方程2

五年级解方程练习C4 班级姓名

3x+15=60 50x÷1.5=150 0.8y-5.7=3.3

24+1.5x=369x+28x=1117.4x-1.8x=11.2 1.9y+y=58 2.2x-2x=1.60.8x+0.2x=2.8 y-0.84y=0.84.8x-2.4=1.2x+5.5x=78 4y÷3=2.41.2x-0.2=3.41.2x-0.2x=3.4 2.1x÷3=1.050.96+3.6x=2.04x-0.6x=4.8 8.5x+1.5=3.20.9x÷5=1.87.8x+3.2x=12.1 12x+3.5=25.10.5x÷1.6=3.5x+8x=10.17 1.8x-0.6x=14.454x-38x=1283x+5x=560

三．列式计算

（1）比x多3.2的数是6.8，求x

（2）18个x相加得12.6，求x

（3）一个数加上3.1与20的积等于128，求这个数。（列方程解）

四、列方程解应用题：

1、学校买来10箱粉笔，用去250盒后，还剩下550盒，平均每箱多少盒？

2、四年级共有学生200人，课外活动时，80名女生都去跳绳。男生分成5组去踢足球，平均每组多少人？

3、食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克？

4、果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵。平均每行梨树有多少棵？

5、一块三角形地的面积是840平方米，底是140米，高是多少米？

6、李师傅买来72米布，正好做20件大人衣服和16件儿童衣服。每件大人衣服用2.4米，每件儿童衣服用布多少米？

7、3年前母亲岁数是女儿的6倍，今年母亲33岁，女儿今年几岁？ 8、一辆时速是50千米的汽车，需要多少时间才能追上2小时前开出的一辆时速为40千米汽车？

9.在一个停车场上停有三轮摩托车和汽车共24辆，这些车共有86个轮子，那么

人教版六年级下册数学式与方程(2)

人教版六年级下册数学式与方程(2) 1.数与代数 第7课时式与方程（2） 【教学目标】 1.使学生掌握解方程的方法及列方程解决问题的步骤；知道解决问题的关键是找出数量之间的相等关系；能根据题意正确的列出方程解答两、三步计算的问题。 2.使学生根据问题的特点选择恰当的方法来解答。进一步培养学生分析数量关系的能力，发散学生的思维。 3.培养学生抽象、概括的能力和检查、验算的习惯。 4.探索知识间的内在联系，激发学生的学习兴趣。 【教学重难点】 重难点：找出数量之间的相等关系，能根据题意正确的列方程解决问题。 【教学过程】 一、谈话导入 上一节课我们一起学习了本大节第一部分内容：字母表示数，今天继续学习剩下的内容。 二、复习讲授 1.复习方程：课件出示： （1）下面的式子哪些是方程？哪些不是方程？为什么？ 同学们准确的进行了判断，那什么是方程呢？用方程解应用题解决的是什么问题呢？ （2）回忆等式与方程的关系。提问:根据上面的练习，说一说什么是方程，方程与等式有什么关系?

教师小结：方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是一个等式。两者缺一就不是方程。 教师：你知道什么叫“方程的解”，什么叫“解方程”吗？并说一说它们有什么区别? 学生讨论后回答，结合学生的回答，教师板书: 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，它是一个数。求解方程的过程叫做解方程。 教师:说一说，你怎样解方程?解方程时应用什么知识？ 学生分小组讨论，讨论后在全班交流。 2.复习列方程解决实际问题。 （1）出示案例：学校组织远足活动。原计划每小时走3.8km，3小时到达目的地。实际2.5小时走完了原定的路程，平均每小时走了多少千米？ （2）学生独立思考并解答下列问题。 ①你能用不同的方法解答吗? ②用方程解答的解题步骤是什么? ③在做题时，你想提醒大家注意什么？ ④你还有什么不明白的问题需要大家帮助解决的？ （3）订正，汇报。 指名说思路。 算术法：3.8×3÷2.5＝4.56（km） 方程法： 解：设平均每小时走x千米。 实际的速度×实际的时间=计划的速度×计划的时间 2.5x= 3.8×3

第4课时 解方程(2)

◎教学笔记 第4课时解方程（2） ?教学内容 教科书P68例2、例3，完成教科书P68“做一做”第1、2题和P70“练习十五” 第4题。 ?教学目标 1.经历灵活运用等式的性质解方程的步骤和过程，掌握解方程的方法。 2.进一步掌握解方程的书写格式和解方程的策略。 3.在解方程过程中积累数学活动经验，感受解方程的思维过程和数学转化思想，发 展抽象思维能力。 ?教学重点 灵活运用等式的性质解方程。 ?教学难点 利用等式的性质解不同难度的方程的策略和步骤。 ?教学准备 课件。 ?教学过程 一、复习导入 课件出示习题。 让学生口述解方程的过程，教师适时点评。 【设计意图】通过复习让学生回忆解方程的过程，为后面的学习打基础。 二、探索新知 1.解形如ax＝b的方程。 （1）课件出示教科书P68例2天平图。 师：同学们仔细观察这幅图，大家能列出方程吗? 【学情预设】学生观察后，根据图意写出方程：3x＝18。 师：今天我们继续研究怎样解方程。［板书课题:解方程（2）］

