数学思想与方法期末复习资料

数学思想与方法期末复习

一、填空题

1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。

2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》

3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。

4、推动数学发展的原因主要有两个：①实践的需要，②理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。

6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。

7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。

8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。

9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段①潜意识阶段，②明朗化阶段，

③深刻理解阶段。

10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。

11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。

12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。

13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

14、所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。

15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。

16、猜想具有两个显著特点：①具有一定的科学性，②具有一定的推测性。

17、三段论是演绎推理的主要形式。三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。

18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。

19、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。

20、在计算机时代，计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。

21、算法具有下列特点：①有限性，②确定性，③有效性。

22、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法两大类。

23、匀速直线运动的数学模型是一次函数。

24、所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法。

25、分类必须遵循的原则是①不重复，②无遗漏，③标准同一。

26、所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题

的一种思想方法。

27、所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。

28、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并且进一步修正或否定此猜想。

29、化归方法的三个要素是：化归对象、化归目标、化归途径。

30、根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用

三个阶段。

31、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

32、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。

33、算法的有效性是指如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解。

34、数学的研究对象大致可以分成两大类：①数量关系；②空间形式。

二、判断题(只要答“是”或“否”)

1、计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。 是

2、抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。否

3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。 否

4、《九章算术》不包括代数、几何内容。否

5、既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。是

6、数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。否

7、在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。是

8、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。否

9、对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。是

10、数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。否

11、由类比法推得的结论必然正确。否

12、有时特殊情况能与一般情况等价。是

13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。是

14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。否

15、完全归纳法的一般推理形式是：

设S ＝}{n n A A A A A A A 、、，由于，，，， 21321

具有性质P ，因此推断集合S 中的每一个对象都具有性质P 。否

三、 简答题

1、为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？

在形式上，它是以少数原始概念和公设、公理为基础，运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题（定理）全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。在这个体系中，除了逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。

另外，《几何原本》回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，对社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

所以，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。

2、试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。

《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案；书中的“术”其实就是算法。

3、简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。

确定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此确定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。

随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。

在数学学科中，人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些分支来定量地描述某些确定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这就是确定数学的局限所在。

4、简述计算机在数学方面的三种新用途。

（1）用来证明一些数学命题；（2）用来预测某些数学问题的可能结果; （3）用来验证某些数学问题的结果的正确性.。

5、简述数学抽象的特征。

数学抽象有以下几个特征。

（1）数学抽象具有无物质性; （2）数学抽象具有层次性; （3）数学抽象过程要凭借分析或直觉;（4）数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。

6、简述化归方法在数学教学中的应用。

化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：（1）利用化归方法学习新知识；（2）利用化归方法指导解题；（3）利用化归原则理清知识结构。

7、简述用MM方法解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表示。

MM方法解题的基本步骤为：

（1）从现实原型抽象概括出数学模型。也称为建模阶段。

（2）在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解。这也是数学求解阶段。（3）从数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，使实际问题得到解答。

可用框图表示如下：

8、试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。

用特殊化解决问题的过程可用框图表示为：

9、简述化归方法的和谐化原则。 和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。

10、什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。

算法的有限性是指，一个算法必须在有限步之内终止。以十进制小数的除法这个算法为例，如取数2和3作为初始数据，则有 6666.032=÷，无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。因此，除法对于2和3这组数不符合算法有限性特点。

11、简述培养数学猜想能力的途径。

猜想能力培养可以贯穿于数学教学的方方面面。新知识的学习、数学规律的寻求、解题思路的探索等都可以作为实施猜想能力培养的载体。

12、简述特殊化方法在数学教学中的应用。

特殊化方法在数学教学中有重要的作用：

（1）在选择题时，我们经常选择特殊值来考察；

（2）利用特殊化探求问题的结论；

（3）利用特殊化检验一般结果；

（4）利用特殊化探索解题思路。

13、什么是类比猜想？并举一个例子说明。

人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。

14、什么是归纳猜想？并举一个例子说明。

人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似等于3.14，于是提出了圆周率是3.14的猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率的数值为π ，果然和3.14很接近。

15、简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。

由于数学思想方法往往隐含在知识的背后,知识教学虽然蕴含着思想方法,但如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。

四、解答题

1、运用方程模型解应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”、“用两种不同方式表示同一个量”、“方程个数和未知量个数相等”这三个要点。这是为什么？请阐述你的理解。

解答：“设想问题已经解出”，即在列式时将未知量与已知量同等对待。这是列方程中的一个重要思想，也是它优于算术之处。在算术列式中，未知量只能列在等号左边，且系数必须为1，已知量只能在等号右边出现。已知量与未知量的地位截然不同，因此列式比较困难。而在方程列式中，已知量与未知量处于同等地位，都可以在等号两边出现，于是列式就容易多了。

“用两种不同方式表示同一量”，这是列方程的关键。所谓方程，其实就是用两种不同的方法表示同一个量，并用等号联结起来。

“方程个数和未知量个数相等”，是为了得到确定的解。这里有个自由度的思想。当方程个数少于未知量个数时，就会出现不定方程(组)。这时方程(组)的解一般会有无穷多个。

2、(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性？

解答：(1)类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。

(2)类比推理的表示形式为：

A 具有性质；

及，，，d a a a n 21 B 具有性质；，，，n

a a a ''' 21 因此，B 也可能具有性质d '。

(3)尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性：

① A 与B 共同(或相似)的属性尽可能多些；

② 这些共同(或相似)的属性应是类比对象A 与B 的主要属性；

③ 这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面

的；

④ 可迁移的属性d 应是和n a a a ，，， 21属于同一类型。

3、圆周角定理证明思路如下：

将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：①角的一边落在直径上；②角的两边在某一直径的两侧；③角的两边在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况①进行证明，然后将情况②、③转化为情况①分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。

