高等光学4章
第四章菲涅耳衍射、夫琅和费衍射和傅立叶变换利用基尔霍夫或瑞利-索末菲衍射公式计算衍射光场复振幅分布虽然准确，但是在计算积分时存在数学上的困难。在一定条件下对瑞利-索末菲衍射公式进行近似，便可以将衍射现象划分为两种类型——菲涅耳衍射和夫琅和费衍射，也称近场衍射与远场衍射。
§4-1 菲涅耳和衍射夫琅和费衍射的划分
先简单分析一下单色光经过衍射小孔后的衍射现象。下图表示一个单色平面波垂直照射到圆孔Σ上（圆孔直径大于波长）的情形。若在离Σ很近的K1处观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑，其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光的传播可看作是直线进行的。若距离再远些，例如在K2处，将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。随着距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数目则逐渐减小（如K3处的情况），而且环纹中心的明暗也表现为交替出现。当观察平面距离很远时，如在K4处，将看到一个较大的中间亮，边缘暗，且在边缘外有较弱的亮暗交替的光斑。此后观察距离再增大时，只是光斑扩大，但光斑形状不变。
通常菲涅耳衍射指近场衍射，夫琅和费衍射指远场衍射。下面我们根据瑞利-索末菲衍射公式来讨论远和近的范围是怎样划分的。
考虑无限大的不透明屏上的一个有限孔径Σ对单色光的衍射。设平面屏有直角坐标系(x1，y1)，在平面观察区域有坐标系(x，y)，两者坐标平行，相距z。
一、 菲涅耳衍射（近场衍射）
在第三章里我们已经得到开孔的瑞利-索末菲衍射公式是
??∑
=
dS K r e P U j P U jkr
)()(1
)(10θλ
在图所示的坐标系下，上式可以写为
??∑-+-+-+-+=1121212)()(110)()
()(),(1),(2
1
212dy dx K y y x x z e
y x U j y x U y y x x z jk θλ 假设观察屏和衍射屏的距离z 远远大于Σ的线度和观察范围的线度，那么在z 轴附近1)(≈θK 。 又
}
8])()[(2)()(1{]
)()(1[)()(4
2
2121221212
1
21212
1212 +-+-+-+-+=-+-+=-+-+=z y y x x z y y x x z z
y y z x x z y y x x z r },,,{11y x y x z >>的情况下，忽略高阶小量，有
]
2)()(1{)()(2
21212
1212z y y x x z y y x x z r -+-+≈-+-+=
所以
??????∑
-+-∑
-+-+
∑
-+-+=≈-+-+≈
1
12)()(11011]
2)()(1[110
1
12
2121]
2)()(1[1102
1212
2
1212
2
121),(1),(1]2)()(1[),(1
),(dy dx e y x U e jz dy dx e
y x U
jz dy dx z
y y x x z e
y x U j y x U z
y y x x jk jkz
z y y x x jkz z
y y x x jkz λλ
λ
这一近场近似公式称为菲涅耳衍射公式。使以上近似成立的观察区称菲涅耳衍射区。使菲涅耳衍射公式成立的条件是
πλπ?28])()[(28])()[(3
2m ax
212132m ax 2121<<-+-=-+-=?z
y y x x z y y x x k 即
3
2max 2121])()[(1
2
1
y y x x z -+->>
λ
二、 夫琅和费衍射（远场衍射）
菲涅耳衍射公式是
????∑
+-++-∑
-+-=≈
1
12])(21[])(2
1[1101
12)()(110211221122
121),(1),(1),(dy dx e y x U e jz dy dx e y x U e jz y x U z
y
y
y y y x x x x x jk jkz
z
y y x x jk
jkz
λλ
如果我们的观察区域远远大于衍射孔线度，即m ax 1m ax 1||||,||||y y x x >>>>，那么上式又可进一步近似为
????∑
+-++∑--+=
≈
1
1)(110
)
2(1
1222110112
21
122),(1),(1),(dy dx e
y x U
e jz dy dx e y x U e jz y x U z
yy xx jk
z
y x z jk z
yy xx y x jk
jkz
λ
λ
这样我们对菲涅耳衍射公式的进一步近似称远场近似，得到的衍射公式称为夫琅和费衍射公式，这一积分公式相对菲涅耳衍射公式在数学上又简单了一些。对应的衍射区域称夫琅和费衍射区。
容易看出，满足夫琅和费衍射的条件是
πλπ22)(22)(m ax 2121m ax 2121<<+=+z
y x z y x k
即
λ
2)(max
2121y x z +>>
这是一个很强的条件，比如当λ=600nm ，孔径为直径2mm 时，要观察夫琅和费衍射，观察位置必须在远远大于1666mm 的地方。实际中，往往用
102)(22m ax 21212121π
λπ=
+=+z y x z y x k ，即λ
max 2121)(10y x z +=来确定出现夫琅和费衍射的位置。
§4-2 几种典型的夫琅和费衍射
在无限远处观察的衍射是严格的夫琅和费衍射，用一正透镜在后焦面上观察的衍射就是这种情况。夫琅和费衍射在分析光学仪器的极限分辨本领时有着重要的意义。夫琅和费衍射计算较为简单，同时它与傅立叶变换有着直接的联系，为此我们有必要进行专门的讨论。
我们已经得到夫琅和费衍射公式是
????∞∞
-+-++∑+-++
=≈1
1)
(2110
)
2(1
1)
(110
)2(112
2112
2),(1),(1),(dy dx e
y x U
e jz dy dx e
y x U
e
jz y x U y z
y
x z x j z
y x z jk z
yy xx jk
z
y x z jk λλπλ
λ
如果令z y
f z x f y x λλ=
=
,，并根据傅立叶变换的定义，则 )
,(1)],([1),(1),(0)2(110)2(1
1)
(2110)2(2
22
2112
2y x z
y x z jk z
y
x z jk y f x f j z
y x z jk f f G e jz y x U e jz dy dx e
y x U e
jz y x U y x ++++∞
∞
-+-++
===?
