习题 连续系统的零极点分布与频响特性的关系
连续系统零极点分布与频响特性的关系
1. 连续系统零极点图的画法
pzplot()函数可用来绘制连续系统的零极点图，具体用法如下：
pzplot(SYS) 计算LTI 模型SYS 的零点和极点并绘制零、极点图。其中SYS 的产生可以采用传递函数法：
SYS=tf(b,a)，
b 和a 分别为系统函数的分子多项式和分母多项式系数矩阵。 例1：的系统函数为()232
2512
41420
s s H s s s s ++=+++，完成一幅适当标注的零极点图。 解：
MATLAB 代码如下：
b=[2 5 12]; a=([1 4 14 20]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS);
系统的零极点图如图1所示。
图1 例1系统的零极点图
2. 由系统的零极点分布决定系统的频率响应特性
稳定的连续时间系统的频率响应特性可以由系统函数得到
P ole-Zero Map
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
()()
()
()
()
()
11j j 1
1
j j j m
m
j
j
j j s ω
s ω
n
n
i
i
i i s z ωz H ωH s K
K
s p ωp ======--===--∏∏∏∏ (1)
令分子中每一项j j e
j
ψj j ωz N -=,
分母中每一项j j e i θi i ωp M -=，则
()1212
j j j 12j j j 12e e e j e e e
m
n ψψψm θθθn N N N H ωK M M M = (2) ()1212j m
n
N N N H ωK
M M M = (3)
()()()1212m n ωψψψθθθφ=++-++ (4)
分析频率响应特性的方法： 1.()()
j j s ω
H ωH s ==，带入数值，得到()j H ωω～的分布；
2.根据零极点图中零极点的分布，用几何的方法定性判断系统的频率响应特性；
3.对模拟系统，MATLAB 信号处理工具箱提供了freqs()函数是用来求取模拟滤波器的频率响应。具体函数的用法是：
H=freqs(B, A, W) 返回模拟滤波器的频率响应H(jW)，即复数频率响应矩阵H ，其中的B 、A 是已知系统的传递函数模型，W 为已选定的频率点。如果直接使用freqs(B, A, W)，则直接绘制幅度响应和相位响应曲线，不返回任何值。如果缺省频率范围W ，函数将自动选用一组200个频率点范围。 freqs(B,A,N) 选择N 个频率点。 B,A 矩阵的写法如下
()()()()
()()()
12121212b b a a n n b n n a b s b s b n H s a s a s a n ----+++=+++
例如：
(a) ()2
0.5
32
s H s s s +=
++[1,0.5];B =[1,3,2];A = (b) ()21
32
H s s s =++[1];B =[1,3,2];A =
(c) ()232
s
H s s s =++[1 ];0B =[1,3,2];A =
注意：(c)的B 矩阵由于缺少常数项，故补了一个0。
例2：已知0C ω>，利用MATLAB 的freqs 函数分析如下系统的频率响应特性。
(1)()1C
C
H s s ωω=+;
(2) ()2C
s
H s s ω=
+; 解：
MATLAB 代码如下：
close all w_C=100;
B1=[w_C];A1=[1 w_C];SYS1=tf(B1,A1); B2=[1 0];A2=[1 w_C];SYS2=tf(B2,A2);
pzplot(SYS1);axis([-2.1*w_C 2.1*w_C -w_C w_C]);
figure;pzplot(SYS2);axis([-2.1*w_C 2.1*w_C -w_C w_C]); figure;freqs(B1,A1); figure;freqs(B2,A2);
MATLAB 绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图2所示。
(a) (b)
(c) (c)
图2例2系统的零、极点分布
P ole-Zero Map
Real Axis (seconds -1
)
I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)
10
10
10
3
Frequency (rad/s)
P h a s e (d e g r e e s )
10
1
10
2
10
3
10
10
Frequency (rad/s)
M a g n i t u
d e
P ole-Zero Map
Real Axis (seconds -1
)
I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)
10
10
10
Frequency (rad/s)
P h a s e (d e g r e e s )
10
10
10
10
10100
Frequency (rad/s)
M a g n i t u d e
由图2可以看出，系统(1)具有低通滤波特性；系统(2)在0s =处有一个零点，当0ω=时，()j 0H ω=，具有高通滤波特性。
3.练习题
请利用MATLAB 软件绘制下列因果系统的零极点图和频率响应特性曲线，并分析系统的滤波特性。 (1)()122
H s s =+;
(2)()22
s H s s =
+; (3)()()()31
12H s s s =
++;
(4) ()()()412s
H s s s =
++;
(5) ()()()
2
512s H s s s =
++;
(6) ()62
210
s
H s s s =
++; (7)()()()
()()
71212s s H s s s --=
++.
