7-1级数的概念
·复习 数列的概念，数列的前n 项和。
·引入 无穷级数是高等数学的一个重要内容。它是表示函数、研究函数形态以及进行数值计算的一种有效的工具。它无论对数学理论本身，还是对科学技术都有着重要的应用。本章先介绍无穷级数的一些基本概念然后讨论如何将函数展开成幂级数与三级级数的问题。
·讲解新课
第一节 常数项级数的概念和性质
一 级数的定义
人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程，在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题。
例如：我国古代东汉时期的《九章算术》
一书中，提出了一个求圆面积的计算方法：
先作一个圆的内接正六边形，以这个正六边形的面积1a 为圆面积A 的近似值；再在这个正六边形的每条边上各作一个顶点在圆周上的等腰三角形，这六个等腰三角形的面积之和为
2a ，1a +2a 是圆内接正十二边形的面积。如果以1a +2a 作为圆面积A 的
近似值要精确一些。同样，在得到的正十二边形的每条边上再分别作顶点在圆周上的等腰三角形，这十二个等腰三角形的面积之和为3a ，那么
1a +2a +3a （即圆内接正二十四边形的面积）是A 的更精确的近似值。如
此下去，圆内接正32n ?边形的面积就逐步逼近圆面积：A 1a ≈，
A 1a ≈+2a ，A 1a ≈+2a +3,a A 1a ≈+2a +3...a +n a
如果内接正多边形的边数无限增多，即：n 无限增大，则和
1a +2a +3...a +n a 的极限就是所求的圆面积A 。这时和式中的项数无限增
多，于是出现了无穷多个数量相加的数学式子。
1、定义1 设给定一个数列,,,,21 n u u u 把式子
=∑∞
=1
n n
u
12u u ++...n u ++ (1)
叫做常数项无穷级数，简称数项级数，把第n 项n u 叫做一般项或通项．
简言之，数列的和式称为级数。 2、几个特殊级数
（1）把等差数列各项的和
[]11111()(2)(3)1)d a a d a d a d a n +++++++++-+ （
叫做算术级数．
（2）把等比数列各项的和
++++-1
2
n aq
aq
aq a
叫做几何级数（或等比级数）．
（3）把级数 ++
++
+
=∑
∞
=p
p
p
n p
n
n
13
12
1111
叫做p －级数，当p =1时叫做调和级数．
二 级数的收敛和发散
定义2 设级数（1）的前n 项之和
121
n
n n i
i S u u u u
==++=
∑
称为级数（1）的前n 项部分和，令
,,,,2121211n n u u u S u u S u S ++=+==，
得到一个数列，把这个数列叫做级数（1）的部分和数列，记作}{n S 。
若级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列}{n S 的极限存在，即S S n n =∞
→lim ，则称
级数∑∞=1
n n u 收敛于S ，并记为∑∞
==1
n n u S ．
若部分和数列{}n S 的极限不存在，则称级数∑∞
=1
n n u 发散．
说明：无穷级数的和可通过它的前n 项和n S 的极限来解决。级数是
无穷多项的累加，但无穷多项的累加不一定有和，记号∑∞
=1
n n u 只表明了
无穷多项累加的意思，不能认为它总是一个和数，只有当它的前n 项和
n S ，在n →∞有极限时，无穷多项累加才能求出它的和，否则就不能求
和，看下面的例子：
例1 试讨论几何级数 +++++-1
2
n aq
aq aq a )0(≠a 的收敛性．
解：根据等比数列的求和公式可知，当1≠q 时，所给级数的部分和
q
q
a
S n
n --=11
于是，当1 →lim q q a n n --=∞ →11lim q a -= 1， 由定义可知几何级数此时收敛，其和为q a S -= 1. 当1>q 时，n n S ∞ →lim q q a n n --=∞ →11lim ∞=，此时几何级数发散． 当1=q 时，n S na =→∞（当n →∞时），此时几何级数发散． 当1-=q 时，?? ?=-+-+-=为偶数 当为奇数当n n a a a a S n n 0 )1( ，部 分和数列不存在极限，此时几何级数发散． 综上可知，当公比1 =-1 1 n n aq 收敛于 q a -1，当公 比q ≥1时，几何级数∑∞ =-1 1 n n aq 发散． 例2 判断无穷级数 11112 23 (1) n n + ++ +??+ 的敛散性。 解 由于111(1) 1 n u n n n n = = - ++， 因此11112 23 (1) n s n n = + ++ ??+ =111 111(1)()()12 2 31 1 n n n -+- ++-=-++ ， 而1 lim lim (1)11 n n n s n →∞ →∞ =- =+，所以此级数收敛于1. 另外，小数也可表示为无穷级数。如： 3.141593π≈=+ 2 3 5 14191010 10 10 ++ + + 例3 把循环小数63 .0 化为分数． 解 +++++=n .100 3610036100361003663032，这是公比为1001的几何级数，此级数收敛．其和为36 364 100199111100 ==-. 练习 1判断级数∑ ∞ =+-1 ) 12)(12(1 n n n 的敛散性，如果收敛，求其和． （答案n S = 111111(1)()()23352121n n ??-+-++-??-+?? 1 1(1)221n =-+ 因为2 1)1 211(21lim lim = +- =∞ →∞ →n S n n n ，所以级数收敛，其和为 2 1．） 练习 2 考察级数∑∞ =+1 1ln n n n 的收敛性． （答案 由于n n n n u n ln )1ln(1ln -+=+=，得 ]ln )1[ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln n n S n -+++-+-= )1ln(+=n 所以+∞=+=∞ →∞ →)1ln(lim lim n S n n n ，由定义知级数∑∞ =+1 1ln n n n 发散．） 练习 3 考察级数∑ ∞ =+-+1 )] 1([) 1(n n n n n σ σ σ 的收敛性)0(>σ． （答案 由于σ σ σ σ σ ) 1(11)] 1([)1(+- = +-+= n n n n n n u n ，得 ]) 1(11[ )3 12 1( )2 11 1( σ σ σ σ σ σ +- ++- +- =n n S n σ ) 1(11+- =n ， 所以1]) 1(11[lim lim =+- =∞ →∞ →σ n S n n n ， 由定义知级数∑ ∞ =+-+1 )] 1([)1(n n n n n σ σ σ 收敛，且收敛于1．） 三 无穷级数的基本性质 性质1 级数∑∞ =1 n n u 与级数∑∞ =1 n n ku （常数0≠k ）敛散性相同，且若 ∑∞ =1 n n u 收敛于S ，则∑∞ =1n n ku 收敛于kS . 