?λ
λλ
πF
所以观察屏上的光强分布
2
02
22
|
),(|1|),(|),(y x f f G z y x U y x I λ=
=
可以看出，观察屏上的衍射花样形状主要由),()],([0110y x f f G y x U =F 决定。 下面利用)],([1),(110)2(2
2y x U e jz y x U z
y x z jk F ++
=
λ
分析几种典型的夫琅和费衍射。
一、 矩孔的夫琅和费衍射
设矩孔的边长分别为L x ，L y ，在单位振幅的平行光垂直照明的情况下，衍射屏后表面的复振幅与屏的透过率函数是相等的，即
)(rect )(
rect ),(),(11110y
x L y L x y x t y x U ==
而
)(sinc )(sinc )](rect )(
rect [11f L f L L L L y
L x x y x x y x y
x =F
二、
]
2)2(2[82)()
2(12)()2(1)]2/(
[1)]([1)(12)2(12)2(12)2(1
)2(10)2(22
22
2
z klr z klr J jz
kl e z lr z
lr J l e jz l l J l e jz l r circ e jz r U e jz r U z
r z jk z r z jk z r z jk z
r z jk z
r z jk ++++
+
====
=
λλπλρρπλλ
λ
B B 其图形如下
观察屏处的强度分布
212
22
]
)2(
2
[)8(|)(|)(klr z klr J z
kl r U r I == 其图形如下
可以看出，中央有一强度远远高于其它条纹的亮斑（这一亮斑叫爱里斑），中央亮斑的半径D
l
z
r 1
22.122
.1λ
λ==，而D 就是光学仪器的相对孔径，D 越大，亮斑的半径
越小，也就是由于衍射产生的象模糊越小，光学仪器的分辨本领越高。 三、 正弦型振幅光栅的夫琅和费衍射
l ×l 正方形正弦型振幅光栅的复振幅透过率为
)(rect )(rect )]2sin(221[),(111011l
y
l x x f m y x t π+=
方孔内沿x 1方向按正弦规律变化，对同一x 1值，透过率不因y 1变化而变化，光栅的空间频率为f 0，m 是小于1的正数。正弦型振幅光栅的透过率示意如图。
则夫琅和费衍射的复振幅分布为
)}
()()]2sin(221{[1)]
,([1),(1110)
2(11)2(2
22
2l
y rect l x rect x f m
e jz y x t e jz y x U z
y x z jk z
y x z jk πλ
λ+==
++++
F F
而
)}(sinc )]([sinc )(sinc )]([sinc {4)(sinc )(sinc 2)}(sinc )]([sinc )(sinc )]([sinc {4)(sinc )(sinc 2)]([sinc )]([sinc })],(),([4),(21{)](sinc )(sinc [)]},(),([4),(21{)]
()([)]2sin(221[)}
()()]2sin(221{[0022002
220020*********z
y l f z x l z y l f z x l j ml z ly z lx l lf f f l lf f f l j ml lf lf l d d f l f l l f f j m
lf lf l f f f f f f j m
f f l y rect l x rect x f m
l
y rect l x rect x f m
y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλη
ξηξηξδηξδηξδδδδππ+--+=+--+=--+--+=*+--+=*+=+??∞
∞-F F F
所以观察面上的复振幅
)}}(sinc )]([sinc )(sinc )]([sinc {4)(sinc )(sinc 2{1
),(002
2)2(2
2z
y
l f z x l z y l f z x l j ml z
ly z lx l e
jz y x U z
y x z jk λλλλλλλ
+--+
=++
观察面上的光强度分布
)]([sinc )]([sinc )(sinc ){(sinc )()}
(sinc )]([sinc )(sinc )]([sinc )]([sinc 2)(sinc )]([sinc {)4()(sinc )(sinc )2()}(sinc )]([sinc )(sinc )]([sinc {)4()
(sinc )(sinc )2(),(),(),(0222022222222022002022222222
00222222f z x l m f x l m lx ly l z y
l f z x l z y l f z x l f z x l z y l f z x l z ml z ly z lx z l z y l f z x l z y l f z x l z ml z
ly
z lx z l y x U y x U y x I -++-+=+++---+=+--+==*
λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ
),(y x I 注意分)]0f 最大的点在0zf x λ=，使)](
[sinc 0f z
x
l +λ最大的点在0zf x λ-=，两者相距02zf x λ=?。由下图可以看出，随着02zf x λ=?，)]([sinc )]([sinc 00f z x
l f z x l +-λλ（兰线）越来越小，所以可以忽略。
-4
-2
2
4
-0.4
-0.20.00.20.40.60.81.0Y A x i s T i t l e
X Axis Title
-4
-2
2
4
-0.4
-0.20.00.20.40.60.81.0Y A x i s T i t l e
X Axis Title
所以
)]}
)2(),(022f z l y x I +≈λ其图形
为
m 越大，两侧的峰越高。如下图。
当f00
在x 轴上I (x ,0)的分布和光强分布如下
?
