数学物理方法
7.2 留数的计算
留数定理
如果一个函数的洛朗展开式0()()
n
n n f z a z z ∞
=-∞
=
-∑
通过一个包含孤立奇点0z 的闭
合曲线沿逆时针方向逐项积分，我们可以得到（见例6.3.1）
1
1
1
00()()0,11
z n n
n
n
z z z a z z dz a n n +--==≠+?
。
（7.5）
但是，如果1n =-，用极点形式0i z z re θ=+，我们可以发现
1
1
1
1()2i i ire d a z z dz a ia re
θ
θ
θπ-----==??
。
（7.6）
最早和最简单的留数形式出现在例6.3.1中的,12n n z dz ni πδ-=?，其积分逆时针围绕一个半径为r 的圆。在所有的n z 中，只有1z 有贡献。
综合7.5式和7.6式，我们有
11()2f z a i
π-=?
。
（7.7）
这个洛朗展开式中10()z z --的常系数1a -，就叫做()f z 在0z z =的留数。
一系列孤立奇点可以把积分边界线改成如图7.3所示。由柯西积分公式可得 0
1
2
()()()()0c
c c c f z dz f z dz f z dz f z dz ++++???=????。 （7.8）
图7.3 去掉孤立奇点之后
包围任何一个给定的孤立奇点的围道积分可以由7.7式给出， 1()2i
i
z c f z dz ia π-=-?， （7.9）
假设洛朗展开式的奇点为i z z =。负号是由于沿顺时针方向积分所致，如图7.3所示。联系到7.8式和7.9式，我们有
012111()2()2z z z c
f z dz i a a a i ππ---=+++???=?
（所有留数的求和）
。（7.10） 这就是留数定理。这样，求一条或多条闭合曲线积分的问题就转化成了计算
孤立奇点（一阶极点）的留数值的代数问题。在本节的余下部分，我们将把留数定理应用到广大的数学和物理方面的定积分中。留数定理也会在第十五章用于不同的积分变换，尤其是拉普拉斯逆变换。我们还可以用留数定理来进一步研究柯西主值的问题。
利用变换1z w =并且w 趋近于0，我们可以找到z 趋向于无穷大的本性奇点和只有孤立奇点没有支点的函数()f z 的留数。在这样的情况下，我们知道：全平面的留数之和为零。
定积分的计算
留数的计算对于不论是物理还是纯数学问题中的很多定积分的计算都是很有用的。我们认为，首先，形如
20
(sin ,cos )I f d πθθθ=
?
（7.11）
的积分，其中f 取遍所有θ值。我们也可以令f 是关于sin θ和cos θ的有理函数，于是f 就变成单值函数了。令
i z e θ=，i dz ie d θθ=， 由此dz d i
z
θ=-，1
sin 2z z i
θ--=
，1
cos 2z z θ-+=
。 （7.12）
我们的积分变成1
1
(
,
)
22
z z z z dz I i f i
z
---+=-?， （7.13）
以单位圆为积分路径。由留数定理（式7.10），
()2I i i
π=-∑（单位圆内留数和）。 （7.14） 注意到我们想要确定()f z z 的留数。练习7.2.6—7.2.9提供了这一类型的积分的例子。
例7.2.1 余弦的倒数
我们的问题是计算定积分
20
,11cos d I πθεεθ
=
<+?
。
由式（7.13），这积分转化为 ()()2
1
2
21
12()dz
dz
I i i
z
z z z z ε
εε-=-=-++??++??
??
分母的根为
1
z ε
-=-
-
1
z ε
+=-
+
而且可以写成()()z z z z -+--。这里，z +在单位圆内；z -在单位圆外。在z +附近分母可以展开为
()
()2
2
2
2
210(1)
2z d z z z z z z z z z dz
ε
ε
ε+
+++?
?+
+=+-+
+=-+ ??
?
因此z +处的留数为
122z ++。（见练习7.1.1）然后由式（7.14），
(112
1222z I i
i
z εε
πε
ε
=-+=-?+。
因此，
2
11cos d πθεεθ
=
<+?