◎教学笔记 （2）尝试解答。 师：大家能用刚才复习题中解方程的经验来解这道方程吗？ 学生自主解答，教师巡视指导，规范解答过程。 教师根据学生汇报，板演解答过程。 3x＝18 解：3x÷3＝18÷3 x＝6 师：为什么方程两边要同时除以3？ 【学情预设】两边同时除以3可以消去3这个因数，这样左边就只剩下x了。 师：这是根据什么来解方程的？ 【学情预设】根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式左右两边仍然相等。 课件演示小方块消去的过程，帮助学生理解两边同时除以3。 师：谁来检验一下这个方程的解是否正确呢？ 学生独立书写检验过程，指名板演，集体订正，教师指导出示完整的检验过程。 【设计意图】教科书P68例2以3x＝18为例，讨论形如a x＝b的方程的解法：运用等式性质2解方程。在教学中凭借天平演示的图示，展现解方程的完整思考过程。交流时让学生先说自己是怎样想的，用天平演示验证后，再说验算过程并请学生自己检验，最后教师展现完整的检验过程，让学生加深印象，规范格式。 2.解形如a-x＝b的方程。 （1）课件出示教科书P68例3。 学生自己尝试解答。 师：大家遇到了什么困难？ 【学情预设】预设1：不知道20-x＝9两边要怎么做。 预设2：两边“+20”或者“-20”都发现做不下去，解不了。预设3：两边同时“+x”后不知道怎样继续解答。 （2）分析交流，探讨解法。 【教学提示】 突出“转化”思想，将新问题转化为已经学会如何解决的旧问题。 【教学提示】 反复强调格式：前面要写“解：”，等号要对齐。

《等式与方程2》说课稿

《等式与方程2》说课稿 今天我要为大家讲的课题是等式的性质 首先，我对本节教材进行一些分析： 一、教材分析（说教材）： 1、教材所处的地位和作用：在掌握了一元一次方程的概念及其初步应用后，需要解决的是一元一次方程的解法，本节的内容是《等式与方程》第二课时，借助于等式的性质来解一元一次方程。为下几节的学习铺平道路.首先通过天平的实验操作,使学生学会观察、尝试分析、归纳等式的性质。然后，利用等式的基本性质解一元一次方程。通过解方程的学习提高了学生观察问题、解决问题的能力. 2、教育教学目标： 根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： a、知识目标： （1）通过天平实验让学生探索等式具有的性质并予以归纳。 （2）能利用等式的性质解一元一次方程。 b、能力目标：通过实验培养学生探索能力、观察能力、归纳能力和应用新知的能力。 c、情感目标：通过实验操作增强合作交流的意识。 3、重点：利用等式的性质解方程。

4、难点：对等式的性质的理解及应用。 下面，为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 二：教学策略（说教法）： ㈠教学手段： 如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。我在教学过程中拟计划进行如下操作： 1：“读（看）——议——讲”结合法 2：图表分析法 3：读图讨论法 4：教学过程中坚持启发式教学的原则 ㈡教学方法及其理论依据： 坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，根据初一学生的心理发展规律，联系实际安排教学内容。采用学生参与程度高的学导式讨论教学法。在学生看书、讨论基础上，在教师启发引导下，运用问题解决式数学教学法，师生交谈法、图像信号法、问答法、数学课堂讨论法，引导学生根据现实生活的经历和体验及收集到的数学信息（感性材料）来理解课文中的理论知识。在采用问答法时，特别注重不同难度的问题，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现的机会，培养其自信

方程求根的迭代法

§4.1 引 言 绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。 §4.1.1迭代法的思想 迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。 迭代法求根分两步： 1） 猜测初值 2）迭代 如求解初值问题00' )(),,(y x y y x f y ==用梯形公式 111[(,)(,)2 n n n n n n h y y f x y f x y +++≈+ + （1） 看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),() 0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得 )],(),([2 ) 0(11) 1(1+++++ =n n n n n n y x f y x f h y y 若) 1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值) 2(1+n y ，写成迭代公式 )],(),([2 ) (11) 1(1 k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++ = （2） 一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式 ()x x ?= （3） 式（3）中连续函数()x ?称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ?=+1。如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞ →=lim * 就是方程（3）的根。 几何意义P127图4-1 为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ?满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=?，可以看出收敛的充分必要条件()1' <=k x ?。几何意义P127 图4-2,3,4,5。 §4.1.3 压缩映像原理 设* x 是方程()x x ?=的根，则由微分中值定理 ))(()()(* '*1* k k k x x x x x x -=-=-+ε???，如果存在10<≤L ，使得 ],[b a x ∈有() k k x x L x x L x -≤-?≤+* 1*' ? ，则迭代误差0e L e k k ≤，由于10<≤L ， 故0→k e ，即迭代收敛。

