历年考研数学三真题及答案解析修改(2004-2012)

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线

2

21

x x

y

x

+

=

-渐近线的条数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（2）设函数

2

()(1)(2)

x x nx

f x e e e n

=--…（-）

，其中n为正整数，则

(0)

f'

=

（）

（A）

1

(1)(1)!

n n

-

--

（B）

(1)(1)!

n n

--

（C）

1

(1)!

n n

-

-

（D）

(1)!

n n

-

（3）设函数

()

f t

连续，则二次积分

22

2

02cos

()

d f r rdr

π

θ

θ

??

=（）

（A

）

222

() dx x y dy

+

?

（B

）

222

()

dx f x y dy

+

?

（C

）

222

1

() dx x y dy

+

??

（D

）

222

1

() dx x y dy

+

??

（4

）已知级数1

1

(1)n

i

nα

∞

=

-

∑

绝对收敛，

2

1

(1)n

i

nα

∞

-

=

-

∑

条件收敛，则

α范围为

（）

（A）0<α

1

2

≤

（B）

1

2< α≤1

（C ）1<α≤3

2

（D ）3

2<α<2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）

1

cos sin 4

lim(tan )x x

x x π

-→

（10

）设函数

ln 1(),(()),21,1

x dy x f x y f f x dx x x =?≥?=?-

__

（11）函数

(,)

z f x y =满

足

1

0,

x y →→=则

(0,1)dz =

_______.

（12）由曲线

4y x =

和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.

解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

计算

2

22cos 40lim x x

x e e x -→-

（16）（本题满分10分）

计算二重积分x

D e xydxdy

??，其中D

为由曲线

y y ==

所围区域.

（18）（本题满分10分）

证明：21ln cos 1,1 1.12x x x x x x ++≥+-<<-

（19）（本题满分10分）已知函数()f x 满足方程()()2()0

f x f x f x "'+-=及

()()2x f x f x e '+=

1）求表达式

()f x

2）求曲线的拐点2

20()()x

y f x f t dt

=-?

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与是k

cx 等价无穷小，则

(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-

(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()

lim x x f x f x x

→-= (A) '

2(0)f - (B) '

(0)f - (C) '

(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是

(A) 若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑收敛

(B) 若

21

21()n n n u

u ∞

-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(C) 若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛

(D) 若

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(4) 设40

ln(sin )I x dx π=?

,40

ln(cot )J x dx π=?,40

ln(cos )K x dx π=? 则I ,J ,K 的大

小关系是

(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设0

()lim (13)x t

t f x x t →=+，则'()f x =______.

(10) 设函数(1)x

y x

z y

=+，则(1,1)|dz =______.

(11) 曲线tan()4

y x y e π

++=在点(0,0)处的切线方程为______.

(12) 曲线y 2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体

的体积______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限0

x →.

(16) (本题满分10分)

已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，

[](),(,)z f x y f x y =+。求2(1,1)|z

x y

???.

(17) (本题满分10分)

求

(18) (本题满分10分)

证明44arctan 03

x x π

-+

-=恰有2实根。 (19) (本题满分10分)

()f x 在[]0,1有连续的导数，(0)1f =，且

'

()()

t

t

D D f

x y dxdy f t dxdy +=????，{(,)|0,0,0}(01)t D x y x t y t x y t t =≤≤≤≤≤+≤<≤，求()f x 的表达式。

(20) (本题满分11分)

2010数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 若01

1

lim ()1x x a e x x

→??--=???

?

，则a 等于

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

(2) 设1y ，2y 是一阶线性非齐次微分方程'

()()y p x y q x x +=的两个特解，若常数λ，

u 使12y uy λ+是该方程的解，12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解，则（）

（A ）1122λμ=

=， （B ）1122λμ=-=-， （C ）2133λμ==， （D ）22

33

λμ==，

(3) 设函数()f x ,()g x 具有二阶导数，且"

()0g x <。若0()=g x a 是()g x 的极值，则

[]()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是（）

（A ）'

()0f a < （B ）'

()0f a > （C ）"

()0f a < （D ）"

()0f a >

(4) 设10

()ln f x x =，()g x x =,10

()x

h x e =,则当x 充分大时有（） （A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数()y y x =由方程

2

20

sin x y

x

t e dt x t dt +-=?

?确定，则

x dy dx

==______.

(10)

设位于曲线)y e x =

≤<+∞下方，

x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是______.

(11) 设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =______.

(12) 若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-,则b =______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限1

1ln lim (1)

x

x

x x →+∞

-

(16) (本题满分10分) 计算二重积分

3

()D

x y dxdy +??

，其中D

由曲线x =

与直线0x =

及0x =围成。

(17) (本题满分10分)

求函数2u xy yz =+在约束条件2

2

2

10x y z ++=下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较

[]1

ln ln(1)n

t t dt +?

与1

ln n t t dt ?(1,2,)n = 的大小，说明理由

（Ⅱ）设[]1

ln ln(1)n

n u t t dt =

+?

