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浙江省高等数学(微积分)竞赛工科类试题及答案

2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）

一、计算题（每小题14分，满分70分）

．求极限

1lim 2n →+∞+??

2．计算()()

+22 122dx

x x x ∞

-∞+-+?

3．设ABC ?为锐角三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。

4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在

π上围成的面积为A,求

()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz

ax by cz

+-+-++?

,其中n Γ与的方向成

右手系。

5．设f 连续，满足()()() 22 0exp x

f x x t f t dt -?,求()()131f f '-的值。

二、（满分20分）定义数列{}n a 如下：

{},

,max ,2

1011dx x a a a n n ?-==

,4,3,2=n ，

求n

n a ∞

→lim 。

三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线

2:cos ,sin ,(0)L x t y t z t t ===≥ 向空间移动，且圆盘面的法向与L 的切向一致。若圆盘半径r (t) 随时间改变，有2

)(t t r =，求在时间段?????

?21,0内圆盘所扫过的空间体积。四、（满分20）证明：当0x ?>，

22 1

exp exp 22x

t x dt x +∞

????-<- ? ?

?????

五、（满分20分）证明：

2,0,3sin 2tan 222???

??∈>+πx x x x

2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（工科

类）

一、计算题：

1．解：原极限

=120.5lim 1n e ??

-- ?

-→+∞

=??

2．解：

()()2222

1121235122122x x x x x x x x +-??

=- ?+-++-+??

()()()()

221

ln 1arctan ln 22arctan 15

x x x x x +∞-∞

∴++--++-原积分=

π=

3．解：记()()(),sin sin sin cos cos cos f B C B C B C B C B C =+++++--

()()(),c o s c o s s i n s i n 0B f B C B C B B C B '=++-++= ()()(),c o s c o s s i n s i n 0

C f B C B

C C B

C C '=++-++=

()cos sin cos sin /2B B C C B C B C π?+=+?=+=或舍去 ()()cos 2cos sin 2sin 0/3/3B B B B B A C B ππ+-+=?=?===

(

))

max , 1.5

1f B C = ()m i n ,1

f B C =

4解：原积分=

－222s

adydz bdzdx cdxdy ++??()()0.5

222

22s

a b c a

b c ds -=-++++??

(

)

0.5

2A a b c =-++

5．解：()()() 0.5

220.50.5 0

2exp 2x

f x

f x x t f t dt x f x f x --'=++-=++-?

()()1311f f '∴-=- 二、解：{}11

1110

max ,,

n n n n a a x dx a dx a ---=

≥=?

?即{}n a 单调增且11

1,2

a =

≤

设01,n a ≤≤则{}11

0max ,1,

n n a a x dx dx +≤=

≤=?

?即{}n a 有界。

可知{}n a 收敛记其极限为a ,有{}()11

200

max ,1/2a

a a x dx adx xdx a ==+=+?

1a =

三、解：()0.5

0.5

220

441/32V r ds t t t πππ=

==+?

2.5

1.52

21323253t t t π

π??=

- ???

)

1120

四、证明：

2222 exp exp exp exp 2222x

x x

t t t x x dt x dt t dt +∞

+∞+∞????????

-=-<-<- ? ? ? ?????????

五、证明：()2

tan ,tan 1tan 1tan /3x x x x x x x x '>=+>+?>+

易知 3

sin /6x x x >- .,3sin 2tan 222x x x >+∴

2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题

工科类

一计算题：（每小题1４分，满分７0分）

1．求极限lim log ()a

x x x x →+∞

+。

2．设函数:f →R R 可导，且,x y ?∈R ，满足()()f x y f x y xy +≥++，求()f x 的表达式。

3．计算

0sin d n x x x π

?（n 为正整数）

。 4．计算{}min ,2d d D

x y x y x y -??，D 为2

y x =与2y x =围成的平面有界闭区域。

5．求曲线3

cos sin x a y a θ

?=??=??，(0)θπ≤≤的形心，其中0a >为常数。二、（满分20分）

证明：1

11ln 1ln n i n n n i =+<<+∑，n +

∈

。

三、（满分20分）

设2

:u →R R 所有二阶偏导连续，证明u 可表示为(,)()()u x y f x g y =的充分必要条件为

2u u u

u x y x y

???=

????。四、（满分20）

在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为π米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。

