高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题 基本不等式
基本不等式：
0,0)2
a b
a b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
一、基本不等式
12
a b
+ （1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数
设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2
a b
+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是.(简记：积定和最小)
（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是2
4
P .(简记：和定积最大)
4．常用结论
（1）2
2
2(,)a b ab a b +≥∈R （2）
2(,)b a
a b a b
+≥同号 （3）2
(
)(,)2
a b ab a b +≤∈R （4）22
2()(,)22
a b a b a b ++≤∈R （5）2
2
2
2()()(,)a b a b a b +≥+∈R
（6）
222
()(,)24
a b a b ab a b ++≥≥∈R （7
2
(0,0)112a b a b a b
+≥≥>>
+
二、基本不等式在实际中的应用
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,b
y ax a x
=+
> 0)b >等．学%科网
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
考点突破一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.
典例1 若正数a ，b 满足111a b +=，则19
11
a b +
--的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．16
【答案】B
【解析】解法一：因为
11
1a b
+=，所以a ＋b =ab ?(a ?1)·
(b ?1)=1，
所以
1911a b +≥--3=6(当且仅当43
a =，
b =4时取“=”). 故
19
11
a b +
--的最小值为6.
解法三：因为
111a b +=，所以1
11
b a -=
-，
所以
199(1)6111
b a b b +=-+≥=---(当且仅当b =4时取“=”)． 故
19
11
a b +
--的最小值为6. 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
1．（1）已知54x <
，求函数14145
y x x =-+-的最大值； （2）已知*
,x y ∈R (正实数集)，且19
1x y
+=，求x y +的最小值．
考点突破二 基本不等式的实际应用
有关函数最值的实际问题的解题技巧：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
典例2 优质试题年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维
修和消耗费用为，即
(设备单价
设备维修和消耗费用）
设备使用的年数．
（1）求关于的函数关系式； （2）当
，
时，求这种设备的最佳更新年限．
（2）由（1）可知，当
，
时，
11250022550050050050050050021515500y t t t t ??
=++
=++≥+??= ???
， 当且仅当
.
答：这种设备的最佳更新年限为15年．
【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过
相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型0,0,0)b
ax a b x x
+≥>>>上靠拢.
2．要制作一个体积为3
9m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？
考点突破三 基本不等式的综合应用
基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方
程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.
典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4
x x x +>> B ．1
sin 2(,)sin x x k k x
+≥≠π∈Z C ．2
12||()x x x +≥∈R D ．
2
1
1()1
x x >∈+R 【答案】C
【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，21
4
x x +=)，A 不正确； 对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +
≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x
+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：2
2
2||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确； 对于D ：2
1
(0,1]()1
x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.
【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.
3．设正实数,x y 满足1
,12
x y >>,不等式
22
4121x y m y x +≥--恒成立,则m 的最大值为 A
． B
．C ．8
D ．16
典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则
42014
14a a +的最小值为______．
【答案】
32
【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4．已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n
++的最小值是_____________.
1．函数1
(0)4y x x x
=+>取得最小值时，x 的值为 A ．1
2-
B ．
12
C ．1
D ．2
2．已知a ,b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是 A ．a+b ≥2
B ．+≥2
C ．|+|≥2
D ．a 2+b 2>2ab
3．
（）的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知,,x y z 为正实数，则
222
xy yz
x y z +++的最大值为
A B ．
45
C ．2
D ．
23
5．若正实数a ，b 满足1a b +=，则
A ．
11
a b
+有最大值4 B
C ．ab 有最小值
1
4
D ．22a b +有最小值
2
6．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼 A ． B ． C ．
D ．
7．若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是 A ．(-∞,-8]∪[0,+∞) B ．(-∞,-4) C ．[-8,4)
D ．(-∞,-8]
8．若对任意正数x ，不等式211a
x x
≤
+恒成立，则实数a 的最小值为
A ．1
B
C D ．
12
9．已知1x >，1y >，且2log x ，
1
4
，2log y 成等比数列，则xy 有
A B ．最小值2
C
D ．最大值2
10．如图，在ABC △中，点
是线段上两个动点，且
，则
的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ． 11．已知正实数
满足
当
取最小值时，
的最大值为
A ．2
B ．
C ．
D ．
12．在锐角ABC △中，
为角
所对的边，且
，若
，则
的最小值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
13．函数
的图象恒过定点，若定点在直线
上，则
的
最小值为 A ．13 B ．14 C ．16
D ．12 14．已知满足，的最大值为，若正数
满足，则的最小值为
A ．9
B ．
C ．
D ．
15．当x >0时，22()1
x
f x x =
+的最大值为 .
16．已知函数=
=
,当
时,函数
()
()
g x f x 的最小值为 . 17．在公比为的正项等比数列中，,则当
取得最小值时，
_ ．
18．已知
,,则
的最小值为 .