试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。

解答：该证明中用到下面几种数学思想方法：

①将圆周角分成三种情况，用到分类方法；

②先证明角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法；

③将其他两种情况转化为角恰有角恰有一边在直径上的情况，用到

化归方法；

④通过对所有三种情况的证明，然后得出圆周角定理的结论，用

到完全归纳法；

⑤证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。

4、以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断。

(要求：①教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次；②要有与数学知识教学相联系的本课程中所学习的数学思想方法教学内容；③不少于300字)

解答：将教学过程设计成四个层次：

①让学生说一说：我们周围有哪些长方形物体？学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。

②要求学生仔细观察：看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？学生经过观察后，会猜想：长方形相对的两条边长度相等。

③教师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢？这时，学生会想出许多办法，如：用尺量、将图形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边长短相等。教师板书：长方形对边相等。接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。

④巩固长方形对边相等的认识。

利用多媒体展示下面的长方形：

师：如何填写括号内的数字？为什么？

要求学生会用“因为…所以…”句式回答。如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是4厘米，所以它的对边也是4厘米。”

中央广播电视大学2008—2009学年度第二学期“开放本科”期末考试

数学思想与方法试题

一、填空题(每题3分，共30分)

1．概括通常包括两种：经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识的认识。

2．算法大致可以分为两大类。

3．反驳反例是用否定的一种思维形式。

4．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤

是、、。

5．归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤

是、、。

6．传统数学教学只注重的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。

7．所谓统一性，就是、协调一致。

8．中国《九章算术》一的算法体系和古希腊《几何原本》的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。

9．所谓数学模型方法是

10．所谓特殊化是指在研究问题时，

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1．数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。( )

2．数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。( )

3．新颁发的《数学课程标准》中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新的理念。( )

4．法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。( )

5．由类比法推得的结论必然正确。( )

三、简答题(每题10分，共30分)

1．常量数学应用的局限性是什么?

2．简述计算的意义。

3．简述培养数学猜想能力的途径。

一、填空题(每题3分，共30分)

1．由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性

2．多项式算法和指数型算法

3．特殊一般

4．联想类比猜测

5．特例归纳猜测

6．形式化

7．就是部分与部分部分与整体之间的

8．以算为主逻辑演绎

9．利用数学模型解决问题的一般数学方法

lo．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合

二、判断题(每题4分，共20分。填是或否)

1．否2．是 3．是4．是5．否

三、简答题(每题10分，共30分)

1．答：①在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。②这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识：算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学，显得无效。③由于初等数学都是以不变的数量(即常量)和固定的图形为其研究对象(因此这部分内容也称为常量数学)。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。

2．答：①推动了数学的应用；

②加快了科学的数学化；

③促进了数学的发展。

3．答：猜想能力培养可以通过数学教学，如：

①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解题思路的探索等途径来实现。

数学思想与方法试题

一、填空题(每题3分，共30分)

1. 概括通常包括两种:经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识—的认识。

2.算法大致可以分为

3.反驳反例是用两大类。否定的一种思维形式。类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是

5. 归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是

6. 传统数学教学只注重_ 的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。

7. 所谓统一性，就是协调一致。

8. 中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。

9. 所谓数学模型方法是

10. 所谓特殊化是指在研究问题时，的思想方法。

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1.数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思

想方法教学目标。( )

2数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。( )

3，新颁发的《数学课程标准》中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新

的理念。( )法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。由类比法推得的结论必然正确。( )

三、简答题(每题10分，共30分)

1.常量数学应用的局限性是什么?\

2.简述计算的意义。

3，简述培养数学猜想能力的途径。

四、证明题(20分)

在四面体ABCD中，如图，已知AB土CD,A D土BC;求证:AC土BDo

数学思想与方法试题答案及评分标准

一、填空题(每题3分.共30分}

1. 由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性

2. 多项式算法和指数型算法

3. 特殊一般

4. 联想类比猜测

5. 特例归纳猜测

6. 形式化

7. 就是部分与部分部分与整体之间的

8. 以算为主逻辑演绎

9. 利用数学模型解决问题的一般数学方法

10. 从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合

二、判断题(每题4分，共20分。填是或否)

1. 否

2.是

3.是4，是5.否

三、简答题(每题10分，共30分)

1. 答:① 在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。②这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识:算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学，显得无效。③由于初等数学都是以不变的数量(即常量)和固定的图形为其研究对象(因此这部分内容也称为常量数学)。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。

2.答:①推动了数学的应用;②加快了科学的数学化;③促进了数学的发展。

3.答:猜想能力培养可以通过数学教学，如:①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解题思路的探索等途径来实现。

四、解答题(20分)

答:本题可利用两个非零向量a,b垂直的充要条件是a"b=0，加以证明。

(注:虽然本题也可依据三垂线定理及其逆定理进行证明，但是不及向量证法既有几何直观，又简洁明快)

数学思想与方法试题

一、填空题(每题3分.共30分)

.三段论是演绎推理的主要形式，它由三部分组成。

2.演绎法与

3.被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它刘发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

4.分类方法具有三个要素:

5.数学研究的对象可以分为两类:一类是，另一类是

6.所谓社会科学数学化就是指，也就是运用来揭示社会现象的一般规律。在古代的活动中就有概率思想的雏形，但是作为一门学科则产生于17世纪中期前后，它的起源与一个所谓的点数问题有关。

8.在数学中建立公理体系最早的是，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里得的

9.《九章算术》是世界上最早系统地叙述运算的著作，它关于的论述也是世界上最早的。

10.数学知识与数学思想是数学教学的两条主线，是一条明线，它被写

在教材中; 则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中。

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1.在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。( )

2.分类可使知识条理化、系统化。( )

3.既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。

对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。

完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。( )

三、简答题(每题10分，共30分)

1，什么是算法的有限性特点?试举一个不符合算法有限性特点的例子。

2.我国数学教育存在哪些问题?试举例子说明。

3，简述公理化方法发展。

四、解答题(20分)

通过下列例子具体说明化归方法的含义:

一铁球浮在水银上，若将水再倾注在水银之上，并覆盖铁球，这时球相对于水银面将下沉?