解简易方程之方法及难点归纳

五年级上册解简易方程之方法及难点归纳 重点概念：方程，方程的解，解方程，等式的基本性质（详见“知识点汇总”） 要点回顾： “解方程”就是要运用“等式的基本性质”，对“方程”的左右两边同时进行运算，以求出“方程的解”的过程。（方程的解即是如同“X＝6”的形式） “解方程”就好像是要把复杂的绳结解开，因此一般要按照“绳结”形成的过程逆向操作（逆运算）。 过程规范： 先写“解：”，“＝”号对齐往下写，同时运算前左右两边要照抄，解的未知数写在左边。注意事项： 以下内容除了标明的外，全都是正确的方程习题示例，且没有跳步，请仔细观看其中每步的解题意图。带“*”号的题目不会考查，但了解它们有助于掌握解复杂方程的一般方法，对简单的方程也就自然游刃有余了。 一、一步方程 只有一步计算的方程，直接逆运算除未知数外的部分。 难点：当未知数出现在减数和除数时，要先逆运算含未知数的部分。 二、两步方程 两步方程中，若是只有同级运算，也可以先计算，后当做一步方程求解。注意要“带符号移动”，增添括号时还要注意符号的变化。

如果含有两级运算，就“逆着运算顺序”同时变化，如含有未知数的一边是“先乘后减”，则先逆运算减法（即两边同加），再逆运算乘法（即两边同时除以），依此类推。 难点：当未知数出现在减数和除数时，要先把含有未知数的部分看作一个整体（可以看成是一个新的未知数），就相当于简化成了一步方程。 因此原方程就可以看成是6＋y＝10，5y＝6和10－y＝8的形式。 三、三步方程 （一）应用乘法分配律，共同因数是已知数的 具有乘法分配律的形式，即两个有共同因数的乘积（或具有相同除数的除法式子）相加或相减，而共同因数（或除数）是已知数的，既可以逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程，也可以直接算出已知部分而化简。

线性方程组的迭代法及程序实现

线性方程组的迭代法及程序实现 学校代码:11517 学号:200810111217 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文 题目线性方程组的迭代法及程序实现 学生姓名 专业班级 学号 系 (部)数理科学系 指导教师职称 完成时间 2012年5月20日河南工程学院 毕业设计(论文)任务书 题目:线性方程组的迭代法及程序实现专业:信息与计算科学学号 : 姓名一、主要内容: 通过本课题的研究,学会如何运用有限元方法来解决线性代数方程组问题,特别是Gaussie-Seidel迭代法和Jacobi迭代法来求解线性方程组。进一步学会迭代方法的数学思想,并对程序代码进行解析与改进,这对于我们以后学习和研究实际问题具有重要的意义。本课题运用所学的数学专业知识来研究,有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识,特别是迭代方法。通过这个课题的研究,我进一步掌握了迭代方法的思想,以及程序的解析与改进,对于今后类似实际问题的解决具有重要的意义。

二、基本要求: 学会编写规范论文,独立自主完成。 运用所学知识发现问题并分析、解决。 3.通过对相关资料的收集、整理,最终形成一篇具有自己观点的学术论文,以期能对线性方程组迭代法的研究发展有一定的实践指导意义。 4.在毕业论文工作中强化英语、计算机应用能力。 完成期限: 2012年月指导教师签名:专业负责人签名: 年月日 目录 中文摘要....................................................................................Ⅰ英文摘要 (Ⅱ) 1 综述 1 2 经典迭代法概述 3 2.1 Jacobi迭代法 3 2.2 Gauss?Seidel迭代法 4 2.3 SOR(successive over relaxation)迭代法 4 2.4 SSOR迭代法 5 2.5 收敛性分析5 2. 6 数值试验 6 3 matlab实现的两个例题8 3.1 例1 迭代法的收敛速度8 3.2 例 2 SOR迭代法松弛因子的选取 12致谢16参考文献17附录19

数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法

第4章解线性方程组的迭代法 用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组， 如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式 （4.1） 任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。 若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限 即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。 可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有 再由迭代式可得到

由线性代数定理，的充分必要条件。 因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。 定理4.1迭代法收敛的充要条件是。 定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径 因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的 工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中 于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列 是收敛的。 要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。

在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式 雅可比迭代计算 元线性方程组 （4.2） 写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组： 记，构造迭代形式