性质2 若级数∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n v 分别收敛于1S 与2S ，则级数 1 ()n n n u v ∞ =±∑收敛于12S S ±． 如11()3 21n n ∞=∑=，1()121n n ∞=∑=，于是23113()()2326111n n n n n n n n ∞∞∞+=+=∑∑∑===. 性质3 添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变． 如∑ ∞ =1 21n n 收敛，那么∑ ∞ =+1 4 2 1n n 也收敛，但前一级数的和为1，后一级数的 和为 16 1 ． 四 级数收敛的必要条件 定理 若数项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则n n u ∞ →lim =0。 n n u ∞ →lim =0仅是级数收敛的必要条件，绝不能由n u 就得出级数收敛的 结论．若n n u ∞ →lim 0≠，则级数∑∞ =1 n n u 必发散． 例4 试证明级数∑∞ =+1 1ln n n n n 发散. 证明：因为1lim lim ln lim ln 1011 (1) n n n n n n u n n n →∞ →∞ →∞ ===-≠++ ， 所以该级数发散． 例5 判断级数∑ ∞ =-+-1 1 1 2) 1(n n n n 的敛散性． 解：因为1 2) 1(lim lim 1 +-=-∞ →∞ →n n u n n n n 不存在，所以该级数发散． 练习 1.判定下列级数的敛散性，并对收敛级数求和． （1）∑∞ =1 n n（2）∑ ∞ = + + 1 )3 )( 2 ( 1 n n n （3）∑∞ = - + 1 3 )1 ( 2 n n n n （4）∑∞ = - 1 2 1 2 n n n 2.判定下列级数的敛散性． （1）∑∞ = + 1 1 n n n （2）∑∞ = + 1 )1 ln( n n（3） 1 π sin 2 n n ∞ = ∑。 答案 1 （1）发散，（2）收敛于1 3 ，（3）收敛于 7 4 ，（4）发散。 2 （1）发散，（2）发散，（3）发散。小结级数的概念与性质 作业P146 1，2,3 板书设计 第十二章数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 § 1 级数的收敛性 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思 想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的 和、余和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . ( 注意从 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 0开始 ). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 例4 讨论级数的敛散性. 解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系 : }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ }收敛级数收敛. 于是,数列{ 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{} 二. 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 . 和N, Th ( Cauchy准则 ) 收敛 高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1 A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。 § 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ). 学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。 第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15) 级数求和的常用方法 级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和 等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22 n n a a n n s na d +-=+ = ），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+） 因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ） 此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法 此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21 )n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：210 12(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21 )(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和 等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1) 1n a q s q -=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =， 当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4 电机极数的概念 三相异步电动机转速是分级的，是由电机的“极数”决定的。 三相异步电动机“极数”是指定子磁场磁极的个数。定子绕组的连接方式不同，可形成定子磁场的不同极数。选择电动机的极数是由负荷需要的转速来确定的，电动机的极数直接影响电动机的转速，电动机转速=60乘以频率再除以电动机极对数。电动机的电流只跟电动机的电压、功率有关系。 电机极数的分类 1. 极数反映出电动机的同步转速，2极同步转速是3000r/min，4极同步转速是1500r/min，6极同步转速是1000r/min,8极同步转速是750r/min。 绕组的一来一去才能组成回路，也就是磁极对数，是成对出现的，极就是磁极的意思，这些绕组当通过电流时会产生磁场，相应的就会有磁极。 三相交流电机每组线圈都会产生N、S磁极，每个电机每相含有的磁极个数就是极数。由于磁极是成对出现的，所以电机有2、4、6、8……极之分。 2. 