九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定矩形性质的应用素材(新版)北师大版

矩形性质的应用

矩形具有四个角都是直角、对边相等、对角线相等等性质。因此，利用这些性质可以解决与角、线段有关的问题。

例1、已知：如图1，在矩形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，过顶点C 作BD 的平行线与AB 的延长线相交于点E 。

求证：△ACE 是等腰三角形

[分析一]欲证△ACE 是等腰三角形，即证AC=EC 。因AC 是矩形ABCD 的对角线，则AC=BD 。问题转成证BD=EC 。而这两条线段恰是四边形BDCE 的对边，考虑证它是平行四边形。

[证法一]∵BD∥EC，BE∥DC

∴四边形BDCE 是平行四边形

∴B D=EC

∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD

∴AC=EC，∴△ACE 是等腰三角形

[分析二]欲证AC=EC ，需证∠CAE=∠E，因为CE∥BD，所以∠E=∠DBA，需证∠DBA=∠CAE。需证OA=OB 。

[证法二]∵四边形ABCD 是矩形 ∴OA=21AC ，OB=2

1BD ，AC=BD ∴OA=OB。∴∠CAE=∠DBA

∵CE∥BD，∴∠DBA=∠E

∴∠CAE=∠E，∴AC=EC

即△ACE 是等腰三角形

图1

[点评]对于特殊四边形的有关问题，要注意运用特殊四边形有关性质来解，这是处理这类问题的重要方法。解法往往比较简单。如证法一是利用矩形、平行四边形的性质证明的。

对于一些特殊四边形的有关问题，也可综合运用三角形、特殊四边形的性质来解，如证法二。

例2、已知：如图2，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE 的度数。

[分析] ∠BOE 是△OBE 的内角，要求∠BOE 的度

数，需求∠OBE、∠BEO，或找出它们与∠BOE 的关系。

由于题设可得∠OBE=∠ODA=∠OAD=30°，而∠BEO 不

易求出。因此，需找出∠BEO 与∠BOE 的关系。

[解]∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB

∵AE 平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE

∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE

∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD

∴∠BAE=45°

∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°

∵OA=OB，△AOB 是等边三角形

∴BO=AB

∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO

∵∠ABE=90°，∠ABO=60°

∴∠OBE=30°

在△BOE 中

∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180° ∴∠BOE=21

（180°-∠OBE）=75°

D 图2

矩形的性质和判定

矩形教学设计 教学目标 知识与技能 1.能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2.能运用矩形的性质进行简单的证明与计算 过程与方法 体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法. 情感、态度与价值观 学生通过观察发现生活中的矩形，在探索和运用矩形的过程中感受到数学的乐趣 重点难点 重点：矩形的性质；矩形的判定。 难点：矩形的性质和判定的综合运用。 教学方法 观察、总结、讨论分析。 教学过程 一、回顾旧知，温故新知 1.平行四边形有哪些特征? 2.有几种方法可以判别四边形为平行四边形？ 3.四边形具有稳定性吗? 二、创设情境，导入新课 出示多媒体 1.引入 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形 2.知识讲解 观察 A B C D A B C D 一个角变成直角

分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程. （2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形. 矩形与平形四边形之间的关系 （3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性） （4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质. ①边：对边分别平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直 ②角：四个角都是直角（性质1） ③对角线：相等且互相平分 三、例题讲解 已知:如图,四边形ABCD 是矩形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD 是平行四边形. ∴∠C=∠A=90°, ∠B=180°-∠A=90°, ∠D=180°-∠A=90°. ∴四边形ABCD 是矩形. 【定理】矩形的四个角都是直角. 跟踪练习 已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线. 求证: AC=BD. 分析:根据矩形的性质,可转化为 全等三角形(SAS)来证明. 证明:∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°. ∵BC=CB, ∴△ABC ≌△DCB(SAS). ∴AC=DB. 【定理】矩形的两条对角线相等. 练一练： A B C D O B A

矩形定义及性质(教案)

