实变函数习题与解答(电子科大) (3)

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

实变函数测试题1-参考答案

本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞?ε，存在E 上. 有界的 可测函数)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。 10、求证 1 2 01 11 ln 1()∞ ==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。 解答： 1. 解：()∞=∞ →,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<， 即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞ →∈lim 又显然()∞?∞ →,0lim n n A ，所以()∞=∞ →,0lim n n A 。

实变函数第一章答案

习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.

充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成

实变函数习题解答

第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)

完整word版,实变函数试题库1及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ?? 是可数集，则* m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） A ()\ B A A =?I B ()\A B A =?I C ()\A B B A =U D ()\B A A B =U 2．若n R E ?是开集，则（ ） A E E '? B 0E E = C E E = D E E '= 3．设(){} n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞ ≤?? C ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? D ()()lim lim n n E E n n f x dx f x →∞→∞ ≤?? 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E = 中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ?? 是无限集，则（ ）

实变函数综合练习题

实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）

（A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ） （A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数） 。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。

(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点

试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

实变函数习题解答

第二章 习题解答 0P ∈E '的充要条件是对任意含有0P 的邻域U(P ，δ)（不一定以0P 0 P 的点1P 属于E （事实上，这样的1 P 还有无穷多个）。而 0P ∈0 E 的充要条件则是有含0P 的邻域U(P ，δ)（同样，不一定以0P 为中心）存 在，使U(P ，δ)?E 。 证明：（1）充分性，用反证法，若0P ∈E '，则0P 的某一邻域U(0P ，0δ)中至多有有限个异于0P 的点1X ，2X ，…，n X 属于E ，令n i ≤≤1min d(0P ，i x )=δ'， 在U(0P ，δ')中不含异于0P 的点属于E ，这与条件矛盾。 必要性，设U(P ，δ)是任意一个含有0P 的邻域，则d(0P ，E )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )>0，则U(0P ，1δ)?U(P ，δ)。因为0P ∈E '，所以，在U(0P ，1δ)中含于无穷多个属于E 的点，其中必有异于0P 的点1P ，即U(P ，δ)中有异于0P 的点1P 。 （20P 的邻域U(P ，δ)?E ，则d(0P ，P )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )，01)?U(P ，δ)，从而U(0P ， 1δ)?E ，故0P ∈0 E 。 2、设n R =R '是全体实数，1E 是[0，1]上的全部有理点，求1E '，0 1E ，1E 。 解：1E '=[0，1]，0 1E =φ，1E =[0，1] 。 3、设n R =2 R 是普通的x o y 平面，2E ={(x ，y )|2 x +2 y <1}，求2 E '，0 2E ，2E 。 解：2 E '={(x ，y )|2x +2y ≤1}， 0 2E ={(x ，y )|2x +2y <1}， 2E ={(x ，y )|2x +2y ≤1}。 4、设n R =2R 是普通的x o y 平面，3E 是函数y =?????=≠0 01 sin x x x 当当的图形上 的点作成的集合，求3 E '，0 3E 。 3 '={(x ，y )|x ≠0，y =sin x 1} {(0，y )|-1≤y ≤1}

实变函数期末考试题库

《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63)

《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

实变函数第二章复习题及解答

第二章 复习题 一、判断题 1、对任意n E R ?，*m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则**m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。（× ） 6、**1 1()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。（× ） 7、**1 1()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则*0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且* 0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ）

22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ） 23、若A ，B 都是可测集，A B ?且mA mB =，则()0m B A -=。（× ） 24、?和n R 都是可测集，且0m ?=，n mR =+∞。（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。（× ） 26、设12,E E 为可测集，且12E E ?，则12()m E E -=12mE mE -。（× ） 二、填空题 1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。 2、若12,,,n S S S 为可测集，则1 n i i m S = 小于或等于 1 n i i mS =∑；若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集，则1n i i m S = 等于 1n i i mS =∑。 3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则 12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。 4、设12,E E 为可测集，且12E E ?，2mE <+∞，则12()m E E - 等于 12mE mE -。 5、设0x 为E 的内点，则*m E 大于 0。 6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。 7、m ?= 0 ，n mR = +∞ 。 8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。 9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。 三、证明题 1、证明：若E 有界，则* m E <+∞。 证明：因为E 有界，所以，存在一个有限区间I ，使得E I ?，从而m E m I I **≤=<+∞。 2、证明：若* 0m E =，则E 为可测集。

实变函数练习题A

实变函数与泛函分析试卷A 一、判断题 1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。 2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。 3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。 4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。 5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。 二、填空题 1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。 2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。 3.有限维空间上的任何两个范数都是____。 4.一闭集中所有点都是此集合的聚点，则称此集合为____。 5.在半序集中，如果所有全序集都有上界，则此半序集中有____。 三、选择题 1.直线上的单调函数的不连续点集____。 A.可数 B.至多可数 C.不可数 D.有限 2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。 A.开集 B.闭集 C.有界集 D.无界集 3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。 A.无界 B.开 C.闭 D.有界 4.可分赋范空间的共轭空间必是____。 A.可分的 B.完备的 C.不可分的 D.不完备的 5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。 A.有界的几乎处处连续 B.有界 C.几乎处处连续 D.Lebesgue 可积函数 四、论述题 1.证明：设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集，映射F F T →:满足： ),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈?<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。 2.证明：设集1R E ?有界，0*>E m ，则对于任意小于E m *的正数，恒有E 的子集1 E 使得c E m =1*。 3.设,...,21αα是一列数，∞

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

实变函数积分理论部分复习题(附答案版)

2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞

完整word版,实变函数练习及答案

实变函数练习及答案 一、选择题 1、以下集合，（ ）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（ ） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（ ） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（ ） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）

实变函数复习题

1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。

6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e

9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且

11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明

卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限

1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？