式与方程

式与方程 知识点复习 一、用字母表示数 1、用字母表示数的意义和作用 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，也可以表示运算的结果。 2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 （1）常见的数量关系 ①路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系： s=vt、v=s/t、t=s ②总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系: a=bc、b=a/c、c=a/b （2）运算定律和性质 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc) 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 减法的性质：a-(b+c) =a-b-c （3）用字母表示几何形体的公式 ①长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用C表示，面积用S表示： C=2(a+b)、S=ab ②正方形的边长a用表示，周长用C表示，面积用S表示： C=4a、S=a2 ③平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用S表示： S=ah ④三角形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示： s=ah/2 ⑤梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用 S表示： S=(a+b)h/2 、S=mh ⑥圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用C表示，面积用S表示： C=πd=2πr 、 S=πr2 扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用S表示：S=πnr2/360 ⑦长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用S表示，体积用V 表示： h、V=abh C=4（a+b+c）、 S=2(ab+ah+bh)、 V=S 底 ⑧正方体的棱长用a表示，底面周长C用表示，表面积用S表示，体积用V表示： C=12a、S=6a2 、V=a3 ⑨圆柱的高用h表示，底面半径用r表示、直径用d表示，底面周长用C表示，

人教版数学五年级上册《2.解简易方程 第2课时》教案

第二课时 教学内容 解方程(一)。(教材第67~68页) 教学目标 1.根据等式的性质,使学生初步掌握解方程及方程检验的方法,理解解方程和方程的解的概念。 2.培养学生的分析能力及应用所学知识解决实际问题的能力。 3.帮助学生养成自觉检验的良好习惯。 重点难点 重点:理解并掌握解方程的方法。 难点:理解解方程和方程的解的概念。 教具学具 实物投影及多媒体课件。 教学过程 一导入 1.提问:什么是方程? 2.上节课我们发现等式有什么性质? 二教学实施 1.多媒体课件出示教材第67页例1。 (1)让学生观察图,列出方程,怎么解这个方程呢? (2)指出:可以利用天平保持平衡的道理来帮助我们解方程。 (3)多媒体演示第一幅天平图,用木块代替皮球。 让学生观察图思考,怎样才能使天平左边只剩“x”,而又保持天平平衡? 学生思考后回答:从两边各拿走3个,天平仍然平衡。 多媒体课件演示变化过程及变化后的天平图,让学生观察图,说出这个变换过程如何反映到方程上。 板书:x+3-3=9-3 提问:为什么要从方程两边同时减去3,而不减去其他数? 学生口述结果,并口头检验。 (4)结合这道题的解题过程,强调解题步骤和格式: ①等号要对齐。 ②方程两边同时减去一个数的过程要写出来。 (5)教师小结。 像这样能使方程左右两边相等的未知数的值,你们知道叫什么吗? 学生看教材,找答案,同时引出解方程的概念。 (6)教师指出:方程的解是一个数,解方程是一个过程。 2.出示教材第68页例2。

(1)利用多媒体课件出示天平图,引导学生由天平保持平衡的变换规律,类推出方程保持相等的变换方法。 提问:怎样使天平左边只剩“x”,而天平仍然平衡? (2)学生思考后口答:方程两边同时除以3,左右两边仍然相等。 (3)学生口述解方程过程。 板书:3x=18 3x÷3=18÷3 x=6 (4)学生口述检验过程。 (5)提问:如果方程两边同时加上或乘同一个数,左右两边还相等吗? 3.出示教材第68页例3。 (1)师:怎样解这个方程呢? (2)学生思考后口答:等式两边加上相同的式子,左右两边仍然相等。 (3)学生口述解方程过程。 (4)教师板书: 20-x=9 20-x+x=9+x 9+x=20 9+x-9=20-9 x=11 (5)学生口述检验过程。 (6)教师板书:方程左边:20-x=20-11=9=方程右边所以,x=11是方程的解。 4.小结。 你学会解方程了吗? 同桌讨论解方程需要注意什么。 三课堂作业新设计 1.解下列方程并检验。 4x=10013+x=18.1x-1.2=65x=1.5 1.6x=4.8 x+ 2.5=8 x÷3=2.7 x÷0.6=4 2.用方程表示下列数量关系并解方程。 (1)x的6倍是3.6。 (2)比x少2.8的数是16.8。 (3)15比x多1.8。 3.从下面的实验中,你能推算出西瓜的质量吗? 4.看图列方程。 (1)

式与方程整理与复习(2)

《式与方程整理与复习（2）》（学生自主练习） 一、判断 1、x平方不可能等于2x。（） 2、小明将3b+6错写成了3（b+6），所得的结果比原式多12。（） 3、方程的解就是解方程。（） 4、当n是自然数时，2n+1一定是奇数。（） 5、已知两个连续的自然数的和是x，那么较小的自然数是x÷2-1。（） 二、选择题： 1、小刚有铅笔x支，小红的铅笔数比小刚的3倍多4支，小刚比小红少（）支。 A.3x＋4 B.2x＋4 C.x＋4 D.2x 2、甲乙两筐苹果，甲筐重32千克，乙筐重x千克。从甲筐拿4千克放入乙筐，两筐一样重。下列方程正确的是（）。 A.32－x＝4 B.x－8＝32 C.x＋4＝32－4 D.x－32＝4 3、如果一个长方形的周长是78厘米，长是26厘米，那么这个长方形的宽是多少厘米？用方程解，设宽为x厘米，下列方程不正确的是（）。 A.26＋x＝78÷2 B.2（26＋x）＝78 C.26×2＋2x＝78 D. 26＋x＝78 4、在有余数的的整数除法中，除数是m，商是n（m、n都不为0），被除数最大是（）。 A. mn+m-1 B.mn-1 C. mn+n-1 D. mn 5、用黑白两色的正六边形按下图所示的规律拼成若干个图案。 第1个第2个第3个 拼第n个图案需要白色的正六边形（）个。 A.6n+1 B.6n C.5n+1 D. 5n 答案： 1、× 2、√ 3、× 4、√ 5、×1、B 2、C 3、D 4、A 5、C