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义.
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。
连续系统零极点分布与频响特性的关系
连续系统零极点分布与频响特性的关系 班级：02 学号：2014210 请利用MATLAB软件绘制下列因果系统的零极点图和频率响应特性曲线，并分析系统的滤波特性。 (1) H1(s); 程序如下： close all b=[2]; a=([1 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a); MATLAB绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。
-2-1.5-1-0.5 00.511.52 Real Axis (seconds -1 ) I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1) -10 1 -80 -60-40-200 Frequency (rad/s) P h a s e (d e g r e e s ) 10 10 10 10 -0.7 10 -0.4 10 -0.1 Frequency (rad/s) M a g n i t u d e (2) H 2(s) ; 程序如下： close all b=[1 0]; a=([1 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a); MATLAB 绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。 零极点图 频率特性曲线图
Real Axis (seconds -1) I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1) 10 10 10 10 Frequency (rad/s) P h a s e (d e g r e e s ) 10 10 10 10 10 101010 Frequency (rad/s) M a g n i t u d e
系统函数的零极点分布决定时域特性
摘要 本文详细分析了系统函数零极点的分布与冲击响应时域特性之间的关系。首先论述了如何通过MATLAB软件绘制出系统函数的零极点分布图。然后根据系统函数极点的不同分布情况，通过MATLAB软件绘制出冲击响应的时域函数，通过对图像的观察和比较，得出了极点的类型决定时间函数的时间连续形式，极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点。最后，在极点相同，但零点不同的情况下，通过比较时域函数的波形，得出零点分布与时域函数的对应关系，即零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位。 关键词：系统函数的零极点；时域特性；MATLAB软件
目录 1课程设计目的 (1) 2实验原理 (1) 3实现过程 (1) 3.1MATLAB简介 (1) 3.2系统函数极点分布情况 (2) 3.2.1极点为单实根 (2) 3.2.2极点为共轭复根 (2) 3.2.3极点为重根 (2) 3.2.4用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图 (2) 3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系 (6) 3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数 (6) 3.3.2极点的类型决定时间函数的时间连续形式 (19) 3.3.3极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点 (19) 3.3.4零点分布与时域函数的对应关系 (19) 4设计体会 (23) 5参考文献 (24)
1 课程设计目的 1.掌握系统函数的零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系。 2.学习MATLAB 软件知识及应用。 3.利用MATLAB 编程，完成相应的信号分析和处理。 2 实验原理 拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为s 域函数F(s)；反之，拉普拉斯逆变换将F(s)变换为相应的f(t)。由于f(t)与F(s)之间存在一定的对应关系，故可以从函数F(s)的典型形式透视出f(t)的内在性质。当F(s)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了F(s)零点和极点的位置，显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。 设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则 ?+∞ -=0)()(dt e t h s H st 显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。 对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即 其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。 3 实现过程 3.1 MATLAB 简介 MALAB 译于矩阵实验室（MATrix LABoratory ），是用来提供通往 LINPACK 和EISPACK 矩阵软件包接口的。后来，它渐渐发展成了通用科技计算、图视交互系统和程序语言。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵。它的指令表达与数学、工程中常用的习惯形式十分相似。比如，矩阵方程Ax=b ，在MATLAB 中被写成A*x=b 。而若要通过A ，b 求x ，那么只要写x =A \b 即可，完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。因此，用MATLAB 解算问题要比用C 、Fortran 等语言简捷得多。 MATLAB 发展到现在，已经成为一个系列产品：MATLAB “主包”和各种可选的toolbox “工具包”。主包中有数百个核心内部函数。迄今所有的三十几个工具包又可分为两类：功能性工具包和学科性工具包。功能性工具包主要用来扩充MATLAB 的符号计 ∏∏1 1) -()-() () ()(N i i M j j p s q s C s A s B s H ====