19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机
器运转时间x (单位：年)的关系为2
*
182()5y x x x =-+-∈N ，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括
保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增. (1)求该系统使用n 年的总费用(包括购买设备的费用)；
(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).
21．已知函数
).
(1)若,求当
时函数的最小值;
(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.
22．(1)设x ,y 是正实数,且2x+y =4,求lg x+lg y 的最大值.
(2)若实数a ,b 满足ab-4a-b+1=0(a >1),求(a+1)(b+2)的最小值.
23．已知在ABC △中，，，分别为角，，所对的边长，且
．
（1）求角的值； （2）若，求
的取值范围．
1．（优质试题山东文科）若直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞过点(1,2),则2a +b 的最小值为___________． 2．（优质试题天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则1
28a
b
+
的最小值为 .
3．（2015重庆文科）设,0,5a b a b >+=,___________．
4．（2015天津文科）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为___________时，()22log log 2a b ?取得最大值. 5．（优质试题江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．
6．（优质试题江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=?，ABC ∠的平分线交AC
于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________．
1．【解析】（1）
5
4
x <
，450x ∴-<，故540x ->, 11415444554y x x x x ?
?=-+
=--++ ?--?
?.
1
54254x x
-+
≥=-,
242y ∴≤-+=，
当且仅当15454x x -=
-，即1x =或3
2
x =（舍去）时，等号成立， 故当1x =时，max 2y =.
2．【解析】设该长方体的容器长为m x ，则宽为y 元， 则9991021510019010y x x x x ????=?++
??+=++ ? ?????
， 9
x x
=即3x =时取“=”）， 所以min 250y =．
答：该容器长为3米时，容器的总造价最低，为250元．
3．【答案】C
4．【答案】
4
3
【解析】由题意得：3﹣m ﹣2n =1，故m +2n =2，即（m +1）+2n =3，
故
1112m n ++=13（11m ++12n ）[（m +1）+2n ]=13（1+21n m ++12m n ++1）≥23=4
3
， 当且仅当m +1=2n 时“=”成立，故填
4
3
．
1．【答案】B 【解析】
0,x x >∴ 当且仅当14x x =时取等号,此时1
2
x =，故选B. 2．【答案】C
【解析】当a ,b 都是负数时,A 不成立； 当a ,b 一正一负时,B 不成立； 当a =b 时,D 不成立， 因此只有选项C 是正确的. 3．【答案】B 【解析】∵
，∴
，
∴
()()369
2
2
a a -++≤
=，当且仅当，即时等号成立，
∴
（）的最大值为．故选B ．
4．【答案】C
【解析】由题意可得：222211
,22
x y z y +
≥+≥，
结合不等式的性质有：)222x y z xy yz ++≥
+，
当且仅当2x z y ==
时等号成立，即222xy yz x y z +≤++
所以
222
xy yz x y z
+++的最大值为2. 【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. 5．【答案】B
6．【答案】B
【解析】由题意知同学们总的不满意度,
当且仅当
,即
时,不满意度最小,
则同学们认为最适宜的教室应在3楼,故选B ． 7．【答案】D
【解析】由9x
+(4+a )·3x
+4=0得4+a =943
x x
+-=-(3x +)≤--4,即a ≤-8, 当且仅当3x
=2时等号成立.
8．【答案】D
【解析】由题意可得21
x
a x ≥+恒成立． 由于
211
112
x x x x =≤++（当且仅当1
x =时取等号），故21x x +的最大值为12， 12a ∴≥
，即a 的最小值为1
2
，故选D ． 9．【答案】
A
10．【答案】D
【解析】易知x ，y 均为正，设
，
共线，
，
，
则
，
(
)141141419552222
y x x y x y x y x y ?????∴+=++=++≥+= ? ? ?????， 当且仅当
4y x x y =，即24
,33
x y ==时等号成立. 则的最小值为，故选D ．
11．【答案】C
【解析】根据题意，
，所以2244113c a ab b a b
ab ab b a
-+==+-≥=， 当且仅当，即
时取等号，
所以，
当时取得最大值，故选C．
12．【答案】C
13．【答案】D
【解析】时，函数的值恒为，
函数的图象恒过定点，
又点在直线上，，
又，当且仅当时取“=”，
则的最小值为，故选D．
14．【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示：
15．【答案】1
【解析】∵x >0，∴2
222
()1112x f x x x x
=
=≤=++， 当且仅当1
x x
=，即x =1时取等号． 16．【答案】
【解析】由题意可得()()g x f x =23212x x x
++
=311122x x ++≥
1(当且仅当3122x x =,
即x =
).
17．【答案】
14
【解析】2242642222244a a a a q q q q ??+=
+=+≥?= ???
当且仅当时取得最小值，
则，故答案为.
18．【答案】
【解析】因为a ＞b ＞0,ab =1，所以a-b ＞0,
所以()()
2
22
22a b ab a b a b a b a b a b
-++==-+
≥---
当且仅当时取等号,故答案为.
