函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法
(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆
求法)
(7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
①
21)(-=
x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x
x x f -++=21
1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21
-x 无意义,
而2≠x 时,分式21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0,即x<-3
2
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式
x
-21
同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0
201x x ? ??
?≠-≥21
x x 例2 求下列函数的定义域:
①
14)(2
--=x x f ②2
143)(2-+--=
x x x x f
③
=
)(x f x
11111++
④
x
x x x f -+=
0)1()(
⑤
3
7
3132+++-=
x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x
∴函数
14)(2--=x x f 的定义域为: [3,3-
]
②要使函数有意义,必须:??
?≠-≠-≤≥????≠-+≥--131
40
210432x x x x x x x 且或
4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠? ?? ? ? ? ? ? ?x x x ? 2110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ? ??≠-≠+001x x x ?? ?<-≠?01 x x ∴定义域为: {}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ?? ?-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3 7 |{-≠x x 例3 若函数 a ax ax y 1 2+ -=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立,01 2 ≥+ -a ax ax ∴?? ???≤≤?-=?>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数 )(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )4 1 (-?x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须: 43434 54 3 43 45 14111411≤≤-??????≤ ≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:? ??? ?? ≤ ≤-4343|x x 例5 已知 f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1, 1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。 答案:-1≤x 2≤1? x 2≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数 )2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 -) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习: 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 若 ()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) A. []1,1- B??????-21,21 C.??????1,21 D.1 0,2?????? 已知函数 ()11x f x x += -的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则 ( ) A. A B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B = 2、求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数 )0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤ }. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②) (3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略 ③ 当x>0,∴ x x y 1 + ==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时, )1 (x x y -+ --==-2)1(2--- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数 x x y 1 + =的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②; ]4,3[,142∈+-=x x x y ③ ]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x 解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R , ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上, m in y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上, m in y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上, m in y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b x 2- =时,其最小值a b a c y 4)4(2min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值a b a c y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0 x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值. ②若0 x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 练习:1、求函数y =3+√(2-3x)的值域 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为 [)+∞,3 . 2、求函数 []5,0,522∈+-=x x x y 的值域 321-1-2-3 654321-1-2x O y 解: 对称轴 []5,01∈=x [] 20,420,54 ,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x -√1-3x(x ≤1/3)的值域。 解:法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x -√1-3x 在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端 点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y ≥3}) 法二:换元法(下题讲) 例4 求函数x x y -+=12 的值域 解:(换元法)设 t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y [)(] 2,2 1,01max ∞-∴==∴ +∞∈=值域为,时当且开口向下 ,对称轴y t t 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体 现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=√x-1 –x 的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 例5 (选)求函数 x x y -+-=53 的值域 解:(平方法)函数定义域为:[]5,3∈ x [][][] [] 2 ,24,21,0158,5,315 82)5()3(2 222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y 例6 (选不要求)求函数 2 1x x y -+=的值域 解:(三角换元法) 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [ ][] 2 ,12,1)4 sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π θθθθθy 小结:(1)若题目中含有 1≤a ,则可设 ) 0,cos (2 2 ,sin πθθπ θπ θ≤≤=≤ ≤- =a a 或设 (2)若题目中含有122 =+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ 20<≤ (3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有 2 1x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+ r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x == 其中??? ? ?