(1,2,)n = ，求极限lim n n u →∞

(19) (本题满分10分) 设函数()f x 在

[]

0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

2

2(0)()(2)+(3)f f x dx f f ==?，

（Ⅰ）证明：存在(0,2)η∈，使()(0)f f η=

（Ⅱ）证明：存在(0,3)ξ∈，使"()0f ξ=

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1. (B)2.

(C)3.

(D)无穷多个.

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则

(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，1

6b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1

6b =.

（3）使不等式1sin ln x t

dt x t

>?成立的x 的范围是 (A)(0,1).

(B)(1,

)2π. (C)(,)2

π

π. (D)(,)π+∞.

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

x

F x f t dt =

?的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cos 0x x →= .

（10）设()y x z x e =+，则

(1,0)

z

x ?=? . （11）幂级数2

1

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

?

(0)x >.

（17）（本题满分10 分） 计算二重积分

()D

x y dxdy -??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且

'0

l i m ()x f x A +

→=，则'(0)f +存在，且'

(0)f A +=. （19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍，求该曲线的方程.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0

()()x

f t dt

g x x

=

?的（ ）

（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.

（C ）无穷间断点.

（D ）振荡间断点.

（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分

()a

t xf x dx ?

等于（ ）

（A ）曲边梯形ABOD 面积.

（B ） 梯形ABOD 面积.

（C ）曲边三角形ACD 面积.

（D ）三角形ACD 面积.

（3）

已知(,)f x y =

（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在

（4）设函数f

连续，若22(,)uv

D F u v =

??

，其中uv D 为图中阴影部分，则

F

u

?=?（ ）

（A ）2

()vf u （B ）

2()v

f u u

（C ）()vf u （D ）()v f u u

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数21,()2,x x c

f x x c x ?+≤?

=?>??

在(,)-∞+∞内连续，则c = .

（10）设3

4

1()1x x f x x x ++=+

，则2

()______f x dx =?.

（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则

2()D

x y dxdy -=?? . （12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = .

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) （本题满分10分） 求极限20

1sin lim

ln x x

x x

→. (16) （本题满分10分）

设(,)z z x y =是由方程()2

2

x y z x y z ?+-=++所确定的函数，其中?具有2阶导数

且1?'≠-时.

（Ⅰ）求dz （Ⅱ）记()1,z z u x y x y x y ??

??=

- ?-????

，求u x ??. (17) （本题满分11分） 计算

max(,1),D

xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.

(18) （本题满分10分） 设()f x 是周期为2的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数t ，有()()2

2

t t

f x dx f x dx +=?

?；

（Ⅱ）证明()()()20

2x

t t G x f t f s ds dt +??=-????

?

?是周期为2的周期函数．

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上

(1) 当0x +→

（A ）1- （B ）ln(1 （C 1 （D ）1-

(2) 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是（）

（A ）若0()

lim

x f x x

→存在，则(0)0f =

（B ）若0()()

lim x f x f x x

→+-存在，则(0)0f =

（C ）若0()

lim x f x x

→存在，则'(0)f 存在

（D ）若0()()

lim x f x f x x

→--存在，则'(0)f 存在

(3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0

()(),

x

F x f t dt =?

则下列结论正确的是（）

（A ）3(3)(2)4

F F =-

- （B ）5

(3)(2)4F F =

（C ）3(3)(2)4F F -= （D ）5

(3)(2)4

F F -=--

(4) 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1

sin 2

(,)x

dx f x y dy π

π

??

等于（）

（A ）10

arcsin (,)y

dy f x y dx π

π

+?? （B ）

10arcsin (,)y

dy f x y dx π

π

-?? （C ）

1arcsin 0

2

(,)y

dy f x y dx ππ

+?? （D ）1arcsin 0

2

(,)y

dy f x y dx ππ

-??

(5) 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）

（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）40 (6) 曲线1

ln(1),x y e x

=

++渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上

(11) 323

1

lim

(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. (12) 设函数1

23

y x =

+，则()(0)_________n y =. (13) 设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z z

x

y x y

??-??________. (14) 微分方程

3

1()2dy y y dx x x

=-满足1

1x y ==的特解为y =__________.

(15) 设距阵01000

010,00010000A ??

?

?

= ?

???

则3A 的秩为_______.

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于

1

2

的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分10分）

设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性。

（18）（本题满分11分） 设二元函数

2.

1.(,)1

2.

x x y f x y x y ?+≤?

=≤+≤

计算二重积分

(,).D

f x y d σ??其中{}

(,)

2D x y x y =+≤。

（19）（本题满分11分）

设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，

()f b ＝()g b ，证明：

（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''()f g ξξ=。 （20）（本题满分10分） 将函数21

()34

f x x x =

--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间。

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) ()11lim ______.n

n n n -→∞

+??

=

???