矩形定义及性质 剑川县沙溪中学王仲磊 2号 课型：新授课课时：1节 教学目标 1、知道矩形的定义、矩形与平行四边形的联系； 2、能说出矩形的四个角都是直角及矩形的对角线相等的性质； 3、能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质； 4、能运用以上性质进行简单的证明和计算。 5、应用计算机辅助教学，充分展示数学问题的发生、发展及变化过程，培养学生的创新意识和创造能力。 教学重点和难点 重点：矩形的定义、性质及推论。 难点：能用矩形的性质进行简单的证明和计算。 教法：多媒体辅助教学法、启发引导法 教学过程 一、复习提问 1、平行四边形性质定理： （1）平行四边形的对角相等。（2）平行四边形的对边相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。推论：夹在两条平行间的平行线段相等。 2、平行四边形判定定理 （1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、引入新课 请同学们观看一幅动画。（屏显） 一个角是直角 （1）（2）当平行四边形变化到位置（2 ）时得到什么图形？ （生回答，教师作点拨。） 三、讲解新课 1、请举几个生活中关于矩形的例子。（对学生的回答作灵活处理）

2、观察动画中平行四边形是如何演变成矩形的，也就是说当平行四边形满足什么条件的时候便成了矩形？ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 3、矩形是特殊的平行四边形，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢？ （引导学生根据研究平行四边形性质的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”。） 根据学生的回答：矩形的四个角都是直角。 4、如何说明“矩形的四个角都是直角”呢？ 已知：如图四边形ABCD 是矩形，∠B=90o 。求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90o 证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB ∥DC （平行四边形对边平行） ∴∠C=∠B=90o （两直线平行，同旁内角 互补） 同理：∠D=90o 、∠A=90o 性质1：矩形的四个角都是直角。 知识拓展：让学生说出不同于老师的证法。（分组讨论） 5、下面我们来做一个游戏，请同学们关上你们的教材，观察教材的封面，用刻度尺测量书本的对角线。并回答屏幕上的问题。 教材的封面是什么图形？ 派一名代表说出你们测量的数据？你能发现两条对角线间有什么特殊关系吗？ 学生容易回答“矩形的对角线相等”。 如何证明“矩形的对角线相等”这一命题呢？请同学们根据屏幕上给出的图形、写出已知、求证，并证明这个命题。 已知：如图，ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 交于点O 。求证：AC=BD 证明：在矩形ABCD 中 ∠ABC=∠DCB=90o ，AB=DC ，BC=CB ∴?ABC ≌?DCB ∴AC=DB 性质2：矩形的对角线相等。 6、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三 角形，矩形的对角线互相平分又相等，由此，我们可以得到直角三角形的什么重要性质。请同学们讨论，并大胆的猜想。（对学生的回答稍作点拨） 如图，已知ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交 于点O 。求证：OB=21 AC 证明：在矩形ABCD 中， AC=BD （矩形对角线相等） 又∵OA=OC=21 AC

(完整版)矩形的性质和判定

矩形的性质和判定 一．填空题（共12小题） 1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为． 题1 题3 题4 2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是． 3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是． 4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为． 5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ． 题5 题6 题7 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm． 7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形． 8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．

题8 题11 题12 9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为． 10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”） 11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形． 二．解答题（共6小题） 13．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值． 14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE． （1）求证：四边形ADCE的是矩形； （2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．

矩形的性质和判定练习题

矩形的性质 课堂测评 1、矩形的一个角的平分线分矩形的一边为１cm和3ｃm的两部分，则这个矩形的面积为( ） 2、矩形的周长为５6ｃm，对角线AC和ＢD交于点Ｏ,△AOB与△BOＣ的周长之差 是4cm，则矩形中较短的边为() ３、∠A和∠C为矩形的一组对角,则①∠Ａ和∠C相等,②∠A和∠C互补, ③∠Ａ是直角，④∠C是直角，其中正确的有( )个 ４、如图，在矩形ABCD中,E、F是对角线AC的三等分点,AB=8，AＣ=1０， 则△BEF的面积是（) 5、如图,在矩形ＡBＣＤ中,Ｅ是BＣ上一点,AE＝AD，DF⊥AＥ，试说明AB＝ＤF 课后作业 １、矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是( ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等Ｄ、对边平行 2、下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A、矩形 B、等边三角形 C、平行四边形 D、五角星 ３、如图，过矩形ABＣD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与ＰQ，那么图中矩形AMＫＰ的面积S1与矩形QCNＫ的面积S2的大小关系是S1 S2 4、如图，在矩形AＢCD中。点Ｅ、Ｆ分别在边ＡB、CD上,BＦ∥ＤE,若AD＝12ｃm，AＢ=7cm,且AＥ: EB=5:2，则阴影部分EＢFＤ的面积为( ） 5、如图，Ｏ为矩形AＢCＤ的对角线的交点，DF平分∠ADC交AC于点E，叫BC 于点F，∠ＢＤF=１50，求∠COF的度数