极点及系统稳定性
极点对系统性能影响 一．控制系统与极点 自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。 系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。 特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。 二．极点对系统的影响 极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析： ⑴连续系统 理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式 设系统函数为： 将H(S)进行部分分式展开： 1n a s -+++
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。 稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为 …… 由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。 通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。 如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。 若R 为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。 F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是?(s)的分母，即?(s)的特征多项式，其零点是?(s)的极点。 取D 形曲线（D 围线）如图所示，是整个右半复平面。 且设D 曲线不经过F(s)的任一极点或零点。 s 沿D 曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数 1212()n s t s t s t n y t C e C e C e =+++0()0()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→?? ===??>→∞? →∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121()0cos()00j t j t t s j y t C e C e C e t t αωαωααωαω?αα+-=±=+? →∞（2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡时，发散
零极点分布对系统频率响应的影响
备注：(1)、按照要求独立完成实验内容。 (2)、实验结束后，把电子版实验报告按 要求格式改名(例：09 号_张三 _实验七.doc)后，实验室统一刻 盘留档。 实验三零极点分布对系统频 率响应的影响 一、实验目的 1. 掌握系统差分方程得到系统函数的方法； 2. 掌握系统单位脉冲响应获取系统函数的方法； 3. 掌握用系统函数零级点分布的几何方法分析研究系统的频率响应 二、实验原理 在MA TLAB 中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp ( num ，den)求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane( z，p)绘出 零、极点分布图；也可以用函数 zplane( num，den)直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MA TLAB 中，可以用函数[r，p，k]=residuez(num，den)完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos( z，p，K )完成三、实验内容(包括代码与产生的图形) 1. 假设系统用下面差分方程描述： y(n)=x(n)+ay(n-1) 假设a=0.7, 0.8, 0.9 ，分别在三种情况下分析系统的频率特性，并打印幅度特性曲线。 B=1; A=[1,-0.7]; subplot(3,3,1);zplane(B,A); xlabel(' 实部Re'); ylabel(' 虚部Im'); title('y(n)=x(n)+0.7y(n-1) 传输函数零、极点分布'); grid on [H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,3,4); 将高阶系统分解为 2 阶系统的串联。plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);
绘制离散系统零极点图.
绘制离散系统零极点图：zplane() 滤波器 绘制离散系统零极点图：zplane() zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜 色来表示。 zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root 函数以求出它们的零极点。 [H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。如果有重零极点，它还包括显示在其右上方 的文本句柄。 例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是 wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减 为60dB 程序设计如下： wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=100 00Hz; rp=0.5; rs=60; wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2]; [n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs); [num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop'); [H, W]=freqz(num, den); figure; plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); figure; impz(num, den); figure; grpdelay(num, den); figure; zplane(num, den); FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数
