2019-2020年高二数学排列二 人教版

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一、本讲进度

第十章 排列、组合和概率

10.2 排列

二、主要内容

1、 排列的概念、表示法、计算公式;

2、 与排列数有关的计算题、证明题等;

3、排列应用题:没有附加条件,有附加条件的

三、学习指导

1、排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素取出m 个元素的排列数,用符号A n m 表示。

根据排列的定义,它有两个要点:(1)从n 个不同元素中任取m 个;(2)按照一定顺序排成一列。所谓“按照一定的顺序排成一列”应该理解成是将m 个元素放在m 个不同的位置上。所以排列定义中的每个要点,可以简略地称之为一是元素,二是位置。

在确定排列的数目时,往往要借助于树图写出所有的排列。

2、排列数的计算公式:A n m =n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)],等号右边是m 个连续的正整数的积,第一项为n ,成递减趋势。

排列数的化简公式:A n m =

)!m n (!n - 规定:0!=1,A n m =n!=n(n-1)(n-2)·…·2·1

排列数公式的推导过程是分步计数原理的直接应用

根据排列数的定义,可得到与排列数有关的变形公式:

2m 2n 2n 1m 1n m m A A nA A ----===…

k ·k!=(k+1)!-k! )!

1k (1!k 1)!1k (k +-=+ 3、排列应用主要是解决与实际问题有关的应用题。这类问题从条件出发,分两类:一类是没有附加条件的排列问题;二类是有附加条件的排列问题。有附加条件的排列问题主要有两种:一是“在与不在”的问题,就是某一个或某几个元素在或不在某些特殊位置,一是“邻与不邻”问题,是指某些元素相邻或不相邻的问题,这类总是常用“捆绑法”或“插空法”。

解有附加条件 排列问题的基本思路:从元素出发或从位置出发称为“元素分析法”、“位置分析法”。

解有附加条件的排列问题的基本方法:一是直接法,先从特殊元素或特殊位置出发,再考虑非特殊元素及非特殊位置,用分步计数原理;

二是间接法,先不考虑条件限制,求出排列总数,再求出不满足条件的排列数,前者与后

者的差即为问题结论,也可称这种方法的原理为减法原理。

四、典型例题

例1、 由a 1,a 2,…,a 7七个元素组成的全排列中

(1)a 1在首位的有多少种?

(2)前两个位置上是a 1、a 2(顺序固定)的有多少种?

(3)前两个位置上是a 1、a 2(顺序不固定)的有多少种?

解题思路分析:

(1)先满足特殊元素(a 1)与特殊位置(首位),把a 1放在首位,有A 11

种方法;再让其余6个元素在其余6个位置上作全排列,有A 66种方法。这两个步骤完成以后,就得到所要求的排列。根据分步计数原理,有:

A 11A 66=A 66种方法

(2)先把a 1、a 2分别放在第一、二个位置上,满足a 1、a 2在前两个位置上(顺序固定),有A 11A 11种方法;再让其余5个元素排在其余5个位置上作全排列,有A 55种方法

∴ 共有A 11A 11A 55=A 55种方法

(3)先把a 1、a 2放在前两个位置上,由于顺序不固定,所以有A 22种方法,再让其余5个元素在其余5个位置上作全排列,有A 55种方法。

∴ 共有A 22A 55种方法

评注:计算A n m 时,如果要求某一特殊元素必须放在某一特殊位置,那么先把这个元素放在

这个特殊位置,这时元素少了1个,位置也少了1个,则问题转化为求1m 1n A --的问题,这种情况

可以推广到某r 个元素必须分别在r 个特殊位置上,其结果是r m r n A --。 如果特殊的r 个元素在特殊的r 个位置上,又可以变换位置,在这种情况下,完成这一步

骤的方法有A r r

种,在这一步完成后,完成第二步有r m r n A --种方法,因此解这类问题的公式是r m r n r r A A --。

例2、由a 1,a 2,…,a 7七个元素每次取出5个的排列中

(1)a 1不在首位的有多少种?