?????++-+=)]([sinc 2)]([sinc 2)(sinc )2(),(022202
22222f z x l m f z x l m z lx z l y x I λλλλ
可以看出，正弦振幅型光栅的衍射只有三级衍射分量。作为分光元件，只有±1分量起作用。由于一级极大的位置在z f x 0λ=处，其相应的色散
z f d dx
0=λ
。若λ?是按照瑞利判据（一条谱线的极大值与另一条谱线的第一个极小值重合，两条谱线恰好能分辨）能分辨的两个波长差，则因为0)()(0=?+-?+z f x x λλ，z
f x
0?=?λ，而峰值谱线的底半宽又应满足
πλλλ=?=-?+x z l z f x x z l )(0，所以π
λz x
l ?=
，所以光栅的分辨本领π
πλλ
M l f =
=?0，M 是光栅的总条数。 四、 正弦型位相光栅的夫琅和费衍射
正弦型位相光栅的复振幅透过率函数为
)()(
),(11)2sin(2
1110l
y rect l x rect e
y x t x f m
j
π= 用单位振幅平面波照明，则
)()(
),(),(11)2sin(2
1111010l
y rect l x rect e
y x t y x U x f m
j
π== 所以
∑∞-∞=++
++
++
-===q q z
y x z jk x f m
j
z
y x z jk z
y x z jk z qf x z
l
m J z ly e jz l l
y rect l x rect e
e jz y x t e
jz y x U )]
([sinc )2()(sinc )]()(
[1)],([1),(0)2(211)2sin(2
)2(11)2(2
2102
22
2λλλλ
λλ
π
F F
忽略交叉项，得
222220(,)()sinc ()()sinc [()]2q q l ly m l I x y J x qf z z z z
λλλλ∞
=-∞=-∑ 其图形如下
，则零级条纹
§4-3 菲涅耳衍射
1、菲涅耳衍射公式的两种形式
（1） 卷积形式
)
,(),(),(1),(1),(0201
12)()(110222
121y x h y x U e y x U e jz dy dx e y x U e jz y x U z
y x jk jkz
z
y y x x jk
jkz
*=*==
+∑
-+-??λ
λ
z
y x jk
jkz
e e jz y x h 2221),(+=
λ
是点扩展函数。
（2） 傅立叶变换形式
]
),([1),(1),(1),(2110)2(112110
2112)()(11021212
21
121212
22
121z
y x jk
z
y x z jk z
yy xx jk
z
y x jk
z
y x jk jkz z
y y x x jk
jkz
e
y x U e jz dy dx e
e
y x U
e e jz dy dx e y x U e jz y x U +++
∞
∞
-+-++∑
-+-===
????F λ
λλ
2、传递函数
我们对卷积形式的衍射公式两边取傅立叶变换，则
)
,()],([)],([)],([)]
,(),([)],([000y x f f H y x U y x h y x U y x h y x U y x U F F F F F ==*= 在第三章第五节研究衍射的频率特性已经得到传递函数
}])()[(8
1
])()[(211{2]
)()[(122222222),( -+-+-+-==y x y x y x f f f f z j f f z j y x e
e
f f H λλλλλπ
λλλπ
如果略去高次项，则
)
(]
)()[(22
2
22),(y x y x f f z j jkz f f z j z j y x e
e e
e
f f H +-+-=≈λπλλλ
π
λ
π
所以
)
(022)],([)],([y x f f jkz jkz
e
y x U e y x U +-=λF F
这就是在频域中的近似菲涅耳衍射近似公式。 3、汇聚球面波照明衍射屏
坐标系如图所示，会聚球面波的中心(X,Y)在观察屏上。会聚球面波照明衍射屏，复振幅透过率t (x 1，y 1)。在近轴近似下，在衍射屏前表面的复振幅为
z
y Y x X jk e
z
a y x U 2)()(01102
121),(-+---
=
衍射屏后的复振幅可以写为
z
y Y x X jk
e y x t z
a y x U 2)()(110
1102
121),(),(-+--=
所以观察屏上的复振幅为
),(
),(),(),(1),(1),(2201
1)(
21
1
2201
11
1
2201
122)()(110
21
12)()(1102
2
22112
222
1
11
12
222
1
12
1212
1212
22
121z
Y
y z X x T e e jz a dy dx e
y x t e e jz a dy dx e
e
y x t e e jz a dy dx e
e
e
y x t z a e e jz dy dx e y x U e jz y x U z
Y
X y x jk jkz y z
Y
y x z X x j z
Y
X y x jk jkz z
yy xx jk
z
Yy Xx jk
z
Y X y x jk jkz z
yy xx jk
z
y x jk z
y Y x X jk
z
y x jk jkz z
y y x x jk
jkz
λλλ
λλλ
λλλπ--=====
--+∞
∞
--+----+∞
∞-+------+∞
∞-+-+-+--+∑
-+-????????
而以平面波照射透过率为t (x 1，y 1)的衍射屏，在观察屏上的夫琅和费衍射的复振幅分布是
),(
1),()2(2
2z
y z x T e jz y x U z
y x z jk λλλ
++
=
可以看出，对于中心在观察面上的会聚球面波，其菲涅耳衍射花样与平面波垂直照射的夫琅和费衍射花样是一样的，只不过中心偏移到球面波中心。如果会聚球面波的中心在观察屏的原点处，则与夫琅和费衍射完全一样。
对其它形式的照明，数学上计算将十分复杂。实际中往往用菲涅耳波带法或考纽曲线法解决菲涅耳衍射问题。
本章习题解答（P119）
2.单位平面波垂直照射双矩孔
解：上孔中心（0，Δ/2），下孔中心（0，-Δ/2）；所以双孔的透过率函数为
)]
2/()2/()[()2
/()()2/()(
),(111111111Y
y rect Y y rect X x rect Y y rect X x rect Y y rect X x rect y x t ?++?-=?++?-= 根据夫琅和费衍射公式
z
y z y Y z x X
e jz XY e z y Y z x X XY e z y Y z x X XY e jz Y
y rect X x rect Y y rect X x rect e jz y x t e jz y x U e jz dy dx e
y x U
e
jz y x U z
y x z jk z
y
j z y
j z
y x z jk z
y x z jk z
y x z jk z
y
x z jk y z
y
x z
x
j z
y x z jk λπλλλ
λλλλλ
λλ
λλ
λπλπλλπ?=+=?++?-====++
??-++
++++
++∞
∞
-+
-++
??)cos )sinc(sinc(2]
))sinc(sinc())sinc(sinc([1)]2/()()2/()(
[1)],([1)],([1),(1),()2(2222)2(1111)2(11)2(110)2(1
1)
(
2110
)2(2
22
22
22
22
2112
2F F F 所以
)cos ()sinc (sinc 4|),(|),(2
2222222
z y z y Y z x
X z Y X y x U y x I λπλλλ
?== 在x 轴和y
3.单位振幅平面波照射正方形环孔
解：透过率函数
)()()()(
),(111111l
y rect l x rect L y rect L x rect y x t -= 根据夫琅和费衍射公式
]))sinc(sinc())sinc(sinc([1)]()()()(
[1)],([1)],([1),(1
),(22)2(1111)2(11)2(110)2(1
1)(
2110
)2(2
22
22
22
2112
2z
y l z x l l z y L z x L
L e jz l y rect l x rect L y rect L x rect e jz y x t e jz y x U e jz dy dx e
y x U
e
jz y x U z
y x z jk z
y x z jk z
y x z jk z
y
x z jk y z
y x z x j z
y x z jk λλλλλ
λ
λλλ
λλπ-=-====++++
++++
∞
∞
-+-++
??F F F
所以
22
2
222
]
))sinc(sinc())sinc(sinc([1
|),(|),(z y l z x l l z y L z x L L z y x U y x I λλλλλ
-==
7.解：（1）
??