matlab实验四 系统的零极点分析
实验四连续时间系统复频域分析和离散时间系统z域分析 一.实验目的： 1.掌握连续信号拉氏变换和拉氏反变换的基本实现方法。 2.熟悉laplace函数求拉普拉斯变换，ilaplace函数求拉氏反变换 的使用。 3.掌握用ztrans函数，iztrans函数求离散时间信号z变换和逆z 变换的基本实现方法。 4.掌握用freqs函数，freqz函数由连续时间系统和离散时间系统 系统函数求频率响应。 5.掌握zplane零极点绘图函数的使用并了解使用零极点图判断系 统稳定性的原理。 二、实验原理： 1.拉氏变换和逆变换 原函数()() ?象函数 f t F s 记作：[()]() =→拉氏变换 L f t F s 1[()]() -=→拉氏反变换 L F s f t 涉及函数：laplace,ilapace. 例如：
syms t;laplace(cos(2*t)) 结果为：ans =s/(s^2+4) syms s;ilaplace(1./(s+1)) 结果为：ans = exp(-t) 2. 系统传递函数H(s)或H(z)。 12121212...()()()...m m m n n n b s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 112112...()()()...m m m n n n b z b z b B z H z A z a z a z a --+--++++==+++ 其中，B 为分子多项式系数，A 为分母多项式系数。 涉及函数：freqz,freqs. 3. 系统零极点分布与稳定性的判定。 对于连续时间系统，系统极点位于s 域左半平面，系统稳定。 对于离散时间系统，系统极点位于z 域单位圆内部，系统稳定。 涉及函数：zplane. 三、 实验内容 1． 验证性实验 a) 系统零极点的求解和作图
判断系统稳定性
摘要 现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。 根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。 本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。 关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。
一、设计原理 1.设计要求 （1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。 （2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。 （3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性 （4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等） 2、系统稳定性、特性分析 进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。 对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。 当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。 系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。 系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： (1)系统单位样值响应h(n)的时域特性； (2)离散系统的稳定性； (3)离散系统的频率特性；
二阶系统性能改善与稳定性
例1 系统结构图如图所示。求开环增益K分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。 计算过程及结果列表 K 计算 10 0.5 0.09 开环 传递 函数 )1 ( 10 ) ( 1+ = s s s G )1 ( 5.0 ) ( 2+ = s s s G )1 ( 09 .0 ) ( 3+ = s s s G 闭环 传递 函数10 10 ) ( 2 1+ + = Φ s s s 5.0 5.0 ) ( 2 2+ + = Φ s s s 09 .0 09 .0 ) ( 2 3+ + = Φ s s s 特征 参数 ? ? ? ?? ? ? ? = = = ? = = = 81 arccos 158 .0 16 .3 2 1 16 .3 10 ξ β ξ ω n ? ? ? ?? ? ? ? = = = ? = = = 45 arccos 707 .0 707 .0 2 1 707 .0 5.0 ξ β ξ ω n ?? ? ? ? = ? = = = 67 .1 3.0 2 1 3.0 09 .0 ξ ω n 特征 根 12 .3 5.0 2,1 j ± - = λ5.0 5.0 2,1 j ± - = λ ? ? ? - = - = 9.0 1.0 2 1 λ λ ? ? ? = = 11 .1 10 2 1 T T 动态 性能 指标 2 2 1 00 00 1.01 1 60.4 3.5 3.5 7 0.5 p n s n t e t ξπξ π ξω σ ξω -- ? == ? - ? ? == ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = - = - - 7 5.3 5 238 .6 1 1 2 2 n s n p t e t ξω σ ω ξ π ξ ξπ() 1221 11 9 31 ,0 s s p T T t t T T t λλ σ ?== ? =?= ? ?=∞= ?
