ∈F . 则F 是一个σ代数（或称σ域），称为事件域。F 中的元素称为事件。 2.可测空间 定义 在概率论中，二元组(),ΩF 称为概率可测空间，这里“可测”是指F 是一个事 件域，即F 中的元素都是有概率可言的事件。 3. 有限维乘积可测空间 定义 设(),,1i i i n Ω≤≤F 是n 个可测空间，像通常一样， (){}1=, ,:,1n i i i n ωωωΩ∈Ω≤≤ 称为1, ,n ΩΩ乘积空间，记为1=1 ==n i n i Ω?ΩΩ??Ω。对i i A ?Ω，1i n ≤≤，集合 (){}1A=,,:,1n i i A i n ωωω∈≤≤ 称为乘积空间Ω中的矩形集，记为1=1 A==A n i n i A A ???。特别地，当每个i i A ∈F 时， 1=1 A==A n i n i A A ?? ? 称为可测矩形。C 表示=1 =n i i Ω?Ω中的可测矩形全体，即 {}1=A :,i=1, ,n n i i A A ? ?∈C F ， 则C 是一个半域，()=σC F （由C 生成的σ域，即包含C 的最小σ域）称为乘积σ域， 记为1=1==n i n i ?? ?F F F F ，又称(),ΩF 为可测空间()()11,, ,,n n ΩΩF F 的乘积可测空 间，记为 ()()()()11=1 ,=,=,,n i i n n i Ω?ΩΩ? ?ΩF F F F 4. 无限维乘积可测空间 定义 设 (){},,J αααΩ∈F 是一族可测空间，则 (){}=,J :,J αααωαωαΩ∈∈Ω∈