若三相交流电的频率为50Hz,则合成磁场的同步转速为50r/s,即3000r/min.如果电动机的旋转磁场不止是一对磁极,进一步分析还可以得到同步转速n与磁场磁极对数p的关系:n=60f/p.f为频率,单位为Hz.n的单位为r/min。 ns与所接交流电的频率 (f)、电机的磁极对数(P)之间有严格的关系 ns=f/P。 在中国，电源频率为50赫，所以二极电机的同步转速为3000转/分，四极电机的同步转速为1500转/分，余类推。异步电机转子的转速总是低于或高于其旋转磁场的转速，异步之名由此而来。异步电机转子转速与旋转磁场转速之差（称为转差）通常在10%以内。由此可知，交流电机（不管是同步还是异步）的转速都受电源频率的制约。因此,交流电机的调速比较困难,最好的办法是改变电源的频率，而以往要改变电源频率是比较复杂的。所以70年代以前，在要求调速的场合，多用直流电机。随着电力电子技术的发展，交流电动机的变频调速技术已开始得到实用。 3.交流三相异步电动机极数为总线圈组数除以三。 4. 同步电动机的转速=60*频率/ 极对数（我国工频为50Hz)。 异步电动机转速=（60*频率/ 极对数）×转差率 另外，同等功率的电动机，转速越大，输出扭距越小。 5. 同步电机的极数 大容量的同步电机均为转极式，即转子为磁极，由励磁绕组通以直流电产生，而同步机的极对数就是转子磁极的对数。八极电机就是转子有8个磁极，2p=8,即此电机有4对磁极。一般汽轮发电机多为隐极式电机，极对数很少，一般为1、2对，而n=60f/p,所以他的转速很高，最高可达3000转（工频），而水轮发电机的极数相当多，转子结构为凸极式，工艺比较复杂，由于他的极数很多，所以它的转速很低，可能只有每秒几转！ 识别极数方法 1、看转速比如1430r/min实际同步转速就是1500转，由转速公式：转速=时间（60秒）×频率（50HZ）除以磁极对数一个磁极对为2个极，由此就可以算出3000÷1500=2个磁极对也就是4极电动机。 8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ， 称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1|| 第十二章数项级数 1 讨论几何级数∑∞ =0n n q 的敛散性. 解当1|| 4、讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、证明 2-p 级数∑∞ =12 1 n n 收敛 . 证显然满足收敛的必要条件.令21 n u n = , 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、判断级数∑∞ =1 1 sin n n n 的敛散性. (验证0→ /n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑ ∞ =11 n n 发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 1．写出下列级数的一般项： ⑴ 1357 2468 ++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律： 分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21 2n n u n -= ，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1， 分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2 n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ， 于是有12 22, 21 3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=? ，k J ∈，1,2,3,....n =。 也可为1 221(1)1(1)2322 n n n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个 级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成， 若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+ 3311 23 =+， ...... 于是得11 23 n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+- 。 【解】分析数列各项的表达规律： 各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1 (1)n +-， 从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律， 从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑； 【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()221 21n n i i ==--+∑1111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11 (1)221 n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12 =，知级数收敛，收敛于1 2。 ⑵ 1 1 1n n n ∞ =++∑ ； 【解】级数前n 项和为 1 1 1n n i S i i ==++∑ 2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1 (1)n i i i ==+-∑ (1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-， 由于lim n n S →∞ lim(11)n n →∞ =+-=∞，知级数发散。 ⑶ 1 1 ln n n n ∞ =+∑； 【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+， CH 9 数项级数 1． 上、下极限 定义：对有界数列}{n a ,...},sup{lim }{sup lim lim 21++∞ →>∞→∞ →===k k k n k n k n n a a a a H ,...},inf{lim }{inf lim lim 21++∞ →>∞→∞ →===k k k n k n k n n a a a a H 如果对数列 }{n a 无上界，+∞==∞ →n n a H lim 。如果对数列}{n a 无下界，。 -∞==∞ →n n a H lim 。 性质1 设n n a H ∞ →=lim ，则 （1） 当H 是有限时，对H 的任何ε领域),(εε+-H H 在数列}{n a 中有无穷多项 属于这领域，而在),(+∞-εH 中只有有限多项。 （2） 当+∞=H 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项大于N 。 （3） 当-∞=H 时，-∞=∞ →n n a lim 。 性质2 设n n a h ∞ →=lim ，则 （1） 当h 为有限时，对h 的任何ε领域),(εε+-h h ，在数列}{n a 中有无穷多项 属于这个领域，而只有有限项小于ε-h 。 （2） 当-∞=h 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项小于N -。 （3） 当+∞=h 时，+∞==∞ →n n a h lim 。 性质3 设H 为}{n a 的上极限，那么H 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最大值。 设h 为}{n a 的下极限，那么h 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最小值。 推论：A a n n =∞ →lim （有限或无穷大）的充要条件是:A a a n n n n ==∞ →∞ →lim lim . 2．数项级数的概念及性质 定义: 若级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n S 收敛于有限值S ,即 数项级数求和方法的探究 摘要 级数，重要的数学工具。一方面，它对于数学和其他学科及技术研究与发展方面都起到了非常重要的作用并发挥了其重要影响。另一方面，级数还和我们的日常生活息息相关，我们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更为广泛的应用领域，为日后的研究打下坚实的基础。 目前在国内并没有系统全面的研究级数求和的方法，级数求和首先要考虑级数的收敛性，并且有着比较繁多的方法和很强的技巧性。本文在借鉴国内外大量资料的基础上，选取了一些常用的数项级数求和的方法，如等差求和，等比求和，错位相减求和，原级数化为函数项级数、积分函数求和等，并且每种方法都选取了典型题目加以分析，尽量使理论与应用相结合，化繁为简。本文当中也特别介绍了如裂项法求和，夹逼法求和，幂级数求和等方法，并举出例子，在实例中说明方法，用实例体会这些方法在求和时的应用。 本文对数项级数的有关概念，收敛的定义做出了简要的说明。级数的敛散性是决定级数求和的先决条件，但是本文的重点在于讨论级数求和的方法，所以对级数敛散性的讨论略过不谈，并且本文中所提到的有关级数都是收敛的。 关键词：级数收敛数项级数求和裂项法求和幂级数求和 Abstract Series, the important mathematical tools. On the one hand, it is for the mathematics and other science and technology research and development has played a very important role and exert important influence. On the other hand, the series also is closely linked with our daily life, we should reasonably grasp the use of series, also want to explore more widely used in the field, a solid foundation for the future research. At present in domestic and no systematic research methods series comprehensive summation, summation of series should first consider the convergence of series, and have a comparison method and skills are very strong.In this paper, on the basis of numerous data home and abroad, some selected numerical series common summation method, such as the arithmetic sum, geometric sum, dislocation subtraction sum, positive numbers into the function series, integral function and so on, and each method selects a typical topic analysis as far as possible, so that the combination of theory and application, simplified.This paper also particularly introduces such as crack a summation, clamping force summation, and the method of power series, and examples, explain the method in the example, with the example of the application of these methods in the sum of. In this paper, the related concepts of series, convergence definition and theorem gives proof, and give some typical examples to explain. The convergence of series is prerequisite to the summation, but the focus of this paper is to discuss the method of summation of series, the series convergence discussion over does not talk, and the series is mentioned in this article are convergent. Key words: Series ConvergenceA number of series summation Methods and skillsSeeking and split method Summing a series of powers ， 第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近 、x x 、 似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。 