(2)a 1既不在首位,又不在末位的有多少种?

(3)a 1与a 7既不在首位又不在末位的有多少种?

(4)a 1不在首位,同时a 7不在末位的有多少种?

解题思路分析:

(1)首先满足特殊元素a 1,a 1不在首位的排列可以分为两类:①不含a 1:此时只需从a 1以外的其它6个元素中取出5个放在5个位置上,有A 65

种;②含有a 1,a 1不在首位的:先从4个位置中选出1个放在a 1,再从a 1以外的6个元素中选4个排在没有a 1的位置上,共有A 41A 64种

∴ 由分类计数原理,共有A 65+A 41A 64种

法二:把位置作为研究对象,第一步满足特殊位置(首位),从a 1以外的6个元素中选1个排在首位,有A 61种方法;第二步,从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位以外的其它4个位置上,有A 64种方法,由分步计数原理,共有:

A 61A 64种方法

法三:间接法,用减法原理:从总的可能情况中减去不符合要求的情况。不考虑a1在首位的要求,总的可能情况有A75种;a1在首位的,有A64种,所以,符合要求的A75-A64种。

(2)把位置作为研究对象,先满足特殊位置,从a1以外的6个元素中选两个排在首末两个位置上,有A62种方法;再从未排上的5个元素中选3个排在中间3个位置上,有A53种方法,由分步计数原理,有A62A53种方法。

(3)把位置作为研究对象。先从a1、a7以外的5个元素中选两个排在首末两个位置,有A52种方法;再从末排上的5个元素选出3个排在中间3个位置上有A53种方法。

由分步计数原理,共有A52A53种方法。

(4)用间接法。总的可能情况是A75种,减去a1在首位的A64种,再减去a7在末位的A64种。注意到a1在首位同时a7在末位的情况被减去了两次,所以还需补回一次A53种,所以结果是A75-2A64+A53种方法。

评注:本题第(1)题给出的三种方法是最常用的,在具体题目中还应该选择适当的方法。因为排列问题对思维的要求很高,所以用不同解法相互检验是防止错误结果的行之有效的方法。

例3、1,2,3,4,5五个数字做全排列组成的数中

(1)1,3,5必须连在一起的有多少个?

(2)2,4不相邻的有多少个?

(3)2,4必须排在偶数位上的有多少个?

解题思路分析:

(1)元素连在一起,先把它们看成一个整体。把1,3,5看成一个整体,加上2,4共3个元素,它们的全排列数是A33。对于其中的每一个排列,让彼此相邻的1,3,5三个元素再做全排列,又有A33种可能,完成这两个步骤,就得符合要求的数,所以根据分步计数原理,只有A33A33个数。

(2)先让1,3,5作全排列,有A33种方法,对其中每一种排法,每两个数之间及第1个数字之前和第末个数字之后,共有4个位置,让2,4分别插入这4个位置中的任意两个,有A42种方法,所以根据分步计数原理,共有A33A42个数。

法二用间接法得A55-A22A44个

(3)第一步把2,4排在偶数位上,有A22种排法;第二步把1,3,5排在奇数位上有A33种排法。

∴共有A22A33个数

评注:第(1)小题的方法称为“捆绑法”,第(2)小题的方法称为“插空法”。

例4、在3000与8000之间不重复的奇数有多少个?