。
现在考虑一类具有如下形式的定积分
()I f x ds
∞-∞
=
?
(7.15)
并且满足如下两个条件：
1. ()f z 在上半平面除有限个极点之外都是解析的。(假定实轴上没有极点。如果极点出现在实轴上，他们可能会被包括或排除在其它的地方。)
2. ()f z 趋于零的速度和21z （z →∞）趋于零的速度一样，0arg z π≤≤。
图7.4 在上半平面积分轨道是半圆
在这些条件下，我们可以将积分路径看成是实轴上的线段和上半平面的半圆如图7.4所示。我们令半圆的半径R 无限大，那么
()lim
()lim
(R e )R e 2R i i R
R R f z dz f x dx f i d i π
θθ
θπ-→∞
→∞
=+=∑
?
?
?
留数（上半平面） (7.16)
由第二个条件，第二个积分（在半圆之上）趋于零而且
()2f x dx i π∞-∞
=∑
?
留数（上半平面）。 (7.17)
注意到当f 在下半平面是解析并且我们在下半平面取一条积分路径的时候可以得到一个相应的结果。那样的话，积分路径会是沿顺时针方向并且留数会带一个
负号。
例7.2.2 分母多项式
计算2
1dx I x
∞-∞
=
+?
。 （7.18）
由式（7.16），
2
21dx i x
π∞-∞
=+∑
?
留数（上半平面）。
在这里以及其它所有相似的问题，我们有一个疑问：极点在哪里？将被积函数改写为
2
11
1
1
z z i z i
=
?
++-， （7.19）
我们可以看到在z i =和z i =-处有最简单的极点（一阶）。
在0z z =处的一个简单极点表明（同时也被表明）有一个洛朗展开式形如
1001
()()
n
n
n a f z a a
z z z z ∞
-==
++
--∑。 （7.20）
留数1a -很显然是孤立的由（例7.1.1）
10()()
z z a z z f z -==-。 （7.21）
利用式（7.21），我们可以得到z i =点的留数为12i ，而z i =-点的留数为12i -。用部分分式分解也可以得到这个结果：
2
11
1
1(
)1
2z i z i
z i
=
-
+-+。
那么
2
1212dx i x
i
ππ
∞-∞
=?
=+?
。 （7.22）
这里，我们用到了其中一个极点z i =处的留数112a i -=。读者应自行在下半圆的情况下推导出同样的结果: I π=.
下面这个例子给出了一个更复杂的问题。
例 7.2.3 定积分的计算
考虑如下形式的定积分
()iax
I f x e
dx
∞-∞
=
?
， （7.23）
a 是正实数。这是一个傅里叶变换（十五章）
。我们假定以下两个条件： 1. 除有限个极点之外，()f z 在上半平面都是解析的。
2. lim ()0,0arg z f z z π→∞
=≤≤。 （7,24）
注意到这个条件要比之前求积分()f x dx ∞-∞
?
的()f z 的第二个条件要弱化一些。
我们采用如图7.4的积分路径是因为，在上半平面指数因子很快的趋于零。
这里留数计算的应用和之前刚讨论的方法一样，但是在这里我们必须更致力于表现出在无穷大的半圆上的积分趋于零。这个积分于是变成
cos sin 0
(Re )Re i iaR aR i R I f e
i d π
θθθ
θ
θ-=
?
。 （7.25）
图 7.5
（a ）()()2;sin y b y θθ==
令R 足够大使得
()(R e )i f z f θ
ε
=<。那么
2
sin sin 0
2aR aR R I R e
d R e
d π
πθ
θ
εθεθ--≤=??
。
（7.26） 在区间[]0,2π内，
2
sin θθπ
≤。
因此（图7.5）,
20
2aR R I R e
d πθπ
εθ-≤?
. (7.27)
现在，一经积分，我们得到
122aR
R e
I R
aR επ
--≤。
最后，
lim R R I a
π
ε→∞
≤
。 （7.28）
由条件（7.24），当R →∞时0ε→，所以
lim 0R R I →∞
=。 （7.29）
这个有用的结果有时被叫做乔丹引理。通过它，我们便可以处理形如式（7.23）
的傅里叶积分了。
利用图7.4的积分路径，我们有
()lim 2iax
R R f x e
dx I i π∞-∞
→∞
+=∑
?
