图形的剪拼总结(自己总结)

图形的剪拼总结:

第一大类:正方形拼正方形的拼图:

1、一个正方形拼成一个正方形: 总结:(1)条件是: ; (2)方法是: 。

(2010.5崇文一模)22.正方形A B C D 的边长为a ,等腰直角三角形F A E 的斜边A E b =(a b 2<),且边A D 和A E 在同一直线上 .小明发现:当b a =时,如图①,在B A 上选取中点G ,连结F G 和C G ,裁掉F A G ?和C H D ?的位置构成正方形F G C H .

(1)类比小明的剪拼方法,请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.

图形的剪拼总结(自己总结)

(2)要使(1)中所剪拼的新图形是正方形,须满足=AE

BG .

答案:(2010.5崇文一模)22.(1)

图形的剪拼总结(自己总结)

(2)

2

1.

2、两个正方形拼成一个正方形: 总结:(1)条件是: ; (2)方法是: 。 可用上述方法将

3、三个正方形拼成一个正方形等;

总结:(1)条件是:;

(2)方法是:。

4、平行四边形拼成正方形:

(2010.5大兴一模)22. 如图8-1、9-1,现将二张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片,分别放在方格纸中,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合.

分别在图8-1、图9-1中,经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线,沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分,按所采裁图形的实际大小,在图8-2中拼成正方形,在图9-2中拼成一个角是

135的三角形.

要求:

(1)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙;

(2)所拼出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.

图形的剪拼总结(自己总结)

(2010.5大兴一模)答案:

22.

图形的剪拼总结(自己总结)

第二大类:三角形与正方形的拼图:

1、一个三角形拼成一个正方形: 总结:(1)条件是: ; (2)方法是: 。

(2010.5西城一模)22.在△ABC 中, BC =a ,BC 边上的高h =a 2,沿图中线段DE 、CF

将△ABC 剪开,分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ,如图1所示. 请你解决如下问题:

图形的剪拼总结(自己总结)

已知:如图2,在△A ′B ′C ′中, B ′C ′=a ,B ′C

边上的高h =

a 2

1.请你设计两种不同的分割方法,

将△A ′

B ′

C ′

沿分割线剪开后,所得的三块图形恰能拼成一个正方形,请在图2、图3中,画出分割线及拼接后的图形.

(2010.5西城一模答案)22.解:

A

图形的剪拼总结(自己总结)

A ′

B ′

C ′

图3 A ′

B ′

C ′

图4

B ′

A ′

B ′

C

① ②

图5 图6

A ′

C ′

③ ①

2、四个三角形拼成正方形: (2010.5海淀一模):22.阅读:如图1,在A B C ?和D E F ?中,

90A B C D E F ∠=∠=?,,A B D E a ==B C E F b == ()b a <,B 、C 、D 、 E 四点都在

直线m 上,点B 与点D 重合.

连接AE 、FC ,我们可以借助于A C E S ?和F C E S ?的大小关系证明不等式:2

2

2a b ab +>(0b a >>).

证明过程如下:

∵,,.B C b B E a E C b a ===- ∴11(),22A C E S E C A B b a a ?=

?=- 11().2

2

F C E S E C F E b a b ?=

?=

-

∵0b a >>, ∴F C E S A C E

S ??>.

a a

b b a b )(2

1)(2

1->

-.

∴2

2

b ab ab a ->-. ∴2

2

2a b ab +>. 解决下列问题:

(1)现将△DEF 沿直线m 向右平移,设()B D k b a =-,

且01k ≤≤.如图2,当B D E C =时, k = .利用此图,仿照上述方法,证明不等式:2

22a b ab +>(0b a >>).

(2)用四个与A B C ?全等的直角三角形纸板进行拼接,也能够借助图形证明上述不等式.

请你画出一个..示意图,并简要说明理由.

(2010.5海淀一模答案)22.(1)12

k =;--------------------------1分

证明:连接AD 、BF .

可得1()2

B D b a =-.

∴ ()()11112

22

4

A B D S B D A B b a a a b a ?=

?=

??-?=

-,

E

图1

F

图2

()()11112

2

2

4

F B D S B D F E b a b b b a ?=

?=

?

?-?=

-.

