无穷级数单元测试题
第十一章 无穷级数 单元测试题
一、
选择题（每小题3分，共30分） 1、级数1
(1)
(1cos )n
n n a
u n
∞
==
??∑（常数0a >）
．[ ] A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．收敛性与a 无关．
2、设0(1,2,3,)n u n ≠=???，且lim 1n n
n
u →∞=，则级数11111(1)(n n n n u u ∞
+=+?+
∑．[ ] A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．收敛性根据所给条件不能判定． 3、若
1(1)
n
n n a x ∞
=?∑在1x =?处收敛，则此级数在2x =处（ ）．
A ．发散
B ．条件收敛
C ．绝对收敛
D ．收敛性不确定． 4、
1
1
(1)
2n n
n a ∞
?=?=∑，211
5n n a ∞?==∑，则1
n n a ∞
=∑＝（ ）
． A ．3 B ．7 C ．8 D ．9． 5、设1
0(1,2,3,...)n a n n
≤≤
=，下列级数中肯定收敛的是（ ）
． A ．
1
n
n a
∞
=∑ B ．
1
(1)
n
n n a ∞
=?∑ C ．
1
n ∞
=∑
D ．
21
(1)
n
n n a ∞
=?∑．
6、设01
102
()()cos 122212
n n x x a f x s x a n x x x π∞=?
≤≤??==+???<
其中n a ＝1
2()cos (0,1,2,...)0f x n xdx n π=∫，则5(2s ?等于（ ）．
A ． 12
B ． 12?
C ． 34
D ． 34
?．
7、级数
221
(0)n
n n x
x ∞
?=≠∑的收敛域是（ ）
． A ． (,1)(1,)?∞?+∞∪ B ． (,1][1,)?∞?+∞∪ C ． (1,0)(0,1)?∪ D ． [1,0)(0,1]?∪． 8、对于级数
1
1(1)
n n n u ∞
?=?∑，其中0(1,2,)n u n >= ，则下列命题正确的是[ ]
[A]若
1
1
(1)
n n n u ∞
?=?∑收敛，则11
(1)n n n u ∞
?=?∑必条件收敛
[B]若
1
1
(1)
n n n u ∞
?=?∑收敛，则1
n n u ∞
=∑必收敛
[C]若
1
n
n u
∞
=∑发散，则
1
1
(1)
n n n u ∞
?=?∑必发散
[D]若
1
n
n u
∞
=∑发散，则
1
1
(1)
n n n u ∞
?=?∑为绝对收敛
9、设对任意正整数n 实数0n a >，下列命题中正确的是[ ] [A]若级数
1
n
n a
∞
=∑
收敛，则级数
1
n ∞
=收敛
[B]若级数
1
n
n a
∞
=∑
收敛，则级数
n ∞
=未必收敛
[C]
若级数
1
n ∞
=收敛，则级数1
n n a ∞
=∑收敛
[D]
若级数
1
n ∞
=发散，则级数1
n n a ∞
=∑未必发散
10、若级数
1
n
n a
∞
=∑与
1
n
n b
∞
=∑均发散，则[ ]
[A]
()1
n
n n a
b ∞
=+∑发散
[B]
()1
n
n n a
b ∞
=+∑发散 [C]1
n n
n a b
∞
=∑发散 [D]
()2
21
n
n n a
b ∞
=+∑发散
二、
填空题（每小题3分，共30分）
1、若
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径是8，则
31
n n n a x
∞
+=∑的收敛半径是 ．
2、幂函数
21
1
2n n nx
∞
?=∑在其收敛区间内的和函数是 ．
3、1
(3)3n
n
n x n ∞
=??∑收敛域是 ． 4、若
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径是3，则
1
(1)
n n
n na x ∞
+=?∑的收敛区间是 ．
5、级数
1
12
n n n
∞
?=∑＝ ． 6、幂函数
121
1
(1)(1(21)
n n n x n n ∞
?=?+
?∑的和函数是 ．
7、()f x 的泰勒级数()001
()
()!
n n n f x x x n ∞
=?∑
在收敛区间内收敛于()f x 的充要条件是 ．
8、()f x 是周期为2的周期函数，在[1,1]?上定义为22,[1,0]
(),[0,1)
f x x ??=??，则()f x 的傅
里叶级数在1x =收敛于 ．
9、已知幂级数11(2n n n a x ∞
=?∑在2x =处发散，
在1x =?处收敛，则幂级数1
(1)n
n n a x ∞
=?∑的收敛域是 10、函数21
()23
f x x x =
??展开为x 的幂级数
三、 简答题（每小题8分，共40分）
1、判定下列级数的收敛性：
（１）44441231!2!3!!n n +
++???++???；（２）12sin 3n n n π
∞
=∑； （３）1111
(0,0)23a b a b a b a b na b
+++???++???>>++++．
2
、求幂级数n
n ∞
=的收敛域． 3、求级数3521
3521
n x x x x n ?+++???++????的和函数．（用逐项求导或逐项积分的方法）
4、求幂级数21!
n
n n n ∞
=∑的和函数．
5、求幂级数
1
ln (1)n
n
n n x n
∞
=?∑的收敛域．
当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明．
幂函数的概念及其性质测试题(含答案)
幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象
6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③；
微积分习题之无穷级数共21页文档
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
无穷级数单元测试题答案知识分享
无穷级数单元测试题 答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、收敛 3、5 4、π 33--，π π12 48+ -， ???????±±=--±±==,...3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件，
故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =?? ? ??+11n n n n 解：lim lim( )[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a 解：另设级数1 () n v n a b =+ 111111 1(1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4) ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）
幂函数练习题与答案
幂函数练习题及答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =3 2 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2-=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 （ ） A ．]6,(--∞ B ．),6[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),1[+∞- 9． 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）
无穷级数练习题word版
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4)
二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散.