信号与系统_——零极点及稳定性响应
实验七、系统极零点及其稳定性 三、已知下列传递函数H(s)或H(z)，求其极零点，并画出极零图。 1. b=[3 -9 6]; a=[1 3 2]; zplane(b,a) 2. b=[1]; a=[1 0]; zplane(b,a)
3. b=[1 0 1]; a=[1 2 5]; zplane(b,a)
4. b=[1.8 1.2 1.2 3]; a=[1 3 2 1]; zplane(b,a) 五、求出系统的极零点，判断系统的稳定性。 5、先求出分子分母多项式系数 >> syms s >> zs=100*s*(s+2)^2*(s^2+3*s+2)^2; >> expand(zs) ans = 100*s^7+1000*s^6+4100*s^5+8800*s^4+10400*s^3+6400*s^2+1600*s >> syms s >> ps=(s+1)*(s-1)*(s^3+3*s^2+5*s+2)*((s^2+1)^2+3)^2; >> expand(ps) ans = -32-80*s-48*s^2+8*s^4-16*s^3+28*s^6+20*s^5+44*s^7+30*s^8+s^13+8*s^11+23*s^9+3*s^12 +11*s^10 再求出极零点 b=[100 1000 4100 8800 10400 6400 1600 0]; a=[1 3 8 11 23 30 44 28 20 8 -16 -48 -80 -32];
[z,p]=tf2zp(b,a) 求解结果： z = -2.0005 + 0.0005i -2.0005 - 0.0005i -1.9995 + 0.0005i -1.9995 - 0.0005i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p = 1.0000 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i -1.2267 + 1.4677i -1.2267 - 1.4677i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -1.0000 -0.5466 极点不是都在左半平面，因此系统不稳定。 6、clear all; clc; num=conv([1 -1.414 1],[1 1]); den=conv([1 0.9 0.81],[1 -0.3]); [z,p]=tf2zp(num,den) zplane(z,p); z = -1.0000 0.7070 + 0.7072i 0.7070 - 0.7072i
连续时间系统S域零极点分析
实验七 连续时间系统S 域零极点分析 一、目的 （1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系 （2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系 （3）掌握利用MATLAB 进行S 域分析的方法 二、零极点分布与系统稳定性 根据系统函数)(s H 的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数)(s H 包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。 对任意有界信号)(t f ，若系统产生的零状态响应)(t y 也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。 上述稳定性的定义可以等效为下列条件： ● 时域条件：连续系统稳定充要条件为∞
实验二：系统稳定性和稳态性能分析
实验二：系统稳定性和稳态性能分析 主要内容： 自动控制系统稳定性和稳态性能分析上机实验 目的与要求： 熟悉 MATLAB 软件对系统稳定性分析的基本命令语句 熟悉 MATLAB 软件对系统误差分析的 Simuink 仿真 通过编程或 Simuink 仿真完成系统稳定性和稳态性能分析 一 实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二 实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用 MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 （2）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)k s G s s s s s +=+++，当取k =1，10，100用MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性。 只要将（1）代码中的k 值变为1，10，100，即可得到系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性，并讨论系统增益k 变化对系统稳定性的影响。 2、稳态误差分析 （1）已知如图所示的控制系统。其中2(5)()(10) s G s s s +=+，试计算当输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。 从 Simulink 图形库浏览器中拖曳Sum （求和模块）、Pole-Zero （零极点）模块、Scope （示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如右上图所示： （2）若将系统变为I 型系统，5()(10) G s s s =+，在阶跃输入、斜坡输入和加速度信
零极点对系统的影响
增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应和频率响应会造成很大影响。以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函 数。 零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。 在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。 在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90o。非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。 在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个- 20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统