?>≤==+=1
11
)(),(2211r r r circ y x circ y x t
根据
????∞
∞-+-++∑
-+-=
=1
12110
2112)()(11011
2121
222
121),(1),(1),(dy dx e
e
y x U
e e jz dy dx e
y x U e jz y x U z
yy xx jk z
y x jk z
y x jk
jkz
z
y y x x jk jkz
λ
λ
所以
)4sin(
2)
()
1(211),(1)0,0(41414141211
22010
21
121102
22
121z
k e
je e
e
e
e e
e e jk
z e jz dr
rd e
e jz dy dx e y x U e jz U z
jk
jkz
z
jk
z
jk z
jk
jkz
z
jk
jkz
z
r jk
jkz z
r jk
jkz
z
y x jk jkz
-=--=--==
==
-∞
∞-+????πλθλ
λπ
高等光学
中科院长春光机所博士研究生入学考试 《高等光学》考试大纲 一．考试大纲的性质 本《高等光学》考试大纲适用于中国科学院长春光机所博士研究生入学考试。考试大纲为考生提供复习指导、划定考试范围、指定参考书目，其内容为对考生的基本要求。 二．考试内容 高等光学的考试范围包括光学专业硕士阶段光学课程的基本内容，主要有以下几个方面： 1、光的基本电磁理论 电磁场的基本方程组，标量波，矢量波，光的各种偏振态及其矩阵表示，光波在介质分界面上的反射和折射，光学薄膜。 2、光波的叠加与相干性，干涉仪 光的相干条件，时间相干性与空间相干性，干涉条纹的定域，部分相干光理论，各种干涉仪器。 3、标量衍射理论 惠更斯－菲涅耳原理，基尔霍夫衍射理论，标量衍射理论公式的近似（菲涅耳衍射、弗朗禾费衍射），光栅衍射（黑白光栅、正弦光栅、闪耀光栅）。 4、傅里叶变换光学 光波场的空间频谱分析，相干光学系统中透镜的相位变换和成像，阿贝成像理论，光学传递函数，全息照相。 5、晶体光学基础及晶体光学效应 各向异性介质中的极化和介电张量，折射率椭球，单色平面波在晶体中的法线面和光线面，晶体光学的几何作图法，单轴晶体中的o光和e光，偏振棱镜和波晶片，晶体的电光效应（泡克尔斯效应、克尔效应）和磁光效应（法拉第效应），电光效应和磁光效应的应用。 三．考试要求 要求考生具有光学专业硕士的基础知识，熟悉高等光学的基本理论和研究方法，并对高等光学在实际中的应用有一定的了解。具体要求参见“考试内容”部分。 四．参考书目 季家镕，高等光学教程－光学的基本电磁理论，2007年第一版，科学出版社 编制单位：中国科学院长春光机所 编制日期：2013年7月20日
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关于高等光学心得体会推荐 对《高等光学》——光的经典相干性的肤浅理解及学习感受 我对高等光学这门课程的理解比较片面，下面沿用吴老师课堂上讲述的内容来谈谈对这门课程的理解，以及对学习这门课程的一些感悟。 “高等光学”这门课程正如吴老师所说，它是一个大篮子，具有很强的学科性，其理论基础与创造性思维紧密相关；作为一门专业基础课，具有理论深度和科学哲理。因其理论性比较强，与实际结合起来可以更好地理解这门课程。 吴老师主要讲述的是光的相干性，那我首先谈一点我对光的相干性的理解。 关于光的相干性问题是物理光学中一个十分重要的基本问题, 它是正确掌握光的干涉和衍射现象的切匙。 谈光的相干性问题，不得不谈一下光的干涉现象。所谓光的干涉现象,是指两列或几列光波在空间相遇时相互叠加, 在某些区域始终加强,在另一些区域则始终削弱, 形成稳定的强弱分布, 显示出一定的图案，干涉条纹等的现象,也即对于空间某处来说, 干涉叠加后的总光强不一定等于分光束光强的叠加, 而可能大于、等于或小于分光束的光强。能满足振动方向相同、频率相同以及初相位‘或相位差’恒定这三个条件的波，就能产生干涉现象, 称为相干波。水波或
声波这类机械波，比较容易满足上述三个条件，因而也就容易实现波的干涉。 对光的研究，往往是在光场下研究的。光在光场中具有时间相干性和空间相干性，时间相干性主要表征在同一空间点不同时刻光场的相干程度；而空间相干性主要表征在同一时刻不同空间点光场的相干程度。 这些是我对光的相干性的肤浅的理解，有许多不足，希望得到老师的批评指正。 其次，简单的谈谈对高等光学这么课程的学习 如果没有吴老师讲的“概率论基础”、“随机过程”等数学基础知识，直接就将高等光学的内容，恐怕我根本就听不懂后面讲的是什么内容。吴老师把理论和实际相结合，不但使我们学习了理论知识，还引领我们，朝着科研这条路走。补充的“光波场的角谱表述”、“大气湍流与光束传播”，让我从一头雾水中醒悟过来，猛然觉得高等光学变得简单了些。这与吴老师的授课方式密切相关，倘若不与实际结合，可能听完这门课程，我也毫无收获。 吴老师把很多数学推导删掉了，使得我们在理解上少了不少阻碍。假如将那些繁琐的理论推导加上，不但学时不够，反而还会造成理解上的困难。理论结合实际的教学，是做科研的学子们特别需要的。很多时候听完一门课，只有理论，却不知道用在什么地方。等自己实际遇到了，却和理论联系
高等光学教程-第2章参考答案