无穷级数单元测试题
第十二章 无穷级数单元测试题 一、判断题 1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ） 2、若正项级数∑∞=1 n n u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n n n v u ∑∞ =1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1 -∑∞ =在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞ =+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ） 8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数 ...! 2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ） 10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，
n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则 必有)sin cos (2)(1 0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题 1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞ =+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞ =--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11 11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ） A 因为 01 1>+n ，所以此级数收敛 B 因为01lim 11=+∞ →n n n ，所以此级数收敛 C 因为 n n n 111 1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-??? ??-1132)1(n n n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞ =--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ）
指数函数对数函数幂函数练习题大全(答案)
一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><
无穷级数习题
第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<，
无穷级数 测试题
1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞ =+∑必 （2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞ = 2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（） (A)()11112n n n ∞ =-+∑ (B)( )11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111n n n ∞=-∑ (E)( )11n n ∞=-∑ （F ）() 111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道 3.判定级数112n n n ∞=?∑的敛散性（收敛或者发散） 4.判定级数13!n n n n n ∞=?∑的敛散性 5.判定级数()111001n n n ∞ =+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=??+ ???∑的敛散性 7.求幂级数()131n n n n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞ =∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数 10.将13 x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。 知识点归纳： 一、正项级数：1.调和级数11n n ∞ =∑发散。 2.11p n n ∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞ 的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。 二.交错级数：()11n n n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞ =， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞ ==-=∑∑，去掉麻烦的()1n -， 此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。
幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A ．y x =43? B.y x =32 C ．y x =-2 ? D.y x =- 14 ２．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ） Ａ. 4 1 ?Ｂ．1-?Ｃ．4 D.4- 3.下列所给出的函数中，是幂函数的是? ?( ） A.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ? C.3 2x y =?Ｄ．13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ） Ａ． B. Ｃ． D ． 5．下列命题中正确的是? ? ( ) Ａ.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(０，0)和(1，1）点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 ６.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? （ ) A.关于原点对称 Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ）
A ．]6,(--∞ ? B ．),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图１—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ) Ａ．102431<<<<<αααα Ｂ．104321<<<<<αααα Ｃ.134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< １0． 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<，则 )2( 21x x f +，2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?Ｂ. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分,共2４分). １１．函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12．的解析式是?? . 1３．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 1４．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1５．（1２分)比较下列各组中两个值大小 （１)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与；（）与-- 1α 3α 4α 2α
无穷级数练习题
无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1
,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn
无穷级数单元测试题答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数）
用幂级数展开式求极限Word版
用幂级数展开式求极限 极限理论是微积分理论的基础，极限是一个非常重要的概念，它是深入研究一些实际问题的重要工具．求函数极限的方法很多，幂级数法是其中之一． 例1 求极限21 lim[ln(1)]x x x x →∞-+． 解 因为 212111111 ln(1)(1)()23n n x x x x n x ---+=-?+???+-??+???， 所以 22111111 ln(1)(1)()23n n x x x x n x --+=-?+???+-??+???， 因此 21 lim[ln(1)]x x x x →∞-+ 211111 lim[(1)()]23n n x x n x -→∞=-?++-??+ 2 1=． 例2 利用幂级数展开式，求极限30sin lim tan x x x x →-． 解 由于x sin 在0=x 处的幂级数展开式为 3521sin (1)3!5!(21)! n n x x x x x n +=-+-???+-+???+，x -∞<<+∞ 又当0→x 时，tan ~x x ，因此 35 33 00()sin 1 3!5!lim lim 6 tan x x x x x x x x x x →→--+- -== ． 例3 求极限2242lim()333 n n n →∞++???+． 解 设 2242333 n n n S = ++???+， 作幂级数1 23n n n n x ∞ =∑ ，设其和函数为()S x ，即 12()3 n n n n S x x ∞ ==∑ ，
由 12 1 1 (1) n n nx x ∞ -== -∑，1x < 得 11 1)3(3232)(-∞=∞ =∑∑==n n n n n x n x x n x S 221 3(1)3 x x =-，13x < 由此可得 23 )3 11(1323 2)1(2 1=-==∑ ∞ =n n n S ， 因此 22423 lim()33 32 n n n →∞+++ =．
(word完整版)高一数学幂函数测试题
一、选择题 1、 3 a · 6 a -等于 A.－a - B.－a C. a - D. a 2、已知函数 f （x ）=? ????<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则 f （2+log23）的值为 A.31 B.61 C.12 1 D.24 1 3、在f1（x ）=x 2 1，f2（x ）=x2，f3（x ）=2x ，f4（x ）=log 2 1x 四个函数中，x1＞x2＞1时，能使21 ［f （x1）+f （x2）］＜f （2 21x x +）成立 的函数是 A.f1（x ）=x 2 1 B.f2（x ）=x2C.f3（x ）=2x D.f4（x ）=log 2 1 x 4、若函数y 21 log (2-log2x)的值域是(-∞,0),那么它的定义域是() A.(0,2) B.(2,4) C.(0,4) D.(0,1) 5、下列函数中，值域为R+的是（） （A ）y=5 x -21（B ）y=(31 )1－x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 6、下列关系中正确的是（） （A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32（D ）（51）32<（21）32<（21）31 7、设f:x →y=2x 是A →B 的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A 满足 A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log23}