上升?还是保持在同样的深度上?(已知水银密度为13.6 ，铁密度为7.8 4，水密度为1)

数学思想与方法试题答案及评分标准

一、填空题(每题3分.共30分)

1. 大前提小前提结论

2. 归纳法

3. 数学思想方法

4. 划分的对象划分后所得的类概念划分的标准

5. 研究数量关系研究空间形式

6. 数学向社会科学的渗透数学方法

7. 游戏与赌博8. 几何学《几何原本》9. 分数负数10. 数学知识数学思想

二、判断题(每题4分，共20分.填是或否)

1. 是

2.是

3.是

4.是

三、简答题(每题10分，共30分)

1. 答:① 算法的有一限性是指一个算法必须在有限步之内终止。

② 例如，对初始数据20和3，计算过程为[竖式20除以3]

无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。如果在某一处中断过程，我们

只能得到一个近似的、不准确的结果。而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。可见，十进制小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。

2. 答:① 数学教学重结果，轻过程;重解题训练，轻智力、情感开发;不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下;②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力;③学生学业负担过重。原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。

3. 答 :公理化方法是一个由个别上升到特殊再上升到一般的过程，最后形成了数学中普遍适用的科学方法。它的发展关系可以用下列图示表明:① 个别、特殊一一般② 欧氏空间一各种几何一一般意义空间③具体公理方法一抽象公理方法一形式化公理方法

四、解答题(20分)

解答:① 这是一个物理问题。用数学的眼光来考虑不会满足于是上升或下沉的定性的描述，而是渴望有定量的分析，即在倾人水前后两种情况下，计算球在水银平面之上的那部分体积占整球体积的比例。10 7 3

② 不排除定性的直观想象，因为这对理解问题会有好处。不妨想象在水银上包围铁球上部的液体连续地改变其密度，从空气—水—铁的密度，球必上升完全超出水银，如果密度

继续增加，球就会从想象的液体中浮出来。由此可见，当覆盖球的物质从空气逐渐变为水的时候，球将上升。③下面将数学问题转化为代数问题，分别设上面液体的密度为“，下面液体的密度为b，球的密度为。,v表示球的体积，x，表示球上半部分的体积y，表示球下半部分的体积。根据阿基米德原理:浮体质量等于所排开液体的质量，可列方程: {

⑤ 回到原题，倾水前a=O,b=13.60 ,c=7.8 4，由此得二二0.4 32v;倾水后a=1.0 0，求得x=0.45 7v，故知倾水后球浮于水银上的部分占球总体积的比例增大，即球上升。

⑥此题的解决过程是先把问题转化为数学问题，再转化为代数问题，最后归结为解方程组，通过解方程组得到解。

数学思想与方法试题

一、填空题(每题3分，共30分)

1.学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段

2.面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面人手:演绎证明此猜想为真;或者正或否定此猜想。，并且进一步修

3. 变量数学产生的数学基础是，标志是

4. 化归方法是将转化为已知问题。

5. 公理方法是从尽可能少的初始概念和公理出发，应用严格的_ ，使一

门数学构建成为演绎系统的一种方法。

6. 数学的第一次危机是由于出现了而造成的。

7. 数学猜想具有两个明显的特点: 与

8. 所谓社会科学数学化就是指数学向_ 的渗透，运用数学方法来揭示

的一般规律。

9. 分类必须遵循的原则是_

10. 深层类比又称实质性类比，它是通过

而得到的类比。

二、判断题(每题4分。共20分，填是或否)

1. 数学模型方法是近代才产生的。( )

2. 在小学数学教学中，本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。( )

3. 所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想。( )

4. 既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。

5.对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。(

得分评卷人

三、简答题(每题10分，共30分)

1.简述概括与抽象的关系。

2.简述培养数学猜想能力的途径。

3.微积分产生可以归结为哪四类情况?

得分评卷人

四、论述题(20分)

论述《几何原本》和《九章算术》思想方法的特点。

一、填空题(每题3分，共30分)

1. 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类

2. 寻找反例说明此猜想为假

3. 解析几何微积分

4. 疑难问题

5. 逻辑推理

6. 无理数(或涯

7. 科学性推测性8. 社会科学社会现象9.① 不重复;②无遗漏;③标准同一

10. 对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析

二、判断题(每题4分，共20分，填是或否)

1. 否

2.否

3.是

4.是

5.是

三、简答题(每题10分.共30分)

1. 答:① 概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。②概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。③概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人就把“收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。

2. 答 :猜想能力培养可以通过数学教学，如:①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解题思路的探索等途径来实现。

3，答 :这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。

①第一类是:已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度;反过来，已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。②第二类是:求曲线切线的斜率和方程。

③第三类是:求函数的最大值与最小值。④第四类是:求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量—变量—问题。

四、解答题【20分)

答 :《几何原本》的思想方法的特点:

① 封闭的演绎体系

因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引人的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。② 抽象化的内容《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。

③ 公理化的方法《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着

给出23个定义，然后再逐步引人和证明定理。定理的引人是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。

《九章算术》的思想方法的特点:④ 开放的归纳体系

从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法;再把各类算

法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法;最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写人《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。

⑤ 算法化的内容

《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。

⑥ 模型化的方法

《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。

试卷代号:1173 座位号巨二〕

一、填空题(每题3分，共3。分)

1.等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征: ，加人到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。

2.所谓类比，是指;常称这种方法为类比法，也称类比推理。.反例反驳的理论依据是形式逻辑的.猜想具有两个显著特点:算法大致可以分为所谓数学模型方法是所谓特殊化方法是指在研究问题时，两大类。的思想方法。8特性。9数学模型具有公理方法就是从初始概念和公理出发，按照，推导出1'i.他一切命题的一种演绎方法10 .概括通常包括两种:经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识—的认识。

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1. 数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。( )

2. 由类比法推得的结论必然正确。( )

3. 有时特殊情况能与一般情况等价。( )

4. 演绎的根本特点就是当它的前提为真时，结论必然为真。( )