第二章 干涉理论基础和干涉仪 2.1用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为633nm ，其谱线宽度为104-nm ，光电接收元件的灵敏度可达1/10个条纹，问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？ 解答：设测长精度为l δ，则l δ由探测器接受灵敏度10λδ=N 所决定，N l δδ=2 ∴ m 032.02 μδδ≈= N l （32nm ） 一次测长量程M l 由相干长度c l 所决定，c M l l =2 ∴ m l l c M 221212 ≈?==λ λ 2.2 雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色， 解释为什么油膜较厚时彩色消失。 解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超 过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。 2.3计算下列光的相干长度 (1)高压汞灯的绿线，546.15nm nm λλ=?= (2)HeNe 激光器发出的光，6331nm MHz λν=?= 解答：计算相干长度 （1） m 6.592 μλλ≈?=c L （2） 300m c c L ν =≈? 2.4在杨氏双缝实验中 （1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为1:2，求产生的干涉条纹可见度。 （2）若以直径为0.1mm 的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm ，双缝必须与灯丝相距多远？设λ=550nm 解答：（1） δcos 2220000I I I I I ?++= V ∴= （2）由(2-104)式 d b P λ= 0 λ dP b = ∴ 182.0>b M 2.5图p2-5所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p ，光源波长为5893 A ，针孔P 1、P 2大小相同，相距为d ，Z 0=1m ， Z 1=1m （1）当两孔P 1、P 2相距d=2mm 时，计算光源的宽度由p =0增大到0.1mm 时观察屏上可见度变化范围。
高等光学第一章课后答案
1.4 在光学中场量()t r E , 和()t r H , 的表达方法有许多种，分别推倒采用以下三种 表达方式时平均光强的计算公式。 （1）设场量表示为()()t j e r E t r E ω-= 0,，()()t j e r H t r H ω-= 0, （2）设场量表示为()()..21,0c c e r E t r E t j +=-ω ，()()..2 1,0c c e r H t r H t j +=-ω （3）设场量表示为()()..,0c c e r E t r E t j +=-ω ，()()..,0c c e r H t r H t j +=-ω 解： （1）电场强度和磁场强度乘积的大小为： ()()()() () 00002200000000011R e ,R e ,22 1 =4 1 =R e 2j t j t j t j t j t j t E r t H r t E e E e H e H e E H e E H E H E H e E ωωωωωω-*-*-****-????=+?+????+++ ()() 2000R e j t H e E H ω-*?? +? ? S E H =? 在上式中出现了两个场量相乘的情况，所以 ()00 1R e 2 I S E H * == ? （2）(),E r t 和(),H r t 均以实数表示，有 ()() ()()()()()() 000020000 ,,1111 222211 R e R e 22 j t j t j t j t j t S E r t H r t E r e E r e H r e H r e E H e E H ωωωωω-*-*-*=?????=+?+???? ???? =?+? 取时间平均值得 ()00 1R e 2 I S E H * == ? （3）(),E r t 和(),H r t 均以实数表示，有 ()() ()()()()()() 000020000 ,, 2R e 2R e j t j t j t j t j t S E r t H r t E r e E r e H r e H r e E H e E H ωωωωω-*-*-* =?????=+?+???? =?+? 取时间平均值得
高等光学复习题
高等光学 复习题 第一章 光的基本电磁理论 1、概念要点： a) Maxwell 方程组以及物质方程、波动方程、Poynting 矢量； b) 波动方程的基本解：平面波和球面波、高斯光束、相速度和群速度； c) 矢量波的偏振态，Jones 矩阵、Stokes 参量，准单色光的光偏振态相干矩阵表示方法，庞加勒球； d) 菲涅耳反射与折射公式、全反射与倏逝波、光反射时相位变化、受抑全反射（光学遂川）、Goos-Hanchen 位移； 2、（书题1.1）在非均匀介质中，介电系数()εε=r 是空间位置的函数，波动方程有下面的形式 ()()()22 20t εεμε?????-+??=?????r E E r E r 试证明当电场的三个分量中有多于两个不为零时，电场分量间将会出现耦合。 3、（书题1.5）（1）一右旋圆偏振光在通过1/2波片后变为一个左旋圆偏振光，求此1/2波片的Jones 矩阵。 （2）快轴沿x 轴的1/4波片，其Jones 矩阵为100i ?????? ，一线偏振光的偏振方向与轴的夹角为45?，求此偏振光通过上述1/4波片后的偏振态。若入射到上述1/4波片上的光是左旋圆偏振光，结果又如何？ （3）用快轴沿y 轴的1/4波片和透光轴与x 轴成45?角的偏振器组合，构成了一个只让入射的右旋圆偏振光通过的装置，试证明该结论。 4、（书题1.7）设一个偏振态与下列偏振态正交： ()cos ,sin i e δθθδθ-??=???? J 1. 求该偏振态的Jones 矩阵。 2. 证明两个相互正交椭圆偏振态的椭圆主轴是相互垂直的，电矢量的端点旋转方向相反。 5、（书题1.10）证明透光轴与x 轴成θ角的检偏器的Jones 矩阵为 22cos sin cos sin cos sin θθθθθθ??=???? J 6、 写出庞加勒球光上各点所对应的偏振态。 7、 描述在实验上如何测量相干矩阵的矩阵元。（书题1.14）利用计算变换后相干矩阵的迹的方法，证明检偏方向与x 轴夹角为45+?的检偏器透过的光强可以表示为