矩形的判定 课堂测评 １、下列条件不能使□ABCD为矩形的是( ) Ａ、∠A=∠B B、∠A=∠C C、∠B=∠C Ｄ、∠C=∠D 2、下列命题中错误的是（） Ａ、平行四边形的对边相等B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C、矩形的对角线相等 D、对角线相等的四边形式矩形 3、若一个四边形有三个直角，且其中两边的长分别为４ｃm和3cm,则这个四边形的两条对角线长的和是 4、如图，在□ＡBＣD中，E、Ｆ为BC上两点，且BE=CF，AF=ＤE 求证:①△ＡＢF≌△DCE ②四边形ABＣD是矩形 课后作业１、已知四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 可使它成为矩形 ２、在数学活动课上,老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4为同学拟定的方法①、测量对角线是否互相平分,②测量两组对边是否分边相等,③测量一组对角是否都为直角，④测量其中三个角是否都为直角 其中正确的有（填序号） 3、木工师傅在做门窗时，既要用直尺测量两组对边的长度是否相等,还要测量他们的是否也相等，以确保图形是矩形,其中包含的数学道理是 4、如图，过四边形ＡＢＣD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ＡＢＣＤ需满足的条件是 5、如图,Rt△ABＣ中,∠C=900，AＣ=3，ＢC=4，点P为AB边上任意一点，过P分别作ＰE⊥ＡC于E,PＦ⊥BC于F,则线段EF的最小值是 6、在□ＡBCD中,E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、ＣE，①求证：△BEC ≌△DFA，②连结AC，当CA＝CB时,判断四边形ＡＥCF是什么特殊四边形,并证明你的结论。

北师大版九年级数学上册教案《矩形的性质与判定》教学设计

《矩形的性质和判定》教学设计 第一课时：矩形的性质 教材分析: 本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。 教学目标： 【知识与技能】 (1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。 (2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明; (3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力． 【过程与方法】 （1）经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； （2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点． 【情感态度与价值观】 (1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。

(2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 (3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。 教学重难点： 【教学重点】 掌握矩形的性质。 【教学难点】 运用综合法证明矩形的性质。 课前准备：多媒体，平行四边形教具，矩形纸片 教学过程： 一．创设情景，导入新课 活动内容：1、观察图形，都是一种特殊的平行四边形,说一说他们的特殊之处 2、探究矩形的定义 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考： （1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ 不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形 变：角的大小 （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形） 矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形 活动：1.复习平行四边形的性质和菱形的性质 2.平行四边形的面积 【设计意图】从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念。 二、分组讨论，探究新知

矩形的性质和判定

B 一、复习回顾基础知识 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 巩固练习 (1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行 (2)矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则AB ＝___________cm ，BC ＝___________cm ． (3)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝___________． (4)矩形的对角线长为,132两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________． (5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若△AFD 的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为___________． (6).矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________ 二、经典例题、针对训练、延伸训练 例1．已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，BE ∶ED ＝1∶3，从两条对角线的交点O 作OF ⊥AD 于F ，且OF ＝2，求BD 的长． 例2．已知：如图，在□ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 相交于P ，CN 与DQ 相交于M ，试说明四边形MNPQ 是矩形．

矩形、正方形的性质和判定(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：矩形的定义是什么？正方形的定义是什么？ 问题2：矩形有哪些性质？正方形有哪些性质？ 问题3：矩形的判定定理是什么？ 问题4：正方形的判定定理是什么？ 矩形、正方形的性质和判定（北师版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法，错误的是( ) A.矩形的对边互相平行 B.矩形的对角相等 C.矩形的对角线相等 D.矩形的对角线平分一组对角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 3.矩形、正方形、菱形的共同性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( ) A. B.2 C. D.4 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到点D，E，使DA=AB，EA=CA，则四边形 BCDE是( ) A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长为( )

矩形的性质和判定(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：矩形的定义是什么？ 问题2：矩形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 问题3：矩形有哪些性质？ 问题4：矩形的判定有哪些？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：矩形的定义是什么？ 答：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 问题2：矩形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 答：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 问题3：矩形有哪些性质？ 答：矩形的对边相等且互相平行；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分． 问题4：矩形的判定有哪些？ 答：有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形． 矩形的性质和判定（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.下列说法，错误的是( ) A.矩形的对边互相平行 B.矩形的对角相等