五、（满分20分）

证明1

111(1)n

n k k n

k k C k k -==-=∑∑。

装

订

线

工科类答案

一、计算题

1、若a b ≥ l i m l o g

(a b

x x x x →+∞

+l i m l o g

(1)l i m l o g (1a b a

b a

x x

x x x x a x a --→+∞

→+∞

=+=+

+= 同理，当a b <时，lim log ()a b x x x x →+∞

+b =，所以lim log ()a b

x x x x →+∞

+max(,)a b =

2、解：由假设，0y ?>，有

()()

1f x y f x x y

+-≥+

f 可导()1f x x +'?≥+

同理()1()1f x x f x x -''≤+?=+ 2()/2f x x x c =++ 3、解：

sin d n x x x π

()0

sin sin n

j j j j x x dx x j xdx ππ

ππ

ππ-====+-∑∑?

()()20

sin d 21212n

j n x x x j n n n n n n π

ππππ==+-=++-=+∑?

4、解：(

){}

(){}12,1,,/2,01/2D x y x y x D x y x y x x =≤≤

≤≤=≤≤≤≤

(){}(){}

34,,1/21,,/2,01/2D x y x

y x x D x y x

y x x =≤≤≤≤=

≤≤≤≤

原积分1

()d d ()d d D D y x x x y x y x x y =

-+-????3

()d d ()d d D D x y x x y x y y x y +-+-????

21110

d )d d ()d x

x y x x y x x y x y =-+-???2

11122210

d ()d d ()2d x

x x

x x y x x y x x y y y +-+-????

3414561422100

21211111()678851232x x x x x x x =-++-++1

46720

112()24621

x x x +-+

111124724532245=

++????11253

3216642117920

++=?? 5、解：/0c L

x xds ds =

?，d /d c L

y y s s =??

而d 3sin cos d s a θθθθ=

= 2

d 3sin cos d sin cos 3L

s a ba d a π

πθθθθθθ/===?

420

d sin 3sin cos d 6sin cos d 5

y s a x a a

a π

πθθθθθθθ===?

0c x ∴= 25

c y a =

二、证明：显然

11111

d d j j j

j x x x j

x +-<

? 2j ≥

1 1122

1111d 1d 1ln n

n n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑??

另一方面111111111111

d ln n

n n j j j j j x n j j

n x n n --+====+>+=+∑∑∑?

三、证明：()()u f x g y =时，显然有xy x y uu u u = 反之，若xy x y uu u u =成立，即有2

()/(

)0x

xy x y y u uu u u u u

-== 1/()x u u f x ?= 也即1121ln ()d ()()()u f x x g y f x g y =+=+? ()()u f x g y ∴=

四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在x 轴上3x =点，则羊跑最远的曲线在3x <的区域内是渐开线即 3(cos (/3)sin )x t t t π=-- 3(sin (/3)cos )y t t t π=+- 记在3x <山羊能吃到草的草地面积为1S

0213/2

2d 29sin d 2(3sin (3)cos )(3)cos d S y x t t t t t t t t ππππ=-=+--?

?/3

29sin d t t π-?

23(3)sin cos (3)cos d t t t t t t πππ??=-+-???

29sin d t t π-?

22013(3)sin (3)(sin 2)2t t t t t πππ??=-+-+????/32016(3)(sin 2)9sin d 2t t t t t ππ??

+-+-?????

()/3

/322000191133cos 2sin 29cos 2d 2222t t t t t t t t ππππ??????

=----+- ? ? ???????

19sin 2349

t t ππ??=+-=

???

所以山羊能吃到草的草地面积33

119218

S πππ=+= (方法二) 山羊能吃到草的草地面积S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积1S 和绳子绕向房子时转过θ? 其扫过的面积可近似为扇形

r θ?

()2

310

3/9S d ππθθπ=-=?

所以311/18S π=

五、证明：111

110011

111(1)(1)d (1)d n

n n k k k k k k k k

n n k k k C C t t C t t k t ---===--=-=-∑∑∑?? 1

100(1)1

1(1)d d n n t t t t t t ----==??101d 1n

x x x -=-? 而111

0011

1d d 1n

n k k k t t t t k t -==1-==-∑∑?? ∴等式成立

高等数学专科复习题及答案

高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

微积分复习题题库超全

习题 1—2 1．确定下列函数的定义域：（1）91 2 -=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）x y πsin 2 = ；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ；（3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=；（3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ；（5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数；（2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =；（5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。（1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==；（3）23,log 2+==x u u y a ；（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；

