第2讲数形结合思想
1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则:
(1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应.
(2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.
(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.
3.数形结合思想解决的问题常有以下几种:
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.
(5)构建立体几何模型研究代数问题.
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(7)构建方程模型,求根的个数.
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:
(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域.
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.
热点一 利用数形结合思想讨论方程的根
例1 (2014·山东)已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx ,若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A .(0,12)
B .(1
2,1)
C .(1,2)
D .(2,+∞)
答案 B
解析 先作出函数f (x )=|x -2|+1的图象,如图所示,当直线g (x )=kx 与直线AB 平行时斜率为1,当直线g (x )=kx 过A 点时斜率为12,故f (x )=g (x )有两个不相等的实根时,k 的范围为(1
2,1). 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基
本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
设函数f (x )=????
?
x 2+bx +c ,x ≤0,2, x >0,
若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程
f (x )=x 的解的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4
答案 C
解析 由f (-4)=f (0),f (-2)=-2,
解得b =4,c =2,∴f (x )=?
????
x 2+4x +2,x ≤0,
2, x >0.
作出函数y =f (x )及y =x 的函数图象如图所示,
由图可得交点有3个.
热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0,x ∈R },且在(0,+∞)上单调递增,若f (1)=0,则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________.
(2)若不等式|x -2a |≥1
2x +a -1对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.
答案 (1)(-1,0)∪(0,1) (2)?
???-∞,12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
(2)作出y =|x -2a |和y =1
2x +a -1的简图,依题意知应有2a ≤2-2a ,
故a ≤12
.
思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等
式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.
(1)设A ={(x ,y )|x 2+(y -1)2=1},B ={(x ,y )|x +y +m ≥0},则使A ?B 成立的实
数m 的取值范围是__________.
(2)若不等式9-x 2≤k (x +2)-2的解集为区间[a ,b ],且b -a =2,则k =________. 答案 (1)[2-1,+∞) (2) 2
解析 (1)集合A 是一个圆x 2+(y -1)2=1上的点的集合,集合B 是一个不等式x +y +m ≥0表示的平面区域内的点的集合,
要使A ?B ,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线x +y +m =0应与圆相切或相离(在圆的下方),而当直线与圆相切时有|m +1|2=1,又m >0,
所以m =2-1,
故m 的取值范围是m ≥2-1. (2)令y 1=9-x 2,
y 2=k (x +2)-2,在同一个坐标系中作出其图象,因9-x 2≤k (x +2)-2的解集为[a ,b ]且b -a =2.
结合图象知b =3,a =1,即直线与圆的交点坐标为(1,22). 又因为点(-2,-2)在直线上, 所以k =22+2
1+2= 2.
热点三 利用数形结合思想解最值问题
例3 (1)已知P 是直线l :3x +4y +8=0上的动点,P A 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线,A 、B 是切点,C 是圆心,则四边形P ACB 面积的最小值为________.
(2)已知点P (x ,y )的坐标x ,y 满足?
????
x -2y +1≥0,
|x |-y -1≤0,则x 2+y 2-6x +9的取值范围是( )
A .[2,4]
B .[2,16]
C .[4,10]
D .[4,16]
答案 (1)22 (2)B
解析 (1)从运动的观点看问题,当动点P 沿直线3x +4y +8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC =1
2|P A |·|AC |
=1
2|P A |越来越大,从而S 四边形P ACB 也越来越大;当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S
四边形P ACB
变小,显然,当点P 到达一个最特殊的位置,即CP 垂直直
线l 时,S 四边形P ACB 应有唯一的最小值, 此时|PC |=
|3×1+4×1+8|
32+42
=3,
从而|P A |=|PC |2-|AC |2=2 2.
所以(S 四边形P ACB )min =2×1
2
×|P A |×|AC |=2 2.
(2)画出可行域如图,所求的x 2+y 2-6x +9=(x -3)2+y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方,由图形知最小值为Q 到射线x -y -1=0(x ≥0)的距离d 的平方,最大值为|QA |2=16. ∵d 2=(
|3-0-1|
12
+(-1)
2)2
=(
2)2=2.