C.矩形的对角线相等 D.矩形的对角线平分一组对角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 3.已知，在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是( ) A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠COD=60°，则AB的长为( ) A. B.2 C. D.4 答案：D 解题思路：

矩形的性质与判定(一)

矩形的性质与判定（一） 双流县西航港二中杜安兴 一、学情分析 ●学生已有知识和生活经验 学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习经验和感受，同时学生在生活中接触过大量的与矩形有关的图案和物品，对矩形有较多的感性认识和实践经验，这将更有利于学生对本节课的学习. ●学生起点能力分析 通过初一阶段空间与图形的学习学生已经掌握了平面图形及其位置关系、平行线与相交线、三角形的相关知识，具有了一定的图形观察、分析、说理、探究的能力，并积累了初步的数学活动的经验，有一定的自主探究与合作交流的能力. 二、教材分析 《矩形的性质与判定（一）》是义务教育课程标准北师大版义务教科书九年级（上）第一章《特殊平行四边形》第2节. ●教材内容结构 本节课的内容首先是在平行四边形的基础上引入矩形的概念，然后利用平行四边形的不稳定性进行形状变化，探索变化过程中两条对角线间的关系，从而得出矩形性质，最后再加以对矩形的判定. ●教材的地位和作用 本节教材是继初一掌握简单平面图形、平行线、三角形及本章对平行四边形、菱形学习的基础上，通过类比的学习方法，探究，发现矩形的性质，判定，引导学生学会解决这类问题的一般方法，为后面学习正方形奠定基础. 三、目标分析 ●知识与技能目标 1.理解矩形的概念； 2.掌握矩形的有关性质； 3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ●过程与方法目标 1.经历探索矩形性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生初步合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法，培养学生用联系和发展的眼光去认识和研究事物.

矩形的性质与判定典型例题

矩形的证明题目 一．选择题（共5小题） 1．（2016春?巴南区校级月考）如图矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成的，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…，则第⑧个矩形的周长为（） A．168 B．170 C．178 D．188 2．（2016?姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（） A．32 B．16 C．8 D．16+a2 3．（2016?深圳模拟）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论： ①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE， 其中正确结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．（2015?十堰一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（） A．8 B．8 C．4D．6 5．（2015?天台县模拟）如图，矩形ABCD中，BC=1，连接AC与BD交于点E1，过E1作E1F1⊥BC于F1，连接AF1交BD于E2，过E2作E2F2⊥BC于F2，连接AF2交BD于E3，过E3作E3F3⊥BC于F3，…，以此类推，则BF n（其中n为正整数）的长为（）

A．B．C．D． 二．解答题（共25小题） 6．（2015?龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC； （2）已知DC=，求BE的长． 7．（2015?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ． （1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长； （2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长． 8．（2015?石家庄二模）已知：如图所示，四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD，点E在矩形上方，点F在矩形内部，连接AE、EF． （1）求∠ECF的度数； （2）求证：AE=FE． 9．（2015春?巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE 折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G． （1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论； （2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

矩形的性质和判定

九 年级 数学 科 探究 新知 导学案 主备人 李媛媚 时间 9.9 审定人 执教人（或学生） 学习内容： 1.2矩形的性质与判定 师：教学设计 生：学习笔记 三、互动互研，解难释疑: ①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ ②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条? 由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC 中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？ 四、精点巧拨，归纳生成: 矩形有哪些性质，你从哪些方面总结。 五、分层设练，拓展延伸: （1）下列说法错误的是（ ）． A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 _____。 （3 ）BC 是Rt △,∠ABC=90°,BD 是斜边AC 上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC ＝_____㎝; (2)若∠C=30°,AB ＝5㎝,则AC ＝_____㎝,BD ＝_____㎝. （4）在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5cm ，求矩形对角线的长。 学习目标： 理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明; 重点难点： 探索矩形的概念和性质。 一、优化导入，揭示目标; 1、平行四边形具有哪些性质？（四号生口答） 2、探究矩形的定义。 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考： （1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ 二、指导自学，整体感悟; 1、既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？ 2、研究矩形的其他性质。 求证：矩形的四个角都是直角. 已知：如图,四边形ABCD 是矩形，∠ABC=90°对角线AC 与DB 相交于点O 。 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 求证：矩形的对角线相等. 师：教学反思或疑惑 生：学习 收获或疑惑