图形的剪拼总结(自己总结)

∵ 0>>a b , ∴ FBD ABD S S ??<, 即

()14

a b a -()14

b b a <

-.

∴ ab b a ab -<-2

2

.

∴ ab b a 22

2>+.--------------------------2分 (2)答案不唯一,图1分,理由1分. 举例:如图,理由: 延长BA 、FE 交于点I . ∵ 0>>a b ,

图形的剪拼总结(自己总结)

∴ IB C E A B C D S S >矩形矩形, 即 )()(a b a a b b ->-. ∴ 2

2a ab ab b ->-.

∴ ab b a 22

2>+.--------------------------4分 举例:如图,理由:

四个直角三角形的面积和11422

S a b a b =??=,

图形的剪拼总结(自己总结)

大正方形的面积2

2

2S a b =+. ∵ 0>>a b , ∴ 21S S >.

∴ ab b a 22

2

>+.--------------------------4分

同类题:

(2010房山一模)22.阅读下列材料:

小明遇到一个问题:如图1,正方形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点,连结AF 、BG 、CH 、DE ,形成四边形MNPQ .求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比(用含n 的代数式表示).

小明的做法是:

先取n=2,如图2,将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′,再将△ADM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′,得到5个小正方形,所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是

15

然后取n=3,如图3,将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′,再将△ADM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′,得到10个小正方形,所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是

410

,即

25

……

请你参考小明的做法,解决下列问题:

(1)在图4中探究n=4时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比(在图4上画图并直接写出结果);

(2)图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图,请你将它剪成三块后再拼成正方形(在图5中画出并指明拼接后的正方形).

图形的剪拼总结(自己总结)

图形的剪拼总结(自己总结)

图形的剪拼总结(自己总结)

(2010房山一模)答案: 22.

图形的剪拼总结(自己总结)

B

E

A D

C

B

A

----------------------1分 ------------------3分

四边形MNPQ 与正方形ABCD 的 拼接后的正方形是 正方形ABCD . 面积比是

917

. --------------------2分 -------------------4分

3、四边形拼成平行四边形:

(2010.5昌平一模)22.阅读下列材料:

将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形...

,如图2,再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.(要求:无缝隙

M’N’E B A Q P N G H F E D C B A

M M’

N’A B E H C P G D Q H M N

F

B E A 图 图1 图3 图4 图

5

A

C D 图①

A

C

D

图②

F

E

且不重叠)

请你参考以上做法解决以下问题:

(1)将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形...

; (2)将图5的平行四边形用不同于(1)的分割方案,分割成面积相等的八个三角形...

,再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形,类比图2,

图3,用数字1至8标明.

(2010.5昌平一模)答案: 22.(本小题满分5分) 解:如图所示:

(1)图4分割正确. ······························································································· 1分 (2)图5分割正确, ······························································································· 3分 图5拼接正确. ······························································································· 5分

7

8

561

23

4

678

12348

577

8

6图4

图5

2135

6

图3

4图2图1

5

4

213

3、三角形翻成等腰三角形:

(2010.5密云一模)22.(1)观察与发现:

在一次数学课堂上,老师把三角形纸片

A B C (AB >AC )沿过A 点的直线折叠,使

图1图24图365312图5

图46877584321

图形的剪拼总结(自己总结)

得AC 落在AB 边上,折痕为AD ,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸

片,

使点A 和点D 重合,折痕为EF ,展平纸片后得到A E F △(如图②).有同学说此时的A E F △是等腰三角形,你同意吗?请说明理由. (2)实践与运用

将矩形纸片A B C D 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的点F 处,折痕为BE (如图③);再沿过点E 的直线折叠,使点D 落在BE 上的点D '处,折痕为E G (如图④);再展平纸片(如图⑤).试问:图⑤中α∠的大小是多少?(直接回答,不用说明理由).