5. 抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。( )

得分评卷人

三、简答题(每题10分，共30分)

1.简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。

2.简述计算机在数学方面的三种新用途。

3.简述化归方法的和谐化原则。

四、解答题(20分)

以“ 认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断。

(要求:① 教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次;②要有与数学知识教学相联系的本课程中所学习的数学思想方法教学内容;③不少于300字)

一、填空题(每题3分，共30分)

1. 两边相等

2. 由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法

3. 矛盾律

4. ① 具有一定的科学性，②具有一定的推测性

5. 多项式算法和指数型算法

6. 利用数学模型解决问题的一般数学方法

7. 从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合

8. 抽象性、准确性和演绎性、预测性

9. 一定的规定定义出其他所有的概念

10. 由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

3. 是

4.是

5.是

三、简答题(每题10分，共30分)

1. 答:① 确定性现象的特点是:在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。②随机现象的特点是:在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。③对于随机现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述;此外，由于随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，而确定数学无法定量地揭示这利，规律性。

2. 答:① 推动了数学的应用;②加快了科学的数学化;③促进了数学的发展。

(4 )完整3，答 :和谐化是数学内在美的主要内容之一。①美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，②我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特

征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，③从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。

四、解答题(20分)

1. 答 :将教学过程设计成四个层次:

① 让学生说一说:我们周围有哪些长方形物体?学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。

② 要求学生仔细观察:看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系?学生经过观察后，会猜想:长方形相对的两条边长度相等。

③ 教师进一步提出问题:同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励!我们怎样才能验证长方

形相对的两条边的长短相等呢?这时，学生会想出许多办法，如:用尺量、将图形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边长短相等。教师板书:长方形对边相等。接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。10 4 1

④巩固长方形对边相等的认识。利用多媒体展示下面的长方形: ( )厘米

师 :如何填写括号内的数字?为什么?

要求学生会用“因为?所以?”句式回答。如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是4厘米，所以它的对边也是4厘米。”

一、填空题(每题3分，共30分)

.在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的

随机现象的特点是

.演绎法与被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

.在化归过程中应遵循的原则是

是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，

它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

.三段论是演绎推理的主要形式，它由三部分组

.传统数学教学只注重的传授，而忽略对知识发生过程

的挖掘。

，特殊化方法是指在研究问题中，

的思想方法。

1049

9，分类方法的原则是

10.数学模型按照对模型结构和参数的了解程度可以分为三类:

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1.数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。( )

2.在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。( )

3.如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。 (分类可使知识条理化、系统化。( )

在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。( )

三、简答题(每题10分，共30分)

1.我国数学教育存在哪些问题?

2.《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求?

3.简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。

得分评卷人

四、解答题《20分)

(1)什么是类比推理?(2)写出类比推理的表示形式。<3)怎样才能增加由类比得出的结

论的可靠性?

1050

试卷代号:1173

中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期“开放本科”期末考试

小教专业数学思想与方法试题答案及评分标准

(供参考)

200 年7月

一、填空题(每题3分.共30分)

1. 《几何原本》

2. 在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果

3. 归纳法

4. 简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则

5. 数学思想方法

6. 大前提、小前提、结论

7. 形式化数学知识数学思想方法

8. 从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合

9. 不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分

10. 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1. 否

2.是

3.否

4.是

5.否

三、简答题(每题10分.共30分)

1. 答:① 数学教学重结果，轻过程;重解题训练，轻智力、情感开发;不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下;②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和

独立思考能力;③学生学业负担过重。原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。

z. 答 :《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。①第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题;初始概念必须是

直接可以理解的，因而无需加以定义。②第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则;同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。0

3. 答:① 由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层

的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。②因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。

四、解答题{20分)

解答:① 类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。

② 类比推理的表示形式为:

A具有性质a}}a z ，?,a。及d;

B具有性质a},az}...+a},

因此， B也可能具有性质d’o

③ 尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性:

.A 与 B共同(或相似)的属性尽可能多些;

. 这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的主要属性;

. 这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面的;

. 可迁移的属性d应是和a,,az}...,a。属于同一类型。

试卷代号:1173 座位号巨口

中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试

一、填空题(每题3分，共30分)

算法的有效性是指

2.数学的研究对象大致可以分成两大类:

所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，

的一种思想方法。

4.推动数学发展的原因主要有两个:

，数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

5.古代数学大体可分为两种不同的类型

种是长于计算和实际应用，以

:一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表;

为典范。

6. 匀速直线运动的数学模型是

7. 数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为的趋势。

8. 不完全归纳法是根据，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

9. 学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段:

10.在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则:

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1.计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。( )

?..抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。( )

3.一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。( )

4.贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。

(

5.提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。( )

得分评卷人

三、简答题(每题10分，共30分)

1，为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系?

2.什么是类比猜想?并举一个例子说明。

3.数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则?试举例说明。

得分评卷人

四、解答题(20分)

简述用MM方法解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表示。

一、填空题(每题3分.共30分)

1. 如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解

2. 数量关系，空间形式

3. 由数思形、见形思数、数形结合考虑问题

4. 实践的需要，理论的需要

;>. 《九章算术》

6. 一次函数

7. 数学的各个分支相互渗透和相互结合

8. 对某类事物中的部分对象的分析

9. 潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段

10. 化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则

二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否)

1，是 2.否3.否4.是5.否

三、简答题(每题10分，共30分)

1. 答:① 因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引人的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演邹系。

② 另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

③ 所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2. 答:① 人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。

② 例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与

分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。

3. 答:① 数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。②学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。

③例如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育;在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等。

四、解答题(20分)

答:① 所谓数学模型方法是利用数学模型解决间题的一般数学方法。它的基本步骤为:②从现实原型抽象概括出数学模型;③在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解;选)从数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，便得到实际问题的解答。⑤MM方法解题的基本步骤框图表示如下:

推理或演算实际问题的解还原说明

数学模型的解

配方法题研究-备战2021年中考数学解题方法之探究十法(解析版)