留数（上半平面）
图 7.6 绕过奇点
因为当R →∞时，上半圆的积分R I 趋近于零（乔丹引理），
()2iax
f x e
dx i π∞-∞
=∑
?
留数（上半平面）()0a >。 （7.30）
这个结果实际上可以推广为对于复数a 而言，R e()0a >。
柯西主值
有时，一个一阶孤立极点会直接在积分路径上。这种情况下，我们可能会改变路径以包括或排除绕无限小半圆的留数。如图7.6所示。那么又因为0i z x e ?δ-=和
i dz i e d ?
δ?
=，半圆的积分就为
逆时针方向，210,..,dz i d i i e ia z x π
π
?ππ-==-??
顺时针方向，0
10
,..,dz i d i i e ia z x π
?ππ-==---?
?
这种正或负的贡献，体现在式（7.10）的左边。如果我们沿顺时针方向，留数就不是孤立的而且（7.10）式右边也不会有相应的数。但是，如果我们眼逆时针方向，路径C 上的留数就会是孤立的而且（7.10）式右边会有一个数12ia π-。沿顺时针或逆时针方向最后的结果，是曲线上的简单极点会被计为一半。
举例来说，如果我们假设，在0z x =点有简单极点的()f z 在整个实轴上积分，假设当z →∞时()0f z →足够快（比1z 快）使得上述积分有限。在上半平面用一个无穷大圆包围积分路径如图7.7所示。那么
000
()()()()x
x x C C
f z dz f x dx f z dz f x dx δδ
-∞-∞
+=
+
+
+
?
?
?
?
?无穷大的圆
2i π=∑
孤立留数。 （7.31）
图 7.7 用一个无穷大的半圆包围积分路径
如果小半圆0
x C 包含0x （通过x 轴下方；逆时针方向），0x 是孤立的，那么它的
贡献就出现了两次——既有在0
x
C ?
中的1ia π-，也有2i π∑孤立留数中的1
2ia π-——以至最后在（7.31）式右边贡献为1ia π-。如果上面的小半圆被选中，0x 就被排除在外了。唯一的贡献就来自于0
x C 上的顺时针积分，其结果为1ia π--。将它
移到（7.11）式的最右边，方法同上，我们可以得到1ia π-+。
x 轴上的积分可以被组合而且半圆半径可以趋于零。因此我们可以定义
{}
000
lim
()()()x x f x dx f x dx P f x dx δδ
δ-∞∞-∞
+-∞
→+
=?
?
?
。 （7.32）
P 表示柯西主值，代表着前面的极限过程。注意到柯西主值是一个平衡或消除过程；对于偶阶极点来说，()P f x dx ∞-∞
?不是有限的，因为没有删除。在奇点0
z x =附近，
10
()a f x x x -≈
-。 （7.33）
这是一个奇数，与0x 有关。这种对称的区间（与0x 有关）将图（7,8）中的阴影区域删除。奇点的贡献就在半圆的积分中了。
有时，这种同样的受限制的技术手法也应用到无限制的积分中去。如果没有奇点，我们可以定义
()lim
()a a
a P f x dx f x dx ∞-∞
-→∞
=?
?
。 （7.34）
一种交替的手段将极点从积分路径中除去，然后考虑当它代回来时的限制性，比如用使积分满足物理问题的边界条件的方法来去除积分区域上的奇点（这种情况经常出现在格林函数中；见例7.2.5和例16.3.2）。当极点被一个分子为零的函数替换时，主值的限制是不必要的。
图 7.8
积分区域
积分
sin sin 2z z dz dz z
z
π∞∞-∞
==?
?
，
下面的计算，是一个恰当的例子。
例 7.2.4 积分路径上的奇点
问题是计算
sin x I dx x
∞=
?
。 （7.35）
这可以看作下述积分的虚部的一半
iz
z e dz I P z
∞-∞
=?