∈2,0πθ 例7 求 13+--=x x y 的值域 解法一:(图象法)可化为 ?? ? ??>-≤≤---<=3,431,221,4 x x x x y 如图, 观察得值域 {}44≤≤-y y 解法二:(零点法)画数轴 利用在数轴上的距离表示实数b a b a ,-可得。 解法三:(选)(不等式法) 4 14114)1(134 )1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 同样可得值域 练习: 1y x x =++的值域呢? ()[∞+,1) (三种方法均可) 例8 求函数 [])1,0(239∈+-=x y x x 的值域 解:(换元法)设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 [][] 8,28,3;2,13,12 1 ,2max min 2值域为时时对称轴∴====∴ ?= +-=y t y t t t t y -1 0 3 -1 0 1 3 4 -4 x y x y 例9求函数 x x y 2231+-? ? ? ??= 的值域 解:(换元法)令1)1(22 2 +--=+-=x x x t ,则)1(31≤?? ? ??=t y t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为 ?? ????+∞,31 例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解:(图象法)如图,值域为(]1,0 例11 求函数 2 1 +-= x x y 的值域 解法一:(逆求法){}1121,≠-+= y y y y x x 原函数值域为观察得解出 解法二:(分离常数法)由 12 3 1232≠+-=+-+= x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结:已知分式函数 )0(≠++= c d cx b ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为? ?? ? ??≠ c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc a d d cx c ad b c a y ≠+- + =,用复合 函数法来求值域。 例12 求函数1 33+=x x y 的值域 解法一:(逆求法)10013<<∴>-= y y y x ()1,0原函数的值域为∴ 小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。 解法二:(换元法)设t x =+13 , 则()11 11 31113113>-=+-=+-+=t t y x x x 101 1 01<<∴<<∴>y t t ()01原函数的值域为 ∴ 0 1 1 t 1 t 练习:y =1 21 2+-x x ;(y ∈(-1,1)). 例13 函数1 1 22+-=x x y 的值域 解法一:(逆求法)110112<≤-∴≥-+= y y y x [)1,1-∴ 原函数的值域为 解法二:(换元法)设t x =+12 ,则 原函数值域即得∴<≤-∴≤< ∴≥1 122 01y t t 解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2=++?+-y x x y 1) 1=y 时 不成立 2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y 综合1)、2)值域}11|{<≤ -y y 解法四:(三角换元法)∴∈R x 设?? ? ??-∈=2,2tan ππθθx ,则 ()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12 2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ θ y ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数 3 425 2 +-= x x y 的值域 解法一:(判别式法)化为0)53(422 =-+-y yx yx 1)0=y 时,不成立 2) 0≠y 时,0≥?得 500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 2 0 1 t 2t 5 1 t t 5 50≤<∴y 综合1)、2)值域}50|{≤< y y 解法二:(复合函数法)令t x x =+-3422 ,则t y 5 = 11)1(22≥+-=x t 50≤<∴y 所以,值域}50|{≤ 例15 函数 11 ++ =x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 01)1(2=+-+x y x (][)∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,1 30 4)1(0 2 原函数值域为 或y y y 解法二:(不等式法)1)当0>x 时,321 ≥∴≥+ y x x 2) 0 ?? ?-+--=+ y x x x x 综合1)2)知,原函数值域为 (][)∞+-∞-,31, 例16 (选) 求函数)1(1 2 22->+++= x x x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x [)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212 20 )2(4)2(02原函数值域为 舍去 或y x y y y y 解法二:(不等式法)原函数可化为 ) 1(21 1 111)1(2->≥+++=+++=x x x x x y 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2 例17 (选) 求函数)22(1 2 22≤≤-+++= x x x x y 的值域 解:(换元法)令t x =+1 ,则原函数可化为 )31(1 ≤≤-+ =t t t y 。。。 小结:已知分式函数)0(2 22 2≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 (选)) (二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足 用基本不等式的条件,转化为利用函数 )0(≠+ =x x a x y 的单调性去解。 练习: 1 、 )0(91 22≠++ =x x x y ; 解:∵x ≠0, 11)1(912 2 2+-=++ =x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷: 119291 2 2=+≥++ =x x y (或利用对勾函数图像法) 2 、 3 425 2+-= x x y 0 3 、求函数的值域 ① x x y -+=2; ②2 42x x y --= 解:①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为 49 )21(222+--=+-=u u u y , ∵u ≥0,∴y ≤ 49,∴函数的值域是(-∞,4 9 ]. ②解:令 t=4x -2 x ≥0 得 0≤x ≤4 在此区间内 (4x -2 x )m ax =4 ,(4x -2 x )m in =0 ∴函数 242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式:?? ? ??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3) 1(12x x x x x y ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}. 解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3, +∞]. 如图 O 1 2 -1 x O 1 2 -1 x O 1 2-1 x 5、求函数 x x y -+=142的值域 解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t 代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 6、(选)求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域 方法一:去分母得 (y -1)2 x +(y+5)x -6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2 +4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1) 2 ≥0 检验 51-=y (有一个根时需验证)时 2) 5 6 (2551=-?+- -=x (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴ 5 1- ≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述,函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-} 方法二:把已知函数化为函数 3 6 133)3)(2()3)(2(-- =+-=+---= x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 -} 7、对于函数 ),32(log )(22 1+-=ax x x f 解答下列问题: (1)若 )(x f 的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若 )(x f 的值域为R ,求实数a 的取值范围; (3)若函数 )(x f 的定义域为),3()1,(+∞-∞ ,求实数a 的值;