备战2020中考数学解题方法专题研究 专题6 配方法专题 【方法简介】 配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用． 运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式． 【真题演练】 1. 用配方法解一元二次方程x 2﹣4x ﹣6＝0，变形正确的是（ ） A ．（x ﹣2）2＝0 B ．（x ﹣4）2＝22 C ．（x ﹣2）2＝10 D ．（x ﹣2）2＝8 【解答】解：x 2﹣4x ﹣6＝0， 移项得：x 2﹣4x ＝6， 配方得：x 2﹣4x+4＝10，即（x ﹣2）2＝10． 故选：C ． 2. 用配方法解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x(x ＋8)＝609. 【解析】解：(1)由x 2＋3x －4＝0， 得x 2＋3x ＋ ????322－????322－4＝0， 即????x ＋322－254＝0，????x ＋322＝254 ， ∴x ＋32＝±52，x ＝－32±52 ， ∴x 1＝1，x 2＝－4.

初中数学解题方法大全

初中数学解题方法大全 数学解题方法 一、选择题： 对于选择题，关键是速度与正确率，所占的时间不能太长，否则会影响后面的解题。提高速度与正确率，方法至关重要。方法用得恰当，事半功倍，希望大家灵活运用。做选择题的主要方法有：直接法、特值法、代入法（或者叫验证法）、排除法、数形结合法、极限法、估值法等。 （一）直接法： 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的．这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法．这种解法最常用，解答中也要注意结合选项特点灵活做题，注意题目的隐含条件，争取少算．这样既节约了时间，又提高了命中率。例：方程的解为（） A B C D 解：直接计算，同时除以300，再算的x=750。 （二）特值法： 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法结合运用，达到少计算的目的，从而提高速度。 例：如图，在直角坐标系中，直线l对应的函数表达式是（） 解：看图得，斜率k>0,排除CD，再在AB中选，取特值x=0,则 y=-1,结果选A。 （三）代人法： 通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法．例3．（20XX年安徽）若对任意x∈R,不等式（A）<－1（B）||≤1（C）||<1（D）≥1 解： 化为化为，显然恒成立，由此排除答案A、 D

高等数学教材(较完整)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：

初中数学思维方法

初中数学思维方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法

(完整版)《小学数学教师》读书心得体会

《小学数学教师》读书心得体会 卢宇婷 书到用时方恨少，事非经过不知难。有人说：“一本教育杂志，也应当是一所学校，有先进的教育理念，有切实、具体的可以给读者以启迪的教育案例，有高水平的服务……”而《小学数学教师》恰恰如此，它的文章精短实用，可读性强，内容实在，在推动教学改革、传递教学信息方面都有独到之处。 如今，做为一名小学数学教师，我更加希望能在教学方面得到一些切实具体的帮助，《小学数学教师》将怎样处理教材难点，怎样设计创造性教学方案等都为我们想到了。它的教学点评中肯，教案设计新颖，教学随笔精致。贴近教改前沿，是小学数学教改的冲锋号。 在轰轰烈烈的教改之风中，《小学数学教师》宣扬对学生做为“人”的尊重；宣扬对学生生命的唤醒与赏识；宣扬人格平等基础上的情感交流；教育我们用心灵感受心灵，用生命点燃生命，用智慧开启智慧。因此，每当我竭尽所能地传授知识给学生却看到学生似懂非懂的目光时，我都能从《小学数学教师》中再次找寻到信心的起点；每当遇到教学中我自己也弄不太清、搞不太懂的知识时，《小学数学教师》为我解决了燃眉之急；每当我想在教学上有所突破、有所创新时，都是《小学数学教师》为我导航，让我有所创想，寻找到教学的“亮点”。闲暇时翻看一下里面的内容，总是对自己教学的一个充电。学记》曰：“是固教然后知困，学然后知不足也。”对于我们教师而言，要学的东西太多，而我知道的东西又太少了。有人说，教给学生一杯水，教师应该有一桶水。这话固然有道理，但一桶水如不再添，也有用尽的时候。愚以为，教师不仅要有一桶水，而且要有“自来水”、“长流水”。“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，“是固教然后知困，学然后知不足也”。因此，在教学中，书本是无言的老师，读书是我教学中最大的乐趣。比知识更重要的是方法，有方法才有成功的路径。教师今天的学习主要不是记忆大量的知识，而是掌握学习的方法——知道为何学习？从哪里学习？怎样学习？如果一个老师没有掌握学习方法，即使他教的门门功课都很优异，他仍然是一个失败的学习者。因为这对于处在终身学习时代的人来说，不啻是一个致命的缺陷。学习型社会为全体社会成员提供了充裕的学习资源。学习化社会中的个体学习，犹如一个人走进了自助餐厅，你想吃什么，完全请便。个体完全可以针对自身的切实需求，选择和决定学习什么、怎样学习、学习的进度等等。 比方法更重要的是方向。作为一名人民教师，应该认准自己的人生坐标，找准自己的价值空间。教书的生活虽然清贫，但一本好书会使我爱不释手，一首好诗会使我如痴如醉，一篇美文会使我百读不厌。我深深地知道，只有乐学的教师，才能成为乐教的教师；只有教者乐学，才能变成为教者乐教，学者乐学，才能会