解题思路分析:

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首先弄清结论要求的数字含义:(1)在3000与8000之间意思是千位数

字只能取3,4,5,6,7的四位数;(2)奇数的意思是个位只能取1,3,5,

7或9。

其次,根据首位和末位的要求分析元素之间的关系,借助于集合符号分

类表示如下,其中首尾两集合集是{3,5,7}。

由图示,对所求的数分成两类:个位上是1或9的;个数上是3,5或7的。

对于第一类:第一步从1,9中选1个放在个位;第二步,从3,4,5,6或7中选1个放在千位,第三步从其余的8个数字(0,1,2,…,9中除去已放在个位、千位的2个后剩余的数字)中任选2个放在首位、十位,根据分步计数原理,第一类数共有A 21A 51A 82个。

对于第二类数,第一步从3,5,7中选1个放在个数,第二步从3,5,7三个数字余下的两个再加上4,6共4个数字中选1个放在千位,第三步从未放在个位与千位上的其余8个数字中选2个放在百位和十位,根据分步计数原理,第二类数共有A 31A 82个。

∴ 根据分类计数原理,共有A 21A 51A 82+A 31A 41A 82个数。

评注:

1、分类、分步的基础是对元素和位置的分析。用集合的观点,借助于Veen 图是常用的比较好的一种方法,这样做使得分类时不重不漏,思考时条理清楚。

2、对较复杂的排列问题,一般这样思考:

①先看完成所要求的事件的方法可以不重不漏地分成几类,根据加法法则把各类的数目相加,就得到所要求事件的总数目;

②在每一类中,把完成所要求事件的过程分成几步,根据分步计数原理把每步的可能数相乘,便得到这一类的数目。

③计算每一步的可能数。

例5、5名运动员参加100米决赛,如果各人到达终点的顺序各不相同,问甲比乙先到达终点的可能有几种?

解题思路分析:

法一:将甲到达终点的情况作为分类标准

甲第一个到达:乙可以第二、三、四、五名到达,共有N 1=A 44种

甲第二个到达:乙可以第三、四、五名到达,共有N 2=A 31A 33种

类似的,甲第三个到达,共有N 3=A 21A 33种

甲第四个到达,共有N 4=A 33种

∴ 根据分类计数原理,共有N=N 1+N 2+N 3+N 4=A 44+A 31A 33+A 21A 33+A 33=60(种)

法二:5名运动员到达终点的顺序有A 55=120(种)

而甲先于乙到达和乙先于甲到达的可能性均等

∴ ==55A 2

1N 60(种) 评注:第二种方法称为“等可能事件法”。

例6、已知3n 41n 2P 140P =+,求n

解题思路分析:

根据排列数的计算公式,原方程可以化简为

(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)=140n(n-1)(n-2)

∵ n ≥3∴ n(n-1)≠0∴ (2n+1)(2n-1)=35(n-2)∴ n=3或n=

423∵ n ∈N +∴ n=3 评注:解这类题目时,要注意排列数P n m 中m 、n 的取值范围,如本题中,2n+1≥4且n ≥4,

n 是自然数

例7、求证:A 11+2A 22+3A 33+…+nA n n

=(n+1)!-1

解题思路分析:

本题左边可以看成是数列的求和问题,根据右边的要求,应消元化简

分析通项:!k )!1k (A A )1k (A ]1)1k [(kA k k k k k k k k -+=-+=-+= 1A 11=2!-! 2A 22=3!-2! 3A 33

=4!-3! ……

nA n n =(n+1)!-n!

将这n 个等式左、右两边分别相加得:

A 11+2A 22+3A 33+…+nA n n =(n+1)!-1

评注:对数列的通项进行分析是处理数列问题的重要方法。本题的关键是对n 的变形:n=(n+1)-1。根据不同需要对某些式子作一定变形是解决数学问题的基本功。

同步练习

(一)选择题

1、若a ∈N +,且a <20,则(27-a)(28-a)(33-a)…(34-a)可表示为

A 、8a 27A -

B 、a 27a 34A --

C 、7a 34A -

D 、8a 34A - 2、用1,2,3,…,9这9个数字组成数字不重复的三位数的个数是

A 、 27

B 、84

C 、504

D 、729

3、8个同学排成一排的排列数为m ,8个同学排成前后两排(前排3个,后排5个)的排列数为n ,则m 、n 的大小关系是

A 、m=n

B 、m >n

C 、m <n

D 、n <m <2n

4、6张同排连号的电影票,分给3名教师和3名学生,如果师生相间而坐,则不同的方法数为

A 、A 33A 43

B 、(A 33)2

C 、2(A 33)2

D 、A 66-(A 33)2

5、用0,2,4,6,9这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有

A 、72个

B 、78个

C 、84个

D 、384个

6、由数字1,2,3,4,5组成数字不重复的五位数中,小于50000的偶数有

A 、 24个

B 、36个

C 、48个

D 、60个

7、由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的数字不重复且大于345012的六位数的个数是

A 、245

B 、269

C 、270

D 、360

8、已知集合M={a 1,a 2,a 3},P={b 1,b 2,…,b 6},若M 中的不同元素对应到P 中的像不同,则这样的的映射共有

A 、3个

B 、20个

C 、64个

D 、120个

9、要排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的演出节目表,如果合唱节目不排在节目表的第一个位置上,并且任何两个合唱节目不相邻,则不同的排法总数是

A 、A 88

B 、A 55A 33

C 、A 55A 53

D 、A 33A 53

10、甲、乙、丙、丁、戊五人并排站在一排,如果乙必须站在甲的右边(甲、乙可以不相邻),那么不同的排法共有

A 、24种

B 、60种

C 、90种

D 、120种

(二)填空题

11、根据条件,求x 的值

(1)A x 5=12A x 3

,则x=__________。

(2)1n 1n 1n 1n n n xA A A ++--=+,则x=__________。

(3)1:30800A :A 3x 546x 56=++,则x=__________。 12、7位同学站成一排,按下列要求,各有多少种不同排法(不求结果)。

(1)甲站在某一固定位置__________。

(2)甲站中间,乙与甲相邻__________。

(3)甲、乙相邻__________。

(4)甲、乙两人不相邻 __________。

(5)甲、乙、丙三个相邻__________。

(6)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻__________。

(三)解答题

13、3名男生与4名女生排成一排,按下列条件,各有多少种不同排法?

(1)男生按自左至右从高到矮的顺序;

(2)男生和女生都分别按自左至右从高到矮的顺序;

(3)男生和女生统一按自左至右从高到矮的顺序。

14、从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2

+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?

15、用1,2,3,4,5,7这7个数字组成没有重复数字的四位数

(1)如果四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个?

(2)如甲组成的四位数必须大于6500,那么这样的四位数有多少个?

参考答案

(一) 选择题

1、 D 。

2、B 。 A 93=504(个)

3、A 。 m=A 88,n=A 83A 55,

4、B 。 相间而坐有两类,师生师生师生,或生师生师生师。每种情况下,教师之间和学生之间分别交换位置,共有2A 33A 33种。

5、B 。 A 31 A 31 A 31+ A 41 A 33=78个

6、B 。 抓住首、末两个特殊位置分析,有A 21 A 31 A 33=36个

7、B 。 位置分析法,分成四类:第一类,第6位数字是4,5,有A 21 A 55个;第二类,第6位数字是3,第5位数字是5,有A 44个;第三类,第6位、第5位、第4位数字分别是3,4,5,有A 21 A 22个;第四类,前4位数字是3,4,5,0,有A 11 A 11种。∴ 共有A 21 A 55+A 44+ A 21 A 22+A 11=296个

8、D 。 A 63个9、C 。 用插空法

10、B 。 用等可能事件模型

21A 66=60(种) (二) 填空题

11、 7 ,n 1, 41 12、66A ,55A 2,2266A A ,2755A A ,3355A A ,3544A A

(三) 解:(1)840A A 3377

=(种) (2)

35A A A 443377=(种) (3)1A A 7777=(种) 14、解:对a 分类,共有4A 42=48个不同的一元二次其中有实根的有A 42+2A 22+A 22=18个

15、(1)A 31 A 36=360个 (2)A 63+A 21 A 52

=160个

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