高中数学导数及微积分练习题

1．求导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，

底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

高等数学练习题库及答案

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高等数学微积分复习题

第五章一元函数积分学 1．基本要求（1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。（2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。（3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次线性微分方程的通解公式。（4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。（5）会用微积分基本公式求解定积分。（6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。（7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。（8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析（1）本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布尼茨公式；定积分的应用。（2）本章难点：求不定积分，定积分的应用。重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-，故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

微积分B总复习题(带答案)

微积分(B)复习题一、基本题: （一）微分学： 1、函数ln()arccos 2 x y z y x -=-+的定义域是 {} 20),(≤->-=y x x y y x D 且 2、 ()()(),0,0ln 1lim sin(22)cos x y x y x y xy →--=+? 21 - 3、设22(,)43f x y x xy y =-+，则h f h f h ) 2,1()2,1(lim -+→= 8 4、已知函数22(,)f xy x y x y xy +=++，则 (,)(,) f x y f x y x y ??+?? = )(3y x + 5、设 ln(2)z y x =- 则 211 x y z x y ==?=?? 2 6、(1,0,1) (),z u x y du =-=设则 dy dx - 22(,),______,______.(2,,),__________,_________,_________.xy x y z u u u f x y e x y u f x xy xyz f f f ??=-==??'''====7、若则若则 212f ye xf xy +; 212f xe yf xy +-; 3212yzf yf f ++; 32xzf xf +; 3xyf 。 8、二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足的关系为（ B ） A ) 可微?可导?连续 B ) 可微? 可导，或可微?连续，但可导不一定连续 C ) 可微?可导?连续 D ) 可导?连续，但可导不一定可微（二）积分学： 1、{ }22 (,)14,2_______.D D x y x y d σ=≤+≤=??设则 π6 2、二次积分 ()1 1 ,y e dy f x y dx ? ?交换积分次序后为? ?1 ln 1),(x e dy y x f dx 3、二次积分 ( )2 2 2 dx f x y dy +? 化为极坐标形式的二次积分为??θ π θcos 20 220)(rdr r f d （三）级数：

高等数学复习题库和答案.

中国煤炭论坛https://www.wendangku.net/doc/b49706640.html, 网络远程教育专升本高等数学复习题库和答案一、选择题 1. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为（）. A: y= { 2x 2 x>0 2x+1 x≤0 B: y=2x+cosx C: y= x D: y=sin 2. 下列选项中，满足f(x)=g(x)的是( ). A: f(x)=cosx, g(x)= B: f(x)=x, g(x)= C: f(x)=x, g(x)=arcsin(sinx) D: f(x)=lnx2 , g(x)=2lnx 3. 设f(x)的定义域为[0,1]，则f(2x+1)的定义域为( ). A: ?1 ??- 2,0??-1,0???2? C: ?1? -,0?? B: ?2? D: ?4. 函数y=f(x)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x2)的定义域为（A: [0,1]; B: (0,1); C: [-1, 1] D: 5. 设f(x)的定义域为[0,1]，则f(2x-1)的定义域为( ). A: ?1??1??1?,1 B: ?2? ? ,1?2? C: ??,1??2? D: ?6. 函数f(x)=??9-x 2x≤3?

?）. ?x2 -9 3

高等数学微积分复习题

（1）本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布尼茨公式；定积分的应用。（2）本章难点：求不定积分，定积分的应用。重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为 '1sin 3sin 3(3)3 x x x =，故有 '111sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 13cos33u x x C =-+ 例2：求不定积分(0)a >

《微积分》复习题参考答案

华南理工大学广州学院基础部关于10级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知通知要点 ★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案一、考试的重点内容与要求考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求： 1、定积分及其应用理解定积分的定义（含两点补充规定：当a b =时，()0b a f x dx =?；当a b >时，()()b a a b f x dx f x dx =-??）。理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。掌握牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。会求无限区间上的广义积分。 2、无穷级数理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。熟悉几何级数（即等比级数）0 n n aq ∞ =∑（0,a q ≠叫公比）、调和级数11n n ∞ =∑与p -级数11 (0)p n p n ∞ =>∑的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及比值判别法。了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。了解幂级数0n n n a x ∞ =∑及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会