高中数学三角函数解题方法研究

高中数学三角函数解题方法研究 三角函数作为高中数学重点知识，是高考的必考内容，会通过选择、填空、解答等多种 题型来考查我们的掌握程度、思维能力。通过对三角函数知识的学习与思考有利于我们加深 对三角函数的记忆和理解，同时也能锻炼我们思维能力、提高学习效率和质量。接下来，谈 谈对高中数学三角函数解题方法的几点思考。 一、加强审题，注意审题方法 我们在做三角函数题时，切忌急躁，一定要定下心来认真审题，认真琢磨题干中的每一 个信息，如此以来，就不会出现审错题问题。我在学习的过程中，归纳总结了几个审题方法：第一，在面对新颖题型时，擦亮眼睛认真审题，把题干中的已知条件、重点信息进行标注， 运用所学知识明确已知条件和未知结论二者的关系，明确解题方向、选择解题方法，从而成 功解题。切忌浏览完题目信息立即动笔解题，一定要找到关键信息，进而成功解题；第二， 在面对常见题型时，要学会与自己做过的类似题目进行对比，发现二者异同点，从而找到解 答本题最合适的方法，切忌照搬照抄；第三，在审题的过程中，做个有心人，深度挖掘题干 隐含信息，特别是在面对图形题时，要留心每个细节，寻找内在联系，从而正确解答。 二、深化三角函数概念理论 数学是高中阶段的基础学科，也是核心学科，加强对基础知识的记忆和理解有利于我们 打好数学基础，提高后续数学学习质量。 在学习的过程中，我发现，在考试中，三角函数多是以选择题的形式出现，考查范围非 常广，解题时涉及很多基础知识，很多题目都是通过公式变形得出答案的，因此，在日常学 习中要加强对基础知识的训练。以"弧度制"章节知识点为例，需要我们掌握弧长公式、扇形 面积公式，还要掌握角度制、弧度制之间的换算知识；再如，学习"同角三角函数基本关系" 章节时，需要掌握平方、商数、倒数关系，涉及到的诸多公式。还要充分掌握三角变换中的"消去法"、"化弦法"等运用方法，从而在解题过程中灵活运用。 另一方面，就三角函数这一章节知识点来说，我们知识学好基础知识，扎实基本功，才 能在解决实际问题的过程中游刃有余。由此可见，作为高中生，我们在学习数学三角函数知 识过程中，要加强对三角函数基础知识的记忆、理解和掌握，不断提升自己的概括能力。我 们都是在高一阶段接触到三角函数知识的，大部分学生在刚开始学习的时候，都能理解和掌握，但是也有不少学生在时间的推移中将高一学的知识忘记了。所以，我们在高中阶段，应 做好回头看工作，实时对所学的知识进行巩固记忆，深化概念理论，从而为后续深入学习三 角函数知识打好基础，进而树立正确的解题理念和解题思虑，不断提高学习效率和质量。 三、加强课后练习，提高解题思路的多样性 我在学习三角函数一段时间以后发现要想理解和掌握三角函数知识点，没有什么捷径， 只能通过掌握三角函数理论知识、加强练习，才能有效提升自己的解题能力、学习能力。所以，我发现，只有通过实现理论知识与实际训练的高度结合，才有不断丰富解题思路、进而 有效解决问题。如，在学习"三角函数正弦定理"章节知识点时，我们可以通过做大量的练习 题来加强对正弦定理的理解和掌握，并学以致用，解决实际问题。如，已经锐角三角形ABC，假设每个内角为A、B、C所对应的边分别时a、b、c，如果a=sinA·2b，求B。解：正弦定理 正弦定理的sinA=2sinBsinA，综合已知条件a=sinA·2b，得出，sinB=1/2。我们只要知道正弦定理，很快就能解答这道题。反过来看，这道题实质上是在考查我们对正弦定理的掌握程度。 由此可见，我们必须掌握好三角函数的基本知识，并学以致用，用这些概念、定理、公理去 解决实际问题，加强练习，并学会总结，才能有效提高解题能力、数学学习能力。

初中数学解题的几种思路

初中数学解题的几种思路 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： 1.从理解题意中提取有用的信息，如数式特点，图形结构特征等; 2.从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式，定理，基本模式等; 3.将上述两组信息进行有效重组，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构。 数学的表达，有3种方式： 1.文字语言，即用汉字表达的内容; 2.图形语言，如几何的图形，函数的图象; 3.符号语言，即用数学符号表达的内容，比如AB∥CD。 在初中学段中，不仅要学好数学知识，同时也要注意数学思想方法的学习，掌握好思想和方法，对数学的学习将会起到事半功倍的良好效果。其中整体与分类、类比与联想、转化与化归和数形结合等不仅仅是学好数学的重要思想，同时对您今后的生活也必将起重要的作用。 先来看转化思想： 我们知道任何事物都在不断的运动，也就是转化和变化。 在生活中，为了解决一个具体问题，不论它有多复杂，我们都会把它简单化，熟悉化以后再去解决。体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为 熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 如方程的学习中，一元一次方程是学习方程的基础，那么在学习二元一次方程组时，可以通过加减消元和代入消元这样的手段把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决，转化(加减和代入)是手段，消元是目的;在学习一元二次方程时，可以通过因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程，在这里，转化(分解因式)是手段，降次是目的。把未知转化为已知，把复杂转化为简

单。同样，三元一次方程组可以通过加减和代入转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。在几何学习中，三角形是基础，可能通过连对角线等作辅助线的方法把多边形转化为多个三角形进行问题的解决。 所以，在数学学习和生活中都要注意转化思想的运用，解决问题，转化是关键。

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

《数学思维养成课——小学数学这样教》读书心得体会

《数学思维养成课——小学数学这 样教》读书心得体会 或受培训，或听讲座，或观摩学习，或教学研讨，多多少少对数学思想有了一些认识。但平日还是无暇细细研读领悟。 我计划利用寒假时间系统学习学习。终于在市新华书店找到此书，初看题目：“数学思维”？与“数学思想”不但字不同，涵义更不同！随手一翻，哎哟！捡到宝了！ 《数学思维养成课——小学数学这样教》一书通篇讲述的都是适合在小学阶段渗透的数学思想，此书实质是课标精神在课堂中的创造性运用。该书由福州市小学数学林碧珍名师工作室领衔名师林碧珍和她的整个工作室实践与思考的成果，集结了团队所有成员的智慧。 本书把数学思想按“抽象思想”“推理思想”“模型数学”三大板块分为三章。每章中又以这些数学思想派生出的其他数学思想作为节。第一章“抽象思想”包括“数形结合”、“符号化思想”、“分类思想”、“集合思想”、“对应思想”共五节；第二章“推理思想”包括“归纳思想”、“类比思想”、“转化与划归思想”、“极限思想”共四节；第三章“模型思想”包括“模型思想”、“函数思想”、“方程思想”共三节。每节讲述的都是适合在小学