∴取值范围是[2,16].
思维升华 (1)在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换,快速求得最值.
(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解.
(1)(2013·重庆)设P 是圆(x -3)2+(y +1)2=4上的动点,Q 是直线x =-3上的动点,
则|PQ |的最小值为( ) A .6 B .4 C .3 D .2 (2)若实数x 、y 满足????
?
x -y +1≤0,x >0,
y ≤2,
则y
x
的最小值是____.
答案 (1)B (2)2
解析 (1)由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长为2,|PQ |的最小值为圆心到直线x =-3的距离减去圆的半径长,所以|PQ |min =3-(-3)-2=4.故选B.
(2)可行域如图所示.
又y
x 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知,过点A 的直线OA 的斜率最小.
联立?
????
x -y +1=0,y =2,得A (1,2),
所以k OA =2-01-0
=2.所以y x 的最小值为2.
1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的.
2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的.
3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象.
4.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);点到直线的距离公式等.
真题感悟
1.(2013·重庆)已知圆C 1:(x -2)2+(y -3)2=1,圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |+|PN |的最小值为( ) A .52-4 B.17-1 C .6-2 2 D.17
答案 A
解析 设P (x,0),设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2,-3),那么|PC 1|+|PC 2|=|PC 1′|+|PC 2|≥|C 1′C 2|=(2-3)2+(-3-4)2=5 2. 而|PM |+|PN |=|PC 1|+|PC 2|-4≥52-4.
2.(2014·江西)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( )
A.45
π B.34π C .(6-25)π D.54
π 答案 A
解析 ∵∠AOB =90°,∴点O 在圆C 上. 设直线2x +y -4=0与圆C 相切于点D ,
则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y -4=0的距离, ∴点C 在以O 为焦点,以直线2x +y -4=0为准线的抛物线上, ∴当且仅当O ,C ,D 共线时,圆的直径最小为|OD |. 又|OD |=
|2×0+0-4|5=4
5
, ∴圆C 的最小半径为
2
5
, ∴圆C 面积的最小值为π(
25
)2=45π.
3.(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )=?
????
-x 2
+2x ,x ≤0,
ln (x +1),x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( )
A .(-∞,0]
B .(-∞,1]
C .[-2,1]
D .[-2,0]
答案 D
解析 函数y =|f (x )|的图象如图. ①当a =0时,|f (x )|≥ax 显然成立. ②当a >0时,只需在x >0时, ln(x +1)≥ax 成立.
比较对数函数与一次函数y =ax 的增长速度. 显然不存在a >0使ln(x +1)≥ax 在x >0上恒成立. ③当a <0时,只需在x <0时,x 2-2x ≥ax 成立. 即a ≥x -2成立,所以a ≥-2. 综上所述:-2≤a ≤0.故选D.
4.(2014·天津)已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R .若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞)
解析 设y 1=f (x )=|x 2+3x |,y 2=a |x -1|,
在同一直角坐标系中作出y 1=|x 2+3x |,y 2=a |x -1|的图象如图所示.
由图可知f (x )-a |x -1|=0有4个互异的实数根等价于y 1=|x 2+3x |与y 2=a |x -1|的图象有4个不同的交点.当4个交点横坐标都小于1时,
?
????