。 （7.36）
现在唯一的极点是0z =处简单极点，其留数由式（7.21）可知是11a -=。我们选择如图7.9（i ）积分路径来避免极点，（ii ）来包含实轴，（iii ）来产生一个趋于零的小的被积函数z iy =，当y →∞时。注意到在这种情况下，一个在下半平面的无限大的半圆会变的灾难性的。我们有
1
2
iz
iz
ix
iz
r R ix
R
r
C C e dz dx e dz e dx e dz e
z
x
z
x
z
--=
+
+
+
=?
?
?
?
?
， （7,37）
数学物理方法综合试题及答案
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -
数学物理方法 (2)
数学物理方法 课程类别校级优秀□省级优质√省级精品□国家精品□项目主持人李高翔 课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设 优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参加了由国家留学基金委员会组织的赴英“双语教学研修项目”，为本课程双语教学的开展打下了良好的基础。 二、教学内容 数学物理方法是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁，本课程的重要任务是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法。本门课程的基本教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。与国内流行的教材和教学内容相比，在讲解数理方程的定解问题时，本门课程教学内容的特色之一是按解法分类而不按方程的类型分类，这样，可以避免同一方法的多次重复介绍；特色之二是把线性常微分方程的级数解法和特殊函数置于复变函数论之后、数学物理方程之前，一方面可将这些内容作为复变函数理论的一个直接应用，使学生进一步巩固已学的相关知识，另一方面可使正交曲线坐标系中分离变量法的叙述更加流畅，并通过与直角坐标系中分
数学物理方法期末考试规范标准答案
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
数学物理方法试题
嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u
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数学物理方法第二次作业答案解析
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
数学物理方法试题
数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分）
1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解：
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
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嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
数学物理方法
1.就下列初始条件及边界条件解弦振动方程 1,0211,1,2t x x u x x =? ≤≤??=??-<≤?? 0 (1),01,t u x x x t =?=-≤≤? 1 0,0.x x u u t ====> 解： 22 222010 ,01,0. 0, 01,02(1),0 1. 11,1,2 x x t t u a x t t t u u t x x u u x x x t x x ====??????=≤≤>????==>??? ?≤≤????==-≤≤? ???-<≤???? 利用分离变量的方法有：(,)()(),u x t X x T t = 代入齐次方程得 " 2 " ()() ()(). X x T t a X x T t = 则 2"()"() ()() X x T t X x a T t λ==- 得常微分方程 2"()() 0,"()() 0. T t a T t X x X x λλ+=+= 利用边界条件得 "() ()0(0)(1)0.X x X x X X λ+=??==? 我们知道 1’ 00λλ<=，时不符合要求 2’ 0λ>时， 令2λβ= 则 方程的通解 X ()c o s s i n x A x B x ββ=+ 由边界 (0)(1)0X X == 得22n n λπ= s i n n n X B n x π= 得 222 "()()0n n T t a n T t π+=
即解得 'c o s 's i n n n n T C n a t D n a t ππ=+. 得 (,)()() [c o s s i n ] s n n n u x t X x T t C n a t D n a t n x πππ= =+ 通解 1 1 (,)(,)[cos sin ]sin .n n n n n u x t u x t C n at D n at n x πππ∞ ∞ ====+∑∑ 由初始条件 (1)t u x x t =?=-?=1 sin n n D n a n x ππ∞ =∑ ? 1 44 2 4[(1)1] (1)sin n n D x x n x n a n a πππ--=-=? 再由0 1,0211,1,2 t x x u x x =?≤≤??=??-<≤?? ? 1/2 1 22 1/2 42sin 2(1)sin sin 2 n n C x n xdx x n xdx n π πππ =+-= ?? ∴224414 4[(1)1](,)(sin cos sin )sin 2n n n u x t n t an t n x n n a πππππ π∞ =--=+∑ 2 ．
数学物理方法第二次作业答案
第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u
【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法
数学物理方法 Mathematical Methods in Physics 课程编号：22189906 总学时：72学分：4 课程性质：专业必修课 课程内容：数学是物理学的表述语言。复变函数论和数学物理方程是学习理论物理课程的重要的数学基础。该课程包括复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分 介绍复变函数的微积分，级数展开，留数及其应用以及积分变换等内容。数学物 理方程部分包括物理学中常用的几种数学物理方程的导入、解数学物理方程的分 离变量法、作为勒让德方程的解的勒让德多项式和作为贝塞尔方程的解的贝塞尔 函数及其性质以及格林函数的基本知识。该课程有着逻辑推理抽象严谨的特点， 同时与物理以及工程又有着紧密的联系，是理工科学生必备的数学基础知识。我 们将把抽象的数学知识和在物理学中的应用结合起来，使学生不但能学习数学本 身，同时还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。 先修课程：高等数学 参考书目：《数学物理方法》（陆全康、赵蕙芬编），第二版高等教育出版社《数学物理方法》（吴崇试）第二版，北京大学出版社 力学和热学 (1)与(2) Mechanics and Thermal Physics (1) and (2) 课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面， 主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在 刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学 习简谐振动和平面简谐波。热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习 温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本 方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均 分定理。 先修课程：高等数学A(1) 参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年