利用函数 1 1x -、x e 、ln(1)x +等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成x 的幂级数。注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。 3、多元函数微积分（1）了解空间解析几何的一些有关知识，如空间直角坐标系、曲面方程概念，平面、球面、圆柱面、旋转抛物面、马鞍面等的方程及其图形等。（2）了解多元函数的概念，二元函数的定义域、几何意义及极限与连续概念。掌握二元函数的偏导数、全微分的求法，会求简单函数的二阶偏导数。会求复合函数和隐函数的一阶偏导数，如设(,)z f u v =，而(),u x y ?=， (),v x y ψ=求偏导数；设(,)z f u v =，而()u x ?=，()v x ψ=求全导数；由方程 (),0F x y =确定()y y x =，求dy dx ；由方程(),,0F x y z =确定(,)z z x y =，求,z z x y ????等等。（3）理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。复习这部分内容要与上学期的求导公式与求导法则联系起来，特别是复合函数的求导法则要十分熟练，经验表明，学好这部分内容“基础是一阶、矛盾是高阶、关键是动手”。（4）二重积分

一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？

大工年春高等数学期末复习题

机密★启用前大连理工大学网络教育学院 2018年春《高等数学》期末考试复习题 ☆ 注意事项：本复习题满分共：400分。一、单项选择题（本大题共60小题，每小题2分，共120分） 1、设x x x x f 2)(,)(2 ==?，则=)]([x f ?( ) A 、2 2x B 、x x 2 C 、x x 2 D 、x 22 答案：D 2、下列结论正确的是( ) A 、函数x y 5=与x y 5-=关于原点对称 B 、函数x y 5=与x y -=5 关于x 轴对称 C 、函数x y 5=与x y 5-=关于y 轴对称 D 、函数x y 5=与x y 5log =关于直线y=x 对称答案：D 3、设)(x f 在()+∞∞-,内定义，则下列函数中必为奇函数的是( ) A 、|)(|x f y = B 、|)(|x f y -= C 、c y = D 、)(2 x xf y = 答案：D 4、下列极限存在的有( ) A 、2) 1(lim x x x x +∞→ B 、1 21 lim 0-→x x C 、x x e 1 lim → D 、x x x 1 lim 2++∞ → 答案：A 5、当0→x 时，与x x --+11等价的无穷小量的是( ) A 、x B 、x 2 C 、2 x D 、2 2x 答案：A 6、当∞→n 时，为了使n 1 sin 2 与k n 1等价，k 应为( ) A 、 2 1 B 、1

答案：C 7、已知三次抛物线3 x y =在点1M 和2M 处的切线斜率都等于3，则点1M 和2M 分别为( ) A 、（-1,-1）及（1,1） B 、（-1,1）及（1,1） C 、（1,-1）及（1,1） D 、（-1,-1）及（1,-1）答案：A 8、根据函数在一点处连续和可导的关系，可知函数???? ???≥<<≤+=1,1 10,20,2)(2 x x x x x x x x f 的不可导点是( ) A 、1-=x B 、0=x C 、1=x D 、2=x 答案：C 9、设x x y 2 212--=，则='y ( ) A 、 ()2 22 214x x -- B 、 ()2 22 212x x +-- C 、 ()2 22 212x x -- D 、 ()2 22 214x x +- 答案：D 10、=)(arccos x d ( ) A 、xdx 2 sec B 、xdx 2 csc C 、 dx x 2 11- D 、dx x 2 11-- 答案：D 11、在区间[-1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是( ) A 、1)(2 -=x e x f B 、)1ln()(2 x x f += C 、x x f =)( D 、2 11 )(x x f += 答案：C 12、下列极限中能使用罗必达法则的有( ) A 、x x x x sin 1sin lim 20 → B 、?? ? ??-+∞ →x x x arctan 2lim π C 、x x x x x sin sin lim +-∞→ D 、2 sin lim x x x x ∞→ 答案：B 13、下列函数对应的曲线在定义域内为凹的是( ) A 、x e y -= B 、)1ln(2 x y += C 、3 2x x y -= D 、x y sin = 答案：A 14、下列函数中原函数为)0(ln ≠k kx 的是( ) A 、 kx 1 B 、 x 1 C 、 x k D 、 21k

高等数学练习试题库及答案

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ．23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （）

A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、 B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x 必不连续 14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 C、tan[f(x)] D、f[f(x)] 16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（） A、[0,л] B、（0,л） C、[-л/4,л/4] D、（-л/4,л/4） 17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）