2、下面是2013年5 ”形框，每次框住5个数。（ 6%） （1）如果框住的数最小是 6,那么框住的5个数的平均数是（ ）。 （2）一共可以框住（ ）个不同的和。 （3）如果框住的5个数中，有3个数都在周三，那么有（ ）种不同的 排法。 14.把边长为1 …… 用6个小正方形拼成的这样的长方形的周长是（ ）厘米； 用a 个小正方形拼成的长方形的周长是（ ）厘米。

新人教版解方程2 教案

解方程（二） 教学内容：教材P69例4、例5及练习十五第6、8、9、13题。 教学目标： 知识与技能：巩固利用等式的性质解方程的知识，学会解ax ±b＝c与a(x ±b)=c类型的方程。 过程与方法：进一步掌握解方程的书写格式和写法。 情感、态度与价值观：在学习过程中，进一步积累数学活动经验，感受方程的思想方法，发展初步的抽象思维能力。 教学重点：理解在解方程过程中，把一个式子看作一个整体。 教学难点：理解解方程的方法。 教学方法：观察、分析、抽象、概括和交流. 教学准备：多媒体。 教学过程 一、复习导入 1．出示习题：解下面方程：4x =8.6 48.34-x =4.5 学生自主解答练习，并说一说是怎么做的。并在订正的过程中，规范书写。 2．引出：这节课我们来继续学习解方程。（板书课题：解方程） 二、互动新授 1．出示教材第69页例4情境图。 引导学生观察，并说一说图意。再让学生根据图列一个方程。

学生列出方程3x +4=40后，让学生说一说怎么想的。 （一盒铅笔盒有x 支铅笔，3盒铅笔盒就有3x 支铅笔。） 在学生说自己的想法时，引导学生说出把3个未知的铅笔盒看作一部分，4支铅笔看作一部分。 2．让学生试着求出方程的解。 学生在尝试解方程时，可能会遇到困难，要让学生说一说自己的困惑。 学生可能会疑惑：方程的左边是个二级运算不知识如何解。 也有学生可能会想到，把3个未知的铅笔盒看作一部分，先求出这部分有多少支，再求一盒多少支。（如果没有，教师可提示学生这样思考。）提问：假如知道一盒铅笔盒有几支，要求一共有多少支铅笔，你会怎么算？ 学生会说：先算出3个铅笔盒一共多少支，再加上外面的4支。 师小结：在这里，我们也是先把3个铅笔盒的支数看成了一个整体，先求这部分有多少支。解方程时，也就是先把谁看成一个整体？(3x ) 让学生尝试继续解答，订正。 根据学生的回答，板书解题过程： 3x +4=40 解：3x =40-4 3x =36 （先把3x 看成一个整体） 3x ÷3=36÷3 x =12 让学生同桌之间再说一说解方程的过程。 3．出示教材第69页例5：解方程2(x -16)=8。

解简易方程教案(2)

解简易方程--方程的意义教案 第一课时 教学内容：五年级上册第四单元，第2个内容解简易方程的第一课时：方程的意义。 教学目标： 1、使学生认识理解“方程”的含义。 2、让学生初步了解方程的意义，并会应用。 教学重点：使学生认识理解“方程”的意义。 教学难点：帮助学生建立“方程”的概念，并会应用。 教学设计： 一、导入 同学们好，刚才老师在路上看见路边的小公园里有两个小朋友正在玩跷跷板，就想到要问问大家有没有完过的？学生回答：玩过。教师：好，那我们请玩过的同学给我简单说一下怎么玩好不好？嗯，有请XXX同学给我们讲一下。这同学讲得很不错，那么我们生活中有什么东西跟跷跷板相似呢？让学生思考。 二、讲授新课 1、介绍天平：同学们跟妈妈出去菜的时候是不是都发现卖菜的地方都有一个称东西的工具对吧？像不像这个一样的东西（出示天平图片）。大家知道这是什么吗？教师：很好！这是一架天平，用来做什么的？教师：对，是用来称物品的重量，当它平衡的时侯，即表示天平两端的重量相等。那好，同学们都很聪明的看出了天平的奥秘了，现在我来考考大家，来看看这几幅图。 2．引出方程 （1）出示图片：天平1 教师提问：大家仔细观察这图上面都有哪些信息？ 学生回答：有杯子，有砝码，有两个小朋友，等等。 教师：恩，那么这个天平平衡吗？ 学生回答：平衡， 教师提问：那说明了什么？ 学生回答：说明两边的重量相等。也说明空杯的重量是100g。 教师：很好，那谁会用等式表示呢？ 让学生上黑板写，其他在草稿纸写。