y =-x 2
-3x ,y =a (1-x )有两组不同解x 1,x 2, 消y 得x 2+(3-a )x +a =0,故Δ=a 2-10a +9>0, 且x 1+x 2=a -3<2,x 1x 2=a <1,联立可得0 ? ???? y =x 2+3x ,y =a (x -1)有两组不同解x 3,x 4. 消去y 得x 2+(3-a )x +a =0,故Δ=a 2-10a +9>0, 且x 3+x 4=a -3>2,x 3x 4=a >1,联立可得a >9, 综上知,09. 押题精练 1.方程|x 2-2x |=a 2+1(a >0)的解的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B 解析 (数形结合法) ∵a >0,∴a 2+1>1. 而y =|x 2-2x |的图象如图, ∴y =|x 2-2x |的图象与y =a 2+1的图象总有两个交点. 2.不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,-1]∪[4,+∞) B .(-∞,-2]∪[5,+∞) C .[1,2] D .(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 A 解析 f (x )=|x +3|-|x -1|=???? ? -4 (x <-3),2x +2 (-3≤x <1), 4 (x ≥1). 画出函数f (x )的图 象,如图,可以看出函数f (x )的最大值为4,故只要a 2-3a ≥4即可,解得a ≤-1或a ≥4.正确选项为A. 3.经过P (0,-1)作直线l ,若直线l 与连接A (1,-2),B (2,1)的线段总有公共点,则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________,________. 答案 [-1,1] [0,π4]∪[3π 4 ,π) 解析 如图所示,结合图形:为使l 与线段AB 总有公共点,则k P A ≤k ≤k PB ,而k PB >0,k P A <0,故k <0时,倾斜角α为钝角,k =0时,α=0,k >0时,α为锐角. 又k P A =-2-(-1) 1-0 =-1, k PB = -1-1 0-2 =1,∴-1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时,0≤α≤π 4 ; 当-1≤k <0时,3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0,π4]∪[3π 4,π). 4.(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组???? ? 2x +3y -6≤0,x +y -2≥0, y ≥0所表示的区域上 一动点,则|OM |的最小值是________. 答案 2 解析 由题意知原点O 到直线x +y -2=0的距离为|OM |的最小值. 所以|OM |的最小值为 2 2 = 2. 5.(2013·江西)过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率为________. 答案 - 3 3 解析 ∵S △AOB =12|OA ||OB |sin ∠AOB =12sin ∠AOB ≤1 2. 当∠AOB =π 2时,S △AOB 面积最大. 此时O 到AB 的距离d = 22 . 设AB 方程为y =k (x -2)(k <0),即kx -y -2k =0. 由d = |2k |k 2+1=22 得k =-3 3. 6.设函数f (x )=ax 3-3ax ,g (x )=bx 2-ln x (a ,b ∈R ),已知它们在x =1处的切线互相平行. (1)求b 的值; (2)若函数F (x )=? ???? f (x ),x ≤0, g (x ),x >0,且方程F (x )=a 2有且仅有四个解,求实数a 的取值范围. 解 函数g (x )=bx 2-ln x 的定义域为(0,+∞), (1)f ′(x )=3ax 2-3a ?f ′(1)=0, g ′(x )=2bx -1 x ?g ′(1)=2b -1, 依题意得2b -1=0,所以b =1 2 . (2)x ∈(0,1)时,g ′(x )=x -1 x <0,即g (x )在(0,1)上单调递减, x ∈(1,+∞)时,g ′(x )=x -1 x >0,即g (x )在(1,+∞)上单调递增, 所以当x =1时,g (x )取得极小值g (1)=1 2; 当a =0时,方程F (x )=a 2不可能有四个解; 当a <0,x ∈(-∞,-1)时,f ′(x )<0,即f (x )在(-∞,-1)上单调递减, x ∈(-1,0)时,f ′(x )>0, 即f (x )在(-1,0)上单调递增, 所以当x =-1时,f (x )取得极小值f (-1)=2a , 又f (0)=0,所以F (x )的图象如图(1)所示, 从图象可以看出F (x )=a 2不可能有四个解. 当a >0,x ∈(-∞,-1)时,f ′(x )>0, 即f (x )在(-∞,-1)上单调递增, x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0, 即f (x )在(-1,0)上单调递减, 所以当x =-1时,f (x )取得极大值f (-1)=2a . 又f (0)=0,所以F (x )的图象如图(2)所示, 从图(2)看出,若方程F (x )=a 2有四个解,则1 2 所以,实数a 的取值范围是?? ? ? 22,2. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值. B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值; 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
2020高考数学专题复习----立体几何专题
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]