1 第九章数项级数 § 1 数项级数的收敛性 一、本次课主要内容 级数的收敛与发散概念；收敛性必要条件；收敛级数的性质 二、教学目的与要求 明确认识级数是研究函数的一个重要工具；无穷级数的收敛问题是如何化归为 部分和数列收敛问题的；理解解数项级数，级数的基本性质。 三、教学重点难点 1. 数项级数的概念与收敛的转化； 2. 数项级数的性质的理解与运用。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P8 1（7），（8） P8 2（1），（3） 2 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分 和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为. 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以 在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概 念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！） 解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 ( 注意从0开 始 ). 例2 讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = 3 , . , . 例4讨论级数的敛散性. 解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系: }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ 于是,数列{ }收敛级数收敛. 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念 设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷 级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，… 这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。 如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。 例题：证明级数：的和是1. 证明： 当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1. 级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即： 注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。 此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛 的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。 3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。 4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。 注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。 正项级数的收敛问题 对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。 我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理 定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。 例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。 注意：在此我们不作证明。 正项级数的审敛准则 准则一：设有两个正项级数及，而且a n≤b n(n=1,2,…）.如果收敛，那末也 收敛；如果发散，那末也发散. 例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的 准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。 关于此准则的补充问题 如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时， 也发散. 例如：是收敛的.因为，而是收敛的. 盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人 第十一章无穷级数 教学内容目录： § 1—§ 8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幕级数：幕级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幕级数的收敛半径与收敛区间，幕级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幕级数的唯一性，函数（e x、sinx、cosx、|n（1+x）、（1+x）m等）的幕级数展开式，幕级数在近似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幕级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幕级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en（1+x）和（1+x）u的马克劳林（Maclaurin ）展开式将一些简单的的函数间接展开成幕级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier ）级数的狄利克雷（Dirchet ）条件，会将定义在（-n , n）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-n , n）上的函数展开为正弦或余弦级数。数学分析 数项级数
教案1无穷级数概念与性质
幂级数概念
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
数项级数经典例题大全 (1)
q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||
级数求和的常用方法
电机级数的概念
数项级数的概念与基本性质
数项级数经典例题大全
q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0n n q 当且仅当1||
7.1 常数项级数的概念和性质
数项级数
数项级数求和方法的探究
(完整版)级数的概念与性质
第九章 数项级数
级数的概念及其性质
级数的概念与性质