第5课菱形和矩形的性质与判定的总结

O D C B A A B C D O D C B A D C B A 第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结 一、归纳知识点： 1. 菱形的定义、性质及判定 定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。 ABCD ABCD AB BC ? ??=? 平行四边形菱形 性 质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形． ① AB= BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分 别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线． 面 积 ①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对 角线乘积的一半．（注：不能直接使用） ①1 2 ABCD S AC BD = ?菱形 ②1 2 ABCD S AC BD =?四边形 判 定 ① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形． D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形证明你的结论. A B C D E F D

A B C D O A B C D O A B C 30° A B C O A B C D 2. 矩形的定义、性质及判定 定 义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 90ABCD ABCD B ? ??∠=?? 平行四边形矩形 性 质 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且相等；②四个角都是直角； ③对角线互相平分且相等； ④是中心对称图形、轴对称图形． ①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠ =90°； ②AC=BD ． 推论 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ②在直角三角形中，30?角所对的直角边等于斜边的一半． ① O 是AC 的中点，则1 2 BO AC =． ② 30B ∠=?，则1 2 AC AB = ． 判定 ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形． ③ 有三个角是直角的四边形是矩形． 例2.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30° （1）求BE 、QF 的长（2）求四边形PEFH 的面积．

矩形的性质与判定一

矩形的性质与判定（一)

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课时教学设计首页 课题 ２.矩形的性质与判定 (一) 课型新授授课时间２015.９ 教学目标１．掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力. 2．经历探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理的意识；通过灵活运用矩形的性质解决有关问题,掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点． ３.在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性,感受证明的必要性,培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 教学重点与难点重点:理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力． 难点：通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法,并渗透运动联系、从量变到质变的观点. 教学 方法 任务驱动法

课时教学流程 教 师 行 为 学 生 行 为 使 用 教 材 构 想 《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的,它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上,而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用,所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。 补充设计 ☆ ☆

矩形的性质与判定经典练习

读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人 善辩。---培根 1 证明（三）┄┄矩形的性质与判定 【知识要点:】 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）角：四个角都是直角。 （2）对角线：互相平分且相等。 3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。 5.矩形的周长和面积： 矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长?宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。 （2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。 四边形 平行四边形 矩形菱形梯形 一角为90°邻一组 边 相 等 正方形 两组对边 平行只有一组 对边 平行 一角为直角且一组邻边相等 邻边相等一9角 为 0°等腰梯形两腰相等

读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根2 【经典例题:】 例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长． 例2、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。

矩形的判定和性质

矩形的性质和判定 一、基础知识 （一）矩形的定义 有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是90°; 4.矩形是轴对称图形； （三）矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=AC 2 、例题讲解 考点一：矩形的基本性质 例1 :如图，在矩形ABCD中, AE?丄BD, ?垂足为E, ?/DAE=?2之BAE ?那么，？/ BAE= ______________ , Z EAO= ________ ,若EO=1,贝y OD= ______ AB= _______ , AD= ________ r

练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6, △ OBC勺周长是15,求矩形的对角线的长 度. 练习2 :如图，在矩形ABCD中, CE L BD, E为垂足，/ DCE：/ ECB= 3 ：1,求/ ACD. 例2:如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm那么矩形的周长是多少？ 2 练习1 :矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点0,已知矩形ABCD勺面积是12cm，AB=4cm求矩形的对 角线长。 例3:如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB BC分别长15cm和25cm,内角/ BAD的角平分线与边BC交于 点E.试求BE与CE的长度.

矩形的性质和判定

【考点精讲】 ＝90°，∴四边形AEPF 是矩形，∴AP ＝EF ，∵∠BAC ＝90°，M 为EF 中点，∴AM ＝1 2 EF ＝12AP ，当AP ⊥BC 时，AP 值最小，此时S △BAC ＝12×6×8＝12×10×AP ，AP ＝4.8，即x 的最小值为2.4。