阶段渗透的数学思想。 本书的12节数学思想均按“策略把握”、“案例展示与案例解读”、“教材中可用的素材”三个环节详尽阐述。“策略把握”环节讲述的是该数学思想在教学中渗透策略的把握；“案例展示与案例解读”环节用课堂教学实践的经典案例，再配以通俗的案例解读，阐述数学思想如何在教学中落实和渗透。该书所收集的案例详实而生动，向我们展示了何谓“追求有思想的数学教学”，提供给一线教师契合当前先进数学教育理念的鲜活经验。整本书条理清楚，逻辑严密，浅显易懂，实用价值高，指导意义强。 现在说说我学习了此书的一些收获。记得初次接触“模型思想”一词是在2011年的第1次全省远程研修吴正宪老师提出的，她用“相遇问题”这一案例，详细解读了什么是模型思想及如何在教学中渗透这一思想方法。可惜当初本人理论基础差，对课标精神领悟不到位，学习效果就好比是囫囵吞枣，不知其味。随着在以后的多次研修的学习，逐渐有了深入了解。现在祥读了此书第三章第一节“模型思想”后，对定义、特点、社会价值、与通常的数学教学间的关系、各学段和各教学领域渗透的范围、如何帮学生建模、怎样应用模型等方面，有了更为系统全面的认识，对今后的教学实践更有信心了。

数学解题方法与技巧教学的研究_答题技巧

数学解题方法与技巧教学的研究_答题技巧 数学解题方法与技巧教学的研究 前面所说的数学习过程的练习题一般是由标准答案，已知和求解都是十分清楚的。而实际生活中许多问题预先是不知答案或者不一定有统一的答案，甚至可能没有答案，这样一类可以用数学方法去研究和解决的问题称为数学问题解答。它的常见类型和价值是这样的。 1. 可以构建数学模型的非常规的实际问题。这类问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情景，一种实际需求，只是为了解决遇到的困难，需要讲实际问题转化为数学模型并进行解释与解决。这是在生活和实践中运用数学最常用的方式，培养的是学生面对实际进行的问题解决能力。 2. 探究性问题：要求的是通过一定的探索，研究来认识数学对象的性质，去发现其数学规律，这种问题要求一种研究式的思维能力，在问题解决过程中感受发现的乐趣，它培养的是一种主动探索精神和科学态度。 3. 开放性问题：是问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度的问题，学生在研究这类问题时通常采用的是合作研究，这种方式可互相启发学生的合作与交流，在交流和合作中完善和优化自己的思维。这类问题的解决可培养学生的思维的灵活性和发散性。培养学生的创新意识。 二、解题的方法与技巧 数学思想方法在解题中有不可忽视的作用 解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。 基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说过“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。” 教师在教学设计中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。

初中数学解题技巧+中考必刷压轴题30道,抓紧时间看过来!

初中数学解题技巧+中考必刷压轴题30道，抓紧时间看过来！ 方法一：排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。方法二：赋予特殊值法即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。方法四：直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。例如：商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( )A 、160元B、128元C 、120元D、88元方法五：数形结合法解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。方法六：代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。方法七：观察法

观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。方法八：枚举法列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )A.5种B.6种C.8种 D.10种分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。方法九：待定系数法要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。方法十：不完全归纳法当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好；不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。填空题解法大全 一、填空题特点分析与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多

初中数学解题思维方法大全

初中数学解题思维方法大全 还在为初中数学解题而烦恼？还在为数学低分而烦躁？那是你没有全面理解初中数学 的解题思维和解题方法。暑假不出门，了解，助你在新学期解决数学难题。 一、选择题的解法 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：特殊值淘汰法有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关， 在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然 后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既 采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这 样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义， 又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求 解题思路，使问题得到解决。 二、常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数 含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数 学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之 间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊 与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不 同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要 的解题策略。

中学数学教师读书心得体会

中学数学教师读书心得体会为您整理的，希望您对您有所帮助。 作为一名一线的中学数学教师，在11年的教学生涯中，让我逐渐体会到了作为一名教师的崇高，也让我领悟到了作为教师的肩上的重担，当前我国正在进行新一轮的基础教育课程改革，此次伍尔夫读书随笔改革是建国以来规模最大、涉及内容最全面的一次课程改革。它对广大教师提出了全高中话题作文范文新的挑战，从中体会到了课程改革对课堂、对教师、对学生的冲击，同时也存在一定的困惑。暑假，我有幸拜读了范梅南先生的力作《教学机智教育智慧的意蕴》。书中用了很多的事例和体会，把枯燥的教育学、心理学的基本观点阐述得生动、明白，读来令人倍感亲切、深受启发。那些关于教育的真知灼见，值得我们一遍又一遍地阅读、品味。人说：读书足以移情，足以博彩，足以长才。使人开茅塞，除鄙见，得新知，养性灵。因为书中高中英语范文背诵有着广阔的世界，书中有着永世不朽的精神。虽然沧海桑田，物换星移，但书籍永远是新的。这句话说得一点也不假，书籍是人类智慧的结晶，书是人类进步的阶梯。读书，就是一次与大师的对话，与智者的交流，是一次难得的精神之旅，同时也会让人收获非浅。范梅南先生说，机智是智慧的化身。因此，教师要做