学生板书：空杯=100g （2）出示图片：天平2 教师提问：请同学们观察这张图，天平还平衡吗？为什么？水的重量我们知道不知道？那我们可以用字母来表示吗？很好，那我们通常对不知道的数叫做什么？学生回答：……. 教师：对，叫做未知数，通常是用字母X来表示的。 教师提问：那么怎样用式子来表示，我们之前学过用式子表示数，怎么做呢？（提醒，刚才已经知道了杯子的重量） 学生板书：100+X>100g 教师提问：这是个什么式子？学生：不等式。教师：好的，同学们都很聪明，再看。 (3)出示图片：天平3 教师：再仔细观察这图上面有告诉我们什么？通过图请同学们列出式子来。 学生：100+X>200，100+X<300， 大家看这对吗？很好，同学们真的很聪明。那么接下来再看， （4）出示图片：天平4 教师：再看这幅图，有跟上面的有上面不同了？看着这幅图怎么用式子表示出来？ 学生：杯子，三个砝码250g，杯子里装满了水，天平平衡了， 式子100+X=250g，教师：好，我们看100+X=250这等式，跟100+200=300，2+a=40，这两个等式比较一下。

六年级数学下册式与方程2要点及习题解答

7-12式与方程2要点及习题解答 【知识点】 1.式与方程2：列方程解决实际问题 2.读题→数据含义→数量关系→列式计算或列方程求解 3.根据上面步骤，可以清楚不管是列式还是列方程前提条件是要找到数量关系。即题目中涉及到哪些数量（有的数量是已知的，有的数量是未知的），数量之间有什么关系？学数学就是要研究数量关系的。 4.在解决问题的数量关系中涉及一些条件数量未知，我们可以假设它已知，通常设它为x 或含有x 的式子，从而列方程解决问题。 5.题目中有多个未知数，往往设其中一个为x ，其他的根据简单倍比关系、相差关系或和的关系用含有x 的式子表示出来 【习题解答】 1.（1）数据含义：51是把这本书看作单位1，第一天看了它的5 1；25%是把这本书看作单位1，第一天看了它的25%，90页是第一天+第二天看=90页。 （2）数量关系：第一天看的页数+第二天看的页数=90页，条件中有两个未知数。 （3）列方程求解：两个未知数，但都是以这本书为单位1，设这本书共x 页， 那么这两个未知数可以用含有x 的式子表示出来，为5 1x 和25%x

200 90%4590%255 1===+x x x x 2.数量关系：菜地总面积-大白菜面积-油菜面积=3 1公顷（三个未知数，但它们之间有倍比关系） 解：设菜地总面积为x x-25%x-40%x=3 1 35%x=3 1 x=21 20 3.数量关系：甲-1.6=乙+1.6 或画线段图分析数量关系得 甲-乙=1.6×2（甲、乙两个未知数，有倍比关系） 解：设乙瓶有x 千克，则甲瓶有1.8x 千克（后半句可不写）。 1.8x-x=1.6×2 0.8x=3.2 x=4 甲：1.8×4=7.2千克 4.数量关系：公鸡只数×4+母鸡只数×6=388（两个未知数，有和的关系） 解：设公鸡x 只，则母鸡73-x 只 4x+（73-x ）×6=388 4x+73×6-6x=388 4x+438-6x=388 438-2x=388 2x=50 x=25 母：73-25=48只

Newton迭代法求解非线性方程

Newton迭代法求解非 线性方程

一、 Newton 迭代法概述 构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。 设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即： )x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1) 于是我们得到如下近似方程： 0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2) 设0)('≠k x f ，则方程的解为： x ?=x k +f (x k ) f (x k )? (1-3) 取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,… (1-4) 上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义。方程： )x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5) 是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。 牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。如果所加的条件不满足，

解线性方程组地迭代法

解线性方程组的迭代法 Haha 送给需要的学弟学妹 摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。系数矩阵H为Hilbert矩阵，是著名的病态问题。因而决定求解Hx b=此线性方程组来验证上述问题。 详细过程是通过用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四种方法求解Hx b=线性方程组。关键词：病态方程组、Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法、SOR迭代法 目录： 一、问题背景介绍 二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理 1、Gauss消去法求解原理 2、Jacobi迭代法求解原理 3、G-S迭代法求解原理 4、SOR迭代法求解原理 5、Jacobi和G-S两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程 （一）Hilbert矩阵维数n=6时 1、Gauss消去法求解 2、Jacobi迭代法求解 3、G-S迭代法求解 4、SOR迭代法求解 （二）Hilbert矩阵维数n=20、50和100时 1、G-S迭代法求解图形 2、SOR迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果 1、Gauss消去法误差分析 2、G-S迭代法误差分析 3、SOR迭代法误差分析 G-S迭代法与SOR迭代法的误差比较 七、心得体会 正文： 一、问题背景介绍。 理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？