滤波器稳定性与极点
在数字信号处理中，系统的稳定性是一个很重要的问题，比如说在滤波器的设计中，都要求系统必须稳定，否则是无法使用的。那么，如何判断系统是否稳定呢？ 从定义上说，如果输入有界，则输出必定有界的系统是稳定的。从数学上可以推导出，因果系统冲击响应Z变换的收敛域包含单位圆的系统是稳定的。从零点极点的角度，则是系统函数的所有极点都在单位圆内的系统是稳定的。如何来理解呢？ 我们先以一个简单的单极点系统为例来理解系统的稳定性。比如有一个单极点系统： H(z)=1/(1-2z-1) 表示的是如下的如下的信号处理过程：系统当前输出是当前的输入加上2倍的系统上一时刻输出之和。这个系统是不稳定的，因为当前输出需要放大上一个时刻的输出，这也就是说，系统存在的自激的过程，直观上我们就可以很好地理解，自激系统是不稳定的。从分析极点的角度看，这个系统的极点为2，在单位圆外，与数学上的分析是一致的。极点在单位圆内的要求，对一阶极点而言，实际上也就是直观上要求系统不能自激。 对于高阶极点的情况，由代数学可知，高阶极点可进行分式的分解，也即是高阶极点可以分解成多个一阶极点并联而成的系统，在并联系统中，只要有一个系统不稳定，整个系统就是不稳定的。这与数学上要求的所有极点都在单位圆内是对应的。对于更一般的既包含零点又包含极点的系统，可以看成一个全零点系统和全极点系统串接而成，零点与系统的稳定性无关，分析和结论与高阶全极点系统完全一致。 在滤波器的设计中，可以很方便地通过调整极点改变滤波器的特性。而在许多设计精巧的滤波器中，极点往往在单位圆上或单位圆附近，在实际中还要考虑量化及数的精度等问题，确保系统的稳定性。
极点与系统稳定性
极点对系统性能影响 一．控制系统与极点 自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。 系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。 特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S﹚= C [∏（S-Pi）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 ……Qi ……即为系统的极点。 二．极点对系统的影响 极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析： ⑴连续系统 理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式 设系统函数为： 将H(S)进行部分分式展开：
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。 稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为 …… 由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。 通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。 如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。 若R 为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。 F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是?(s)的分母，即?(s)的特征多项式，其零点是?(s)的极点。 取D 形曲线（D 围线）如图所示，是整个右半复平面。 且设D 曲线不经过F(s)的任一极点或零点。 s 沿D 曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数 1212()n s t s t s t n y t C e C e C e =+++ 0()0()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→?? ===??>→∞?→∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121 ()0cos()00j t j t t s j y t C e C e C e t t αωαωααωαω?αα+-=±=+? →∞ （2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡时，发散
已知系统的开环零极点分布如图B41所示
B4.1 已知系统的开环零极点分布如图B4.1所示，试绘制各系统的概略根轨迹。 图B4.1控制系统的开环零极点分布图 B4.2 设系统的开环传递函数如下所示： 试绘制各系统的根轨迹。 B4.3 证明题B4.2各系统在复平面上的根轨迹均为一圆或圆弧，并求出它们的圆心和半径。 B4.4 已知系统的开环传递函数如下所示，试绘制各系统的根轨迹。 B4.5 设单位反馈系统的开环传递函数为 要求： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定系统的临界开环增益； (3)当系统的暂态响应为欠阻尼、临界阻尼或过阻尼时，试分别求其开环增益的取值范围。B4.6 已知单位反馈系统的开环传递函数为
若要求系统的性能满足σp≤5%,t s≤8(s)，试求开环增益的取值范围。 B4.7 设系统的开环传递函数如下所示，其中a和b为可变参量，试绘制各系统的根轨迹： B4.8 设单位反馈系统的开环传递函数为 当微分时间常数T d可变时试绘制系统的根轨迹；并确定使复数极点的阻尼比为0.707的T d值。 B4.9 已知系统的特征方程如下所示，试绘制各系统的根轨迹： B4.10 设某复杂系统的开环传递函数为 试应用MATLAB： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定分离点的位置及对应的开环增益值； (3)确定使系统稳定时开环增益的取值范围，以及临界稳定时闭环零极点的分布。 B4.11 设某单位负反馈系统的开环传递函数为 安装时不慎将反馈的极性接反了，变成正反馈系统。试分别绘制负反馈系统和正反馈系统的根轨迹；并以系统的稳定性为例，分析说明反馈极性接反了的后果。 B4.12 图B3.32所示的某记录仪位置随动系统，其结构图重画在图B4.12上。如果在安装时出现以下差错：(1)把测速反馈的极性接反了；(2)测速反馈的极性是正确的，但把位置反馈的极性接反了，试问它们的后果如何?习题B3.22是用时域分析法来讨论的，现要求将它视为多回路系统，用根轨迹法来分析讨论。从B4.11和B4.12的求解中，您有何感想或体会?