(2010.5密云一模)答案:

22.(本小题满分4分)

解:(1)同意.如图,设AD 与EF 交于点M ,

由折叠知,∠BAD =∠CAD ,

∠AME =∠AMF =90O . ------------------------------1分

∴ 根据三角形内角和定理得

∠AEF =∠AFE . ------------------------------------2分

∴ △AEF 是等腰三角形.················ 3分

(2)图⑤中

的大小是22.5o .·············· 4分

第 大类:杂题:

(2010.5石景山一模):22.(1)如图1,把边长是3的等边三角形的各边三等分,分别以

居中那条线段为一边向外作等边三角形,并去掉居中的那条线段,得到图2,再把图2中图形各边三等分,分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形,并去掉居中的那条线段,得到一个新图形,则这个新图形的周长是 ;

图形的剪拼总结(自己总结)

(2)如图3,在55?的网格中有一个正方形,把正方形的各边三等分,分别以居中那条

1 图

2 E

D C F B

A

图③

E

D C A

B

F G C ' D '

A

D

E

C

B α

图④

图⑤

图形的剪拼总结(自己总结)

线段为斜边向外作等腰直角三角形,去掉居中的那条线段,得到图4,请把图4中的图形剪拼成正方形,并在图4中画出剪裁线,在图5中画出剪拼后的正方形.

(2010.5石景山一模):答案: 22.(1)16 …………………………………………1分 (2)各2分

图形的剪拼总结(自己总结)

(2010-5

通州一模)24.小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形.

(1)如图①所示△ABC ,△DBE ,两直角边交于点F ,过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ,

连结BF 、AD ,则线段BF 与线段AD 的数量关系是 ;直线BF 与直

线AD 的位置关系是 ,并求证:FG +DC =AC ;

(2)如果小华将两块三角板△ABC ,△DBE 如图②所示摆放,使D B C 、、三点在一

条直线上,AC 、DE 的延长线相交于点F ,过点F 作FG ∥BC ,交直线AE 于点G ,

连结AD ,FB ,则FG 、DC 、AC 之间满足的数量关系式是 ;

(3)在(2)的条件下,若AG =DC =5,将一个45°角的顶点与点B 重合,

图形的剪拼总结(自己总结)

并绕点B 旋转,这个角的两边分别交线段FG 于P 、Q 两点(如图③),线段DF

分别与线段BQ 、BP 相交于M 、N 两点,若PG =2,求线段MN 的长.

图3 图4 图5

图形的剪拼总结(自己总结)

图形的剪拼总结(自己总结)

图形的剪拼总结(自己总结)

(第24题图①) (第24题图②)

(第24题图③)

(2010-5通州一模)答案:24.

图形的剪拼总结(自己总结)

(1)结论:

则线段BF 于线段AC 的数量关系是:相等;直线BF 于直线AC 的位置关系是:互相垂直; .......................................................................(1分)

证明: ABC ?、BDE ?是等腰直角三角形 ∴

?

=∠=∠=∠45BDE BAC ABC ,

BC

AD ⊥

∴?=∠45CFD

CF

CD = ............................................................(2分)

BC

FG // ?=∠=∠45ABC AGF

∴AF

FG =

FC

AF AD +=

DC

FG AD += ............................................................(3分)

G F E

D C B

A

(2)FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系式是DC AD FG +=;..........(4分)

(3)过点B 作FG BH ⊥垂足为H ,过点P 作AG

PK

⊥垂足为K ......(5分)

BC FG //,C 、D 、B 在一条直线上, 可证AFG ?、DCF ?是等腰直角三角形,

5,27

==CD AG

∴根据勾股定理得:2

5,7===FD FG AF

∴2==BC AC

∴3=BD

FG

BH ⊥, ∴

CF

BH //,?=∠90BHF

BC

FG //

∴四边形CFHB 是矩形 ∴2

,5==FH BH

,BC FG //

?=∠45G

图形的剪拼总结(自己总结)

5==∴BH HG ,2

5=BG

AG

PK ⊥,2=PG

2

=

=KG PK

2

4225=-=∴BK

?=∠?=∠45,45HGB PBQ

?=∠45GBH

2

1∠=∠∴ AG

PK ⊥,FG

BH

?=∠=∠∴90BKP BHQ BQH

?∴∽BPK ?

BH

BK QH

PK =

=QH 4

5 ............................................................(6分)

4

3=

∴FQ BC

FG //

∴FQM

DBM

MFQ D ∠=∠∠=∠,

FQM

?∽DBM ?

2

4=DM ............................................................(7分)

FNP

DNB MFQ D ∠=∠∠=∠,

∴BDN

?∽PFN ?

∴PF BD FN

DN =

8

2

15=

DN

82

1782

1524=

-=MN ............................................................(8分)

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