二、建立正确的数学模型。 考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵， ,,1 (), , ,1,2,,1 i j n n i j H h h i j n i j ?== =+-L 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端 ,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分 别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。 三、求解模型的数学原理。 1、Gauss 消去法求解原理 对于Ax b =（A 非奇异）求解时，可以先将A 分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积，即A LU =，就可以通过 , ,Ly b Ux y == (1.1) 求解出x 的值。 接下来就具体讲讲如何将A 分解成L 和U ，也就是Gauss 消去法。 欲把一个给定的矩阵A 分解为一个下三角阵L 与一个上三角阵U 的乘积，最自然的做法便是通过一系列的初等变换，逐步将A 约化为一个上三角阵，而又能保证这些变换的乘积是一个下三角阵。这可归结为：对于一个任意给定的向量,n x R ∈找一个尽可能简单的下三角阵，使x 经这一矩阵作用之后的第1k +至 第n 个分量均为零。能够完成这一任务的最简单的下三角阵便是如下形式的初等下三角阵： ,T k k k L I l e =- 其中 ()1,0,,0,,,,T k k k nk l l l +=L L 即 1,,1111k k k n k L l l +?? ??????=? ?-??????-??? ? O M O 这种类型的初等下三角阵称作Gauss 变换，而称向量k l 为Gauss 向量。 对于一个给定的向量()1,,,T n n x x x R =∈L 我们有 ()111,,,,,,.T k k k k k k n k nk L x x x x x l x x l ++=--L L 由此立即可知，只要取 , 1,,,i ik k x l i k n x = =+L 便有 ()1,,,0,,0.T k k L x x x =L L 当然，这里我们要求0.k x ≠ 而后经过多次变换可以得到

(完整)小学五年级奥数解简易方程

解简易方程 知识精讲 1、 含有未知数的等式叫做方程。 2、 左右两边都相等的式子叫做等式。 3、 等式的两边同时加（或减）相同的数，等式不变。 4、 等式的两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式不变。 本讲我们要解决稍复杂的方程，像方程两边都含有未知数，如()62108+=-x x ；等号两边都是分数形式的方程，如3 7615=+x 。 解稍复杂的方程，要先加以变形，变为较简单的简易方程。 所说的变形要求，常用的方法是： 1、 运用乘法分配律，去掉括号； 2、 两边是分数形式的方程，运用交叉相乘法，转化为不是分数形式的方程。 3、 方程的两边都加上或减去相等的数或相等的式子，等式仍然成立，这时等式的性质。利用这个性质可以简化方程。 4、 方程的两边都乘以或除以相等的数或相等的式子（这些书与式子不能为0），这也是等式的性质。利用这个性质也可以化简方程。 5、 根据四则运算中的六个关系式，求出方程的解。 解方程步骤要规范，求出得数后腰加以检验，看得数是否正确，是否合理。 例1、 解方程： 6437+=-x x 练习1、94.18.94.3+=-x x 2、x x 82552-=+ 例2、()()72225+=+x x

练习1、()()75726+=-x x 2、()()5.0624.135-=-x x 例3、 解方程：()6 .06.06.06=--x 练习1、()5422.5=--x 2 、()x x 265.55.1=?-- 例4、()72423-=÷+x x 练习1、()()52144=+÷+x x 2 、()153813-=÷+x x

人教版数学五年级上册《2.解简易方程 第1课时》教案

2 解简易方程 第一课时 教学内容 方程的意义和等式的性质。(教材第62~66页) 教学目标 1.使学生理解和掌握方程的意义和等式的性质。 2.提高学生观察、归纳和概括的能力。 3.培养学生仔细观察的良好习惯。 重点难点 重点:理解方程的意义。 难点:掌握等式的性质。 教具学具 实物投影,自制天平教具。 教学过程 一导入 在下面算式的○里填上“>”“<”或“=”。 3×6○197○1.8+5.2 2.5÷5○2×0.25 24+11○11+24 3.9-3○4÷515×8+2○120+2 小结:像7=1.8+5.2,2.5÷5=2×0.25,24+11=11+24,15×8+2=120+2等这样的式子都叫作等式。 提问:你还能举出等式的例子吗? 二教学实施 1.出示自制的天平教具,简单介绍天平的使用方法。 2.操作。 (1)称出一只空茶杯重100克。 (2)向空杯子里倒入约150毫升的水,这时天平倾斜。 (3)增加100克砝码,仍然是杯子和水重。 教师指出:设水重x克,那么杯子和水比200克还重,可以用式子表示:100+x>200。 (4)再增加100克砝码,天平往砝码这边倾斜。 提问:哪边重些?怎样用式子表示?(学生口答) 板书:100+x<300 (5)把一个100克砝码换成50克的,天平重新平衡。 提问:现在两边的质量怎样了?用式子怎样表示?(学生口答) 板书:100+x=250