【】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 |
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分） ￥ 三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2
《高等数学》第四册(数学物理方法
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-= -112 2 ())] a bi =+= 112 22 4 sin )]()(cos sin );22i a b i θ θ θθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。 解： 121cos sin ;(cos sin );4 4 266z i z i π π ππ=+= + 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
数学物理方法试题汇总
12届真题 1． 求下列各小题（2*5=10分）： （1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-< ； （2）给出序列(1/)sin 6 n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解； （4）给出二阶偏微分方程的基本类型； （5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。 2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）： （1）320Re i zdz +?，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线； （2 ）11,==?积分路径由z=1出发的。 3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）： （1）2 41x dx x +∞ -∞+?； （2）3||1z z e dz z =?。 4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。 5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y ??-=-??（15分）。 6．利用分离变量法求解：（20分） 2222000 (),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====???-=-?????==????==??? 7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）
220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0. x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞???-=>>?????=>??=>??? 有界，
2005级 一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分） 1. 三维泊松方程是______________________________ 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。 3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 4. 定解问题20 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。 5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ????=__________________。 8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为： 二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤? ， ，，，，， ， ，0，
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院 豆福全
第五章 Fourier 变换法 §5 . 0 引言 在数学中，为将较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用变换手段。如数量的乘积或商可以通过对数变成对数的解或差，，而得原来数量的乘积或商。（实质是将乘除运算（复杂）——加减运算（简单）），再如解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换等均如此。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量 x 的积分 ()()(),b a F f t k t dt αα=? 实质是将某函数类A 中的函数f 通过上述积分运算变成另一类函数类B 中的函数()F α ，这里(),k t α 是一个确定的二之函数，称为积分变换的核。选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的变换，如(),i t k t e ωα-=积分域()(),,a b =-∞∞则 ()()i t F f t dt e ωω∞ --∞ = ? （ω为实变量）------------Fourier 变换 (),i t k t e ωα-= 积分域()(),0,a b =∞则 ()()0t F f t dt e σ σ∞ -= ? （σ为实变量）-------------Laplace 变换 ()f t 称为象原函数，()F α称为()f t 的象函数，一定条件下，它们是一一对应的，而变 换是可逆的。 积分变换可用来求解方程（如微分方程）。原方程中直接求未知数有困难或较复杂时，则可求它的某种积分变换的象函数，然后再由求得的像函数去找原函数。这种变换的选择应当使得由原来函数的方程经变换得到象函数的方程，易求解。 积分变换的理论和方法在所有科学和各种工程技术中有广泛的应用，我们重点学习Fourier 变换和Laplace 变换。 § 5 . 1 Fourier 级数，积分和Fourier 变 5 .1 .0 引言 研究一个比较复杂的函数时，往往是将它化作一些简单函数的叠加即展开成无穷级数，再利用无穷级数的积分去近似代替它。幂级数就是最简单的函数--------x 的各次幂函数： 1，
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上