高等光学习题
高等光学思考题和习题 一、光的电磁理论、傅里叶分析 （一）思考题 1.1.指出周期函数和非周期函数的频谱有何区别，实函数和偶函数的频谱有何特点，原函数的有效宽度和频带宽度之间的关系。 1.2. 光场按线性系统的本征函数展开的物理意义及其好处？分别写出坐标算子x 和梯度算子-i ?的本征解和正交性（分连续和分立两种情形）。 1.3. 光场用复数表示的好处及其适用条件？ 1.4. 解释空间频率、角谱以及光场用平面波角谱展开的物理意义。如何理解衰逝波(非均匀平面波)和全反射的古斯-汉欣位移? 1.5. 平面波的波矢k 是复数时表示何物理意义? 在什么情况下k 是复数? 1.6.如何理解点源含有最丰富的信息，平面波不带任何信息？ (二)习题: 1.1.证明平面波的平均能流密度为 <>=* S E r H r 1200Re(()()]
式中E 0(r)和H 0(r)分别是电矢量和磁矢量的振幅。 1.2.求准单色波列的频谱. 1.3.求准单色光振动 f t A t t j t ()exp[()]exp[()]=--+02 2002τπν? 的频谱分布。 1.4.证明近轴近似下的球面波的空间频谱 F T j k z x y j z j z f f x y .{exp[()]}exp[()]22222+=-+λπλ 1.5.证明两个高斯函数的卷积仍然是高斯函数。 1.6.证明两个洛伦兹函数的卷积仍然是洛伦兹函数。 二.标量衍射理论. 成像系统的频谱分析 （一）思考题: 2.0.什么叫标量衍射理论? 条件, 适用范围? 并简要说明理由。 2.1.说明卷积的展宽性质和谱函数的性质及其光学意义。 2.2.说明按平面波展开的衍射积分公式的物理意义并将公式写成入 射波和某个函数的卷积形式, 该函数的的物理意义是什么？在自由空间中，点扩展函数，传递函数，本征函数和本征值之间是怎样的关系？
高等光学教程-第4章参考答案
第四章 标量衍射理论基础 4.1证明（4-21）式所示的索末菲辐射条件成立。 证明：球面2S 是中心位于1S 面上的发散球面波的波面，假定2S 面 上的光场分布表示为 r jkr ) exp(= U 式中r 表示产生发散球面波的点光源到球面2 S 上任意一点的距离。 1exp()cos()cos(,)r jkr jk n r n r r r ????? ?===- ??????? U U U n,r n r 当∞→R 时，有∞→r ，所以这时有 1),cos(≈r n 2)exp()exp(1r jkr jk r jkr r jk jk n -?-??? ?? -=-??U U U 当∞→R 时，上式分母中的r 可用R 来代替，于是 2exp()1lim lim lim (cos sin )R R R jkr R jk R kr j kr n R R →∞ →∞→∞???????-=-=-+ ? ?????????? U U lim 0jkr R e R →∞ ??=-= ??? 4.2 参考图4-8，考虑在瑞利—索末菲理论中采用下式所表示的格林函数，即 010110101 exp()exp()()jkr jkr P r r += +G %% (1) 证明+G 的法线方向的导数在孔径平面上为零。 (2) 利用这个格林函数，求出用孔径上的任意扰动来表示0()p U 的表达式，要得到这个结 果必须用什么样的边界条件。 (3) 利用(2)的结果，求出当孔径被从2P 点发散的球面波照明时0()p U 的表达式 证明: 下面是教材中图4-8
（1）)(1P +G 由两项迭加而成，它们分别表示从互为镜像的点0P 和0~ P 发出的两个初相位相 同的单位振幅的球面波。孔径平面1S 上任一点1P 的+G 值为 01 0101011~) ~exp()exp()(r r jk r jkr P +=+G （P4.2-1） 1()P +G 的法向导数为 0101010101010101~)~exp(~1)~,cos()exp(1),cos(r r r r n r n G jk jk r jkr r jk n ???? ??-+???? ??-=??+ （P4.2-2） 对于互为镜像点的0P 和0~ P 来说，有 )~,cos(),cos(0101r n r n -= 0101~r r = （P4.2-3） 将以上关系式代入（P4.2-2）式，得到 0n + ?=?G （P4.2-4） （2）根据（4-22）式，观察点0P 的光扰动可以用整个平面1S 上的光扰动U 和它的法向导数来表示 ?? ??? ? ????-??= 1 d 41 )(0S s n n P G U G U U π （P4.2-5） 由0101~r r =，得 01 011) exp(2)(r jkr P = +G （P4.2-6） 将上式和（P4.2-4）式一同代入（P4.2-5）式，得到 ?? ?? ??=??= +1 1 d ) exp(21 d 41)(01 010S S s r jkr n s G n P U U U π π （P4.2-7） 为了将上式所表示的结果进一步简化，根据孔径∑上的场去计算0P 点的复振幅分布 )(0P U ，只需要规定如下两个边界条件： （a ）在孔径∑上，场分布的法向导数n U ?与不存在衍射屏时的值完全相同。 （b ）在1S 面上除去孔径∑外的其余部分，即位于衍射屏的几何阴影区的那一部分上面 0n ??=U 。
高等光学作业附答案