19．【答案】5 8
【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为
2518()y x x x
=-+，
而x >0，故
188y
x
≤-=， 当且仅当x =5时等号成立，
此时年平均利润最大，最大值为8万元．
21．【解析】(1)
时,111111
y x x x x =+
=-++--. 因为
,所以
,
所以1
11131
y x x =-++≥=-, 当且仅当111
x x -=-,即时取等号,
所以当
时函数的最小值为3.
22．【解析】(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式得≥,
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 (a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3
解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
2018年高考数学总复习 基本不等式及其应用
第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D
基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习
§7.4 基本不等式 2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题． 复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用． 1． 基本不等式≤ab a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2． 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)． b a a b (3)ab ≤ 2 (a ，b ∈R )． (a ＋b 2)(4) ≥2 (a ，b ∈R )． a 2＋ b 22 (a ＋b 2)3． 算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4． 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2.(简记：积定和最p 小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)p 2 4[难点正本 疑点清源] 1． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为 正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2． 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用 就是ab ≤ ；≥ (a ，b >0)逆用就是ab ≤ 2 (a ，b >0)等．还要注意“添、 a 2＋ b 2 2 a ＋b 2ab (a ＋b 2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 3． 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋(m >0)的单调性． m x 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 答案 81 解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2， xy 所以xy ≤ 2 ＝81， (x ＋y 2)当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 2． 已知t >0，则函数y ＝ 的最小值为________． t 2－4t ＋1 t 答案 －2
基本不等式专题复习
基本不等式专题复习 一、基础梳理 1．基本不等式： a+b 2 ≥√ab(a ，b >0) 2.变式：⑴a +b ≥2√ab ⑵ ab ≤( a+b 2 )2 3.使用条件：一正二定三相等 二、典型例题 例1.若x>0，则x ＋2 x 的最小值是________． 解析：由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2 x ＝22， 当且仅当x ＝2 x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2. 变式训练：(1) 当x>1时，函数y ＝x ＋1 x －1 的最小值是________． (2)已知f(x)＝x ＋1 x －2(x<0)，则f(x)的最大值为________． 解析 (1) y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1 x －1 ＋1≥2 x －1·1 x －1 ＋1＝3 当且仅当1 x-1= x-1 ，即x=2时取等号，故最小值是3. （2）∵x<0，∴－x>0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 所以f(x)的最大值为4． 例2.已知x >0，y >0，2x +3y =60，求xy 的最大值． 解： ∵x >0，y >0，2x +3y =60， ∴xy =1 6?2x ?3y ≤16( 2x+3y 2 )2 =150， 当{2x =3y 2x +3y =60，即x =15，y =10时，xy 取最大值150． 变式训练：（1）求y =3x(4?5x)(0 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 第六章 不等式 课 题：基本不等式 教学目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不 等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。 教学重点：2 a b +≤的证明过 程。 教学难点：2 a b +≤等号成立条件。 教学过程： 1.课题导入 2 a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的 两条直角边长为a,b 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2 2 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为2 22)(2b a ab b a -=-+ 当a b ≠时22 ,()0,,()0,a b a b a b ->=-=当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(2 2ab b a ≥+ 4．1）2 a b + 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2 a b + 2）2 a b +≤ 用分析法证明： 要证 2 a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 3）2 a b +≤ 的几何意义 探究：课本第110页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于 AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。2 a b +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2 ＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为 2b a +，显然，它大于或等于CD ，即 ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2 a b +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把 2 b a +看作是正数a 、 b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 2 b a +为a 、 b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1) y x x y +≥2； 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 2020高考数学不等式知识复习汇总 高考是人生道路上的重要转折点，会对考生的未来发展产生重要的影响作用，甚至改变命运。想要在高考中取得好成绩，自然是要付出努力的，只有努力才能获得回报。这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳，希望对大家有所帮助。 2020高考数学不等式知识复习汇总 高中数学不等式知识点总结： 1.用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。 2.性质： ①如果xy，那么yy;(对称性) ②如果xy，yz;那么xz;(传递性) ③如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性) ④如果xy，z0，那么xzyz;如果xy，z0，那么xz ⑤如果xy，mn，那么x+my+n;(充分不必要条件) ⑥如果xy0，mn0，那么xmyn; ⑦如果xy0，那么x的n次幂y的n次幂(n为正数)，x的n次幂。或者说，不等式的基本性质有： ①对称性; ②传递性; ③加法单调性，即同向不等式可加性; ④乘法单调性; ⑤同向正值不等式可乘性; ⑥正值不等式可乘方; ⑦正值不等式可开方; ⑧倒数法则。 3.分类： ①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 ②一元一次不等式组： a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 4.不等式考点： ①解一元一次不等式(组) ②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题 ③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集 注：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。(移项要变号) 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。(相当系数化1，这是得正数才能使用) 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。(÷或×1个负 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 .2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
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