教师建议:像这样的含有未知数的等式,你们知道它的名字吗?(板书课题:方程的意义) 3.学生试着写出一个方程,互相交流。 提问:判断一个式子是不是方程的条件是什么? 小结:一看是不是等式,二看有没有未知数。 4.完成教材第63页“做一做”的第1题。 交流时说明“是方程”或“不是方程”的理由。 5.学生自己看课后阅读材料。 6.教学等式的性质。 (1)师:你们用天平做过游戏吗?大家一起来做一个游戏。 (2)教师演示。 天平左边放上茶壶,右边放上两个茶杯,保持平衡。 提问:①怎样变换,能使天平仍然保持平衡? ②往两边各放1个同样的茶杯,天平会发生什么变化?(学生回答后,教师演示验证) ③如果两边各放上2个茶杯,天平还保持平衡吗?两边各放上同样的1把茶壶呢?(学生回答后,教师再演示) 指出:如果设1把茶壶重a克,1个茶杯重b克,则上面的过程可以怎样表示?(学生回答,教师板书) a=2b a+b=2b+b a+2b=2b+2b a+a=2b+a 提问:你能用自己的语言概括上面的规律吗? 小结:等式两边同时加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。 (3)对于第二幅图,也可以采用上面的方法进行演示并提问。 提问:你能把两个实验的结论归纳为一句话吗? (4)对于第三、第四幅图,也这样操作,归纳结论。 三课堂作业新设计 1.在等式后面的括号里画“√”。 (1)2.6×4=10.4( ) (2)4.7-2.01<3( ) (3)3x<15( ) (4)a+b=b+a( )(5)4×5-3x=2.6( )(6)1÷3≈0.33( ) 2.下面的式子哪些是等式,哪些是方程?(在方程后面的括号里画“√”) (1)32÷4>7( )(2)3x-2=4.4( )(3)1.2+3.5-4=0.7( ) (4)x+8=9×2( )(5)4.5x-2.6( )(6)x-2.9=0( ) 3.求下面加法竖式中的字母a,b,c,s各代表什么数。 4. 根据下面的等式,求出a,b,c各代表什么数。 ①a+b+c=33②a+a+b=31③a+b-c=9

《式与方程》教案

《式与方程》教案 教学目标 1、知识与技能 使学生掌握用字母表示数和常见的数量关系；会根据字母所取的值，求含有字母的式子的值。 2、过程与方法 通过教学的过程，使学生能正确解方程，解题能力得到提高。 3、情感态度与价值观 培养学生用字母表示数的意识和兴趣，使学生产生对数学学习的好奇心。 教学重难点 理解用字母表示数的意义和方程的意义，会解简单的方程。 教学用具 多媒体课件 教学过程 一、知识回顾 用字母表示数表示的意义和作用是什么？（老师随机叫一个学生回答） 意义和作用：数量关系可以用含有字母的式子简明概括的表达出来。用字母还可以表示运算定律和常见的计算公式。 二、新课引入 1、你会用字母表示什么？（老师用课件导出） 数量：一班男生有a人，女生有b人，一共有（a＋b）人。 数量关系：s＝vt 计算公式：V＝Sh 运算规律：a＋b＝b＋a 其它：b c b c a a a ＋＋＝ 想一想 在一个含有字母的式子里，数与字母，字母与字母相乘，书写时应该注意什么？ 字母与数字之间或字母与字母之间的乘号可记作“·”或省略不写，数字写在字母的前

面，字母的先后顺序要尽可能按字母表的先后顺序，如3×a ×b ＝3ab 。 2、什么叫做方程？ 连线（多媒体课件导出） 比a 多3的数：a ＋3 比a 少3的数：a －3 3个a 相加的和：3a 3个a 相乘的积：a 2 为了求未知数，利用某种数量关系在已知数与未知数之间建立的等式关系就叫做方程。 想一想 （1）方程与等式有什么区别与联系？ 含有未知数的等式叫方程。方程是等式的一种；方程一定是等式，但等式不一定是方程。 （2）你能举例说明等式的性质吗？ 性质1 等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。 若a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c 。 性质2 等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。 若a ＝b 那么有ab ＝ba 或0a b c c c ＝（≠）。 性质3 等式具有传递性。 若a 1＝a 2，a 2＝a 3，a 3＝a 4……a n －1＝a n 那么a 1＝a 2＝a ＝a 4……＝a n 。 （3）用方程解决实际问题时有什么特点？ 找等量关系，设未知数，列方程。 3、小平在踢毽子比赛中踢了42下，她踢的数量是小云的 34，小云踢了多少下？（用方程解决问题） 分析：小平在踢毽子比赛中踢了42下，她踢的数量是小云的34 ，这是本题的等量关系。 解：设小云踢了x 下，那么3424x ＝，442563 x ＝×＝（下） 答：小云踢了56下。 三、拓展延伸 1、湖北丹江口水库与2014年向北京、天津、河南、河北等地供水。蓄水量将达290亿立方米，比北京密云水库蓄水量的26倍还多4亿立方米。密云水库蓄水量是多少？