三个因果稳定系统的零点极点分布分别如图所示
三个因果稳定系统123(),(),()H z H z H z 的零点、极点分布分别如图所示。 三个系统的极点相同，120.9,0.9p p =-=。由图可见，1()H z 为最小相位系统，2()H z 为混合相位系统，3()H z 为最大相位系统。设图中0.5,/3r ?π==。试分别写出系统函数 123(),(),()H z H z H z 的数学表达式，并绘制其幅频特性、相频特性曲线、单位脉冲响应 123(),(),()h n h n h n 的波形图以及相应的累计能量曲线。由此验证最小相位系统的性质 %program %compute freqz z1=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),0.5*exp((-pi /3)*j)]'; p1=[0.9,-0.9];
k1=1; [b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k1); [H1,w1]=freqz(b1,a1,256,1); mag1=abs(H1); phs1=angle(H1); z2=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)* j)]'; p2=[0.9,-0.9]; k2=0.5^2; [b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k2); [H2,w2]=freqz(b2,a2,256,1); mag2=abs(H2); phs2=angle(H2); for n=1:255 if (phs2(n+1)-phs2(n))>=6 for m=n+1:256 phs2(m)=-2*pi+phs2(m); end end end z3=[2*exp((pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j)]' ; p3=[0.9,-0.9]; k3=0.5^4; [b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k3); [H3,w3]=freqz(b3,a3,256,1); mag3=abs(H3); phs3=angle(H3); for n=1:255 if (phs3(n+1)-phs3(n))>=6 for m=n+1:256 phs3(m)=-2*pi+phs3(m); end end end %plot h1(n),h2(n),h3(n): subplot(231); impz(b1,a1,20);ylabel('h1(n)');xlabel('n'); subplot(232); impz(b2,a2,20);ylabel('h2(n)');xlabel('n'); subplot(233); impz(b3,a3,20);ylabel('h3(n)');xlabel('n'); %plot H(ejw): subplot(234); plot(w1,mag1);hold on; plot(w2,mag2);hold on; plot(w3,mag3); ylabel('|H(ejw)|');xlabel('w/2pi'); %plot phase subplot(235); plot(w1,phs1);hold on; plot(w2,phs2);hold on; plot(w3,phs3); ylabel('phase');xlabel('w/2pi');
K1.17 H(s)的零极点分布与时域特性
知识点K1.17 H(S)的零极点分布与时域特性 主要内容： 1.连续系统函数的零极点分布 2.连续系统函数的时域特性 基本要求： 1.掌握系统函数的零点与极点 2.熟练求解系统函数H(s)与时域响应h(t)
K1.17 H(S)的零极点分布与时域特性 1.系统函数的零点与极点 LTI 连续系统的系统函数是复变量s 的有理分式，即 A (s )=0的根p 1，p 2，…，p n 称为系统函数H (s )的极点； B (s )=0的根ξ1，ξ2，…，ξm 称为系统函数H (s )的零点。 ) ()()(s A s B s H =将零极点画在复平面上－－零极点分布图。 例：) 1()1()2(2)(22+++=s s s s H σj ω0(2)-1-2j -j
例： 已知H (s )的零、极点分布图如示，并且h (0+)=2。求H (s )的表达式。σj ω0 -1j2-j2 解：由分布图可得 524)1()(22++=++=s s Ks s Ks s H 根据初值定理，有K s s Ks s sH h s s =++==+∞→∞→5 2lim )(lim )0(225 22)(2++=s s s s H
2. 系统函数H(s)与时域响应h(t) 问题：冲激响应的函数形式由H(s)的极点关系？ 以下讨论的系统均为连续因果系统。 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 （1）极点在左半开平面 (a)若系统函数有负实单极点p= –α(α>0)，则A(s)中 有因子(s+α)，其对应的响应函数为K e-αt ε(t)
传递函数零极点对系统性能的影响
现代工程控制理论实验报告 学生姓名：任课老师： 学号：班级：
实验三：传递函数零极点对系统性能的影响 一、实验内容及目的 实验内容： 通过增加、减少和改变高阶线性系统 21.05 （s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1) 的零极点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。 实验目的： （1）通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。 （2）练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。 二、实验方案及步骤 首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。 （1）改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （2）在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （3）引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲
线。 （4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点之间的关系。 三、实验结果分析 1、研究极点对系统品质的影响 （1）改变主导极点，得到的输出曲线如下： 将系统品质以表格方式列于下方。
从两张图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。 从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。 将两幅图片中发现的规律总结如下： （1）主导极点对系统品质有很大影响。 （2）在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系统的准确性越好、快速性也越好。 （2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：