点评：本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定等的应用，关键是求出AP的最小值和得出AM与AP的数量关系。 例题2 请看下面小明同学完成的一道证明题的思路： 如图1，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE ⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE＋PF＝CD。 证明思路：如图2，过点P作PG∥AB交CD于点G，则四边形PGDE为矩形，PE＝GD；又可证△PGC≌△CFP，则PF＝CG；所以PE＋PF＝DG＋GC＝DC。 如图3，若P是BC延长线上任意一点，其他条件不变，则PE、PF与CD有何关系？请你写出结论并完成证明过程。 思路导航：采用与题目相同的思路，过点C作CG⊥PE，利用矩形的性质和全等三角形的性质确定PE、PF、CD之间的关系。 答案：结论：PE－PF＝CD。 证明：过点C作CG⊥PE于点G，∵PE⊥AB，CD⊥AB，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC ＝90°。∴四边形CGED为矩形。∴CD＝GE，GC∥AB。∴∠GCP＝∠B。∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP。在△PFC和△PGC中，∠F＝∠CGP＝90°，∠FCP＝∠GCP，CP＝CP，∴△PFC≌△PGC（AAS）。∴PF＝PG。∴PE－PF＝PE－PG ＝GE＝CD。 点评：本题通过构造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性质求解。解答这类阅读理解问题，读懂题目提供的解题思路是解题关键。 例题3 如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F为BA延长线上的一点，

矩形的性质)(1)

矩形、正方形（1） 教学目标： 知识与技能目标： 1．掌握矩形的概念、性质和判别条件. 2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力. 过程与方法目标： 1．经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法. 2．知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想. 情感与态度目标： 1．在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神.2．通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美. 教学重点：矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握. 教学难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用. 教学方法：分析启发法 教具准备：像框，平行四边形框架教具，多媒体课件. 教学过程设计： 一. 情境导入： 演示平行四边形活动框架，引入课题. 二．讲授新课： 1. 归纳矩形的定义： 问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？（学生思考、回答.） 结论：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 2．探究矩形的性质： （1）. 问题：像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质？（学生思考、回答.） 结论：矩形的四个角都是直角. （2）. 探索矩形对角线的性质： 让学生进行如下操作后，思考以下问题：（幻灯片展示） 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状. ①. 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ ②.当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？ ③.当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？ （学生操作，思考、交流、归纳.） 结论：矩形的两条对角线相等.

矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定 一．填空题 1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为． 题1 题3 题4 2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为． 5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ． 题5 题6 题7 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm． 7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形． 8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）． 题8 题11 题12 9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为． 10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”） 11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是． 12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．

矩形的性质和判定1教学设计

《矩形的性质与判定》（1）教学设计 教材来源：北师大版九年级数学（上）第一章第二节第一课时 授课对象：九年级学生 设计者荥阳市第一初级中学张炎赵亚萍 一、内容和内容解析： 《矩形的性质》一课属于初中平面几何重点知识。本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的性质与判定的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容菱形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。 二、目标和目标解析： 课标要求： ？ 理解矩形的概念，以及它与平行四边形的关系；探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等。 根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： (1) 通过一个活动的平行四边形教具演示,描述出矩形的定义，能说出矩形与平行四边形的关系。 (2) 通过小组合作观察，测量、猜想矩形的性质，并能进行推理证明; (3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题。 针对本节课的三个学习目标，评价任务如下 评价任务一：用自己的语言描述矩形的定义，说出矩形与平行四边形的关系。 # 评价任务二：准确说出矩形的性质并进行推导证明。 评价任务三：独立思考，完成例题及练习题 三、教学问题诊断分析： 1、学生的已有基础：

学生在小学时对矩形已经有了初步的了解，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。 2、学生面临的问题： 本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。 因此我确定本节课的重点为：探究并会运用矩形的性质解决实际问题。 " 因此，在教学中抓住学生好奇心强、学习积极性高的特点，在得出矩形的性质后，让学生试着推导证明矩形的性质定理，紧接着设计了一些例题和习题，最终引导学生顺利突破了本节课的难点.

矩形的性质与判定的运用提高训练(含答案)

矩形的性质与判定的运用提高训练(含答案)

2017-2018学年八年级数学下册矩形的性质与判定填空题练习 1、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是． 2、如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若OM=3，AD=8，则BO= ． 3、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2；（填“＞”或“＜”或“=”） 4、如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为．

5、将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=70°，则∠AED= ． 8、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形 A/B/C/D/的位置，旋转角为a (0°

13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ ADB=30°，则EF= ． 14、如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD 的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ． 16、如图，矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC 上，且AE=EC. 若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC 上的点B/重合，则AC= ． 17、如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x 轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标 为．