3.3. 空间相干性和时间相干性指的是什么？如何量度？光源的角宽度和相干孔径角 是如何定义的？证明相干长度 Lc = λ2 /?λ。 答：空间相干性是指光场中不同两点在同一时刻的相干程度。时间相干性是指同一点在不同时刻的相干程度。空间相干性的度量是采用相干面积进行度量。时间相干性是采用相干时间或相干长度进行度量。光源的角宽度定义为0 a d λ = ，d0是使得条纹 可见的光源最大宽度。相干孔径角定义为22c p λθ=。 证明：多色光源的干涉场分布的条纹可见度有： sin()22 kl K kl ?= ? 当 2 kl π?=条纹不可见，此时有： 2 122l k λλπλλλ ==??? 证毕。 3.12.(1)当把一单色点光源放在一会聚透镜物空间焦点上, 观察屏与透镜空间焦面重合, 则观察到夫琅和费圆孔衍射图样。现在将光源换为圆状准单色初级光源, 圆中心在光轴上, 圆面垂直于光轴, 要想仍获得夫琅和费圆孔衍射图样, 对光源大小。频宽以及透镜直径应有什么限制? 答：这里可以认为光源在透镜前表面的场的相干性决定了衍射图样。首先光源的频宽应该保证准单色有νν? ， 光源宽度应保证相干面积大于透镜宽度，有L f d a λ<， dL 为透镜直径，a 为光源直径，f 是透镜焦距。 (2)在衍射计实验中, 光源不是单色点光源, 但仍引用夫琅和费圆孔衍射的结果, 即取 I Q I Q J u u u a ()()()()( ()),sin 1212 22=== π λ φ 根据(1)的结果, 试说明为什么可以如此处理? 答：只要光源足够小，保证了其在屏处的相干面积大，同时圆孔本身面积远小于相干面积，加上光源准单色条件，即可认为屏幕上两孔光场依然具有足够的相干性，因此可以用夫琅和费圆孔衍射的结果。
高等光学小论文张柯20124239025
高等光学论文 偏振光学 姓名：张柯 学号：20124239025 院系：现代光学技术研究所 专业：光学工程
偏振光学 摘要：本文首先介绍了光学的偏振特性，其次是对偏振光的分析方法的论述，运用Jones 矢量（矩阵）、Stokes 矩阵、密勒矩阵、邦加球来描述偏振光；论述了几类偏振元件的原理和应用（即晶体的光学效应）。 第一章 偏振光学简介 偏振光学对于现代的科学技术方面有着一定的影响力。从日常生活中的液晶屏幕、CD 机、3D 电影到高科技中的光学医疗设施、光纤光缆、激光武器等，这些都用到了偏振光学的知识。因此，本学期重点学习了光学的偏振效应，掌握了光学偏振的分析方法以及光学的偏振效应。本章介绍了在各向同性介质中光学的偏振特性 1.1马吕斯定律 马吕斯定律是描述从偏光器件透射出来的光强随起偏器和检偏器的主截面之间夹角变化规律的经验定律：θ20cos I I = 1.2 布儒斯特定律 一般情况下，光从空气入射到透明材料中，反射光和折射光都是部分偏振光，反射光电矢量在垂直入射面方向相对强，折射光电矢量在平行入射面方向相对强。当光以某特定角度B θ入射，满足公式：n tan =B θ，反射光和折射光互相垂直，反射光偏振方向垂直入射面，为S 光；反射光中没有P 光分量。这个现象就是布儒斯特定律，是一些偏光元件的起偏原理。 1.3 菲涅尔公式 菲涅尔公式是一组描述反射光、折射光及入射光振幅之间定量关系的公式。用i S A 、i P A 、t S A 、t P A 、r S A 、r P A 分别表示入射光、折射光、反射光的垂直入射面和平行入射面的振幅分量，i θ和t θ分别表示入射角和折射角，菲涅尔公式写成 Pi t i t i i t Pt A A )cos()sin(cos cos 2θθθθθθ-+= 1.1 Si t i i t St A A )sin(cos sin 2θθθθ+= 1.2 Pi t i t i A A )tan()tan(Pr θθθθ+-= 1.3 Si t i t i Sr A A )sin()sin(θθθθ+-- = 1.4 1.4 反射率和透射率公式 当光束遇到两种折射率不同的介质界面时，为了说明反射和折射各占多少比例，引入反射率和透射率。光强经常理解为振幅的平方，以入射光强度为单位1，在没有光吸收损失的
高等光学课程教学大纲
高等光学课程教学大纲 课程基本信息（Course Information） 课程代码 （Course Code） PH329 学时 （Credit Hours） 48 学分 （Credits） 3 课程名称 （Course Name） （中文）高等光学 （英文）Advanced Optics 课程性质 (Course Type) 物理学专业、应用物理学专业、物理学专业（国际班）选修课 授课对象 （Audience） 物理学专业、应用物理学专业、物理学专业（国际班）大学三年级本科生 授课语言 (Language of Instruction) 中文 开课院系 （School） 物理与天文学院 先修课程 （Prerequisite） 电磁学，光学，电动力学 授课教师 （Teacher） 课程网址 (Course Webpage) *课程简介（Description） 本课程主要为需要深入学习经典和近代光学知识的本科生和研究生开设，属于专业基础课。本课程以光的电磁理论为主轴，系统地介绍了光学的基本概念和基本知识，内容涉及面广，理论分析深刻，大体涵盖了现代光学各个分支的基本内容。通过本课程的学习，有助于培养高年级学生对高等光学知识的理解和提高前沿光学文献知识的阅读和理解能力，提高科研兴趣。 *课程简介（Description） The course aims to train the undergraduate/graduate students to understand in depth the classic and modern optics. On the basis of the electromagnetic field theory,thecoursesystematicallyelucidatesthebasicconceptsandknowledgeof optics, covering all the fundamental branches of modern optics. The course is expected to help students with enhancing their understanding on the advanced optics and their ability on the reading scientific literatures on the optics frontiers, as well as fostering their interests on the optics research. 课程教学大纲（course syllabus） *学习目标(Learning Outcomes) 1．本课程属于物理与天文学院本科生基础光学的后续课程，含有更多的物理概念及更深入的数学推导，理解这些物理概念和掌握数学上的推导，对于培养学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力大有裨益。 2．辅以和课程相关的若干前沿课题专题讨论，会促使学生去主动钻研和思考，激发学生科研的兴趣。