到机智地处理教学中的偶发事件，必须具备诸多素质和条件。我以为，以下几方面是不可或缺的： 首先，要有一读书心得体会范文颗热爱学生的心，涵养师爱，以情促教。育人之道，爱心为先。台湾教育家高震东说：爱自己的孩子是人，爱别人的孩子是神。教育本身就意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂。如果教育未能触及人的灵魂，为能唤起人的灵魂深处的变革，它就不成其为教育。要实现真正意义的教育，爱几乎是惟一的力量。正如苏霍姆林斯基所说的：在什么条件下知识才能触动学生个人的精神世界，才能成为一个人所珍视的智力财富和道德财富呢?只有在这样的财富下用形象的话来说，就是在知识的活的身体里要有情感的血液在畅流。记得有人说过这样一句话：你想把自己的孩子交给怎样的老师来培育，你自己就做这样的老师吧!是的，老师，请把美好的笑容带到学校，把对人与对世界的良好期盼带到同事们和孩子们面前，像孩子一样瞪着好奇的眼睛清点知识;把游戏这一人类最古老的快乐的方式引入课堂;把那些用了好些年的训词换成赞美，换成幽默;把那些尘封在角落里的各种各样的表情丰富在脸上，用你的脚尖轻盈地点地，听脚步声在走廊里击起快乐的回响。那些特别的孩子孩子正是通过犯各种各样的错误来学习正确的;我们永远都不要绝望，是因为只要我们充满期待，他们或许很有希望。照亮学校的将永远不是升学率或者其

中学数学解题方法研究模拟试题

中学数学解题方法研究模拟试题 一、填空题：（每题4分，共28分） 1.递推方法是根据具体问题，首先关系，再通过递推关系进行求解，从而解决这一具体问题的方法。 2.三角代换可以沟通数学学科的联系，在解题过程中要善于捕捉这方面的素材，引入适当的三角变换，可以扩展解题视野，拓宽解题思路。 3.对于任意两个实数a、b，总存在实数t，使，我们称t为增量，这种代换称为增量代换。 4.利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：（1）建模；（2）推理、演算；（3）。 5. 分析解题包括两方面的内容：一是；二是对题解进行深入地思考。 6. 的主要表现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合；无限与有限间的分合等。在解数学问题时，分合并用策略的主要体现为拼凑、拆与并、割与补等。 7.中学数学中，包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用 中学数学解题方法模拟试题

中学数学解题方法模拟试题 几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。 二、单选题：在下列各题的备选答案中选择一个正确的。（每题4分，共12分） 8.函数)2(log )(22x x x f +=的单调递减区间是（ ） A. ),0[+∞; B. ),2(+∞-; C.),0(+∞; D. )2,(--∞ 9.等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n n T S 和，若 132+=n n T S n n ，则n n n b a ∞→lim 等于（ ） A. 1 B.36 C. 32 D. 9 4 10.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间34ππ??-???? ，上的最小值是2-，则ω的最小值等于（ ） Ａ．23 Ｂ．32 Ｃ．2 Ｄ．3 三、解答题（每题15分，共45分） 11．已知函数R m m x m x x f ∈++-=,)1()(2。若tan A ,tan B 是方程04)(=+x f 的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角，求m 的取值范围。

大学高等数学教材23599

高等数学教材

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

初中数学解题思想方法全部内容

初中数学解题思想方法全部内容 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法

数学教师读书心得体会

数学教师读书心得体会 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《数学教师读书心得体会》的内容，具体内容：读书能够改变人的思维方式，教师通过阅读也能够很好地提升自己的教学质量。下面是我整理的最新关于数学教师的读书笔记心得体会，供大家参考!篇1作为一名教师，最重要的任务就是使... 读书能够改变人的思维方式，教师通过阅读也能够很好地提升自己的教学质量。下面是我整理的最新关于数学教师的读书笔记心得体会，供大家参考! 篇1 作为一名教师，最重要的任务就是使自己的教育教学质量有所提高。我读了苏霍姆林斯基的《给教师的建议》这本书，受益匪浅，从中选出这几个"建议"谈谈我的想法。 一、教师，珍惜儿童对你的信任 "教师面对的是儿童极易受到伤害的，极其脆弱的心灵，学校里的学习不是毫无热情地把知识从一个头脑里装进另一个头脑里，而是师生之间每时每刻都在进行的心灵的接触。"其实，师生之间的关系应该是平等的，融洽的，教师应该学会蹲下来看学生，使他们感觉到你对他是公平的，信任的。每个孩子都有他的可贵之处，在教师的眼里学生没有好坏之分。在学生做好的大时候，我们应该给他们更多的鼓励；在学生做的不好的时候，我们更要关心和指导他们向正确的方向前进，使他们在认识的道路上更进一步。不要加以指责，在每个人的心灵深处都有很脆弱的地方，孩子也是

一样。其实他们也很痛苦，作为教师就是要时刻给他们启发和鼓舞，使他们看到自己的进步，使他们有自豪感和尊严感。 二、教学相长，取长补短 "如果你发现绝大多数儿童练习本的字迹端正秀丽，错别字很少，那么这就是个明显的征兆：在这个班级里学生可以学到许多东西" 想一想，我这几个月的教学其实真是这样的，"练习本"就是学生习惯养成的一面镜子，也反映着一名教师的教学效果。对于新教师而言，学生习惯的养成是今后有良好教学效果的基础，我所缺乏的也就是这一点，要时刻培养他们良好的学习习惯，真正得到适合自己的学习方法，使得他们在今后的学习中能更省力更有效。 要对同事们的经验加以研究和观察，并进行自我观察，自我分析，自我进修和自我教育。在此基础上逐步形成自己的教育思想。 "学习优秀经验，并不是把个别的方法和方式机械的搬用到自己的工作中去，而是要移植其中的思想。向优秀教师学习应当取得某种信念." 三、教师的教育素养 "关于学校教学大纲的知识对于教师来说，应当只是他的知识的事业中的起码常识。只有当教师的知识视野比学校教学大纲宽广的无可比拟的时候，教师才可能成为教育过程的真正能手、艺术家和诗人。"其实，要想达到这样的境界，我想，最重要的一点就是不断地充实自己，完善自己。"读书，读书，再读书，——教师的教育素养的这个方面正是取决于此"想想自己，在这方面做得确实不好，每天不停地忙于备课、上课、批改，管理班级，总是抱怨没有时间读书，但闲暇时又懒得动，而那些教育书籍却

大学高等数学教材

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一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。