(2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()

e f x f x '=，()21f =，则

()2____

.f '''= (3) 设函数()f u 可微，且()102

f '=

，则()22

4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d _____.z

=

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（）

(A) 0d y y <

(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

(8) 设函数()f x 在0x =处连续，且()22

lim

1h f h h

→=，则（）

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 (9) 若级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，则级数（）

(A)

1

n

n a

∞

=∑收敛 . （B ）

1(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. (10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（）

(A) []12()()C y x y x -. (B) []112()()()y x C y x y x +-. (C) []12()()C y x y x +. (D) []112()()()y x C y x y x ++ (11) 设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是（）

(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. 三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x

π-=

->>+，求： (Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞

=；

(Ⅱ)()0

lim x g x +

→。

（16）（本题满分7分）

计算二重积分d D

x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区

域。

（17）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++

（18）（本题满分8分）

在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）。

（Ⅰ）求L 的方程；

（Ⅱ）当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8

3

时，确定a 的值。 （19）（本题满分10分）

求幂级数()()1

211

121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x 。

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 极限2

2lim sin

1

x x

x x →∞

=+______. (2) 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为______. (3) 设二元函数()()1ln 1x y

z xe

x y +=+++，则()1,0dz =______.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(7) 当a 取下列哪个值时，函数()3

2

2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点.

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8

(8) 设()()

2

2

2

2

2123,cos ,cos D

D

D

I I x y d I x y

d σσσ==+=+??????，其

中(){}

2

2,1D x y x

y =

+≤，则

（A ）321I I I >> （B ）123I I I >> （C ）213I I I >> （D ）312I I I >> (9) 设0,1,2,,n a n >= 若

1

n n a ∞=∑发散，()

1

1

1n n n a ∞

-=-∑收敛，则下列结论正确的是

（A ）

21

1n n a

∞

-=∑收敛，

21

n

n a

∞

=∑发散 （B ）

21

n

n a

∞

=∑收敛，

21

1

n n a

∞

-=∑发散

（C ）

()21

21

n n n a

a ∞

-=+∑收敛 （D ）()2121

n n n a a ∞

-=-∑收敛

(10) 设()sin cos f x x x x =+，下列命题中正确的是 （A ）()0f 是极大值，2f π??

???

是极小值 （B ）()0f 是极小值，2f π??

???

是极大值 （C ）()0f 是极大值，2f π??

???

也是极大值 （D ）()0f 是极小值，2f π??

???

也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是

（A ）若()f x '在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界 （B ）若()f x 在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界 （C ）若()f x '在()0,1内有界，则()f x 在()0,1内有界

（D ）若()f x 在()0,1内有界，则()f x '在()0,1内有界

三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分8分） 求011lim 1x x x e x -→+??

-

?-?

?.

（16）（本题满分8分）

设()f u 具有二阶连续导数，且(),y x g x y f yf

x y ????=+ ? ???

??

，求22

2222

g g x y x y ??-??. （17）（本题满分9分） 计算二重积分

221D

x y d σ+-??

，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.

（18）（本题满分9分） 求幂级数

211121

n

n x n ∞

=??- ?+??∑在区间()1,1-内的和函数()S x . （19）（本题满分8分）

设()(),f x g x 在[]0,1上的导数连续，且()()()00,0,0f f x g x ''=≥≥.证明：对任何[]0,1α∈，有

()()()()()()1

1a g x f x dx f x g x dx f a g ''+≥??

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 若()0sin lim

cos 5x x x

x b e a

→-=-，则a =______，b =______.

(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+????确定，其中函数()g y 可微，且

()0g y ≠，则

2f

u v

?=??______. (3) 设()2

11,,22

11,,

2

x xe x f x x ?-≤

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(7) 函数()()()()

2

sin 212x x f x x x x -=

--在下列哪个区间内有界.

（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3

(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞

=，()1,0,0,0,

f

x g x x x ?

??

≠? ?=???

?=?

则 （A ）0x =必是()g x 的第一类间断点 （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点 （C ）0x =必是()g x 的连续点 （D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.

(9) 设()()1f x x x =-，则

（A ）0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点 （B ）0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点 （C ）0x =是()f x 的极值点，且()0,0是曲线()y f x =的拐点 （D ）0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点 (10) 设有以下命题：

① 若

()21

21n n n u

u ∞

-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

② 若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则

1000

1

n n u

∞

+=∑收敛

③ 若1

lim 1n n n

u u +→∞>，则1n n u ∞

=∑发散

④ 若

()1

n

n n u

v ∞

=+∑收敛，则1

n n a ∞=∑，1

n n v ∞

=∑都收敛

则以上命题中正确的是

（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④

(11) 设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论中错误的是 （A ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a > （B ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b > （C ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '= （D ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x =

三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分8分）

求22201cos lim sin x x x x →??- ??

?. （16）（本题满分8分）

求

)

D

y d σ??，其中D 是由圆22

4x y +=和()2

211x y ++=所围成的平面

区域（如图）.