(完整word版)微积分练习题册汇总.doc

微积分练习题册第一章函数判断题 1. y 1 是无穷小量； x 2. 奇函数与偶函数的和是奇函数； 3. 设 y arcsin u ， u x 2 2 ，这两个函数可以复合成一个函数 y arcsin x 2 2 ； 4. 函数 y 1 的定义域是 x 1 且 x 10 ； lg lg x 5. 函数 y e x 2 在 (0, ) 内无界； 6. 函数 y 1 在 (0, ) 内无界； 2 1 x 7. 1 x 2 f ( x) 是奇函数； cos x 8. f ( x) x 与 g( x) ( x )2 是相同函数； 9. 函数 y e x 是奇函数； 10. 设 f ( x) sin x ，且 f [ ( x)] 1 x 2 ，则 ( x) 的定义域是 (0,1) ； 11. y x 与 yx 2 是同一函数； 12. 函数 y x 3 x 1 是奇函数； 13. 函数 y arcsin x 1 的定义域是 ( 1,3) ； 2 14. 函数 y cos3 x 的周期是 3 ； 15. y x 与 y x 2 不是同一个函数； x 16. 函数 y x cos x 是偶函数 . 填空题 1. 设 y 3u ,u v 2 , v tan x, 则复合函数为 y f ( x) = _________； 2. cos x x 0 = __________；设 f ( x) x ，则 f (0) x

3. 设 f ( x) 4 x 2 ，则 f ( 2) = _______ ； 2 x 4. 设 f ( x) 1 ， g (x) 1 x ，则 f [ g( x)] = _______ ； x 5. 复合函数 y e (sin x)2 是由 ________, ________, _______ 函数复合而成的； 6. 函数 y 4x 3 的反函数是 _______ ； 7. 已知 f ( 1 1 ，则 f (2) __________ ； ) 1 x 1 x 8. x 4 ，其定义域为 __________ ； y x 1 9. 设函数 f ( x) x 2 1) = __________；，则 f ( x 1 10. 考虑奇偶性，函数 y ln( xx 2 1) 为 ___________ 函数； 11. 函数 y e 2 x 的反函数是 y 1 ln x , 它的图象与 y e 2x 的图象关于 ________ 对称 . 2 选择题 1. 函数 y x 2 的定义域是 ( ) (A) x 3 (B) (2, ) [2,] (C) ( ,3) U (3, ) (D) [2,3) U (3, ) 2. 函数 y x 2 ( x 1)2 在区间 (0,1) 内 ( ) (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D) 有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( ) (A) y x 4 x 2 (B) y x x 2 (C) y 2x 2 x (D) y 2x 2 x 4. 已知函数 f ( x) ax b x 0 ，则 f (0) 的值为 ( ) x 2 1 x 0 (A) a b (B) b a (C) 1 (D) 2 第二章极限与连续判断题 1. 函数在点 x 0 处有极限，则函数在 x 0 点极必连续； 2. x 0 时， x 与 sin x 是等价无穷小量； 3. 若 f ( x 0 0) f ( x 0 0) ，则 f ( x) 必在 x 0 点连续； 4. 当 x 0 时， x 2 sin x 与 x 相比是高阶无穷小； 5. 函数 y 2x 1 在 ( , ) 内是单调的函数；

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （） > A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5．设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（） A ．当()()0

高等数学复习题及答案

中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于对称。 2．若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ，则=)2(πy . 3．极限lim sin sin x x x x →=021 。 4.已知22 lim 222=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ?=+，其中?可微，则y z ??= 。 7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=??)1,0(x u ? 。 8.设??,),()(1f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=???y x z 2?? 。 9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为和。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=?xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若2 1d e 0=?∞+-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(22

15.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),D f x y d σ??在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则() 22D f x y dxdy +??的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n p n 收敛，则常数p 的最大取值范围是 . 18.=+-+-?1 0 642)!3!2!11(dx x x x x Λ . 19. 方程01122=-+-y dy x dx 的通解为 20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 . 21.当n=_________时，方程n y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。 22. 若44?阶矩阵A 的行列式为*||3,A A =是A 的伴随矩阵,则*||A =__________. 23.设A n n ?与B m m ?均可逆，则C =00?? ???A B 也可逆，且1C -＝ . 24.设??????=3213A ，且X E AX 3=-，则X = . 25．矩阵??????????--330204212的秩为． 26. 向量(1,0,3,5),(4,2,0,1)αβ=--=-,其内积为____________. 27. n 阶方阵A 的列向量组线性无关的充要条件是 . 28. 给定向量组()()(),231,0,111321===αααb a ，若321,,ααα线性相关，则a ，b 满足关系式 .

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