高等光学心得体会
对《高等光学》——光的经典相干性的肤浅理解及学习感受 我对高等光学这门课程的理解比较片面，下面沿用吴老师课堂上讲述的内容来谈谈对这门课程的理解，以及对学习这门课程的一些感悟。 “高等光学”这门课程正如吴老师所说，它是一个大篮子，具有很强的学科性，其理论基础与创造性思维紧密相关；作为一门专业基础课，具有理论深度和科学哲理。因其理论性比较强，与实际结合起来可以更好地理解这门课程。 吴老师主要讲述的是光的相干性，那我首先谈一点我对光的相干性的理解。 关于光的相干性问题是物理光学中一个十分重要的基本问题, 它是正确掌握光的干涉和衍射现象的切匙。 谈光的相干性问题，不得不谈一下光的干涉现象。所谓光的干涉现象,是指两列或几列光波在空间相遇时相互叠加, 在某些区域始终加强,在另一些区域则始终削弱, 形成稳定的强弱分布, 显示出一定的图案，干涉条纹等的现象,也即对于空间某处来说, 干涉叠加后的总光强不一定等于分光束光强的叠加, 而可能大于、等于或小于分光束的光强。能满足振动方向相同、频率相同以及初相位‘或相位差’恒定这三个条件的波，就能产生干涉现象, 称为相干波。水波或声波这类机械波，比较容易满足上述三个条件，因而也就容易实现波的干涉。 对光的研究，往往是在光场下研究的。光在光场中具有时间相干性和空间相干性，时间相干性主要表征在同一空间点不同时刻光场的相干程度；而空间相干性主要表征在同一时刻不同空间点光场的相干程度。 这些是我对光的相干性的肤浅的理解，有许多不足，希望得到老师的批评指正。 其次，简单的谈谈对高等光学这么课程的学习 如果没有吴老师讲的“概率论基础”、“随机过程”等数学基础知识，直接就将高等光学的内容，恐怕我根本就听不懂后面讲的是什么内容。吴老师把理论和实际相结合，不但使我们学习了理论知识，还引领我们，朝着科研这条路走。补充的“光波场的角谱表述”、“大气湍流与光束传播”，让我从一头雾水中醒悟过来，猛然觉得高等光学变得简单了些。这与吴老师的授课方式密切相关，倘若不与实际结合，可能听完这门课程，我也毫无收获。 吴老师把很多数学推导删掉了，使得我们在理解上少了不少阻碍。假如将那些繁琐的理论推导加上，不但学时不够，反而还会造成理解上的困难。理论结合实际的教学，是做科研的学子们特别需要的。很多时候听完一门课，只有理论，却不知道用在什么地方。等自己实际遇到了，却和理论联系不起来，这可能就是所谓的纸上谈兵。当发现别人在文章里报道出来后，总觉得自己哪里见过，其实他不过灵活运用了所学知识。 对所学知识的灵活运用，需要见多识广，也需要教学者都像吴老师这样，将二者结合起来，慢慢的引领着学生迈进这个大门。对初学者而言，随时都会在门口徘徊，不知是退是进。进很难，退又不甘心。 学习这门课程需要很强的数学基础，以及对物理概念的深刻理解，一开始学物理，很多概念就不是很清楚，再来学这门课程时，更加迷糊了。当往上继续深造后，学科之间的界限分得越来越清，很多东西感觉不相关，其实只要稍微深入一点，就能完全弄明白。但总不想迈过这个坎，很多时候都觉得这不是自己需要弄明白的，造成了心里障碍，也变成了一种借口，一种不愿去学的借口。 要学好这门课程，就要打破这种桎梏，解开这个枷锁。即使是相关专业，对纯理论性质的课程，都会感到畏惧。看得出来吴老师在不断的改进，使课程变得易懂。没有以前知识的积淀，听起来都不那么难懂，能做到这一点，是教学上的一大成功。吴老师也想给大家留了时间，让大家一起讨论，能感觉得出，大都对这门课程比较陌生，害怕提问题。相互交流，能取得很大的进步，但对于陌生的东西，很难提出问题。没有问题，才是最大的问题。
高等光学 填空 简答题
1 <1> 表示波动特性干涉---薄膜干涉、杨氏双缝干涉实验、 衍射---单缝衍射、圆孔衍射、泊松亮斑偏振---3D眼镜，摄像机镜头 表示波的粒子性光电效应，康普顿效应，光子说 <2> 色散元件：棱镜，光栅 2什么是标量衍射理论 用确定的复相位平面或用确定边界上的复振幅分布来表达光场中任一观测点的复振幅分布。如果边界上的复振幅分布相同，即使光的振动方向不同，所得到的结果也应该一样。特点：光波当作标量处理，简单，但属近似处理。 成立条件：①衍射孔径比照明波波长大得多；②观察点离衍射孔径不太近。 3 定域干涉与非定域干涉区别 定域干涉：干涉条纹只存在于光波相遇空间中某个特定区域的干涉现象。 非定域干涉：干涉条纹存在于整个光波相遇空间的干涉现象。 4 干涉条件： 在两叠加光波的相干长度以内，频率相同，振动方向相同，在观察时间内具有恒定的相位差，振幅相差不能太大。 5 光栅的作用 分光性能。光栅是利用多缝衍射原理使光发生色散（分解为光谱）的光学元件。 单色光入射：形成干涉条纹 复色光入射：是单色光的干涉条纹叠加，形成光谱。 单色平行光通过光栅每个缝的衍射和各缝间的干涉，形成暗条纹很宽、明条纹很细的图样，这些锐细而明亮的条纹称作谱线。谱线的位置随波长而异，当复色光通过光栅后，不同波长的谱线在不同的位置出现而形成光谱。光通过光栅形成光谱是单缝衍射和多缝干涉的共同结果。 6 孔径光阑的作用 定义：用来限制进入光学系统的成像光束的光阑，被称为孔径光阑。 作用：①孔径光阑可以限制轴上点的成像光束，同时也具有限制轴外点的成像光束。 ②孔径光阑的位置对于轴外点的成像有着非常大的影响。 孔径光阑对轴上点光束的限制：位置不同，效果一样。 7 波导传输条件